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标题: 哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合 [打印本页]

作者: 杨利霞    时间: 2022-9-14 16:40
标题: 哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合
哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合5 g- ?, S1 K( j) i# A
- l# A& |, p7 N  M. f, k$ L
这个实验的要求写的还是挺清楚的(与上学期相比),本博客采用python实现,科学计算库采用numpy,作图采用matplotlib.pyplot,为了简便在文件开头import如下:
# X5 v- y) T: Q% {) h/ S& k. C$ G! c0 s8 q0 \6 n
import numpy as np6 o) B. ?& U! H) v) w
import matplotlib.pyplot as plt  R+ }" s% t4 M) ?3 P. _3 q
1
( d( O, ^3 m  j" C, c2
& t- ^1 e& a0 h6 B8 @/ p4 ^本实验用到的numpy函数+ e3 J7 A/ `0 t: }( F
一般把numpy简写为np(import numpy as np)。下面简单介绍一下实验中用到的numpy函数。下面的代码均需要在最前面加上import numpy as np。
' x8 h0 F& ^# G" C4 A' M8 {  P
% q( @3 D+ C. {8 V# q; cnp.array* \! V8 h- S! R% ]- f% N  E* Z
该函数返回一个numpy.ndarray对象,可以理解为一个多维数组(本实验中仅会用到一维(可以当作列向量)和二维(矩阵))。下面用小写的x \pmb x' F  _8 @( q' U, Q  h
x6 M8 l1 Z" T, ~& q: `
x表示列向量,大写的A AA表示矩阵。A.T表示A AA的转置。对ndarray的运算一般都是逐元素的。
6 W$ d  I, w" L. G9 k0 u7 |; ]  ~) V
4 B$ c8 K* g# }1 s: d8 S9 E>>> x = np.array([1,2,3])9 O' K2 J- j$ q' [4 U' k
>>> x. m8 M( R/ `& q; e
array([1, 2, 3])
2 \: E: g# x6 m1 r8 ^# I>>> A = np.array([[2,3,4],[5,6,7]])& z+ h! X( D6 e/ f9 W
>>> A
8 ~; I! h( T3 q! L: s% g5 _array([[2, 3, 4],; H8 r( M+ u9 ?4 Z. t' X+ w
       [5, 6, 7]])* n% a8 u  W" H
>>> A.T # 转置1 ]! m6 a! L7 O5 L$ e2 P' H
array([[2, 5],8 Q; C, l& @3 q4 J, q+ A/ d. H. r
       [3, 6],  P$ c* @- M8 i6 w; G
       [4, 7]])
  N+ L, o7 j* ?' W, ~7 d1 p>>> A + 1
0 H7 U( t% d4 U1 {4 J8 carray([[3, 4, 5],# }: r- w% P3 u7 W
       [6, 7, 8]])
$ L- v+ e9 A* M5 Q6 L9 ?>>> A * 2
# x: d$ L% n  L: ~' b3 B, |array([[ 4,  6,  8],) M3 x$ l7 Q/ L
       [10, 12, 14]])
# l  R$ I0 b4 [* ~) K
- N$ d, h4 \. l' {" y4 F7 ~6 l# N5 w1; V" D* z& f5 B
22 x2 S! S# O" b* @; g
3
! |) [# j; F* I& B* u9 g" }: z4
: \' K+ l2 o: A5
4 f: @# @- _. @4 E2 J7 s7 ?6
$ }1 ^/ c0 O" e: N7
7 ?5 B/ W$ ]- v' w88 Z9 S0 g( ~3 T& F% u9 h4 I- |
9
  D" A9 p, P. B' B( |10
* b7 `0 o* D$ c  @, x112 u6 P5 e) H+ K2 Q- n9 c
12% O. r% O  s# o* P  u  I+ Y
13
0 N" p6 g- @1 D0 r14
0 ~# f5 c4 a1 g2 O15  X) a- O! R3 k  b, H# g
167 O/ _% N2 H' v
17' `& {' q2 c3 ?$ n) d; \
np.random
+ G# c6 z* [  P5 onp.random模块中包含几个生成随机数的函数。在本实验中用随机初始化参数(梯度下降法),给数据添加噪声。
) L% }/ p2 ^& u  x9 L
, r. A. O/ y8 A7 n>>> np.random.rand(3, 3) # 生成3 * 3 随机矩阵,每个元素服从[0,1)均匀分布
7 p8 f# I1 U& W6 C1 ?9 M4 Tarray([[8.18713933e-01, 5.46592778e-01, 1.36380542e-01],  L0 S) ?$ y4 J/ C5 R% _+ g6 o! a( M- z
       [9.85514865e-01, 7.07323389e-01, 2.51858374e-04],# t% i5 {; D7 A9 I% j% ~
       [3.14683662e-01, 4.74980699e-02, 4.39658301e-01]])
7 j3 z8 U" r+ b. {3 p% K  v0 Y# H+ C  R# R' Q# @
>>> np.random.rand(1) # 生成单个随机数
; j) I' w; K( W. }array([0.70944563])
, _8 S. N- H& O  C# O$ Y>>> np.random.rand(5) # 长为5的一维随机数组
& `2 A$ ]" q/ H- a/ P9 u  Uarray([0.03911319, 0.67572368, 0.98884287, 0.12501456, 0.39870096])
( [; l& u* }( i5 o>>> np.random.randn(3, 3) # 同上,但每个元素服从N(0, 1)(标准正态)
. t1 g6 h/ i; U* J1+ v& B% W& g% j0 s
26 w" W' h2 m- o0 o# A' E  @! q
34 r- _$ b* ^+ u. Q. S& h6 A
4
+ o9 q; K8 n6 u" k5
2 _- a3 ~+ e* m1 K4 ?7 d9 O( {5 u0 @4 C6$ j/ l3 r2 d& f) G
7
9 W" g4 l0 g& ?+ F' A6 F/ A8; T2 P2 X# N/ Z2 [8 U' Y; Y
9
% F6 a( b3 Z  [10* q6 M. b$ j! d  I; t1 W
数学函数
, v- P! r: T4 x本实验中只用到了np.sin。这些数学函数是对np.ndarray逐元素操作的:
" N+ ^' F3 t3 n' ?% M, Q
6 ^1 \9 {2 X$ l9 X/ m! b% B  x9 G>>> x = np.array([0, 3.1415, 3.1415 / 2]) # 0, pi, pi / 2' x* \2 `( y  Y, h% f1 r
>>> np.round(np.sin(x)) # 先求sin再四舍五入: 0, 0, 11 l. o1 D* q. d
array([0., 0., 1.])
4 s: M3 U  X/ V2 t. T( L; _/ t19 Q* T& |3 n0 ~7 {$ {/ N6 {/ t3 \
22 W- M  [3 [1 r' s4 a
33 A! [) W, A4 k
此外,还有np.log、np.exp等与python的math库相似的函数(只不过是对多维数组进行逐元素运算)。3 E( J: ^. i" v
) y5 W* o( k' M$ E  K- L
np.dot5 I1 G: {# _- t7 X3 y2 z/ F- {
返回两个矩阵的乘积。与线性代数中的矩阵乘法一致。要求第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行数。特殊地,当其中一个为一维数组时,形状会自动适配为n × 1 n\times1n×1或1 × n . 1\times n.1×n./ s0 j  i& t0 f# a
$ L+ R$ Y$ M0 S/ x
>>> x = np.array([1,2,3]) # 一维数组
/ b# K3 r5 ^9 j$ R>>> A = np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]]) # 3 * 3矩阵! w7 G/ A: G( ?; M7 d8 t
>>> np.dot(x,A)
9 D9 r- a( B% ?7 h$ _array([14, 14, 14])7 r% R" Y) k2 a8 x% n3 }
>>> np.dot(A,x)7 n, ~2 A7 ~6 f! Z6 D2 C
array([ 6, 12, 18])
) H3 V4 [% ?6 g3 ?% X
3 `& V' u$ W# C6 j" w$ ^>>> x_2D = np.array([[1,2,3]]) # 这是一个二维数组(1 * 3矩阵)/ H) H7 g) C- ]% u) D2 J: x# `
>>> np.dot(x_2D, A) # 可以运算
" L5 h  i' l; B! T5 sarray([[14, 14, 14]])
, \3 E9 Y( S( g/ U% s* E2 P' L9 I>>> np.dot(A, x_2D) # 行列不匹配$ a6 d4 s% L/ @; Q3 i" V
Traceback (most recent call last):4 J- t3 K+ E# D6 h2 C+ r7 B5 o  O- J
  File "<stdin>", line 1, in <module>
8 {( y; r  }, B2 M  File "<__array_function__ internals>", line 5, in dot+ V9 f- p! K4 W" H6 C/ [1 N3 R  S8 c* c
ValueError: shapes (3,3) and (1,3) not aligned: 3 (dim 1) != 1 (dim 0)" q% |/ l3 I- S9 H3 {  q
1
4 t4 Y1 W/ F* y+ B2 x; d% n2% i) ~$ B! ?8 O- V2 I* P" G
3% e! c6 S, A' S; Y& Z! w+ U/ Q' N" u
4
7 G$ j( X3 P% w; U1 i52 t6 ]) [5 X: c# g& d
6- T3 e! P& o2 U( d: |7 F8 U$ z
7
$ C4 y, L( ]( a8; k) F' s# f* B# C- [
9" K$ p: n" H: T0 d$ r
103 t( l- ~. j; c1 z5 S. ?: j
111 x% d5 S8 x  t4 m& D$ a
126 A  v' O2 D: s. b8 @
13
/ l) L* W/ Y5 G- ~2 M8 T/ e14/ ]# y4 A4 B  W; _. \$ f$ E
15
- c9 h' n, A7 Onp.eye  _; T: n2 C' O0 N7 R3 N
np.eye(n)返回一个n阶单位阵。; l" y+ u" k6 _
% u, O  A8 s* q: W# Y
>>> A = np.eye(3)
+ V# I- f5 ]' s# A. r* s>>> A" f" W; c  M; c3 N! V
array([[1., 0., 0.],
! L3 q# U3 B; K       [0., 1., 0.],
2 R# q; x7 R) g2 H       [0., 0., 1.]])8 o& U% Y; |& L0 P% b
1% N( w- |* ]/ w7 L
2
. F+ x2 O4 ?! L6 d" @3, Y" I+ c( P! u4 g8 A, h
4
; D* R" p/ y5 d, C, w6 {55 V  o; q% l. i' g1 c3 ]
线性代数相关/ E+ Q1 A: C0 R0 C' J1 X+ H
np.linalg是与线性代数有关的库。2 {1 f1 v/ _8 N9 `) E, P0 }

' o% u- u9 s8 q9 i>>> A# ~2 _1 W$ l7 T" d5 n
array([[1, 0, 0],, v1 [- j1 E. u: h6 l; c$ X+ D
       [0, 2, 0],
) T- f3 n! j2 i# l/ t, ~, \       [0, 0, 3]])0 m7 L7 A& l% e+ a$ A
>>> np.linalg.inv(A) # 求逆(本实验不考虑逆不存在)
/ r% R5 @! `' ~  g3 b! a! ?array([[1.        , 0.        , 0.        ],9 z+ i; Z  Z) I) [; W# v
       [0.        , 0.5       , 0.        ],
) g) D& S4 B. f  Q3 I       [0.        , 0.        , 0.33333333]])
+ c/ V5 Z! }- x) C% o>>> x = np.array([1,2,3])
/ P" h4 w- x- T& i>>> np.linalg.norm(x) # 返回向量x的模长(平方求和开根号)9 h0 L  ~* H" T' M) _* d% F
3.7416573867739413
( |  u' m5 j" g" s7 [. q% Z>>> np.linalg.eigvals(A) # A的特征值7 O. r- I# g# R% ]! b) V) p7 n2 m
array([1., 2., 3.])
5 _' }( N9 M' q2 J' B' p12 z' Q1 K: Y7 N- V% o! y2 f
2, }# y5 N1 y0 U( Z) ?
3" W) V0 c( V$ G6 ]! Y2 ]
4. d1 \0 [0 e, u- j: s3 L
5
# c. x6 {, k/ [' o" p5 u6% a+ z0 j; m$ N. s" `- [
79 B/ L9 L3 A: X
84 h+ m3 p+ m' E3 j& o, B7 E6 I1 E
9
: T) l2 k# z3 C( |& z104 [& I2 K; N6 w8 |4 m% ?: l* k( z
11* Y  o# `/ z4 ~" `, D. `
12
8 @  c( p3 @3 a$ Q1 a9 N0 V13( [) Z1 a- G. W5 g; }. K" p1 @. w
生成数据
" T: f8 Y2 e0 {1 X( L; K1 A  B生成数据要求加入噪声(误差)。上课讲的时候举的例子就是正弦函数,我们这里也采用标准的正弦函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.(加入噪声后即为y = sin ⁡ x + ϵ , y=\sin x+\epsilon,y=sinx+ϵ,其中ϵ ~ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon\sim N(0, \sigma^2)ϵ~N(0,σ 4 B3 ]3 S: ~6 B* Z$ U( M: q
2) E0 |& i; \& v- M7 ?1 Y
),由于sin ⁡ x \sin xsinx的最大值为1 11,我们把误差的方差设小一点,这里设成1 25 \frac{1}{25}
2 P  p2 C+ i" E25/ M9 j' V8 v. u9 m6 `
1. B$ R, o' [' e9 ]8 F9 N
5 G4 _) K8 U$ i8 P% S5 T* J% @* |
)。
9 H$ P4 ]1 T) a/ p3 h% ]( Y* T4 e- e$ q5 y' Z, ~; r
'''
% s1 V3 p- h  u1 b6 K0 y6 j返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
+ B6 J) ?7 f: C- K保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
; P$ W9 j5 P$ H% i/ U- N 数据集大小, 默认为 100
% U* f7 I9 a8 X$ }& ^6 b/ V- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1], 默认为(0, 10)
* K; f* u. }8 m9 ]0 X8 K& G'''
/ ?" T! L+ |" ]1 q5 }2 Cdef get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):
2 V* o. t* E2 J9 c) u2 X8 i    l, r = bound
9 y9 _. J. `8 A3 w" }+ C0 Q    # np.random.rand 产生[0, 1)的均匀分布,再根据l, r缩放平移
: n, N2 T! S: r+ y/ L    # 这里sort是为了画图时不会乱,可以去掉sorted试一试
# S+ j' v0 |, X) H    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)
, w$ [9 E/ \" B- k. ]' f3 B) n# {# n        + h( U+ p0 {8 A8 ~, G
        # np.random.randn 产生N(0,1),除以5会变为N(0, 1 / 25)4 }% T8 `7 d  v% M  i9 Y
    y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5- J9 r6 e1 b8 C% A8 V, ~5 C) E
    return np.array([x,y]).T
; w' X( M9 P; ]5 g! x) W/ q0 f! h! B, {11 \9 T* Q: C2 R4 |! l/ `4 T
2
3 E9 n, S9 G+ j6 m# z3
" t3 z. w9 u) U( [4( g, @6 H. t# m
5
: X3 N# N1 _0 Z* C/ |- W: g6
5 O. }' z9 _1 C: A$ F- I& M) y7
4 F8 D# n1 F4 w# ~$ i8
% i, \) O) M" ~0 F/ Y9
4 E  L' j4 S) M0 r: M- x7 l, H8 M10
- U) Q( U+ N$ N) E118 K# F7 ]% D% k  Y) P2 Q' n
12
/ Q2 S& d& L3 I8 b* O13
' I- `  B0 Z+ A6 N; M: D* r14
2 V! X4 b4 M( W" i0 h9 T/ \) k15
* s2 U5 j6 o7 l产生的数据集每行为一个平面上的点。产生的数据看起来像这样:, `, S0 [: i6 C- I  X" @- J
5 j7 s& v3 n: j/ k
隐隐约约能看出来是个正弦函数的形状。产生上面图像的代码如下:
. ~! \: _1 s$ `( M# X4 o/ i( v4 h# B6 W6 j/ A  E
dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))& ]# q. r$ v) a% U* ]# m
# 绘制数据集散点图
7 C# r9 h" f. w7 d- ?for [x, y] in dataset:
3 @' o2 ~/ O/ R& X9 C    plt.scatter(x, y, color = 'red')
$ T% a) W; F; q# s3 nplt.show()
) c# P9 g" F: A& S1
6 ~! J& Q. D9 a! W- |, V2' Z2 \) w! Z, l3 a
3! {% @" y) |0 h( Q: Z' t% S
4
% C' x: j! g$ }1 B5: X, Q* D. x9 M  V- t/ v
最小二乘法拟合+ M; q0 [& f7 {6 _/ b; G' f
下面我们分别用四种方法(最小二乘,正则项/岭回归,梯度下降法,共轭梯度法)以用多项式拟合上述干扰过的正弦曲线。! O: O5 l9 R6 M& h/ `3 b
8 n) }: L/ Y/ e- {2 g  {# r
解析解推导
3 }8 V; P, N- {& p* ]* I简单回忆一下最小二乘法的原理:现在我们想用一个m mm次多项式  v" ]) {  h7 }' D. o) z) M+ k4 O
f ( x ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . + w m x m f(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...+w_mx^m
3 h0 G, N+ r4 r3 z; y5 o5 Q; }2 ?' Df(x)=w
+ ^; n3 F- P) i* q0+ t' `1 S8 V6 F# N
2 n1 O: k! ]) G. E/ h7 w
+w
, I$ s) q  e3 `( T/ e1
" k0 F7 M; h7 C+ ^) z( b! z& z: o& B  k7 ^0 O- m" T
x+w 8 L; i+ U: E2 t# L5 X( ~2 h& A
2' G! X, |! J, J* K1 g
0 o- a( k: O3 E$ L4 x
x
  X* S" F0 N( ~7 \  u7 P2
/ k" n5 p2 f4 |8 A  U, {5 A +...+w
/ l4 k. G  p2 u: L9 |m0 t9 y+ f2 L" T. ]) J7 I' M
9 Y& _8 {- n, f$ ^& O4 _
x
1 H  z. K1 Q+ ]$ y2 }8 d& s; R$ Bm
2 x# l, \  i& n+ j$ n/ U$ S% P1 @0 j% k& T: V* y4 k! }* L5 x' w
$ w' \3 N8 m' e6 u3 y" n9 p
来近似真实函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.我们的目标是最小化数据集( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)(x $ `9 u7 k3 Q+ y5 Z0 c  G5 }6 g
16 @; w$ j( V8 L1 D8 k4 V& M$ Z$ a- H

$ w* T5 g  M6 O2 t! P4 U5 w ,y
- H% h0 ?4 {% Y5 }, W1  f1 m3 G4 m! |+ g
% h$ ?3 [2 |$ G4 l' E+ k
),(x
% y/ b/ M: W! B6 k9 C1 d& E" b2 z2
. J9 p* p( k5 M; C# z: m5 F7 Z0 m$ W
0 V  r$ [- C5 m5 f/ A ,y
8 W3 l, M* U* j5 ~1 I. D% J! g$ s2
1 e+ ?6 q/ J$ i! p7 v9 r- E" E- b; D7 X1 M3 `. [- s- x. F
),...,(x
+ p4 l, A1 K- J: RN8 N9 q8 L, T) A* _" \$ O3 K
# O0 R5 }; K& ^) u0 c% ?
,y
, G: V+ V9 K0 L6 V: y6 ~: u6 lN
# r9 N0 P# |' X5 i/ v7 V* U. z/ u, w7 h2 f3 f. L+ m/ B, K
)上的损失L LL(loss),这里损失函数采用平方误差:  V$ a; n0 a* k6 @0 @4 m+ u4 v
L = ∑ i = 1 N [ y i − f ( x i ) ] 2 L=\sum\limits_{i=1}^N[y_i-f(x_i)]^2. X, B" L( d( W( C
L= . a5 I  }# P+ M8 T2 A5 ?
i=1
4 s& i9 G2 t" f, r- V) }+ s& a/ E+ |  c# D$ W- P" B: h9 B% ~
N
; H: c- d! Z& v' d" z$ Q
& Z! K6 x% c: ~5 y. \1 J# R [y ' L! f" u2 ^2 O6 \9 Y
i
, ^: v% R$ P  S$ V& `3 E
9 U8 B) n0 ^9 h) w, T0 | −f(x + O, }9 Q; @9 U% z
i1 P" R0 B) C" }9 W  N9 J3 ]" P" C
5 @6 Q5 x6 u* S3 D! Y
)]
* T) ~: S1 b2 a7 K0 h% R7 z2& A5 g( r6 }. w- M* C+ G

! d; E6 B8 J# S; v. |0 O' E5 ^
: Q# V. b2 V" u为了求得使均方误差最小(因此最贴合目标曲线)的参数w 0 , w 1 , . . . , w m , w_0,w_1,...,w_m,w 2 V) D: v- q7 F; ~* q
0
* U( Z! f! `8 n( g9 W; Y5 A; `1 a- W/ m' p! g, p; N
,w
9 U  O& V( @+ Q/ g: y1
6 E2 j2 P& ?( y9 {" s+ y% G- I# [- s$ P( E6 m
,...,w ) t4 W% v3 m; ?' c
m
7 z) g/ @% M4 {) e- h5 v( a1 F8 x# ^0 q* t' l
,我们需要分别求损失L LL关于w 0 , w 1 , . . . , w m w_0,w_1,...,w_mw . m+ M0 {. x1 @: @+ A9 F3 [
0- R* v8 o+ o0 r5 Z

0 {. M# w  l# q( A- W ,w
+ a; x9 e1 d3 P1
7 n3 d$ u; v) z" s( X. u9 ~" v- k" E! X9 s/ a: t' ?
,...,w ' X# i3 e; M  m9 p0 l3 W/ K
m2 C, s7 g! f& k# I% r7 E

2 I- A7 q: J8 t( h9 w3 n  l 的导数。为了方便,我们采用线性代数的记法:
$ b3 c7 ^9 Q% M( O- z/ IX = ( 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 m 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ 1 x N x N 2 ⋯ x N m ) N × ( m + 1 ) , Y = ( y 1 y 2 ⋮ y N ) N × 1 , W = ( w 0 w 1 ⋮ w m ) ( m + 1 ) × 1 . X=- b$ R0 L- o6 f  ^
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1x1x2xNx21x22x2N⋯⋯⋯xm1xm2⋮xmN⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟0 C/ k( c( }( \# o6 d! X
(1x1x12⋯x1m1x2x22⋯x2m⋮⋮1xNxN2⋯xNm)
' q, x3 M% m6 u4 @_{N\times(m+1)},Y=
! V& l+ N$ p  `+ Z⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟
7 u/ ?! g, C- Z(y1y2⋮yN)8 b) _) T" f: d- f
_{N\times1},W=
; a6 ?; q5 Z4 r⎛⎝⎜⎜⎜⎜w0w1⋮wm⎞⎠⎟⎟⎟⎟
0 D2 P7 i3 }( ~! B(w0w1⋮wm)
, Y2 e, [( g* n9 z! Z. T_{(m+1)\times1}.8 s& O. I/ f0 c8 ?# D' ^
X= , u+ I) Z' O5 |' u

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, Z7 o& x2 Q9 X0 O, \
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( e# f8 [0 M7 q" z# IN×(m+1)9 {( V% h$ C+ m& ?) }8 L6 N9 F* M

$ @* Q: i( t# }/ |4 R* c5 V ,Y=
# i. f; g* y. M; N: ]9 r2 K0 m+ n+ d' b# s: K
3 T+ k8 r' `; g# u/ A9 ?
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3 a( l# b3 O4 e, {1 B5 z$ Y+ W# S3 b4 k! k8 ?
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! f/ h" q- w: {5 d1 }4 v' F! c
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! j0 F! D. v2 f7 Q/ A$ Q$ Z5 [8 p
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( K; c( i7 M' U5 Y: ?" LN×1
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' Q5 r( n% h6 a2 z/ R! E6 T% X+ A$ z
% }; h1 l$ X/ ~& Y1 M& A
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$ v0 G' O1 E7 P2 u% s3 ww 7 f: ^0 E, q( j' T+ J$ R6 ?: n; K
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" @. P, z7 b& l; a/ ^5 p: @m% P" L: f' f- U# h6 n. v) f; x& k
4 f4 R2 x" v5 i* K$ P

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, B' O8 U3 z& s' Z& [  R$ j3 K: @! ?, X- ~6 N$ V
8 z7 |0 L7 L" Q6 D$ h

5 ?& I, G5 t" c1 P& R& N' S  s5 i$ A& e8 z5 ]
3 q+ _2 k  P8 K0 k
(m+1)×1
" f! t: g6 J" r6 f9 T3 C1 P' ^9 c6 u: i
.2 K3 H8 t/ y* U: j9 }
' Z- u6 v% r! W9 c/ ~
在这种表示方法下,有& X: a+ s( N( Z0 H( Q
( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x N ) ) = X W .
3 X, g: j' ^3 B- q: X7 @1 x9 t7 E⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)f(x2)⋮f(xN)⎞⎠⎟⎟⎟⎟$ T( c  T; L# x/ y; ~0 `
(f(x1)f(x2)⋮f(xN))- n+ Z& R$ V, ^" I5 Y. {$ `: l
= XW.
" N! i# ~( a7 l3 K4 j1 T+ i! |) V. W! D7 s" T0 }1 d" M

8 X( X; b1 \# L
0 t: q% R8 e0 b* g; _
7 y7 c( E& r5 y# |5 _f(x 9 }; R7 \4 i6 E' `" |3 ?: `
1
. j2 Z2 f9 w8 [0 P/ n1 m2 o& }  \+ c8 a8 }
)2 l- R- v4 d* I5 }
f(x
) |3 C. N6 O% p2 F0 i21 V  U. Y- f# Z7 n& t# {+ n
8 Q& K3 e$ F/ X9 B3 M& c+ W
)" X% S$ S, |4 F9 v9 y9 O
! [) X% g. P: n: I; a8 z3 Q
f(x
% N1 j- z) N/ S. O  O) {$ [) kN  ], M6 V' q* p6 ^" A8 x

% c0 j" f# Y' D )
3 J* @  f: g  N- T$ _2 |9 F7 }5 {( g1 B* ^* Y+ c3 c
) J) J( y% O* Y1 w9 D% ]! ?+ Q

' \. \$ R# r) F+ J( I
9 f4 {# d5 D# k/ B1 ]
8 Z9 J& b3 f6 P# X1 N# B =XW.3 U2 F- x5 ^5 u+ j* N1 I

$ d# |: _4 s! ?* J. O& E如果有疑问可以自己拿矩阵乘法验证一下。继续,误差项之和可以表示为
  `- V0 ^- X1 X( f ( x 1 ) − y 1 f ( x 2 ) − y 2 ⋮ f ( x N ) − y N ) = X W − Y .
( l, f: G4 `, \: r⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟
; @* I; P: B/ m. g& D! A(f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN)% {: _% L) R7 s3 a' N9 S
=XW-Y.% X2 ?1 N. t5 v# A" J6 K
, g; L: F/ W% I2 `8 l
" J" K0 e0 E' `; Y1 B+ \

' T$ O- u+ \* E1 F0 t1 n1 ~0 M! v& ~8 |
f(x
& M% t( O% i$ q4 u1 @- [1
- J8 @4 m0 R/ I! T! Z+ |0 F" T. D" y( N! G# i( G
)−y 6 f$ F$ v; J( b/ ~* J
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( l; Z& o* }( p. M3 K8 L9 S! p4 I
0 P, |: r! D* P0 _
f(x " h( x/ I, R7 @% j( X0 Y: g
2
! Z6 X9 S/ j; j6 v* w, c0 k
! V, E( L0 [; C9 e  l% }/ J7 z )−y 3 Y: F/ o  d( }6 Y# X
2
; Y6 V5 V( T9 {% E" _! \, R8 L
1 ]* I; v2 g) y" O# f: w- w" z4 `' ]
; X) ]9 {* y2 K# U: N3 [; x9 l
5 g6 ]) P* }% Mf(x 7 M  w8 k  X$ @7 i8 a2 \+ n; D( Y. c; N
N  G; ~) b3 \8 D+ U
# l: m- u+ }7 _* S8 ^6 y0 ?  R
)−y
5 h+ J2 e0 `* vN
6 R* O! K4 v, D+ y( l4 f, G$ v9 H, f3 |) y- e5 N

2 I6 y6 e* s: c; Y2 ~8 c/ e8 w( l2 E; q  D, o' a5 K
. a' ]( M( f' t1 ]' R+ _6 a+ _4 a

! J3 L0 u, z4 {( v/ V6 [" _3 E3 L. C4 {$ f" d5 T
6 U5 ^* H8 j* T. m6 T
=XW−Y.
2 P' ~& O8 J  w/ x7 r1 Z6 _1 \' r" I% W* H' O5 E
因此,损失函数2 c' m7 y7 {! b0 ~( H
L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
) D5 y6 q6 U/ w  q2 s* a: Z6 O' \L=(XW−Y)
' g8 T/ o1 T  Y( vT
  J# U( z( U/ \6 Z* U) G (XW−Y).5 c. n- m7 f' `! V" T) c! h/ d

. {; a, `7 \/ l4 }  W(为了求得向量x = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T \pmb x=(x_1,x_2,...,x_N)^T3 |5 q+ I. y- b3 b+ }; R
x5 D' }6 e6 s$ F' k
x=(x
! p: E% r8 n: _2 }2 d2 ]1
6 H' y. v$ u) v, c7 H
7 [  H; S8 O7 v ,x & m* o! |! _8 I: ~+ v
2
2 c, M- L1 p3 C. Y4 P: j' x5 Q6 ]
,...,x
) R# i# q8 l1 \8 t( EN
5 b+ j3 p( Z: f5 u6 D
2 }1 n( N4 s) K& \$ `# {# Y& \ )
% E4 {; \% V3 Z0 u* I" TT
* u7 B6 W( U$ f3 ^0 T' p 各分量的平方和,可以对x \pmb x
: ~+ @: k- v! u: Px
0 p8 C0 @$ r) F  Xx作内积,即x T x . \pmb x^T \pmb x.
3 e( n  _. P$ k% i7 W! ax8 x' V7 ~! D0 G6 @! @- D4 z
x 1 m* }0 X1 l2 f) |. X3 z4 A
T
* s- q; g, b' o/ M4 u1 s3 a$ q2 T
1 ]. [2 |6 Z  Y0 }x
0 K( t6 `" U% H  p8 B9 {  wx.)
! ]. O, `  w0 {( V5 }6 Z为了求得使L LL最小的W WW(这个W WW是一个列向量),我们需要对L LL求偏导数,并令其为0 : 0:0:- R8 {$ O0 e1 I# ]' l
∂ L ∂ W = ∂ ∂ W [ ( X W − Y ) T ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W [ ( W T X T − Y T ) ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W ( W T X T X W − W T X T Y − Y T X W + Y T Y ) = ∂ ∂ W ( W T X T X W − 2 Y T X W + Y T Y ) ( 容易验证 , W T X T Y = Y T X W , 因而可以将其合并 ) = 2 X T X W − 2 X T Y5 I+ Q; v: E: E" U$ K: t
∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY  F; G/ D- C, A) \3 m; _5 d" X
∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY
. d! w& j& Y- ~- l7 _∂W0 |! w; h) ~; Y" X6 ]; ?9 _
∂L
: z  L: a$ c5 ^- ^
: |2 c' J4 O* d- z: c# H) N9 D; f# T1 N
2 p4 u1 `' J# P% h2 g% \

" y, O3 x( m, l' C3 w# ^3 z= : `& D5 P+ Y8 ?: u7 h$ O- g
∂W8 `8 T# V8 D0 k" S7 {8 b
% A, y. H5 S  s# Q* J+ R

4 Y# R( o, B2 j; a  A1 }4 k [(XW−Y)
# f$ b+ n. j, M9 ST3 x1 M$ |# D! L' G1 ?
(XW−Y)]9 i- \# {, w9 M5 B# i
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  G: e5 [8 [3 I0 z∂W
# P6 M# B/ U1 M' m* f
$ i9 p0 E% g3 _( y! ~( @  a
0 e3 t9 l# v- m, i [(W
$ `9 Q* ?4 z' `: ]' }  ~- WT% x# z2 {0 s0 d
X
/ ~: C6 [# t& {' H3 sT. u1 \/ {. k- Z3 p% @) Z
−Y
1 \, j% S' G7 ~5 _T
, P3 u4 R. z! k; f5 N3 m4 _0 S )(XW−Y)]
# l' O, }1 m7 h2 Z, m% x, G= ! s9 g  q0 t9 c2 O5 ]9 n
∂W
& j! p. {/ i, ^& H0 H% d: g! b% E3 b& n# D' u4 e
- D3 a8 U2 J. G3 m1 M. C  X
(W
( l7 u  @* v: Z, t2 ?T
5 u9 l0 [$ {  Q3 q( z$ _: S6 [4 T X 6 E: H8 Y( i3 A. ?0 p7 R9 ~4 U4 A
T
! e& B* T$ ^/ o# I9 c' c XW−W
# ^8 S, H6 J1 H7 e2 LT
0 y1 W; F" M1 Y* |6 @3 C X " {6 v, x& i% Y3 y; o% _
T
# k' K1 h3 |* J; I' ~ Y−Y
/ y/ G$ ~% E* _+ j! CT$ D9 ]7 Z5 \, o- w
XW+Y ' i0 o7 w# x6 @, p3 I, `  C
T
/ U+ s. i$ H9 M1 {$ C4 n: l$ ` Y)
, F2 m1 t) ], v8 w$ d. }= : ?" u) ]8 S9 v% P
∂W: N0 e5 j0 O) R; ]; o3 U) A
' P' }! R6 X; u; {5 c
4 \; s& r& u' g  W7 T
(W ) H  Q+ J- p* S6 z( r* V
T) S( n+ R4 i+ F9 _4 G
X
& r/ Y4 e# s5 Z7 ~. t9 O8 AT
: s8 @- C2 y0 [# M XW−2Y
9 J* m: L2 K' K# i( K( eT
0 M) M* p5 v- m XW+Y : w$ X# z0 y+ u6 E) c
T
2 g8 E$ i8 d6 B2 X: y Y)(容易验证,W 8 }4 E; |5 q9 @: ~. o: d( b" c
T* ~2 ^0 g5 \$ J. n  C
X
$ h' }( h  k4 x- r. bT
* \  y. h& n1 e- f/ N: S. V5 s, J Y=Y
; |* b8 M; q$ `8 H7 c# vT
3 ?% S  n5 ]/ Q# c" W% q$ O# @ XW,因而可以将其合并)
) V1 N! A2 l# B1 w2 L9 G=2X - p5 O) l0 t1 p: k' Q6 _
T# M+ N( s5 H! {
XW−2X 0 _2 f) e5 K: h5 S
T
; q$ Q' X2 F/ o) r4 @- [ Y) I" S8 K. Y% j& S# s4 [$ W

4 A5 q1 t1 ]: [: v8 }: r7 p4 Y! L+ x" A; |+ ?

: q( Z# x, a3 m3 e& u- H+ K6 ^说明:
) Q( _% u" ]& I8 y; D7 X, ?(1)从第3行到第4行,由于W T X T Y W^TX^TYW
' S/ T* W/ m! T# ]2 K. x3 QT  _& V$ n% [1 q* O- W
X ) ^7 G6 O# J+ _$ Q, K$ O- n
T
9 Q" w! Z. m, n$ D Y和Y T X W Y^TXWY
  x% S1 Z, ~3 s6 R9 X' n. BT+ o( |, `/ q6 Y+ [$ f
XW都是数(或者说1 × 1 1\times11×1矩阵),二者互为转置,因此值相同,可以合并成一项。& Y& g: Y3 ]8 x; Y0 J/ a
(2)从第4行到第5行的矩阵求导,第一项∂ ∂ W ( W T ( X T X ) W ) \frac{\partial}{\partial W}(W^T(X^TX)W) 6 b7 @* c( V( }' P9 E1 L/ r
∂W
& Z7 M) j! r4 S- S' Q: c, Z: @! D

- s  u1 Q5 a3 }) g (W # J, G" f7 m) D+ s1 C' H% x/ T
T6 Y- Q3 R6 Y( M8 E' _' i
(X
& s; s- e7 e$ u/ |2 s1 |: gT' h- r* y1 n6 E; v1 \% h/ b; [
X)W)是一个关于W WW的二次型,其导数就是2 X T X W . 2X^TXW.2X
0 h- v! v- H/ c$ O# J2 u( H/ XT5 R; Z, |1 o( u2 A0 K
XW.
% D2 C# `& d5 b/ v* _( I: a& F, G(3)对于一次项− 2 Y T X W -2Y^TXW−2Y
/ o! X1 L; p) U! \; z9 iT
( e' c; Y( E2 R* h XW的求导,如果按照实数域的求导应该得到− 2 Y T X . -2Y^TX.−2Y
4 l, b9 q" k! _( ]T1 }8 b+ i% F& O- n+ p
X.但检查一下发现矩阵的型对不上,需要做一下转置,变为− 2 X T Y . -2X^TY.−2X , _% F( G6 r, Z* l
T
- n# T9 y6 p$ p6 E( K Y.
7 \1 s% l& Q; `9 v
$ I: O5 n& x1 V% H) j7 j* D0 x6 a; M& a矩阵求导线性代数课上也没有系统教过,只对这里出现的做一下说明。(多了我也不会 )
: e1 H8 D+ `* t令偏导数为0,得到/ C. |, M! ^5 L4 C  f& j! Q* r& b
X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,
& t; O* q& K0 T. [+ i% c8 ~X 5 w) z; A; h4 s3 ^/ f
T- l9 z8 @( v" ~& p
XW=Y
$ d  }  K) D$ P* d4 r, T$ _3 [  WT
1 p3 Q8 Z' W+ r9 q0 T! `9 G: I" D+ e X,' H( L7 u) b) ~1 Y5 t+ L4 _6 M

( @+ M0 {/ [' A' I左乘( X T X ) − 1 (X^TX)^{-1}(X % ?2 j5 u  u# R1 W
T
0 z3 G5 ^$ ^3 c0 I. L( Y$ o X)
9 K$ |& D) x5 e8 w−1) k8 u1 }2 b! v+ Z
(X T X X^TXX : e! u" v( ?% }2 [7 V6 O
T& a% I: f6 t$ y. m1 |/ h
X的可逆性见下方的补充说明),得到: a! _/ W0 Z7 x0 W0 A+ u5 R
W = ( X T X ) − 1 X T Y . W=(X^TX)^{-1}X^TY.
1 f4 V2 _0 j& n$ f( u, d; E& R) jW=(X
. w4 d/ V" M$ w) V! _2 QT3 r% I! p) X) `
X)
" x$ y# S$ E6 N# ]  d−1
* F& \9 T5 |: b: O  R& }: \; \ X 4 p/ n; {) v. U$ }/ H2 n7 |
T
) i1 p0 W# p6 T3 u( Z4 g) g Y.4 l* f6 U2 Z5 w( z5 _+ [+ a

& z$ k" h' Z  S3 E# P0 O, V0 t% ?这就是我们想求的W WW的解析解,我们只需要调用函数算出这个值即可。8 u; z6 L5 X; x" l3 {
2 J3 D2 P  k8 o) J3 Y0 j6 _
'''
5 M2 e8 s* n3 z) J/ N1 B- }8 S( A最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
, }7 e7 W- q( S5 e8 K/ h. ^9 o最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)! F5 D" V8 }' r2 N+ ~
- dataset 数据集1 A& N8 d! W  l% O9 [' U: \3 v
- m 多项式次数, 默认为 5
/ G* F( Q; F7 c'''
, e8 c1 A! h/ M% o% @$ w% J& l9 W6 Kdef fit(dataset, m = 5):
# U  r5 P& H9 C5 Q! C# ]4 V    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
6 J) X+ c1 h, o; G& T    Y = dataset[:, 1]
. w# O4 z$ f$ F" H    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)7 [2 _* _& n( L% x
1
7 C+ d, m+ L, S& A0 T1 d9 G28 c- E. ]3 \6 N5 j' r
3
& V6 d( Q7 ^% h- H! U% ?, t4
: w* G4 M0 Q, z5 F5
5 R2 G7 ]& k# t. y9 ^6
/ ]! X, |* n4 ]' e, V3 p& r7
2 p  I; C' N/ H8
+ Q% H  U$ R1 e9 s" a9
4 M; `/ k, Q" U10( X+ s" x, P4 X
稍微解释一下代码:第一行即生成上面约定的X XX矩阵,dataset[:,0]即数据集第0列( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T (x_1,x_2,...,x_N)^T(x 1 i; n5 j; k; i6 H# Q' x
1
5 B6 m1 K; o1 n
' r+ I# z  V& D7 v+ y5 L ,x
6 Y* S3 y: N0 u' S/ v* D2
% e3 E1 M" s9 J' W
( L; L  o, T$ v) E7 {+ z ,...,x
3 d8 R' Y9 X, Y, ?8 l2 y2 YN3 O1 I. C& V. p' V
1 D( x" @' a5 N2 }3 S/ {
) / P4 {7 s% O# M. w- Z, f3 I
T
7 N. s) c2 T; M! ~1 j6 A1 y ;第二行即Y YY矩阵;第三行返回上面的解析解。(如果不熟悉python语法或者numpy库还是挺不友好的)
5 R& t6 W. W6 D7 }. V2 q
# d6 i+ ]4 A0 V" O简单地验证一下我们已经完成的函数的结果:为此,我们先写一个draw函数,用于把求得的W WW对应的多项式f ( x ) f(x)f(x)画到pyplot库的图像上去:
8 t1 q( q8 q& y) H' N& v1 H, `3 S* D! ~7 J5 k4 R
'''3 E; t/ B6 O0 h6 I6 R+ u1 t1 p+ w
绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像- X% [+ ]5 _' @  J0 A, H/ f5 D
- dataset 数据集7 s" F3 a. i! j. }+ J# Y2 B0 ]
- w 通过上面四种方法求得的系数
8 {, Y( K- B  @" j7 k& P4 f+ ^- color 绘制颜色, 默认为 red6 ~2 d( ~* g, G, f( s: k# h
- label 图像的标签
2 ?0 A; q3 I  L  _'''
8 q4 z3 _# n0 q/ ^, udef draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
. I' \! F2 z8 e) y    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T8 b! F$ d9 ~8 [- v( [/ H0 M9 M
    Y = np.dot(X, w)
  m: T; t3 Y, L: @) r+ \: Y
% S3 Q  _6 ]3 y! U+ }$ n    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)
# P7 w* N  p* d% n14 ^8 P% J! n9 Q% j6 A# m
2
9 X, g- o# Q# C. Q+ E* N* X1 w3
3 }9 ^0 b* R) Y4
! w) p; A2 o$ [) ]51 l  J5 n$ B2 x8 V* ^
6% X/ q% y! u1 }. o/ ^5 U& k& H7 F
7
7 z5 [# f9 f+ O2 u8
7 q. V& F- E+ M! G& F* U90 V- X, W" O& Y5 @' U# l$ C2 @
10* m& I- J6 ]5 X
114 t( y1 n9 P7 W$ g8 t
12
* X  Q# N2 p1 ?6 R然后是主函数:2 h9 z% I: ]! A1 v& F
4 p0 }! V" R: f  }% }2 f1 t
if __name__ == '__main__':
  o% G$ L3 M+ w) x  x    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))( [- G6 R, A/ t& p( X( l
    # 绘制数据集散点图
: G$ h" a3 @+ I' ?9 Q2 j    for [x, y] in dataset:' M9 R# O% `' C" R) e1 q8 ?& D
        plt.scatter(x, y, color = 'red')& z0 \% t& m$ t: x/ J
    # 最小二乘4 M' ^$ r3 C$ r1 ]2 r. m
    coef1 = fit(dataset)
, c. k1 a$ C7 F4 o    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')/ K3 G' s. Z- j/ f: n3 q( i1 a, H
2 @) t6 t1 R2 f, _$ G4 Z' y
        # 绘制图像. c) i" i4 y, T& Y3 [9 H* C
    plt.legend()
, S8 Q/ B3 c/ X! a    plt.show()
) a& j0 P! E8 |1
) t. k; v6 b4 g- p$ @28 f8 K  ]2 C0 @% }+ d3 U
39 I5 ]! _: J- h; D  D
4
3 b, h1 S0 e( @  G5 p$ l5
+ j0 p1 ^3 X) s  M/ O6
+ A, z# ~+ t4 f: a- G& Y7
) O4 I; P% S* D2 j8
# e6 B5 u2 T& p0 ~9
8 {! I. w* }% V' p' x( C101 n; \2 S) K& F2 ^1 N& s
11
( s$ F# Z; n6 m/ z12
7 r0 K: }$ g, z, \' s; i9 H& @' s# B; G  j
可以看到5次多项式拟合的效果还是比较不错的(数据集每次随机生成,所以跟第一幅图不一样)。" y: T: \: V! `! [' a( r) @
. A6 [# Q+ y# _% ~" h# C
截至这部分全部的代码,后面同名函数不再给出说明:! D9 \/ \7 o; h2 ?7 q& v7 @- S" ?5 D
& ^$ }4 I: d, P" z
import numpy as np
/ g# M: h) p! U2 `8 Vimport matplotlib.pyplot as plt
# _& r1 y2 T# O: x$ r. Z8 P
* l6 o( P9 E  D/ D! C8 t'''% `1 e% G4 v3 p& E; p- T+ L  y+ I" \4 m
返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]( ~' q( n2 ^& c4 U; t4 _7 A- L, i  p
保证 bound[0] <= x_i < bound[1].) X7 j* d0 p5 ]4 i" k% d. }
- N 数据集大小, 默认为 100
* \8 Q  s) O) e% }- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1]9 y7 X9 m- Q! [) ^  {( H1 ?+ {
'''& A1 z( ]' D  `1 S1 b
def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):6 {2 d; B! E* e
    l, r = bound
, J+ [' S$ b8 Y! l8 T+ w- L0 }" A    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)5 O/ Y6 x  l5 x+ h" @
    y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 59 u9 L; ~. o" S) v+ L- I
    return np.array([x,y]).T
3 q  _) [; w; t# w  y- F/ @, [/ ~7 E, e  }, L) L
'''
' z) B4 P$ Q4 c. t最小二乘求出解析解, m 为多项式次数1 ?! h2 q+ |- W8 T4 ]0 S9 R
最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
+ I* I+ c! b* l! Y- dataset 数据集
3 U# Q3 ?- s' l+ H+ O1 M- m 多项式次数, 默认为 53 o3 K0 ]0 }3 c$ Y1 l, k
'''& Z+ p% T! `; v
def fit(dataset, m = 5):1 g. R$ j6 n% ]1 y
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T. X, E& I0 ^- P2 @
    Y = dataset[:, 1]! Q2 u8 V) A- o3 `
    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)0 C  i# K7 L) |+ Y% A# {
'''
" A" `% y8 X0 Z, a绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像. i5 A+ P4 K! G5 f
- dataset 数据集
( R% R! m: K$ z$ G( W* n, `$ Q- w 通过上面四种方法求得的系数
$ H. L& k. L* Y  x- color 绘制颜色, 默认为 red! Q& w6 p6 ]1 s9 o5 N% C& j0 X1 |4 ^
- label 图像的标签* \# M2 I! m4 o% D: [
'''
0 I' a  F" x7 h4 N( Ndef draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
0 `: o% m2 h6 ?( |1 x: s    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T* j* t: n3 h8 X  P5 e8 X
    Y = np.dot(X, w)& S) Y' z+ N0 T, g

( ~" L$ X* |! B9 p# T    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)
" H0 [/ m: f5 ~( M
9 K) l" c0 w! Rif __name__ == '__main__':
, U7 X- F+ c. T$ c
1 Q/ T% c: J0 h: j% n( R    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
2 W$ C+ E8 Z( v* Y% g  ]7 g, f' ~    # 绘制数据集散点图; ~& H2 m: N% w9 L
    for [x, y] in dataset:
2 b# {4 V1 s/ `0 E7 O        plt.scatter(x, y, color = 'red')) o, E  {1 r) C  o- X

# g- V5 s& h3 N- m; P    coef1 = fit(dataset)3 _; X* D5 i2 \7 c6 x, x$ n& d
    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
4 }0 ~, d9 ^4 p0 m) y9 T
- V0 b( O6 u, c    plt.legend(): k( ]1 ]. a/ ~6 D0 K
    plt.show()1 `" e1 T, S8 M$ o' x4 I" L5 k+ J0 }

6 c2 D8 C6 @: K% S, P0 y16 T; C: _" d- n, |# e' ~
2( J4 r& n, k, {* H3 E/ |
3
2 E' M3 G; l8 ?' d% R( D' d4$ t' i0 Q$ x* u
5
* ?0 h+ D  d$ l5 U/ y  v6
' @1 L+ u+ o& r; S" s6 F70 A3 b+ b7 M  n5 M6 d. T% ?
89 X, o( q% j  Z9 x2 W
91 B- g5 W- P  c8 b
10
( ^3 ]% l; D) J2 s11
' v6 }) \3 ^/ f7 [0 a4 d1 |12
& F/ ?7 X  [% n5 Y. g13
6 Q+ v7 d6 R- ?& L14
7 j7 k! q( p8 r9 V( ]2 X! z0 n15
0 D7 o4 w) [, B$ D16- I, q" U4 ^, X# `" f* V
173 I2 V2 {$ i+ t7 P' t& ^7 L  ^
18/ `3 w2 r; B( l6 _
19( l( ?" ?; H9 v5 F, J3 [
20  E( x1 c  ]% g5 N
21
+ B' {, o. a: e8 a% U221 t* y" w0 p0 L( {$ \
235 V" O1 u4 J  B' r$ b" K! L: T
246 y9 S1 {. @9 u
255 S/ v, H' ?& i% v; d2 ^: }
26
7 _  }+ G  W0 M4 m3 W4 c- B27
2 q+ v' K7 B: p2 N2 F" w! X28
8 Y9 ], ~& E; L8 b7 @29+ k8 r6 t: a8 _+ d; u) ?1 H. d; X
30
( M& D- g5 U7 ?* o31* |; o/ Q, d- h) Y
32
' S1 u' P4 M2 B' g; R33
7 D% t! r. k1 A4 Z' k9 S: B34' [$ \; ^' G9 [: b8 f( a
35
1 z9 I1 I7 p2 U7 G3 `- S365 q7 }' G! ^. J
375 n! z7 l  \8 w0 ~6 c
38% o$ K' ~5 o; b( Q8 X* J
39/ D; @! m7 r1 U9 D7 T
402 R  m9 G1 u: B* M* d8 \) ~( t
41
$ F) t' O; v7 J8 H3 g1 i42/ J) F# f4 D8 @, X5 {$ X' y
438 b2 K) V* b& n# F" Q# v
44' U/ P5 R# \  p8 z( i. {
456 e9 S9 r! `; D
46
, f' `0 D  h5 }5 t479 H/ J  o! Y/ e2 \8 `9 y5 B" P
48
# h% \1 v8 X! ]) e49) u; O- m" r' U/ J) E, ^/ h
50
* K4 ~5 ]% N# k% z补充说明
/ K1 _; y4 v: \0 J1 Y上面有一块不太严谨:对于一个矩阵X XX而言,X T X X^TXX
! p0 D5 v  V9 v5 l& sT; c4 N+ z; [' J9 A
X不一定可逆。然而在本实验中,可以证明其为可逆矩阵。由于这门课不是线性代数课,我们就不费太多篇幅介绍这个了,仅作简单提示:
+ U  _  [# t8 E(1)X XX是一个N × ( m + 1 ) N\times(m+1)N×(m+1)的矩阵。其中数据数N NN远大于多项式次数m mm,有N > m + 1 ; N>m+1;N>m+1;
# Z+ w0 `) z: a( f: s0 p(2)为了说明X T X X^TXX
# W/ Y1 f! n$ [8 P: P( p, T8 MT
. s& U1 j: [4 l0 Y3 G6 t+ U X可逆,需要说明( X T X ) ( m + 1 ) × ( m + 1 ) (X^TX)_{(m+1)\times(m+1)}(X 1 i* ?# v8 t; ?6 e
T
8 L. C2 q" N6 x: B& u X)
$ ~4 O& t1 \) P, H(m+1)×(m+1)
, T: f5 X5 ^  S/ ~( c. W% x; p. _9 T$ A" P) r9 }
满秩,即R ( X T X ) = m + 1 ; R(X^TX)=m+1;R(X : Y% X# Q/ w9 I6 x& ~
T& a3 ]5 V* c$ E8 O
X)=m+1;
  K8 o! P2 ]! L(3)在线性代数中,我们证明过R ( X ) = R ( X T ) = R ( X T X ) = R ( X X T ) ; R(X)=R(X^T)=R(X^TX)=R(XX^T);R(X)=R(X 7 [& b; `* ?! k% Q
T4 a2 j6 w4 i* U; G8 x
)=R(X
( g6 m; `, r+ Y; eT
! [$ \9 e5 A8 B X)=R(XX
$ q1 B3 ]- W2 w% |3 p0 v+ c* Z/ m9 fT6 i  d9 v5 ^" N1 X, Q6 d# ~! n3 f+ X
);8 f- i( Z6 S: N0 z$ ?
(4)X XX是一个范德蒙矩阵,由其性质可知其秩等于m i n { N , m + 1 } = m + 1. min\{N,m+1\}=m+1.min{N,m+1}=m+1.
$ P% t% g7 B; H/ p
- _8 z) b: f3 c4 _0 e) g& ?# |6 U添加正则项(岭回归)
, @* P6 h; A$ G) v; G2 C最小二乘法容易造成过拟合。为了说明这种缺陷,我们用所生成数据集的前50个点进行训练(这样抽样不够均匀,这里只是为了说明过拟合),得出参数,再画出整个函数图像,查看拟合效果:: f6 h1 k% r  f( Z$ S% u. l  Q
0 p1 i7 |  Q$ }  j3 w
if __name__ == '__main__':$ O  q" Y# t# Z9 C
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
  k! j8 E! p4 d0 x    # 绘制数据集散点图5 m+ X3 f/ V/ a+ M( n+ g: u! V
    for [x, y] in dataset:) |' f9 F& t) A1 r" B
        plt.scatter(x, y, color = 'red')
) {8 n* M& {* O( O. w9 |" u5 j    # 取前50个点进行训练- ~  o4 i. j/ c9 o# e+ _3 p
    coef1 = fit(dataset[:50], m = 3)# @) O! K' q1 X+ O
    # 再画出整个数据集上的图像) Q1 H9 b+ f2 s$ E- T) j
    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')+ w3 d, q8 N7 |" ?
1
" o1 R& u! d- H! a1 X  i+ ^* j# I2
. X/ N% ~7 N: Z35 d1 r9 s& ^/ f* @; e
4
, _) U+ ]8 k* Q3 U: C: \. ]- T5/ g4 x& H( G. D+ I' Q4 [
6
* f9 P/ N: @2 Q3 n2 @/ E! {+ H3 J7" z* X* B/ K4 ?& {. C
8
" {8 e9 X) O/ M. g& m9
  `6 J# _  W; M: S2 P9 _' X: U. |1 [' F: C
过拟合在m mm较大时尤为严重(上面图像为m = 3 m=3m=3时)。当多项式次数升高时,为了尽可能贴近所给数据集,计算出来的系数的数量级将会越来越大,在未见样本上的表现也就越差。如上图,可以看到拟合在前50个点(大约在横坐标[ − 3 , 0 ] [-3,0][−3,0]处)表现很好;而在测试集上表现就很差([ 0 , 3 ] [0,3][0,3]处)。为了防止过拟合,可以引入正则化项。此时损失函数L LL变为; i6 y6 o- ^; I2 X" i  h% n
L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) + λ ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 2 L=(XW-Y)^T(XW-Y)+\lambda||W||_2^2
, O. }2 M0 n2 i: RL=(XW−Y) ' D1 {, x% `3 }- A. W# r
T
8 x% ^* U8 r0 { (XW−Y)+λ∣∣W∣∣
- g6 r% Y; h, F, j6 d: n, e$ j2/ G6 R" P% @5 d1 x  g. x# T
28 Z/ ^2 O8 G# `* e; o
3 C" v1 l" d/ ^7 d

2 @! C/ i' x4 H2 Q6 k$ n: W. Z0 I
其中∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 2 ||\cdot||_2^2∣∣⋅∣∣
9 L; R  R: w0 o- W, Q2
7 F4 H; z# S2 T2" X( K& g6 q3 ^, i. r2 _3 l

! A) X6 v' \6 e" W/ X, q 表示L 2 L_2L # ~* {: n7 e# U/ {( _) M
25 l! h4 n6 l; H- x% n
9 j8 z8 x8 i5 Y
范数的平方,在这里即W T W ; λ W^TW;\lambdaW ' v* H( E' Q4 M( y  e% A5 ~
T. v% Q- W( F& M% I. [8 W
W;λ为正则化系数。该式子也称岭回归(Ridge Regression)。它的思想是兼顾损失函数与所得参数W WW的模长(在L 2 L_2L ; C! f+ |% k0 T! X
2
) z- r0 g( |% A) Q; o; f0 H
2 T* y% Y0 |, U8 x  B 范数时),防止W WW内的参数过大。
" o) y  v) y& s/ Y% ]( g. G+ o& F# t+ |6 G" N6 s
举个例子(数是随便编的):当正则化系数为1 11,若方案1在数据集上的平方误差为0.5 , 0.5,0.5,此时W = ( 100 , − 200 , 300 , 150 ) T W=(100,-200,300,150)^TW=(100,−200,300,150)
8 {' p- V9 X  E4 j0 y4 B, @/ `- R* OT; z& p& G2 K. J; W/ F5 c# `
;方案2在数据集上的平方误差为10 , 10,10,此时W = ( 1 , − 3 , 2 , 1 ) W=(1,-3,2,1)W=(1,−3,2,1),那我们选择方案2的W . W.W.正则化系数λ \lambdaλ刻画了这种对于W WW模长的重视程度:λ \lambdaλ越大,说明W WW的模长升高带来的惩罚也就越大。当λ = 0 , \lambda=0,λ=0,岭回归即变为普通的最小二乘法。与岭回归相似的还有LASSO,就是将正则化项换为L 1 L_1L
/ t/ q, S" L, R* h0 A; ^15 ?1 s  e% F; a0 h1 s5 s

  p" L# t) A  D, t. C  Q- g 范数。. D# o' x( p3 r' A* J. h1 c
/ U+ `4 E" S- n8 V7 B
重复上面的推导,我们可以得出解析解为( t9 `! d5 j6 W( E2 K
W = ( X T X + λ E m + 1 ) − 1 X T Y . W=(X^TX+\lambda E_{m+1})^{-1}X^TY.
7 A  q1 Y. ]1 k7 h9 H; `W=(X
/ T& U: D; A/ d" v: K& YT2 R1 E- w0 \. ?" z3 K, n% V, S( A
X+λE
4 S' H) z* `# M8 R# y9 k2 ]8 K3 fm+1
. `6 i$ F9 k9 `: ~! ~, c. W6 Q+ n0 I
)
5 c1 Z  y$ o  l$ K* q−1
; O- ]  z7 \/ ?6 z' \" k# j7 Q$ _& A X
+ L) Z/ `4 }( j( |  b0 qT, \+ `# `. K: |/ @! }
Y.4 Q9 Y: p8 }, ]( e2 A( u
; g9 W, ?; e4 C( l
其中E m + 1 E_{m+1}E
/ p/ M1 w! t& sm+1! J# I8 j+ M; O+ U
3 Q* J3 W1 `3 b4 E
为m + 1 m+1m+1阶单位阵。容易得到( X T X + λ E m + 1 ) (X^TX+\lambda E_{m+1})(X
) e" H& q4 X8 ^0 rT5 f. r9 I" ]5 h
X+λE ! {* v* F8 }1 g- X8 H3 d
m+1
$ B% q2 F& U' a: G8 X1 B. E& m
3 y  E: Q- x  G: ^: c )也是可逆的。
4 K' C- C* n$ i" _6 R* Y* Z# w, ^: Z: O) T6 _
该部分代码如下。
+ u' c+ `* x, y# c6 X* X) k: x" y" m8 l% D6 o7 u. K
'''
4 H9 x0 X% J4 G岭回归求解析解, m 为多项式次数, l 为 lambda 即正则项系数1 l% ]; i$ J) |- ]5 r2 F0 R
岭回归误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y) + λ(W^T)*W( N4 H1 ?" c4 {& I4 }& |7 s
- dataset 数据集
9 @3 T/ i- e) r5 [, d3 m- m 多项式次数, 默认为 5
7 I8 _) b0 x1 G  |$ G- l 正则化参数 lambda, 默认为 0.5
/ x- h5 C. F/ f, x, s- b7 M'''8 r/ A& V$ L1 G- m
def ridge_regression(dataset, m = 5, l = 0.5):
6 E9 [% O/ U( r! m) |5 }    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
8 e, z5 x* l. p3 U    Y = dataset[:, 1]
! G2 S' y% d/ D8 `5 a- j    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X) + l * np.eye(m + 1)), X.T), Y)
. p" {0 f/ c  [9 H) [" U) l1$ j) @2 _' q5 H" b" i
2
4 o; o# m( e' i+ N$ c' M3) i* o# s7 |" I# E0 h
4
/ M: K! m# K. B& q5
+ `! Z( P- V& W: ^8 u; C6
) z; n# c; j4 Q5 }  [6 L: t0 Q: s7
- M9 |( s: m1 N+ A8
+ q- X2 W6 P) S; \8 {9
5 c9 e# T, @3 R- E  H, |  t10. U6 H* ^5 s0 u5 v+ ~
11
$ _+ P7 g& v/ B# J两种方法的对比如下:* g# ]! s- g- V

8 B( |( e0 i- d; V) W9 U2 e& a对比可以看出,岭回归显著减轻了过拟合(此时为m = 3 , λ = 0.3 m=3,\lambda=0.3m=3,λ=0.3)。
+ v% \* y3 u- |: w
6 j% w" }3 W  _: {* ^) J2 S8 \0 B梯度下降法/ F1 G4 z8 ^% M' n
梯度下降法并不是求解该问题的最好方法,很容易就无法收敛。先简单介绍梯度下降法的基本思想:若我们想求取复杂函数f ( x ) f(x)f(x)的最小值(最值点)(这个x xx可能是向量等),即+ b/ Z3 R& N6 I% o9 }) O, c
x m i n = arg min ⁡ x f ( x ) x_{min}=\argmin_{x}f(x)
6 [  v; U6 _  s. L3 n. q. Vx 9 `+ U" @/ U2 ?5 k8 I8 n! E
min# Q" i5 J4 y4 A# x0 r: i

/ L* q5 K* h# j. r. b$ t = . s- K4 E; O2 R/ a; A; o$ M) h) F1 D
x: i% U, V% \# V4 s# ~9 K, i
argmin+ Z; \6 Y1 Y! y' C9 O
8 X. `% v) H& H- J/ H
f(x)
9 i4 ~/ R4 \% j4 X+ W9 `2 u2 m: g) s/ n7 V! m
梯度下降法重复如下操作:
; j6 `2 j" j) |+ p& M: L7 U(0)(随机)初始化x 0 ( t = 0 ) x_0(t=0)x + s6 z- \* I& W+ b
05 T7 o% _8 Y: o6 {: h. L1 N+ b

2 u0 ^% ]7 |. B0 v (t=0);' D$ N3 R5 W" ~7 `- }( w
(1)设f ( x ) f(x)f(x)在x t x_tx 4 |  ^0 g9 g# u0 z, ~3 {
t9 Q# K/ v6 b1 ]* l

- u+ a/ t/ M& U5 R5 p 处的梯度(当x xx为一维时,即导数)∇ f ( x t ) \nabla f(x_t)∇f(x
( X+ U7 f! X& Ot% ^- V( n' K8 @/ E3 o

' ^' q- S$ i+ I: t; [ );: N# u% X' u' h. ?
(2)x t + 1 = x t − η ∇ f ( x t ) x_{t+1}=x_t-\eta\nabla f(x_t)x 7 r3 H7 u; T: D
t+13 ]" k" b9 V, q
' k/ O' r4 Q: x/ ~
=x
! D) x+ Q% ?8 M: s7 B+ v8 st
4 P3 J& U8 ]" [- H( C4 G, d0 |! w, r& U0 u$ |( R4 q
−η∇f(x
6 L$ W& R6 {5 V% @! |6 Tt% e- u& J" w+ B( ~

. e0 \) V" s; x  V& T' `# n9 l9 N2 C )
; z; t- c) z$ k  c5 `4 k7 K) y0 V2 c(3)若x t + 1 x_{t+1}x
; Q9 r4 l* A( F/ ?, w" i& Ut+10 }9 N, @, q0 G/ H: s

: A% R. N! E: p" [  I5 G3 ] 与x t x_tx $ K1 x$ }9 B& M% F" }1 K; O
t
0 L% J- f6 u0 K( ?; a6 R& G" T' t! m; p2 J, x0 p
相差不大(达到预先设定的范围)或迭代次数达到预设上限,停止算法;否则重复(1)(2).6 ~" m+ X3 z+ A2 W( o5 D6 M9 H

* k. [: c. r$ f" M/ {  D2 G其中η \etaη为学习率,它决定了梯度下降的步长。  `8 i& M9 E" r3 X( G7 `
下面是一个用梯度下降法求取y = x 2 y=x^2y=x
, \9 R" p' C7 |! b1 w1 l$ G# c2
) n7 A/ e9 k7 X7 e% G7 R 的最小值点的示例程序:
4 @) \/ c, g% N! I' G% Z) L* A) L1 p4 |1 d. ]
import numpy as np
" a/ L! H) ^2 Qimport matplotlib.pyplot as plt
( |7 S! K2 q% x! T4 D) A5 s5 h  ]" k  D, J; f
def f(x):, c0 g0 k7 @& x  o+ S
    return x ** 2
" X" s' `, U* l, \9 M
/ i: ^; O, ~! k) Ydef draw():
- K5 _9 w. ?* D  X) p3 g    x = np.linspace(-3, 3)
' i" N$ G2 c4 \% \& p- g! r6 J6 D    y = f(x)0 s# Y5 D# S, N' B4 q# [
    plt.plot(x, y, c = 'red')
; W+ O" K: K+ j8 E. }. Q
( a' e) R0 Y3 E5 ]cnt = 0
0 A. F% B2 o8 x' j+ [* A# 初始化 x* @0 {5 O5 i# R- v! I0 z0 S2 q
x = np.random.rand(1) * 3
/ U+ s! r% x+ }7 ]& Olearning_rate = 0.05
0 Y( Y* g5 Z& C2 b* {  J) c' y' ^/ S7 }6 K* n5 K
while True:
6 n! X9 K* ]- u    grad = 2 * x
% S! d" u) ^( ^8 E' g    # -----------作图用,非算法部分-----------
% K& ~) U- g9 c" @  v) T2 _    plt.scatter(x, f(x), c = 'black')
9 Y5 B( M& D: q    plt.text(x + 0.3, f(x) + 0.3, str(cnt))
5 f) N. P, R' f: S    # -------------------------------------# q$ [- s# v2 v0 O5 G0 X" B& b* ~
    new_x = x - grad * learning_rate
& ]; v9 j$ k" T/ j: S7 b    # 判断收敛# D  h0 g* D: m' N% D
    if abs(new_x - x) < 1e-3:
$ ?& _( z8 ^. Y: y( ]3 H% a/ p4 C, [        break
0 G, }; ~2 j" b2 L3 ]0 S0 b7 s6 b; m. \$ H$ G
    x = new_x! E4 _6 _" ?& U1 l8 N% U
    cnt += 1
0 v0 z4 W, T; d" F8 x# o1 C* P
7 G* H9 }/ o8 M) K4 g) Adraw()9 z, o! }3 k* g1 Z9 Y" @2 Q
plt.show(): R9 S- d3 Z, J. F- C/ Y/ T8 A

& r0 f" O3 l) ?$ ~+ ?; K1
# H' U- v1 v$ Y1 `) z28 n4 m# M6 D8 W/ B
3
5 d8 X$ W$ o2 m, ]4
( r+ x' ?4 N9 S' P  a58 f/ O  p7 ?2 }/ B4 `6 K0 S( T  C
6
8 X4 G, F7 ~: |! G" t: U/ M74 t5 B2 k! }# b' E( X
8
* {; |2 E* T3 L( u/ P/ S9" O3 Z' ^; H; A4 a
10. o( `5 b, g" N( C8 [
11
. Y) n5 C" e) o% ]( Q2 a12
, n$ P' ^! {7 _% W13
. b: S4 v# [" t! h14; E3 P  I- H4 X
157 p' R  @& R% B/ Q4 P
166 _' A( \& J6 K. w! v  S$ r$ q
17
- C; d" |: H+ h& ?3 B# U% e5 P1 P18# T4 N$ q2 u" H! |
19
, r$ ]  O. r7 c8 R4 _8 C20, p2 T3 z  a+ z1 P1 l1 }; C0 f3 k
21& n( J4 g; F+ \$ c" G, f7 _
221 z" u7 a: r* z  Z/ T, D5 o1 ^+ j8 f
23
% V3 w4 O1 d, Q7 a24
/ Q8 j, Y# W# q8 E3 m/ H25
0 V9 @/ d3 G" C6 }264 ?! t' ~, a" ^' {  l3 v
27
' t% I6 S7 M+ y& ]3 a& f0 n" l28
0 c0 U, B- R: q9 M297 c- U1 q. z& h
301 m- U( V/ G  J2 t9 `7 J" H
314 i+ ^2 u0 ?, Q8 J- M# M4 \
320 B9 ^; K$ {( z
& n4 d5 L7 E; K; m9 V: c
上图标明了x xx随着迭代的演进,可以看到x xx不断沿着正半轴向零点靠近。需要注意的是,学习率不能过大(虽然在上面的程序中,学习率设置得有点小了),需要手动进行尝试调整,否则容易想象,x xx在正负半轴来回震荡,难以收敛。- {6 n# T8 N: F

: e3 J$ f# q- b! L! I在最小二乘法中,我们需要优化的函数是损失函数
5 `- _- L& M% s: O& i, M6 AL = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
- O6 A' ~; }- O# gL=(XW−Y) ; X' P- D2 v* t2 y7 [
T
5 Z) i3 Q3 C) L$ Z+ c' @: C (XW−Y).5 ^& Q$ {0 V2 l. u# r% R
9 Q& k+ E' J6 @
下面我们用梯度下降法求解该问题。在上面的推导中,  W# j0 x3 i. k
∂ L ∂ W = 2 X T X W − 2 X T Y ,0 Z6 j" _" q6 W2 e0 v) U; B0 l3 i+ B; H
∂L∂W=2XTXW−2XTY
' x: \! X5 F1 ?# d3 a" m! [" S2 m∂L∂W=2XTXW−2XTY1 K6 z+ m  W. O& C% M2 g/ N
,
  B! y( e2 s- H/ D∂W2 i1 D8 U: x9 \% A
∂L( N: a5 c3 Z/ u

  z$ Z( |$ Z- p+ t- j =2X 8 d- T0 b1 h) B
T. k1 ?; u5 N4 d. L4 v1 r7 n
XW−2X
4 Y' R* g7 X3 N: GT5 a* M& g: C% R. A7 p
Y
( J9 X. ]# }: W2 l7 C- c% `# y
; G3 e5 e5 t& `0 N1 s1 v% M$ z ,
  W  W( b' \  }4 p: v2 d/ ~: M- d$ [/ r
于是我们每次在迭代中对W WW减去该梯度,直到参数W WW收敛。不过经过实验,平方误差会使得梯度过大,过程无法收敛,因此采用均方误差(MSE)替换之,就是给原来的式子除以N NN:
1 p, j( h8 T3 Q+ j3 A  b: i8 c: e; M0 ], ]3 S- }4 T+ k
'''1 ^2 ~3 h0 |# z! S, R  m1 c
梯度下降法(Gradient Descent, GD)求优化解, m 为多项式次数, max_iteration 为最大迭代次数, lr 为学习率+ U" k$ [# e6 H# d* B
注: 此时拟合次数不宜太高(m <= 3), 且数据集的数据范围不能太大(这里设置为(-3, 3)), 否则很难收敛
% `+ b" z) _! F1 z" _+ ?/ Z) _' {- dataset 数据集
8 t) ]- }6 Q! A1 d! D- m 多项式次数, 默认为 3(太高会溢出, 无法收敛). r, S; @& D* ^/ M6 W% A
- max_iteration 最大迭代次数, 默认为 1000
1 m& U  x6 u2 H  {/ l- lr 梯度下降的学习率, 默认为 0.01( Y, C( U# n) b4 h% h
'''0 k. k6 P5 N5 y5 F
def GD(dataset, m = 3, max_iteration = 1000, lr = 0.01):
" d/ u7 L7 U8 e( |# P    # 初始化参数* W& W; f0 I& b. [8 u3 F" h  V5 _
    w = np.random.rand(m + 1)4 I1 s& X! z4 P. P1 g
- M  l6 A: _; t6 ^7 [- T. u
    N = len(dataset)
1 E6 |( s0 q+ J    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
' l$ z$ l7 L- X0 P- Z8 }    Y = dataset[:, 1]- [2 b& M' V% W: u3 x6 U
1 M& N1 |6 ?9 ~# I0 H
    try:+ K7 z0 V+ [+ \5 f6 ]- _0 h/ T
        for i in range(max_iteration):* m: Z. c4 d+ l9 h
            pred_Y = np.dot(X, w)
3 h" ~0 z. k" x            # 均方误差(省略系数2)
/ r% V' [! l# K2 b/ g1 w) I6 H            grad = np.dot(X.T, pred_Y - Y) / N
( T. u* p, [4 K2 I; m            w -= lr * grad, k, X% M" g" A
    '''
0 N2 ?6 }  M, P0 o; o: L4 t; P9 D    为了能捕获这个溢出的 Warning,需要import warnings并在主程序中加上:
# m- ?. a! R' |    warnings.simplefilter('error')
( q. W, j  f" `& a- P3 e/ a) y    '''
: c' \0 e( V, ~    except RuntimeWarning:: N+ m2 N% g3 J. L1 c
        print('梯度下降法溢出, 无法收敛')" |! v& H) h# L* Z4 P

+ F  c+ b7 F. g5 N    return w! t: Y5 b. L3 b' b7 C- ?; a0 `& @6 l
+ l. D# G3 w8 f3 `: G
1: ?1 u( j& q& M
2
1 O9 x! G8 F0 v4 T- `0 O5 V37 P! O0 ?0 u, z4 J3 N
4
$ Q. P0 V' n; q: x7 M6 f6 g58 l. z  R3 v5 ~
6$ z" f, H2 `3 [7 X
77 d! X. n: Z: F; ~
85 d+ X5 E: A5 p
93 H+ S; z$ L4 Q, s( [  U
10
$ @6 ~5 `4 l& Q1 w! h: Q11
, r" e9 R. f3 c2 t- N  K, x125 }" [% J$ y) [6 W" ]
13% h2 b8 f  Y" q' B3 [0 F: s: P
149 S5 f. R5 x4 q9 k' s
159 E( c) D- [  w+ d
16' m8 u- G, x, H
17  }% n  [8 t) a
18. N& ?' Q/ ?7 X% |
19
- Q" N* S5 r5 y20
. Z; M3 v& U0 A3 Q21
  A3 ^, z, x: h& L) ?( q22: y( @/ b1 D- l4 U
23
  D# C" `6 e, g) U  m24
3 D: G: Y) P* ~' W25* ?; h- Y  Y8 V) u# R8 U
26! l1 w) P3 j& J
273 d2 B; F# P7 N7 {2 X
28) J& ?; E1 l/ S
29
1 t5 E$ c7 _. A" t" E30
4 ?# f! \# i. ]这时如果m mm设置得稍微大一点(比如4),在迭代过程中梯度就会溢出,使参数无法收敛。在收敛时,拟合效果还算可以:, H: g+ J" h5 A' d5 e. t6 L
6 _+ w( H; L( V6 m

% Q) k9 u0 q% h; p. b& z3 L共轭梯度法
! H9 u( D' d+ s& D6 F8 v8 g共轭梯度法(Conjugate Gradients)可以用来求解形如A x = b A\pmb x=\pmb bA& `( K7 k& J; t  A2 W% f) o" z
x
/ L: T& L$ n  ?1 Ax=
, g- J  T# @- \3 F# y' K' kb
( p  B' `# @" O. I; i9 c6 d0 X2 p! yb的方程组,或最小化二次型f ( x ) = 1 2 x T A x − b T x + c . f(\pmb x)=\frac12\pmb x^TA\pmb x-\pmb b^T \pmb x+c.f(
1 v  Y" w. m  m9 I0 y4 wx
/ }3 e' ~' Z9 r  Fx)= * a& ?6 Q$ G' o" u  y, {4 w
2
2 A3 e% ~$ ^- T% U/ [- F1/ u9 Y7 A5 d3 h! F  q( t
' Q; C* P! s& L' ]- m% K2 c9 c
- b; \- a: {; E0 M- E& N# {! z+ {
x
; O" m6 }' e1 U) \$ @/ d0 B2 F8 Jx
( v- O0 w: u1 u  t  j; lT
/ U8 X+ a# u; \  L! U# X' p A
( o. {& z) S: \9 D* g1 D6 Wx# C, d, E2 G" ~( [
x−
! I+ f; A& H" O% Ob
  ?' M; ]$ A! T# Y; mb 4 I- k% M) Y8 `1 b8 X1 N
T% \# e; Z6 ^0 [% u4 N. u8 q5 y. i

# X: ?; s& r7 s; f4 y$ ix3 z% t5 [, u7 J; U: g! z8 a5 ~
x+c.(可以证明对于正定的A AA,二者等价)其中A AA为正定矩阵。在本问题中,我们要求解" g7 [. V  X& t! ~
X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,  e( J+ e' i+ S) N. U4 t7 k) C
X
3 f/ y6 r" V/ J8 K# ST5 D. G6 u! G9 f5 _" Y
XW=Y # m8 i: F; K6 `7 h7 d+ c) j
T
' B: w6 X! y% n X,
# }* c' V6 X# K% q7 G# @# d4 @0 @6 G
就有A ( m + 1 ) × ( m + 1 ) = X T X , b = Y T . A_{(m+1)\times(m+1)}=X^TX,\pmb b=Y^T.A - g1 M( u; d# Z9 X5 b
(m+1)×(m+1)
  F2 M4 R" x6 B) ^2 P- y2 N' c' h& L$ ]+ Q3 B
=X
6 ?- X) H4 k; K/ ]/ V  e3 dT6 U8 ?% v1 J2 o3 O0 W' |
X,
% {! b' N6 f  n) ~. yb2 S+ t5 ^2 C  q2 n- q
b=Y
, \+ V8 L' \0 [* ^T- A3 O( p7 m; M# o% b1 M
.若我们想加一个正则项,就变成求解
0 Z: Q, a; m% o+ O9 L( X T X + λ E ) W = Y T X . (X^TX+\lambda E)W=Y^TX.
* n- ?# X* |: D9 n5 c# J(X   `* n% w! C+ z
T4 A( |# Z4 N+ [2 h& a
X+λE)W=Y # B! I$ V' x( P8 I5 _
T# o. z8 w2 M$ R9 Z5 m
X., _9 z: K. P1 |0 L
- f, N  j0 f; D  r4 J
首先说明一点:X T X X^TXX
7 Y6 d4 N; E" v4 V; R$ ZT, |8 h( G1 [4 e
X不一定是正定的但一定是半正定的(证明见此)。但是在实验中我们基本不用担心这个问题,因为X T X X^TXX
8 C; N' Q1 i+ Y5 C" f" j" ]T' c& b% ?/ o4 i: ?/ Y
X有极大可能是正定的,我们只在代码中加一个断言(assert),不多关注这个条件。# G3 _: [7 {/ ?: y$ c7 h; m
共轭梯度法的思想来龙去脉和证明过程比较长,可以参考这个系列,这里只给出算法步骤(在上面链接的第三篇开头):, z2 l3 |% W/ ~( d( k# }+ p9 S

. E, P* A* E/ p! u: {+ @(0)初始化x ( 0 ) ; x_{(0)};x
4 {, s! ?6 |1 a+ y(0)
+ C7 x6 f' R7 M0 S" x) B* T. I" O& p* J# f5 C* r2 b8 c; O
;
2 V3 V0 O/ R# l2 p0 M8 g(1)初始化d ( 0 ) = r ( 0 ) = b − A x ( 0 ) ; d_{(0)}=r_{(0)}=b-Ax_{(0)};d 8 ?7 N& }) n& D4 O; L* C7 K
(0)
# X# o0 C+ M0 ^/ q' |7 A& {7 r/ X7 ]8 }' ^7 [* d
=r 2 u8 g6 T( b- ?) b3 s0 [
(0), O1 a  l( W. M. H& v" b0 c  l

8 S! a% T) G% X =b−Ax 6 X) [* h& Z! i
(0)- k. U* F, g9 Y) u* s" b- ]

0 H" v" t  x; v3 u2 u ;
2 K# g3 \. G+ w3 b$ ^! a3 C) [(2)令
- w7 i4 `0 i" M& q1 v+ y9 [* J( Wα ( i ) = r ( i ) T r ( i ) d ( i ) T A d ( i ) ; \alpha_{(i)}=\frac{r_{(i)}^Tr_{(i)}}{d_{(i)}^TAd_{(i)}};# Y, F4 h! U. |; j
α
* `( Z& v; `6 r- N& H(i)
. G& b3 |- l3 U9 x# p7 q( {" }; D5 |) n+ l( P
= & S0 q# R2 O' x
d : b+ s/ ]2 c* G$ t, @0 a% r1 K
(i)
; \6 b) C' t1 p5 s3 |# K$ _' xT
% I/ B; F0 c3 ^4 Q* y( v4 r. m1 h9 z, W3 T, j
Ad 8 V4 i7 f9 B# B$ }. ]5 n
(i)
7 e- o2 S5 ]* Z2 N) ~6 J
$ i+ v3 i! Y. a+ x$ U/ [
* K$ E8 h2 ^- [2 R' R, tr & }8 \- q- s5 \/ B" V
(i)1 ^8 D! T2 f! D+ N* _  }8 p, d: Q
T2 q6 W6 Y! _: {& U

8 R, F& ]; P" m) {: o; Y! w" l r ; E( @1 N" J. V; p7 a- b
(i)
3 ?- P7 |$ |, X2 v6 R2 j' u, b( M- o) ~' z! p, x' k
1 ]$ H& q, b& ~" G6 z8 C( p2 `- g

* S; S% t2 L7 h6 Y, D% r/ ~+ B ;; o7 F4 R# c' D

  G0 T, H( O) x: C- I(3)迭代x ( i + 1 ) = x ( i ) + α ( i ) d ( i ) ; x_{(i+1)}=x_{(i)}+\alpha_{(i)}d_{(i)};x
: a  ]+ X/ E3 i) J( `% K$ P(i+1)
1 f! v" k; M/ ~8 j
! m7 L/ H% D$ j6 o4 C( l =x ; _! i1 f2 P) N7 K7 C( Z6 u
(i)
' P5 ~/ }2 k! z9 B* \
* _/ y# T7 |8 q1 L* t* @5 R4 n2 \" s
(i)4 \/ u$ s1 x# k( k% b
3 a/ X$ e( S* ]
d
% D. X' N) [2 J+ ]8 H(i)
3 q( i: f; F1 g& F1 |* y
6 K! q  K  L& N* R! R' G ;7 z; h  Y. b  S9 S. k3 j& e, t
(4)令r ( i + 1 ) = r ( i ) − α ( i ) A d ( i ) ; r_{(i+1)}=r_{(i)}-\alpha_{(i)}Ad_{(i)};r ' y5 R! a1 H6 p! V: a( O) P- U
(i+1)$ `! W% M$ o2 b1 z/ M) x8 b

) p, G! T; \: ^& f =r
9 z3 p! v! H; R& u(i)/ @5 c, W5 Y* o
3 B% l9 V1 o  [- P% ?9 q
−α
, U& B$ u; [; B9 @: W(i)" ]5 E" ?3 k' C2 \7 X8 c

. w+ Z! r$ d+ B% Z Ad 9 h3 O3 K  ?# R2 h# b1 T, m" y
(i); }9 g# m9 m. n2 X% l# Q9 g

4 S% H- ^3 `9 s/ Y+ M% x ;' C" q( s+ c* w1 v. O) p2 F2 l4 d
(5)令5 ~6 @4 J  t, `% m  `0 }: j+ U
β ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) T r ( i + 1 ) r ( i ) T r ( i ) , d ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) + β ( i + 1 ) d ( i ) . \beta_{(i+1)}=\frac{r_{(i+1)}^Tr_{(i+1)}}{r_{(i)}^Tr_{(i)}},d_{(i+1)}=r_{(i+1)}+\beta_{(i+1)}d_{(i)}.
) L+ @2 |6 U. q6 Y+ F, oβ   E  U9 w* ~4 b  Z* x! F) O* ~
(i+1): w0 E6 P( v. `

% B( G6 y0 u% g3 ]  H8 y2 U = 6 y* w, t3 N! r" F8 F" C# z
r
3 z  S; E+ U* s% o6 y" H(i)" Y  l) Z6 L7 s
T3 e$ }$ v. g7 c3 G- y* E
$ X; q; @" o9 B' J! }6 D
r $ r- \. ^4 b2 K- _& R
(i)9 u3 S, Q8 Y0 V0 N" U- f* o

" D5 R% W" ^! V, V% W8 D
# t/ l8 n* [' w! S0 @5 @  s3 k8 j' or
- B  Q4 J% r& u1 ~+ @(i+1)
2 o0 P' N8 q: c% V; J% ST# ]; B' x8 v, R8 H& [

  T3 E% k* H/ j r
( h+ ]7 |9 J6 g1 l& y(i+1)6 C# t0 I4 R1 h! ?
, k' H; j5 B3 a2 }4 t
; W( _! G# R3 D4 F  V$ Q

* b7 F9 m$ l! Q2 E# h ,d , l: A5 k% _# O' k" O
(i+1)
1 Z! G1 G6 Q+ ^2 R4 }, L+ ^" i- t
=r
1 a) A& a. r, F% b(i+1)) S) {! P; x  a) O$ q! ]5 t: G. G
6 R- ]: x) R  {/ s

: a$ B: Y7 e# Y! a8 E' @, g# a(i+1)% ]1 V4 F1 G1 e1 ]3 o# Z6 O

& P8 h2 I+ z& M% ~ d * ^- p. E$ o2 @$ }, v5 J( s( h
(i)/ X* T4 h9 }! c5 f; \3 {

, W+ I6 q# X: D1 o6 I  I .
7 `* \" N. P+ N! K! k, O
  t0 @) `2 z" ~/ w(6)当∣ ∣ r ( i ) ∣ ∣ ∣ ∣ r ( 0 ) ∣ ∣ < ϵ \frac{||r_{(i)}||}{||r_{(0)}||}<\epsilon 7 f$ Y$ y6 Q% [) c
∣∣r
5 Z3 D* T+ X0 J/ F0 M$ z(0)  Q  C4 Y- g& r  Q( P1 L8 C7 h# o

8 B% n) v. N7 q. i: j ∣∣
1 b8 ?7 z$ T; v, O3 v  I* c- h5 f3 V∣∣r
% r; Y% d' M& r* l  N' n, O(i)
, J+ V. g  Q0 l8 G& @: w
8 X1 S. I( [) p/ V ∣∣
* D, X7 c0 k! o
! O( ^1 l5 n; R6 |/ I; Z1 ] <ϵ时,停止算法;否则继续从(2)开始迭代。ϵ \epsilonϵ为预先设定好的很小的值,我这里取的是1 0 − 5 . 10^{-5}.10 & v! ]9 I. \6 p2 p$ _
−59 c$ \  E3 o, w# j0 ~) G
.; H8 b$ r. {8 I2 W$ o
下面我们按照这个过程实现代码:$ X$ d$ O- ?# `+ `

# P) e- r# S) C% J% V4 M" h'''  d0 p! c, k( r
共轭梯度法(Conjugate Gradients, CG)求优化解, m 为多项式次数
- g( F) |2 H+ [2 R, h9 [- dataset 数据集6 B/ u1 Q4 w; N
- m 多项式次数, 默认为 5
" ~8 h) \( u, r$ v- regularize 正则化参数, 若为 0 则不进行正则化  y, A: X+ A6 M
'''
! z# Z9 r; B. _2 X! \% }def CG(dataset, m = 5, regularize = 0):& b  p5 j0 V: G1 S) w2 g9 S
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
2 `4 Q6 B7 `* w  `: y( h    A = np.dot(X.T, X) + regularize * np.eye(m + 1)
' v+ o, Q2 ~; W5 u# h2 {" B    assert np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0), '矩阵不满足正定!'
+ D$ X$ \3 I) ~. v' G! k    b = np.dot(X.T, dataset[:, 1])6 z6 m3 K: Q- x$ _% S
    w = np.random.rand(m + 1)  X3 C3 L; _" m! j; v+ B
    epsilon = 1e-5% ]; P1 s& ~& `+ O/ u# O; d

" q# u, F* F& i9 p4 y( b3 L* X    # 初始化参数0 M: q  n$ X$ H) ?  a' L* G
    d = r = b - np.dot(A, w), P; Y; Z0 s1 P) B# c) B1 u3 I
    r0 = r
5 k4 ?* L. w+ X    while True:4 V: G, g. z# @5 {- {, t! C
        alpha = np.dot(r.T, r) / np.dot(np.dot(d, A), d)% D0 V* J9 _, X9 C, }! F" Z' w
        w += alpha * d
* s+ z  u( j' \6 t% Y        new_r = r - alpha * np.dot(A, d)* j4 d- ?, r1 J& d1 S, n; F: v' k& w
        beta = np.dot(new_r.T, new_r) / np.dot(r.T, r)
; d* [. Q. K/ v        d = beta * d + new_r
5 t/ l, K4 C0 ]5 M, b$ u! |        r = new_r( i2 _1 g; H, b3 d" _( s
        # 基本收敛,停止迭代
  O" v8 v0 Z0 M3 i! X3 L$ S        if np.linalg.norm(r) / np.linalg.norm(r0) < epsilon:
2 b! N8 e' f9 h/ }+ T            break
3 e) b5 H6 N( g8 \3 ]0 H    return w
& u! |; g* T$ X2 z& G; F3 @
( v* P/ L% w9 ?( T1 a  X12 }7 d; e3 ?- e! A2 q
28 B+ b6 l1 Z# s: f7 o
37 y. V! `0 _- W. U
4' `$ P% Z% x) z1 i
5
% p* h8 M6 o. P5 l8 w" ?6
/ E0 _# u$ s( i; t% J9 b. H8 v7
, H0 N8 e( _7 W: @: Y) ^% V85 N5 m9 }1 M* z/ F- s$ @" H1 r; e
90 q6 J8 ?" t1 h
10' {" x: k3 D" u
11- y/ ^" c6 ]0 x: D
12& c% L- @4 }' d
13
2 m: d; b5 B! V" H& T# T: l( {14( A, ?: W% j; B4 d1 i
15
) S/ s( t0 T; @) W1 P  }+ @- z16# H% p  _$ W3 v/ l
17; @( n$ \5 z5 I$ R4 p9 {
18
, o- y8 D1 C8 v" @19
  C3 t/ Z7 H2 U# S9 x20+ R# d! ~/ Y5 c6 ]7 v8 j
213 `% W2 k% M* K. o8 `- g  s2 a, V) E% @
22
* c. N1 A& w8 U8 G% L1 Z23
5 W0 {8 c' @, I# _  P7 h24
% N& E; ], b$ z' @  y0 ?, H25) C- S: ^- W  [+ o6 s$ A
26
. Z/ q0 m% O, K& W- h' ]27
! g% N7 b5 V% p28& ]8 `( }' H4 K; k4 W. X$ I( q
相比于朴素的梯度下降法,共轭梯度法收敛迅速且稳定。不过在多项式次数增加时拟合效果会变差:在m = 7 m=7m=7时,其与最小二乘法对比如下:
+ ^# A9 P/ A$ y, `- v4 M/ t0 k1 V$ d, e; L, T; L
此时,仍然可以通过正则项部分缓解(图为m = 7 , λ = 1 m=7,\lambda=1m=7,λ=1):; K6 k6 L  s1 m

% A4 k3 B( b2 m最后附上四种方法的拟合图像(基本都一样)和主函数,可以根据实验要求调整参数:
; B3 Z. n- E" w( }* _2 o+ p; o5 d
& s7 h) [8 j' Q& w; ]# {0 h5 F, W; P3 e9 k
if __name__ == '__main__':* h, X, p- L0 o5 r2 [
    warnings.simplefilter('error')
2 p. C. f( F& p: _9 u  m
, ?) }" c' i3 w7 ?( n    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
+ [0 y/ t" Q. q+ J    # 绘制数据集散点图: e7 R+ g4 I1 q+ X% H
    for [x, y] in dataset:+ F' A6 L4 H: ]
        plt.scatter(x, y, color = 'red')1 G6 V0 ]+ ~* ]2 N2 v" S

: o7 v' K4 }2 O
0 {9 T+ \# \6 _% F7 h    # 最小二乘法
: g" D* R( @6 \6 ^; X' D: }  V    coef1 = fit(dataset)
1 ]* Y# R( z. j0 K0 a1 D) U    # 岭回归$ Y1 |5 O* j( B% U4 w
    coef2 = ridge_regression(dataset): a3 V+ n: `' p) }& u
    # 梯度下降法
" x2 J& @( S1 b4 {: w3 O' H    coef3 = GD(dataset, m = 3)
5 k  z0 w6 |9 p) ]& p2 Z    # 共轭梯度法7 y! f9 R0 X0 u, u! I
    coef4 = CG(dataset)
# F  s" K$ |( u2 K2 [+ G! Q
) w+ [' T# S0 h) K/ d! `    # 绘制出四种方法的曲线
3 f. k* Z( k1 O: y$ _5 J; b    draw(dataset, coef1, color = 'red', label = 'OLS')
5 O2 i, U3 p5 y4 L9 ~7 e/ i: h5 h    draw(dataset, coef2, color = 'black', label = 'Ridge')) o; L+ m6 G" u% a+ B
    draw(dataset, coef3, color = 'purple', label = 'GD')
3 [# d8 b- V" V4 T    draw(dataset, coef4, color = 'green', label = 'CG(lambda:0)')
7 s; j! r$ f& N4 Y0 N3 Y6 I
; n# `  K9 }; g4 `0 N    # 绘制标签, 显示图像
6 f9 c% V  I: G% [3 G    plt.legend(); H$ o3 S0 Y1 w$ I" Z* x
    plt.show()
" t  ^& ?: {; J. K, Q& E4 ~+ z, y& w# Q  ^7 d+ V9 r( r
————————————————, e' v' j) F+ [7 h( @6 t
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" M! {) i( x  Z6 w% h原文链接:https://blog.csdn.net/wyn1564464568/article/details/126819062
5 J- `* d+ l$ R0 ]+ q4 y
! E! B9 u7 p5 C2 v
/ i9 c4 x, }& H0 a7 D- R  g0 A* c




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