高等代数一道习题分享 - 数学建模社区-数学中国

题目：设A是n阶实矩阵, $A=(a_{ij}^{})$ ，且满足： $\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}^{}}=1,i=1,2,...n;$ $a_{ij}^{}\geq 0,i,j=1,2,...n;$

求证：对于 $\lambda \in R$ ,若存在n维列向量 $\xi\ne0$ 使得 $A\xi=\lambda\xi$ ，则 $|\lambda|\leq1$ 。

(引：其实满足这样条件的矩阵A的转置 $A^{T}$ 为马尔可夫矩阵，它有性质为：（1） $\lambda=1$ 是其最大的特征值。（2）其余特征值的绝对值小于1.（3） $（A^{T}) ^{k}$ 也是马尔可夫矩阵，且每个元素非负，每列元素和为1，读者可以查找马尔可夫矩阵英文原文献）

证明：首先， $｜\lambda E-A｜=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-a_{11}&a_{12} ...&a_{1n}\\a_{21}&\lambda-a_{22}...&a_{2n}\\...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}...&\lambda-a_{nn}\end{array} \right|$ ,将第2，3，...n列全部加到第一列，得到：

$｜\lambda E-A｜=\left|\begin{array}{ccc} \ \lambda-1&a_{12} ...&a_{1n}\\\lambda-1&\lambda-a_{22}...&a_{2n}\\...&...&...\\\lambda-1&a_{n2}...&\lambda-a_{nn}\end{array} \right|$ ，第一列提出（ $\lambda-1$ ），则有：

$（\lambda-1）$ $｜\lambda E-A｜=\left|\begin{array}{ccc} \ \ 1&a_{12} ...&a_{1n}\\1&\lambda-a_{22}...&a_{2n}\\...&...&...\\1&a_{n2}...&\lambda-a_{nn}\end{array} \right|$ =0，所以A必有特征根 $\lambda=1$ ，

令A= $\left[\begin{array}{ccc} \ a_{11}&a_{12} ...&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}...&a_{2n}\\...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}...&\ a_{nn}\end{array} \right]$ ，则 $A^{2}=A\times A=$ $\left[\begin{array}{ccc} \ a_{11}&a_{12} ...&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}...&a_{2n}\\...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}...&\ a_{nn}\end{array} \right]$ $\left[\begin{array}{ccc} \ a_{11}&a_{12} ...&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}...&a_{2n}\\...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}...&\ a_{nn}\end{array} \right]$ =

$\left[\begin{array}{ccc} \ \sum_{j=1}^{n}{a_{1j}a_{j1}}&\sum_{j=1}^{n}{a_{1j}a_{j2}}...&\sum_{j=1}^{n}{a_{1j}a_{jn}} \\ \sum_{j=1}^{n}{a_{2j}a_{j1}}&\sum_{j=1}^{n}{a_{2j}a_{j2}}...&\sum_{j=1}^{n}{a_{2j}a_{jn}}\\...&...&...\\\sum_{j=1}^{n}{a_{nj}a_{j1}}&\sum_{j=1}^{n}{a_{nj}x_{j2}}...&\ \sum_{j=1}^{n}{a_{nj}a_{jn}}\end{array} \right]$ ,则每行元素相加，有：

$\sum_{k=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}a_{jk}}}=\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}}\sum_{k=1}^{n}{a_{jk}}=1$ , $i=1,2...n;$ 所以 $A^{2}$ 每行元素和为1，由数学归纳法，易得： $A^{k}$ 的每行元素和为1.又因为 $A\xi=\lambda\xi$ ，则有 $A^{k}\xi=\lambda^{k}\xi$ .

假如 $\lambda>1$ 1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;"> 成立,当k充分大时，上述等式右边向量中元素趋于无穷大，但左边不会趋于无穷大，所以， $｜\lambda｜>1$ 1" style="max-width: 100%; vertical-align: middle; margin-right: 3px; margin-left: 3px; display: inline-block;"> 时，等式 $A^{k}\xi=\lambda^{k}\xi$ 不成立，所以假设错误，故而 $｜\lambda｜\leq1$ 。

由上题，可以得到推论：若一个矩阵每行和为一个定值K，则这个矩阵必有一个特征值为K。

（原创）改编题目：设A是n阶实矩阵, $A=(a_{ij}^{})$ ，且满足： $\sum_{j=1}^{n}｜{a_{ij}｜^{}}=1,i=1,2,...n;$ $a_{ij}^{}\geq 0,i,j=1,2,...n;$

求证：对于 $\lambda \in R$ ,若存在n维列向量 $\xi\ne0$ 使得 $A\xi=\lambda\xi$ ，则 $|\lambda|\leq1$ 。

令A= $\left[\begin{array}{ccc} \ a_{11}&a_{12} ...&a_{1n}\\a_{21}&\ a_{22}...&a_{2n}\\...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}...&\ a_{nn}\end{array} \right]$ $\xi=\left[ b_{1}\\ b_{2} \\.\\.\\.\\b_{n}\right]$

$\sum_{j=1}^{n}{a_{qj}}b_{j}=\lambda b_{q},q=1,2,...n;$ 则有： $｜\lambda b_{q}｜= ｜\sum_{j=1}^{n}{a_{qj}}b_{j}｜\leq \sum_{j=1}^{n}｜{a_{qj}}b_{j}｜=\sum_{j=1}^{n}｜{a_{qj}｜｜}b_{j}｜$ ，i=1，2，...n;

设M=max{ $\left| b_{q} \right|$ },则推出： $｜\lambda｜｜b_{q}|\leq \sum_{j=1}^{n}|{a_{ij}}||M|$ ,即有：

$｜\lambda｜\leq \sum_{j=1}^{n}|{a_{ij}}|\frac{｜M｜}{｜b_{q}|}$ ，因为要对任意的 $\left| b_{q} \right|$ 都成立，所以 $｜\lambda｜\leq \sum_{j=1}^{n}|{a_{ij}}|\times1=1$ ,i=1,2,...n;

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