人类科学中现有经典极限论的终结 ( III ) - 数学建模社区-数学中国

1．现有经典极限论中的一个逻辑矛盾

我们在文献[1~4]]中了解到，由于现有经典无穷观中所存在的缺陷，使人们在几千年的科学活动中无法对所要认识、处理的与‘无穷’概念相关的内容进行定性的分析与认识，这导致了无法进行科学定义的‘实无穷’和‘潜无穷’概念的产生及人类科学中历史悠久的、并且是永远不可能有结果的‘实无穷—潜无穷’之争，其本质就是混淆了‘有穷’与‘无穷’概念，使人们既无法科学地认识‘有穷’也无法科学地认识‘无穷’；而以现有经典无穷观为基础的经典数谱中所存在的缺陷使人们在几千年的科学活动中无法对所要认识、处理的与‘无穷’概念相关的数学内容进行定量的分析与认识，这导致了无法进行科学定义的‘实无穷小’、‘实无穷大’和‘潜无穷小’、‘潜无穷大’概念的产生以及永远不可能有结果的‘实无穷数量形式---潜无穷数量形式’之争，其本质同样是混淆了‘有穷’与‘无穷’概念，使人们既无法科学地认识‘有穷数量形式’也无法科学地认识‘无穷数量形式’。这种矛盾、混乱的状况决定了在人类现有的科学大厦中，一方面人们必须承认‘有穷’与‘无穷’概念的区别，另一方面人们必须想办法混淆、否认‘有穷’与‘无穷’概念的区别。显然，这是人类科学大厦中一个要求人们必须执行但却又绝对无法真正完成的任务。这种局面导致在现有人类科学大厦中与‘无穷’概念相关的工作领域中三种极不正常的状况：（1）必须学会睁一只眼闭一只眼，不去深究事件的可能性、逻辑性，否则就出悖论^[5~8]；（2）必须学会玩弄文字游戏，糊弄别人也糊弄自己^[9]。（3）徒劳无功地和与‘无穷’概念相关的新旧悖论拼搏。数学本来是以严密和严肃为原则、以严密和严肃著称，但基础理论的缺陷却使人们很违心地在与‘无穷’概念相关的工作领域中大大违背了数学的原则、破坏了数学的严密性和严肃性。“‘有穷’与‘无穷’概念不分”是存在于经典极限论中一个蕴藏得很深的逻辑矛盾，源于经典无穷观和经典数谱的这个逻辑矛盾是现有人类哲学、数学领域中一个很致命的缺陷，几千年来它挑战人类的智力和勇气，已经以各种方式无情地消耗掉了人类无数宝贵的时间与精力。现有经典极限论作为人类科学大厦中与‘无穷’概念相关的整个理论体系中一个重要组成部分，它承担具体处理与‘无穷’概念相关的数学内容的任务----对它们进行定性与定量的处理。由于经典极限论是以经典无穷观和经典数谱为基础，而基础理论的缺陷决定了经典极限论从诞生之日起就“‘有穷’与‘无穷’概念不分”，迫使人们在经典极限论中创造出特有的一套很巧妙的混淆‘有穷’与‘无穷’数学内容的操作方法。这个‘有穷’与‘无穷’概念不分的逻辑矛盾表现在经典极限论的具体操作中就是巧妙地将与‘无穷’概念相关的数学内容先当作‘有穷’处理（……针对‘任意小’、针对‘前n项’、针对某个‘子集’……）然后再当作‘无穷’处理（……‘令’、‘5 V$ ]5 l3 e" O9 n5 r- ? —δ’语言、‘取标准数’、‘取极限’……）。经典无穷观和经典数谱的本质性缺陷使人们根本无法认识经典极限论的这种‘分两步走’操作法中所蕴藏的逻辑矛盾。而分析、认清了经典无穷观和经典数谱中所存在的本质性缺陷之后，使我们非常清楚地了解到经典极限论操作过程中的那些‘令’、‘取极限’、‘取标准数’或‘. a5 A. a' _. _% X& c2 K" {1 ` —δ’语言本质上是在经典无穷观和经典数谱理论框架中一种很无奈的、为了实施‘有穷’与‘无穷’思维转换而精心设计出的‘魔术道具’（有时却连打个招呼都没有就“‘有穷—无穷’自动转换”了）。当然也正是经典无穷观和经典数谱的本质性缺陷保证了这类‘魔术道具’及相关‘魔术’得以经久不衰，千百年来连哄带骗地‘解决了’人类科学大厦中与‘无穷’概念相关的许多哲学、数学问题^[1^、4]。当然，几千年来必然也会有不情愿睁一只眼闭一只眼、不爱玩弄文字游戏、不情愿随大流的人，他们在不停地思考、不停地质疑，他们看到了与‘无穷’概念相关的整个经典科学理论体系中基础理论的本质性缺陷，但却没办法解决这些缺陷，所以产生了许多与‘无穷’概念相关的难题与悖论^[1~9]。

科学史的研究使我们发现，数学中与‘无穷’概念相关的悖论可分成两大类：一类是揭示了人们一直没办法认识、解释清楚的“与‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的数量形式的定性与定量问题”：‘实无限—潜无限’之争的问题和‘无穷小’、‘无穷大’是什么、有多大的问题。芝诺先生2500多年前所设计的悖论就属于这一类。这类悖论已经繁衍成了一个庞大的芝诺悖论家族，这个家族中比较著名的现代成员有悬而未决的第二次数学危机、集合论中的一些悖论及新发现的调和级数悖论。另一类是揭示了在现有科学理论体系中自古以来人们一直没办法认识清楚、没办法解释清楚的“存在于所有极限运算过程中的与‘无穷小’概念相关的同一个数量形式在同一个运算事件中进、出算式的可能性问题”，这类问题本质上是个逻辑问题，与数值的大、小没关系。270多年前的贝克莱悖论就属于这类，这个悖论家族的历史之悠久与规模之庞大实际上不亚于芝诺悖论家族。这两大悖论家族是‘孪生兄弟’，它们从不同角度揭示了与‘无穷’概念相关的整个科学理论体系中所存在的“‘有穷’与‘无穷’概念不分”的逻辑矛盾及相关的基础理论问题^[1~9]。几千年来，人们知道与‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的这些问题存在于现有的与‘无穷’概念相关的经典科学理论体系中，以悖论的形式揭示这些问题的存在，并且花费了无数精力与时间想认识、解决这些问题，但有缺陷的基础理论框架限制了人们的思路与工具而没办法如愿。本文以新构建的基础理论学的思路，分析经典无穷观及相关经典数谱、经典极限论中的缺陷与芝诺悖论家族和贝克莱悖论家族之间的必然联系，在一个全新的层面上更清楚认识导致这两大悖论家族产生的原因及这两大悖论家族所揭示的问题的实质，更清楚认识新无穷观和新数谱的科学性，更清楚认识现有科学理论体系中与经典无穷观、经典数谱相关的经典极限论中的致命缺陷，宣告经典极限论的终结^[1~11]。

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2．芝诺悖论所揭示的与‘无穷’概念相关的问题在现有的科学体系中是不可解的

2．1 芝诺关于‘多’的悖论

现将芝诺关于‘多’的悖论摘引如下：“假定（为了进行辩论起见）存在多个事物。如果多是没有体积的，一事物被加在另一事物之上时，被加的事物在规模上没有什么变化。因此，被加事物就是虚无。如果把一个没有体积的事物从另一个事物上减去，被减的事物根本不会减少。因此减去之物亦是虚无。所以，如果存在杂多，每个事物都会具有一定的体积。但是，如果多中的每个事物都具有一定体积，那它们就是无限可分的。既然这样的事物是无限可分的，它们就是无限大的。这样，如果存在杂多，每个存在的事物都是既有体积又没有体积。没有体积的事物是虚无，有体积的事物在规模上是无限的。这样，如果存在杂多，事物就既会小到不存在，又会大到无限大。因此，杂多存在是荒谬的。另一方面，如果存在多，事物的数目就是确定的（它实际上正好就那么多）。但是，如果事物的数目是确定的，就不能是无限的，因为无限就是没有限度和不确定。此外，如果存在多，人们就能够通过分割得到无限多的事物。这样，如果事物是多，它们就在数目上既是有限的又是无限的，但这是不可能的。因此，杂多存在是荒谬的。”^{, S, r. R& Q9 o8 E
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/ _+ \- m. V9 u, P3 h+ f 在这个悖论中我们碰到了如下8种在科学中被公认的、与客观世界中所存在的事物的数量相关的不同性质的概念：多(大、任意大)、少（小、任意小）、存在（有）、不存在（无）、确定数（有穷数）、无限（无穷）、无限大（无穷大）、无限小（无穷小）。这8个概念在几千年的人类科学史中实际上引发2个方向上的悖论：（1）所有由‘无穷’概念引发的‘实无穷—潜无穷’之争的悖论群和（2）由另外7个概念所引发的所有与‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的‘多’、‘少’、‘存在’、‘不存在’的悖论群。这2 类密切相关的悖论揭示了经典无穷理论体系、经典数谱和经典极限论中很致命的“‘有穷’与‘无穷’概念不分”的逻辑矛盾所导致的‘规律’与‘载体’概念混乱和数量形式的混乱与空缺的缺陷^[3^、4]。

首先，我们知道，在经典有穷---无穷理论体系中，‘无限’概念可分为‘实无限’和‘潜无限’，它们分别代表不同的客观事物，而在芝诺关于多的这个悖论中的‘无限’究竟是指‘实无限’或‘潜无限’将直接影响到对事物的认识、影响到具体结论。我们在文[3]中清楚地了解到由于在经典无穷理论体系及相关经典数谱、经典极限论中所存在的致命缺陷，这类悖论永远不可能得到解决。仅仅就这个悖论中的‘无限’究竟是指‘实无限’或‘潜无限’就是个够人们永远争论下去的千古悖论。其次，我们从文[4]中知道，在现有的经典数谱中，人们只有‘零、无穷小、有穷数、无穷大’这4种数量形式，而在这个悖论中我们却碰到了性质完全不同的7种与数量相关的概念：多、少、存在、不存在、有穷数、无穷大、无穷小。这意味着由于经典数谱中数量形式的空缺，几千年来人们只能用经典数谱中的4种数量形式去认识、描述7种人类科学中被公认的、客观世界中实际存在的数量形式。确切地说，就是在经典数谱中人们实际上必须用（也只能用）‘无穷大’来代表3种科学中被确认的、存在于客观世界中的数量形式----多、存在、无穷大；必须用（也只能用）‘无穷小’来代表2种科学中被确认存在于客观世界中的数量形式----少、无穷小。这是一种错误的做法，这种错误的做法必然导致数量形式的混乱，导致思维体系的混乱，导致许多错误的行为和许多错误的结果。这是导致第二次、第三次数学危机，导致现有人类科学大厦中许多与‘无穷’、‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的错误与悖论的最主要和最直接的根源之一^[5~9]。我们从科学史中了解到，2500多年来人类的科学发生了巨大的进步，但奇怪的是现有的经典无穷理论体系及相关数量体系2500多年来竟然没有丝毫的变化（更谈不上任何的进步）。正因为如此，时至今日，在仍然处于2500多年前芝诺时代状态的现有经典无穷理论体系及相关经典数谱中，人们当然根本就不具备应有的能力去认识、解决芝诺在这个悖论中所揭示的、由经典无穷观中错误的经典‘无限’概念所引发的‘实无限—潜无限’之争的悖论和由‘多、少、存在、不存在、有穷数、无限大、无限小’这7个概念与经典数谱的矛盾所引发的与‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的‘多’的悖论（在现有科学理论体系中，实际上人们不仅没办法认识、定义‘多’、也没办法认识、定义‘少’^[1^、4]^））。

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2．2 芝诺关于‘无穷’（无限）的悖论

2 y) l2 p6 x% c+ I6 G 我们将芝诺关于‘无穷’（无限）的悖论摘引如下：（1）运动是不存在的（竞赛过程）：在跑完某一段距离的全程之前，竞赛者首先必须跑完这段距离的一半。在跑完全程的一半之前，又必须跑完一半的一半（全程的四分之一）。竞赛者在跑完全程的四分之一以前，又得先跑完全程的八分之一。这种要求是无限（无穷）的，永远不能在有限（有穷）的时间内得到满足。这就使竞赛者甚至连动都不能动，故运动不可能。(2) 阿基里斯追不上乌龟：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段；…… 因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得多快，他永远追不上乌龟。（3）飞矢不动：如果一只箭在空中飞行，在任何一个特定的瞬间，它都会处于某个位置，占据同其尺寸相等的一部分空间。任何占据一定空间的事物都处在静止状态，处在静止状态的事物是不动的。因此，飞行中的箭（运动的箭）是不能够运动的。（箭既不能在它所在的位置上运动，又不能在它所不在的位置上运动。）（4）谷种悖论：一粒谷种下落时不会发出声响，许多粒谷种（一蒲式耳）一起下落时也不会发出声响（因为任何数量的寂静总和起来也不能成为声响）。^[12]

R4 R2 m- [- Q2 H9 c 这四个悖论以不同的方式表达了同样的意思，虽然也包含了‘实无穷—潜无穷’之争的问题，但主要是从另一个角度更深刻地揭示了经典无穷理论体系中由于“‘有穷’与‘无穷’概念不分”的逻辑矛盾所导致的‘无穷规律’与‘无穷规律的载体’这两个具有本质性区别的概念混乱所决定的经典数谱中的两个本质性缺陷------数量形式的混乱与空缺。数量形式的混乱指的是人们无法对与经典无穷理论体系相关的经典数谱中的‘无’、‘无穷小’、‘有穷数’、‘无穷大’这四种数量形式进行定性与定量的认识。这四个悖论揭示人们没办法知道‘无穷小’是什么、有多大，将‘很小’、‘无穷小’、‘零’这三种概念混为一谈；也没办法知道‘无穷大’是什么、有多大，将‘很多’、‘无穷大’、‘存在’这三种概念混为一谈。数量形式的空缺指的是人们只能用经典数谱中的4种数量形式去认识、描述人类科学中被公认的、客观世界中实际存在的‘多、少、存在、不存在、有穷数、无穷大、无穷小’这7种不同性质的数量形式。芝诺先生看到了人们在经典无穷观众和经典数谱中将‘无穷规律’和‘无穷规律的载体’概念混为一谈，将‘很小’、‘无穷小’、‘零’这三种概念混为一谈，将‘很多’、‘无穷大’、‘存在’这三种概念混为一谈这种混乱的基础理论状况，在他的悖论中精心设计了偷换‘规律’和‘载体’概念、混淆数量形式的数量运算事件，暴露逻辑矛盾，非常深刻地表现了经典数谱中数量形式的混乱与空缺的缺陷：任何x→0的数学内容在经典数谱中都被叫做无穷小，它既是具有阿基米德性的、很小的、对有穷数量形式有数量意义的、可参加任何有穷数运算的数量形式（取极限前），又是没有阿基米德性的、对有穷数量形式没有数量意义的、不可参加任何有穷数运算的数量形式（取极限后）。我们从文[3]中了解到，在与‘无穷’概念相关的事件中，‘无穷规律’与‘无穷规律的载体’并存。既然‘无穷规律’是无穷的，那么‘无穷规律的载体’的数目当然也应该是无穷的；但事实是‘无穷规律的载体’中具有阿基米德性的那些载体却不是无穷的，因为阿基米德性本来就仅仅是描述人类科学中所有数量形式中的一种特定数的数性------有穷数性，它决定了‘可参与有穷数运算’的数量形式必须具备阿基米德性。无穷规律产生无穷载体，但并非所有无穷规律的载体都具有阿基米德性，而只能是一部分无穷规律的载体具有阿基米德性。在和‘无穷’概念相关的整个经典科学理论体系中，既没有‘无穷规律’概念，也没有‘无穷规律的载体’概念，更没有‘规律’与‘载体’之间、‘无穷规律的载体’与阿基米德性之间关系的任何研究。在这样的理论体系中‘无穷’这个概念表示任何与‘无穷’相关的东西------既可表示‘无穷规律’，也可表示‘无穷规律的载体的部分成员’，还可表示‘无穷规律载体的所有成员’。所以可以轻而易举地用‘规律’概念来偷换‘载体’概念、用‘部分’概念来偷换‘整体’概念或用‘有穷’概念来偷换‘无穷’概念，反之亦然。这导致经典数谱中数量形式的混乱与空缺，导致以经典无穷观和经典数谱为基础的经典极限论不可能清楚认识、处理与‘无穷’概念相关的各种数量形式及它们之间的关系，所以必然导致数学分析中、集合论中那么多在经典无穷理论体系中无法解决的难题与悖论的产生^[5~9]。这四个悖论所揭示的经典无穷理论体系及相关数谱中所存在的问题是：在所有与‘无穷’概念相关的极限运算事件中，形如x→0、y→∞的数学内容究竟是什么、有多大、它们该如何参与和阿基米德性相关的有穷数量形式定性与定量的讨论？其实人们早就知道只有具备阿基米德性的数量形式才能够参与有穷数量形式的定量讨论，也早就知道在芝诺悖论的事件中根本就不存在数目无穷的具有阿基米德性的数量形式，但经典无穷理论体系中所存在的缺陷所决定的经典数谱和经典极限论的缺陷限制了人们的认识能力与表达能力，导致没办法认识与‘无穷’数量形式相关的许多具体事件，所以产生了那么多与‘无穷’概念相关的悖论，产生了现有科学理论体系中不可能解决的第二次、第三次数学危机（在现有科学理论体系中，实际上人们不仅没办法自圆其说的定义‘无穷’、‘实无穷’、‘潜无穷’也没办法自圆其说的定义‘有穷’）^[1^、4]。

基础理论学的研究使我们在新的无穷理论体系中引进‘规律’与‘载体’的概念，抛弃经典无穷理论体系中错误的‘实无穷—潜无穷’概念：（1）彻底解决了芝诺在这些悖论中所揭示的、人类已经进行了几千年的所有由经典无穷观中空洞的‘无穷’概念引发的‘实无穷—潜无穷’之争，使人们可以很科学地对所要认识、处理的与‘无穷’概念相关的内容进行定性的分析与认识；（2）可以很好地解决经典无穷理论体系中由于“‘有穷’与‘无穷’概念不分”的逻辑矛盾所导致的‘规律’与‘载体’概念混乱与空缺所引发的相关问题（如与第三次数学危机密切相关的‘部分’与‘全体’问题）^[3^、6^、7]。在与新的无穷理论体系相关的新的数谱中，我们引进了3种新的数量形式，构建了与新的无穷理论体系相关的新数谱并对每种数量形式给予明确的定义：（1）解决了数量形式的混乱问题；（2）解决了数量形式的空缺问题。在这样的数谱中我们用‘彦’、‘无穷大’‘过渡大’来代表3种被确认存在于客观世界中的数量形式----‘存在’、‘无穷大’、‘多’；用‘无穷小’、‘过渡小’来代表2种被确认存在于客观世界中的数量形式----‘无穷小’、‘少’^[4]。新无穷观和新数谱的诞生构造了一个新的无穷理论体系框架，决定了新极限论的诞生。它们使人们可以更科学地认识、解释与科学大厦中和‘无穷’概念相关的事物与数量形式的定性、定量问题，使人们具备了充分与必要的条件来解决芝诺的千古悖论及已经繁衍了几千年的整个芝诺悖论家族所揭示的存在于经典无穷理论体系和相关数谱、相关极限论中的几大缺陷，使人们有能力解决整个芝诺悖论家族所揭示的、和‘无穷’概念相关的‘多’与‘无限’的问题，为科学地解决数学分析中、集合论中现存的与‘有穷’、‘无穷’概念相关的所有难题与悖论开辟一条全新的、科学可行的道路^[1~11]。

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3．贝克莱悖论所揭示的与‘无穷’概念相关的问题在现有的科学体系中是不可解的

在17世纪晚期形成的微积分这门科学中，人们碰到了求瞬时速度的问题，因其运算过程中所存在的一种前所未有的神秘性而揭示了与现有经典有穷—无穷理论体系及相关经典数谱、经典极限论中所存在的基础理论的缺陷，导致了第二次数学危机的产生^[9]。以求落体的瞬时速度为例，用dt . Y) V) A0 f& k O4 x 表示时间的无穷小增量，ds # G; z" ]8 T' \& p% X2 L 表示相应的距离增量，我们要求ds/dt, : Q. A2 ?! ^' a 这是个有穷数值。为了求出t=1到t=1+dt之间的距离增量，要求当t=1时落体的位置：1/2+ V+ _4 m$ K1 I$ ]0 f& ~ 9.8 ' I# T: k ^9 O" q% Y# G 1²=4.9(m). 再求当t=1+dt时落体的位置：1/2 3 {' ?9 f, v5 J! Y, P$ I3 O 9.8(1+ dt)²(m); 我们可求出距离的增量：9.8 dt+1/2$ w- |. z* h6 O# u. W1 U& p 9.8 dt²(m), 所以，所求的瞬时速度就是比值：ds/dt=9.8+1/2& D, l, {8 u8 t# s9 p 9.8 dt (m/s), 这时需要令dt=0，得ds/dt=9.8(m/s)。 1 H6 r6 a' f% i! | 在这样的运算中，我们碰到了‘dt先不为0而被引进，参与运算，然后宣布为0而被扬弃’的‘运算的可能性问题’。贝克莱悖论揭示了与‘无穷’概念相关的经典科学理论体系中所存在的如下一个逻辑矛盾，这是一种无法解释的现象：为什么在极限运算中同一个x→0的数学内容可先被认为具有阿基米德性、具备与有穷数量形式同样的存在意义而被引进算式、参与有穷数运算，然后又被认为不具备阿基米德性、不具备与有穷数量形式同样的存在意义而被扬弃。贝克莱说：“因为当说增量消失即增量不存在或没有增量，那么，原先增量为某数或有增量的假定就被破坏了，但却保留了在这假定下推出的结论，即靠它得到的表达式却被保留了，这是错误的推理方法”。首先，我们已经从文[1~4]中了解到，由于经典无穷观中的致命缺陷所导致的经典数谱中所存在的数量形式的混乱与数量形式的空缺，人们根本就不可能通过以经典无穷理论体系及相关的经典数谱的理论框架为基础的经典极限论来了解dx→0这种数量形式是什么、有多大（不管用什么语言）；其次，贝克莱悖论所揭示的是‘事件的可能性问题中所蕴藏的逻辑矛盾’，根本就与dx→0这种数学内容数值的大小毫无关系。所以，从本质上讲‘" b; F+ ^ ^ y, G) s2 c( i6 b, s —δ’语言与第二次数学危机和贝克莱悖论所揭示的问题风马牛不相及！其实贝克莱悖论所揭示的问题是个很古老的问题，这个以另一种形式表现的“‘有穷’与‘无穷’概念不分”的逻辑矛盾存在于几千年来人类数学中与极限概念相关的所有求值运算中，只不过是由贝克莱于270年前正式提出而已。在现有经典极限论中那个专门为赶走‘运算过程中变成碍事的、不想要的任何数量形式’而精心设计出来的‘ * @% v4 z! X9 ~! P- d( M —δ’语言根本就动不了贝克莱悖论的一根毫毛！根本就解决不了第二次数学危机中“整个运算过程中的同一个dx先作为‘是数的任意小’进入算式然后再作为‘不是数的无穷小’离开算式”这一事件的可能性问题中所蕴藏的逻辑矛盾！根本就解释不了从古至今所有极限运算过程中人们已经习以为常的“分两步走的曲线式‘有穷---无穷’转换法：‘) [# A/ e* X: d7 ^2 F0 Y$ ? x先不为0而参与运算，然后想办法将他变成0而将其从算式中赶走（不管用什么语言）’或‘ 1 b) [) a. r! J$ ^3 @3 R) P y先不充分变小而参与运算，然后想办法宣布它已经充分变小而将其从算式中赶走（不管用什么语言）’”这类事件的可能性问题中所蕴藏的逻辑矛盾！更可悲的是，由于现有经典无穷理论体系及相关经典数谱中的缺陷，使千百年来一代又一代的学者们不仅没办法清楚认识经典极限论的性质与功能，也没办法看清经典极限论中那个很隐蔽的逻辑矛盾，其实根本就连贝克莱悖论的本质都没办法看清，但却跟着别人稀里糊涂地欢呼贝克莱悖论已得到解决、第二次数学危机已得到解决^[9]！。极限论是无穷理论体系及相关数谱的产物与载体，它使人们只能在某种具体的无穷理论体系的理论框架中去思考、认识、分析、处理与‘无穷’概念相关的数量形式，也只能按由该无穷理论体系所规定的数谱中相关数量形式去操作。270多年来（其实是自古以来），仍然处于导致悖论产生的经典无穷理论体系及相关的经典数谱和经典极限论的理论框架中，人们根本就不可能具备清楚认识、解决贝克莱悖论所揭示的问题的能力-----贝克莱悖论比芝诺悖论有更深刻的内涵。如果说人类科学史上悬而未决的第二次数学危机是现有经典无穷理论体系及相关经典数谱和经典极限论挑战人类智力所构筑的一座高塔，那么贝克莱悖论则是这塔顶上的一朵奇葩，它揭示了科学中和‘无穷’概念相关的另一大类理论缺陷。新构建的基础理论学富有成效的工作和以新无穷观、新数谱为基础的新极限论为我们提供了新的思路与工具、新的科学基础理论，使我们有能力深入到与‘无穷’概念相关的数量运算中去，解决“‘有穷’与‘无穷’概念不分” ( q+ \/ |6 X- D+ u4 C0 p+ R+ W8 p 的逻辑矛盾----更确切地说，使我们得以彻底认识、解决由贝克莱悖论所正式提出的、与芝诺悖论不同的、更深层次的另一类问题：自古以来，‘极限运算过程中同一个x→0的数量形式在同一个运算事件中进、出算式的可能性问题’^[1^、4]。

4．结论

% f+ R* a# j7 F! K/ Q 经典无穷理论体系和相关经典数谱、经典极限论中所存在的缺陷使人们根本就不可能从量上与质上清楚认识现有哲学中、数学中和语言学中与‘无穷’概念相关的科学内容（包括‘有穷’），根本就没办法清楚认识与‘无穷’概念相关的科学内容之间的区别和联系。所以，几千年来，不管人们做了多少努力想解决与‘无穷’概念相关的任何真正意义上的难题-----悖论，都只能以失败告终。芝诺悖论家族和贝克莱悖论家族揭示了人类科学大厦中现有经典无穷理论体系及相关经典数谱和经典极限论中所存在的基础理论的缺陷，也揭示了一个蕴藏得很深的“‘有穷’与‘无穷’概念不分”的逻辑矛盾。这些缺陷与逻辑矛盾同宗同源，各有特点，它们盘根错节、紧密相关，形成人类科学大厦中一个巨大的、综合性很强的“‘无穷’概念思维误区”，这个‘思维误区’不仅使人们在与‘无穷’概念相关的整个经典科学理论体系中没办法清楚认识这两大悖论家族的本质，而且使人们不知从何下手解决这两大悖论家族所揭示的所有问题，甚至还不知道在经典无穷观、经典数谱和经典极限论中存在着一个蕴藏得很深的、很致命的‘有穷’与‘无穷’概念不分的逻辑矛盾------科学大厦中几千年来一直困扰着人们的‘无穷’综合症的病根。新构建的基础理论学、新构建的无穷理论体系及相关的新数谱、新极限论为我们提供了新的思路、新的方法、新的工具和坚实的理论基础，使我们得以开拓一个巨大的综合性工作场面。这是个全新的工作场面，是新构建的基础理论学献给人类的第一份厚礼^[1~11]。在这个新的工作场面中，我们有能力对狭义、广义的芝诺悖论和狭义、广义的贝克莱悖论进行独立、综合性的深入分析与研究，深刻了解这两大悖论家族的个性与共性；使我们有能力认识、解决如上两大悖论家族所揭示的现有经典无穷观、经典数谱和经典极限论中所存在的基础理论的缺陷；使人们得以摆脱经典‘无穷王国’中无处不在的‘有穷---无穷不分’和‘实无穷---潜无穷之争’这类本来就不该存在的难题。人类几千年来在‘无穷’问题上历经磨难的科学史使我们清楚地看到：芝诺悖论家族与贝克莱悖论家族从不同角度所揭示的各种问题只有在以新无穷理论体系及相关的新数谱、新极限论为基础的新工作场面中才可能得到清楚的认识和彻底的解决。

经典无穷观和经典数谱中所存在的致命缺陷决定了以它们为基础的经典极限论的终结。

[1] 欧阳耿.人类科学中现有经典极限论的终结(I)（J）. 咯什师范学院学报, 2006,27（6）:29-34

[2] 欧阳耿.人类科学中现有经典极限论的终结(II)（J）. 咯什师范学院学报, 2007,28（3）:33-36

[3] 欧阳耿.人类科学中经典无穷理论体系的终结（J）. 咯什师范学院学报, 2005,26（6）:20-22

[4] 欧阳耿.数学中三种新的数量形式（J）. 咯什师范学院学报, 2003,24（3）: 31-37

[5] 欧阳耿. 无定义的实无穷概念是第三次数学危机的真正根源（J）.宜春学院学报 2005,26（4）: 26-29

[6] 欧阳耿.现有集合论中一种神秘的错误（J）. 西北大学学报（自然科学版）, 2000,30（4）专: 8－11

[7] 欧阳耿. 罗素悖论与康托在集合论中的两个失误（J）.贵州师范大学学报（自然科学版）,2002,20（3）:81-84

[8] 欧阳耿. 又一个芝诺悖论的现代翻版----调和级数悖论（J）.咯什师范学院学报,2003,24（6）:25-28

[9] 欧阳耿.数学分析中悬而未决的问题（J）. 井冈山师范学院学报,1995,16（5）: 29－34

[10] 欧阳耿.一条金辫：类比-相等性原理-基础理论学（J）.宜春学院学报, 2004,26（4）: 23-25

[11] 欧阳耿.新构建的基础理论学的意义、方法和任务（J）.宜春学院学报, 2007,29（4）: 42-45

[12] F.N.麦吉尔主编，世界哲学宝库――世界225篇哲学名著述评（M）.《世界哲学宝库》编委会译. 北京：中国广播电视出版社，1991。

（Department of Mathematics, Zhangzhou Teacher’s College, Fujian, 363000, China）

Abstract: 0 M9 Q: a7 }! p4 [5 p2 i A deeply concealed logical contradiction in classical limit theory caused by the defects of classical infinite theory and classical number spectrum is uncovered and analyzed based on the work introduced by [1] and [2]. The natures of problems disclosed by the families of Zeno’s Paradoxes and Berkeley’s Paradoxes are analyzed comprehensively. The conclusions are: (1) It was the defects in three basic theories of classical infinite theory, classical number spectrum and classical limit theory that produced the families of Zeno’s Paradoxes and Berkeley’s Paradoxes, so all the problems disclosed respectively by the two paradoxes’ families are unsolvable in present science system. (2) The fatal defects in classical infinite theory, classical number spectrum and classical limit theory decide the end of classical limit theory.

Key words:* D3 R9 B! m9 A8 o; N- G2 O8 T Zeno’s Paradoxes; Berkeley’s Paradox; infinite theory; number spectrum; limit theory; The Second Mathematical Crisis