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标题: 哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合 [打印本页]

作者: 杨利霞    时间: 2022-9-14 16:40
标题: 哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合
哈工大2022机器学习实验一:曲线拟合
. E' X1 v$ a) K% J" x* E! w% r
" g! J! Y& Z. l  I7 C! z& _这个实验的要求写的还是挺清楚的(与上学期相比),本博客采用python实现,科学计算库采用numpy,作图采用matplotlib.pyplot,为了简便在文件开头import如下:( N. b2 w" k- Z. H" H

1 D5 `) e+ {) k4 G* A: C! zimport numpy as np
. T8 J- y( n4 d# `/ R; iimport matplotlib.pyplot as plt
, d' x6 p! z4 Z8 V1
- B( h# {! N. U8 R! K4 P2, R* o" s- {9 V
本实验用到的numpy函数
# {3 ~, G- ]5 B+ |6 D# E4 R* t8 A一般把numpy简写为np(import numpy as np)。下面简单介绍一下实验中用到的numpy函数。下面的代码均需要在最前面加上import numpy as np。. J! ?" S' F: v
1 j3 d9 Z3 ^- g. z
np.array& v( C! U2 I7 s. E
该函数返回一个numpy.ndarray对象,可以理解为一个多维数组(本实验中仅会用到一维(可以当作列向量)和二维(矩阵))。下面用小写的x \pmb x* J8 n8 B  W, B
x
$ Y2 b2 d3 I' vx表示列向量,大写的A AA表示矩阵。A.T表示A AA的转置。对ndarray的运算一般都是逐元素的。  Q5 o5 n0 [, y2 m
% [' E2 k* _/ n; l4 ~* I: u2 b
>>> x = np.array([1,2,3]); ~7 ^0 H$ C# [6 q8 {) x
>>> x
4 m/ w0 y' n; U( Jarray([1, 2, 3])
3 Q+ b, H# c" x$ F. U, t& }' H>>> A = np.array([[2,3,4],[5,6,7]]); w$ P8 Q$ T" x1 \/ T1 x2 ]9 S# {
>>> A
. T! \  T# b1 Q2 Y1 J4 s( D' Warray([[2, 3, 4],/ b0 Q5 L6 n1 t/ e
       [5, 6, 7]])7 J. E: v" w  B2 P
>>> A.T # 转置
: T) J4 n  O8 u0 }( _: A5 earray([[2, 5]," T7 E- |7 m8 s7 r- y" K6 {( T+ M( A: {/ R
       [3, 6],6 ]7 E7 y7 }) q$ }& O0 r6 C2 c
       [4, 7]]), }/ T: Y: v5 I
>>> A + 1
4 c+ O2 @4 F6 v" f4 farray([[3, 4, 5],: t- y8 ~3 h. A' \4 w8 U
       [6, 7, 8]])$ K( W3 F' @. f/ U- S; |
>>> A * 2! S+ d, l5 W, H7 c
array([[ 4,  6,  8],* k! @9 {  ]$ i1 G1 F
       [10, 12, 14]])) h, X  j1 s7 z% A( G* O

+ z% ~9 `" N* O7 H3 J1 f9 J; d5 f/ Q1
) C, T# Y! z) T8 _8 [2 p2& h& d8 p! @7 U0 Q6 C0 `
3( @; i8 S* M/ ~# P* v. I
48 B/ J. @2 f* B' j1 k2 Z- f
5
" _* y$ y* w3 [5 h7 ?, m6
" l4 D# B  f1 G: }4 d' i! y. R5 K7
9 Y7 ^' F2 Z. }5 h* t0 B$ D8
5 u8 u9 H1 t" s+ C9/ ^9 \: l9 Q( z1 I2 i5 i1 |
10) t* g- b( V9 Z
11
. b' c5 q8 n4 P$ O, g2 j5 }12
0 {% P" M' D* f' l# |% |6 D. Q132 h  C' A7 v: Y- `8 ?5 Z" O- a
14  S5 t9 m( L  E" H
15
/ b/ z* ]  ~$ C+ z, X; b9 }  f16
, w" Y# i% C* y175 Y7 G. U8 k4 c. C, r
np.random. q1 h& n# F9 E: q. `* {+ q8 F( X8 x
np.random模块中包含几个生成随机数的函数。在本实验中用随机初始化参数(梯度下降法),给数据添加噪声。- p- U, v# W/ \8 ^, X* h! u

! L! o4 G+ m* z, M# t1 W8 _>>> np.random.rand(3, 3) # 生成3 * 3 随机矩阵,每个元素服从[0,1)均匀分布9 g) P; d9 ]) R/ w' ~( k+ E& B
array([[8.18713933e-01, 5.46592778e-01, 1.36380542e-01],
; E' \4 A* F: p2 Q+ l       [9.85514865e-01, 7.07323389e-01, 2.51858374e-04],
* f) M- X1 Y$ c# c4 Q       [3.14683662e-01, 4.74980699e-02, 4.39658301e-01]])
" W9 R% i& c! u2 u' R4 X3 O! }* j  S9 l
>>> np.random.rand(1) # 生成单个随机数7 _6 k5 v* _. o  w+ {( \
array([0.70944563])
, N  ^; c, W4 X/ P- O6 @>>> np.random.rand(5) # 长为5的一维随机数组
( `9 b/ k" M, U$ s6 o7 o& narray([0.03911319, 0.67572368, 0.98884287, 0.12501456, 0.39870096])3 A: f; J2 }+ U6 v
>>> np.random.randn(3, 3) # 同上,但每个元素服从N(0, 1)(标准正态)" c) ~& P  G. {" b* p+ e
13 C3 ]8 t- P4 V& `0 N' }: ^
2* H6 e9 W' R  z8 g% {8 F! T. q
31 f$ }6 v/ c9 Y* ^* n
4
% b& T# x( n' q& U# w0 F7 o5
: w9 a) R) n" B: ?6. l4 y# @# i  E/ E6 f6 L1 j
7
" V( O6 Q! L) N# Y. |# {8
2 d: d2 Y$ [2 S- O$ f! F9# `7 X! w1 {+ C' f8 V# N! O- E
10
8 ^# U$ s' [( F; ?/ n  o数学函数
" l" R6 d/ V  b' y# p本实验中只用到了np.sin。这些数学函数是对np.ndarray逐元素操作的:7 m" l) j* T  m! m5 `: S. r) \& |

0 ]) F8 y8 J  t6 }>>> x = np.array([0, 3.1415, 3.1415 / 2]) # 0, pi, pi / 2
  I" f$ x4 L$ C+ g>>> np.round(np.sin(x)) # 先求sin再四舍五入: 0, 0, 1, l2 \5 n5 N$ a
array([0., 0., 1.])  J3 ~) q  ]+ C7 R$ L
1
# j: V) n2 R! S5 [+ j2
! \% t  G* C* Q( j$ x3* N) d0 G2 h! m( ~" m' X( L' ^/ B
此外,还有np.log、np.exp等与python的math库相似的函数(只不过是对多维数组进行逐元素运算)。
5 t/ x, F2 N# I. N; s; U% B
6 j# P/ n  R5 g) H  a) ^. Knp.dot: m2 J' q- I& s. f" ~+ Y- `
返回两个矩阵的乘积。与线性代数中的矩阵乘法一致。要求第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行数。特殊地,当其中一个为一维数组时,形状会自动适配为n × 1 n\times1n×1或1 × n . 1\times n.1×n.. l- w  M% F9 a/ O6 Z

0 A' p; ]- P9 x0 l, Y8 F9 {$ |6 ^>>> x = np.array([1,2,3]) # 一维数组
) U0 @; E# c; [, b% J- X>>> A = np.array([[1,1,1],[2,2,2],[3,3,3]]) # 3 * 3矩阵. P! t, N$ f6 W: n, [% h* }3 n. y
>>> np.dot(x,A)
6 [' G0 E2 H% harray([14, 14, 14])' ^9 o. Q- ~+ n8 Q1 T7 V9 J
>>> np.dot(A,x)5 b  h- o$ P+ T; V, a# X
array([ 6, 12, 18])
. g, W8 H  D3 X3 ?; u( w$ g- w4 x2 K3 i# k+ [, M4 p3 ]! S
>>> x_2D = np.array([[1,2,3]]) # 这是一个二维数组(1 * 3矩阵)* Z% j# A( z  w
>>> np.dot(x_2D, A) # 可以运算1 ]! m6 D5 O. j% d
array([[14, 14, 14]])& V9 w/ K9 X4 F) \2 T* Z1 i" J/ M& t
>>> np.dot(A, x_2D) # 行列不匹配
: S8 A  [1 Z& s8 v& dTraceback (most recent call last):$ e4 y7 p4 N5 S: g
  File "<stdin>", line 1, in <module>7 M0 X+ H5 {. ?$ l# G3 i& |6 O
  File "<__array_function__ internals>", line 5, in dot
; {: C- X) @& K8 A( O9 {8 kValueError: shapes (3,3) and (1,3) not aligned: 3 (dim 1) != 1 (dim 0)
" g, ?/ G' c1 B$ Y! x0 F18 u. {6 C. S2 W# Z
25 U4 t6 F( r* u0 d; H
3
& y0 a' r% Y' Z4
" e2 [# t2 b* Q57 m% L8 I7 g1 N; Y, [, w
6
- x5 w2 d" Z0 {) K2 d& A# m; Z2 A7
+ G1 f7 y( _% D- n) t1 N7 U1 {9 m8! p# t. k/ Q* M4 g7 s1 Z( o
9" ^9 g9 p( X0 w" m
10# u- ?6 w: h: M# c$ Z% x& |) N
11
  v  L1 s  t3 r( Q125 ^4 M& T- M. ^/ S: v* ~* U1 F
13; T9 w6 [, u" Q; ?; F
142 n0 u8 @- U) ^: @
15
6 }1 \: G0 Y* f% vnp.eye
! x0 E0 |5 m) m) Dnp.eye(n)返回一个n阶单位阵。6 ^$ K: A& ]4 n  L: |& a

/ `5 t/ V  u: M* E( D>>> A = np.eye(3)( R9 E2 X, ~5 Y7 X3 N
>>> A
# W) l5 R# D- r$ y; b4 d* a/ ~array([[1., 0., 0.],: U8 ?8 g* h. @) C  p
       [0., 1., 0.],
# h4 X  s9 {. l       [0., 0., 1.]])
# m+ v  f4 F9 a- t: e1* W% F8 B  O# Z5 C; Q
28 E- ], ]% u4 g& b5 F0 j! E7 g2 c
3* n" [% I  Z6 D" c+ Z
41 i1 B; m6 r# {+ b) X* r$ g
5( u! s) r" x8 E* v6 Q& _
线性代数相关
% F: {* E, g9 c8 vnp.linalg是与线性代数有关的库。* M! H- }6 E- z3 n5 A+ V7 N# x6 g
) K* C' Z0 [( b) Z
>>> A( d" }% x, M0 B1 p2 x
array([[1, 0, 0],. ^7 f& h- t6 N) D2 B% z4 k1 @
       [0, 2, 0],* d+ h6 j; d: C1 l5 i
       [0, 0, 3]])& b  |" H; H3 ?) b, E: {
>>> np.linalg.inv(A) # 求逆(本实验不考虑逆不存在)
. \- N( e2 }. ^8 W# rarray([[1.        , 0.        , 0.        ],
  e8 {% T! Y/ f6 \; _, d5 R& w! M0 K       [0.        , 0.5       , 0.        ],
: C& Z+ X) H0 q% K2 A  h       [0.        , 0.        , 0.33333333]])- C# F* h2 V' x1 ?: t
>>> x = np.array([1,2,3])' U2 T% ]5 @9 d6 W: ^2 D
>>> np.linalg.norm(x) # 返回向量x的模长(平方求和开根号), X9 }. [. R- R1 U
3.7416573867739413: W/ E" X6 @, f/ j6 r  Z4 }
>>> np.linalg.eigvals(A) # A的特征值
+ U, h, L1 Q8 M) Harray([1., 2., 3.])
0 L2 _9 I# I+ A: S7 @. f1% Q& U, m# B3 ]! S
2
& d/ n, e' z7 x  `! O" T; I3
! n3 \3 s4 q0 A6 j47 s% y& n; j3 a+ o
5
) x4 W2 H! f8 ?+ v9 [6
, u$ P. B2 l8 d5 P) F3 e  O- o7# J- l# p: h" |: b8 a
8
7 y& a2 P# F' i: e' n. f5 @1 V9
: L& g) i( d; s: d1 R$ K10  @" }' L) f$ e
11
  ^6 |4 I7 d1 O$ M) G& q12
3 S; F& U- @; L1 N# C1 }' G8 A13' |; b# K# Z$ z" Y) y
生成数据# T" d$ }1 Q7 }7 J- g
生成数据要求加入噪声(误差)。上课讲的时候举的例子就是正弦函数,我们这里也采用标准的正弦函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.(加入噪声后即为y = sin ⁡ x + ϵ , y=\sin x+\epsilon,y=sinx+ϵ,其中ϵ ~ N ( 0 , σ 2 ) \epsilon\sim N(0, \sigma^2)ϵ~N(0,σ
: A" t9 L0 i: z3 M5 U/ H# q2
3 d# d! M- P$ c4 h( K. L& G2 E. l ),由于sin ⁡ x \sin xsinx的最大值为1 11,我们把误差的方差设小一点,这里设成1 25 \frac{1}{25}
$ }7 [, n1 e4 g2 }7 f% F+ @/ J25
7 J, |0 v8 @* s1) [: Y8 T) O. u" X

5 v3 }3 H' |: g )。; k2 {) ~' O* @' \, I. g, b

  N. x5 e: g% D'''5 f, c! E' @; C: E# E3 X$ c& B
返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]
% u0 P" R! t1 ~8 h5 y( a% |  |* T保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
2 q; Q% N) ]  }, V- N 数据集大小, 默认为 100, g$ F! g( Y$ G$ ]7 \6 c9 a! Z$ J9 U
- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1], 默认为(0, 10)
3 v( q1 G  i; S6 i'''
$ ]' t" u8 @; y! w7 n! v7 Y9 T4 {def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):. n" l7 Y( v) Q8 p7 o9 ^
    l, r = bound
( T, R6 {' J% b. O7 a    # np.random.rand 产生[0, 1)的均匀分布,再根据l, r缩放平移$ x2 k3 Y% u$ {
    # 这里sort是为了画图时不会乱,可以去掉sorted试一试, G7 O4 Z( {% J+ E
    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)
: C; T' e6 n& a: c4 S9 g+ ]! p        5 I7 L2 ~4 E/ ~( E' e: V
        # np.random.randn 产生N(0,1),除以5会变为N(0, 1 / 25)
9 ]( V, \$ |! k0 C8 x    y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5
" G0 T8 K- R9 A7 M    return np.array([x,y]).T' c5 A7 u! T" r; ?% o* A, S2 F
1
8 ~9 E+ A4 L6 l' b5 }2
# P" g$ w1 A1 S% A9 y" v5 ~) ^: I3
/ o2 E, V5 O* X% B! w4/ v5 S6 l, u; q  S  V  W' n
5
! s3 P0 a- g& [6 T. R9 m7 W60 n7 j3 Z, d  K. K$ o* l# u: {
7
- f) C0 a0 _+ p, ~, u8
' `, m( X) l6 j" W: c& x9
8 g) E! `$ Q1 t. J* h: o10
  n$ l! H/ w& y117 y0 W; A6 k3 ~9 x/ u1 @8 ~! H
12
& Y: x/ B; `" ^* v  O& G, u13
* e9 d" n( {# n6 S14
" M& C. C6 Y' F7 x15
0 B' T- P! c( _9 T8 F% X产生的数据集每行为一个平面上的点。产生的数据看起来像这样:
& T% k  V$ A% q2 {
. s# G+ s, [! U4 o/ c* D隐隐约约能看出来是个正弦函数的形状。产生上面图像的代码如下:3 N7 [, d- T" V) H* W. {" T

7 x; u: I1 j6 \2 _2 T1 qdataset = get_dataset(bound = (-3, 3))+ v. T; k" j: f
# 绘制数据集散点图
6 v" u' ^  V, q* qfor [x, y] in dataset:
- \# W$ \3 ]! B    plt.scatter(x, y, color = 'red')4 \0 o* c1 c7 j- y- {; M) X
plt.show()
: f* w% w& n$ M3 U( H# C. v9 V1; `# O* ?6 h& D2 G
2' I3 m5 G9 w# ^1 L- B5 X1 f6 I/ C. w- h
3& t4 N/ T3 |, z+ I
4$ P1 q/ i; y+ ?0 b6 Y% d
5
/ t3 c; x; a% _+ v最小二乘法拟合# J% B) y3 r$ |6 x
下面我们分别用四种方法(最小二乘,正则项/岭回归,梯度下降法,共轭梯度法)以用多项式拟合上述干扰过的正弦曲线。& N1 Z. A+ u3 o, ~& E
9 s: f$ D' z2 |; G8 ^
解析解推导
" N& b% ^9 |7 ^' q% Z1 d简单回忆一下最小二乘法的原理:现在我们想用一个m mm次多项式
. o! D# K* x; a4 Qf ( x ) = w 0 + w 1 x + w 2 x 2 + . . . + w m x m f(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...+w_mx^m
. ]9 d8 P6 ~! J9 {/ s& Y8 `( P' qf(x)=w
0 c6 `0 B: C0 n! v5 @7 S0# C& N$ C2 E& F! G
: `( D9 r" h# L% c1 o8 B
+w 2 e+ c7 l+ v4 x" Y5 T
1, K% m& o- S( G# ?6 q) C8 y

! M$ j- r3 J  c* [ x+w ; d, x( r3 a' a& {/ k& b
2
2 _7 O* Z$ F, p+ U  O& B% d1 `! v' f( z( t9 c& x
x * }3 p! z8 f' R; @
23 N0 h# y  \# R7 {- L: e
+...+w
) \- @) X  T6 G8 J' w3 r5 R* r) lm
$ }1 o; s' P6 c/ ^7 J- c' M5 [# y9 g/ g/ y* x* J! j$ m4 T2 k- W
x 9 l; W# {" z+ J
m
9 w- m7 Z* ~  D4 E9 L) f0 w8 ~+ ?$ ^
5 z  H1 N  Q% q) I6 Q
+ c' }2 ~. n; A+ E- t) h1 f* p' k来近似真实函数y = sin ⁡ x . y=\sin x.y=sinx.我们的目标是最小化数据集( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)(x
; \- K! K' T7 a% K* X11 X5 B- _: D, l! V1 G
! t3 p7 R* j6 O
,y
/ F. _8 `5 D2 ?5 c3 L+ p1
/ Q0 M" T5 K& x8 g3 K: h( u+ L& @- j, R) b5 _3 Y- S: Z
),(x
3 z  _4 g2 w0 ]5 V# i/ e0 O2! Y. X# W. f9 I- ~

4 c, y" O; C) A' b ,y + v4 w% y" ]  g* E( d: o$ @/ P2 J
2
" F* |& Z# z* O
* G) Q2 E7 a3 a! y0 K+ A ),...,(x # N& I6 v. a, k# q2 R
N
- r0 j& R1 n: ^3 F7 W6 l" l, m% X6 ^$ u1 v8 d
,y
8 y) u0 _. m+ ]' J* C4 zN
* V& S9 H; a( c6 S2 g0 c5 ?# u) d+ G( _
)上的损失L LL(loss),这里损失函数采用平方误差:; K* |6 R3 u# W. H, o  ^9 d
L = ∑ i = 1 N [ y i − f ( x i ) ] 2 L=\sum\limits_{i=1}^N[y_i-f(x_i)]^26 z* d. C" Q$ L
L= ! J8 O  n: E: E% Y
i=1
8 w) d! u9 i& h5 O6 m$ v( N* Z, _' w3 z$ R) {! h2 `- C" \
N
# y- i% J! o; r1 y
# b  d$ N* k* Z3 Q8 n7 G, C [y , V" R2 s& r9 C+ y
i
  V+ a) j" c6 W, R& B. o6 ]$ P7 {# p$ U* g1 ~
−f(x . B1 F# w: T. o
i
' V" g( Z/ X( k4 F; w4 f% H
. h4 [- h+ t- b0 y: u9 A6 w )] : u* _0 I0 c( U5 R* x' z( v  Y9 V
2
3 y5 E: W/ w6 p* V
/ L5 o% {1 e  l  D" s! D- u  [4 O. r( S  F# \( {( `
为了求得使均方误差最小(因此最贴合目标曲线)的参数w 0 , w 1 , . . . , w m , w_0,w_1,...,w_m,w & N3 e0 q- T5 M* K
06 @% s- U, n( ]$ k0 P! y

4 ~8 v7 w( t, K8 { ,w + b7 e7 ?! s) b. ^
13 w5 W+ h7 A& z. w2 m  q  U

1 ^0 Q) `2 B. k+ B7 a ,...,w ! V- n1 p: Y) ~' ?
m5 v4 `5 i. K4 G1 x! g) ~/ r7 i" Q
- p7 s- {& g# E, _/ c1 i$ k$ ^
,我们需要分别求损失L LL关于w 0 , w 1 , . . . , w m w_0,w_1,...,w_mw ' L$ t0 h! ]2 ~/ S- V5 I4 u9 p
0( i( C2 K" M( X, P

* M8 n3 S( N  e8 |# `; ] ,w
+ Z/ \, W! k2 }+ }, M1
! N, ~3 _1 r1 t+ Y4 f+ ]8 U" F2 U' j* h( E
,...,w
+ q, J, _2 i) [# `. [m
$ C* r8 X2 {7 G2 ~6 U$ `" [4 X8 }4 \
的导数。为了方便,我们采用线性代数的记法:
. @* t/ K" L0 V; W  EX = ( 1 x 1 x 1 2 ⋯ x 1 m 1 x 2 x 2 2 ⋯ x 2 m ⋮ ⋮ 1 x N x N 2 ⋯ x N m ) N × ( m + 1 ) , Y = ( y 1 y 2 ⋮ y N ) N × 1 , W = ( w 0 w 1 ⋮ w m ) ( m + 1 ) × 1 . X=! i0 i3 j! ]( m- p; V
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜11⋮1x1x2xNx21x22x2N⋯⋯⋯xm1xm2⋮xmN⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟; I5 n" A) a1 C" z/ \
(1x1x12⋯x1m1x2x22⋯x2m⋮⋮1xNxN2⋯xNm)6 l' y, ^$ [3 _+ d* d
_{N\times(m+1)},Y=
. b! G3 L/ e! t6 E7 k# c3 @* d⎛⎝⎜⎜⎜⎜y1y2⋮yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟
: J5 f0 O/ s" u0 C# i3 n(y1y2⋮yN)
2 R3 V  G# E$ R( f_{N\times1},W=
. C$ e3 O) _* S* y6 Q$ \⎛⎝⎜⎜⎜⎜w0w1⋮wm⎞⎠⎟⎟⎟⎟% @2 C/ n# {7 Z
(w0w1⋮wm)2 m. V6 M6 ~8 L. u9 z
_{(m+1)\times1}.
$ b) T  @( b4 J0 @" SX= ! }' _2 P6 v) t5 b- Z/ U
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x $ r  D1 O; E7 F$ R$ Y0 Q8 J
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8 H% `: j3 H7 l( |  g4 g- X# H(m+1)×14 B7 C2 B- J3 y+ r  H8 c7 K
( A7 s; q7 M* H
.: t, K2 Z+ D/ s7 \* \  z: a  ?- A
* s5 }( j, \: }/ u2 e
在这种表示方法下,有2 j# w! c/ Y" R: t5 m9 m
( f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋮ f ( x N ) ) = X W .9 X8 q& E/ n' z" y; X
⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)f(x2)⋮f(xN)⎞⎠⎟⎟⎟⎟
4 b9 V2 d8 i; ^- e1 A(f(x1)f(x2)⋮f(xN))
5 q+ p! f* H1 c1 g; R+ [0 h= XW.
  e; D+ v; u. q6 b2 {
: j8 Z+ L5 N( g' J) o0 ?+ n: F
- n# K& _2 P2 w
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( Y3 S! U5 \9 e( T/ G/ O' M+ Yf(x
5 o# l6 h1 d2 l+ V3 g; |& b0 s7 X, ^1
$ r' m( I: l, M9 J- C, U% J
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)# ]' o9 _3 a6 t7 N6 I

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, m  P7 v: N# i
$ ^4 m8 W) y5 Y1 p! G: d
6 `5 [2 j+ e* O; ?. T3 q6 s! N9 t$ ]% r, D- h9 I: T  H5 b, j* \6 b0 U

% I9 j4 ]. U6 ^, e" n =XW.
. z6 G1 Y+ U$ {9 n
( u  `0 V3 U" U2 I! n6 @: t- g如果有疑问可以自己拿矩阵乘法验证一下。继续,误差项之和可以表示为/ ~. x6 c- A7 }5 H# o
( f ( x 1 ) − y 1 f ( x 2 ) − y 2 ⋮ f ( x N ) − y N ) = X W − Y .7 e& k  _/ s0 |0 f
⎛⎝⎜⎜⎜⎜f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN⎞⎠⎟⎟⎟⎟" U# y6 J9 q  S3 K7 F4 ?- I4 i
(f(x1)−y1f(x2)−y2⋮f(xN)−yN)
8 r& }1 j) q2 K' ^" U. r5 v3 ~: l=XW-Y.' o, i- }, l! g2 i; V
$ a' \" M% i. L; p) F/ Q
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4 y$ T6 j" u2 z  Q+ H- p0 Q. ~
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1 ~; S& P' Q: |$ N; p
9 ]; q+ Q6 w. W1 W0 ~1 p )−y
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$ m& Y+ ]- w9 f! u/ p4 A& A) q+ q
( X* }+ y6 t* S2 w% f$ ^
f(x ! q  U" m3 T/ h, p( T
2
8 |) _- i4 f, e0 ~$ `( ~6 G* k3 m9 b( `" ~4 U) G0 I
)−y 9 V+ j) f+ [$ h* j  @
2
% j5 L7 y+ v$ {: [1 |
2 g& @9 X" S3 [8 d0 o  _) k" Q( W( J) F  O) ?! u' ]6 I1 z& G

1 N( X  [. O- U5 d: k2 V9 n, af(x ) f+ S9 C8 J4 g* V$ ]2 y
N
, k, |; Y7 v) }( U9 l& B) U
, N, E, ]  o- p )−y $ b+ R9 Y' U) h
N& r1 [4 G% n7 f8 H) G. F  e7 J
% U4 u9 O% {7 Z* y, j

( e/ }& [- o3 R
4 d( M+ W. e* z9 h
3 ~0 I7 K& A$ q0 c/ a
8 v* d% U" \3 c$ h
4 s7 D: ?$ y& G$ t% X: [# s  `
4 `4 O' X% L9 W5 l$ {& j3 K/ s =XW−Y.
# H, I: ~, U7 b# W/ \: @4 m! @; _) H, Y" u  |# w, u
因此,损失函数- d- z. p, R, l/ k, g4 q
L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
/ x- K5 r4 r- ?0 O% Q6 i* `) a9 BL=(XW−Y)
, A7 |& M. O; D0 f" Z$ `- i9 L9 sT
( A7 K# j. X! @. O" e (XW−Y).# g& D% l) I5 B+ t& J" S
( m. l( D9 F4 {; V- @
(为了求得向量x = ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T \pmb x=(x_1,x_2,...,x_N)^T
" h8 A5 N/ B, K- nx$ p( u1 N: {# g1 z- z4 q. n
x=(x
! F3 a6 x/ D0 B$ c$ v+ X! t1( T# M$ p' D/ v4 d5 P3 @

2 A$ @9 K1 E& |# Q- |! L ,x
. S/ e1 r; [0 y* F+ q# g2
6 f; P  _* [' y& _; _; V) W4 U# k! x; E* _7 L- ], @
,...,x 0 k) i+ S" @* Z% F9 d+ D9 Q6 J9 h
N
1 U% a8 D9 h2 x% u+ Y% m. w# \7 e. w
)
( b: S0 ~7 P5 a! l6 F* XT
" @& @2 a  R/ d* _6 v 各分量的平方和,可以对x \pmb x9 [3 O0 a8 T% y  l" B, |
x
( d* G; M. D) Z5 m) x( \. i- kx作内积,即x T x . \pmb x^T \pmb x.( v9 J" r+ i( w+ u( W; A6 l
x1 w0 |4 J; P% ]( w' S; a/ M  G
x
$ E! g1 f# {: g5 YT
7 F3 H' q3 s. o/ K, t2 W; Q
3 ]' u$ l- C2 ]7 R/ Tx5 x, R# b, E4 o% v3 i4 Z+ s
x.)
. Q/ H9 A4 G' Q为了求得使L LL最小的W WW(这个W WW是一个列向量),我们需要对L LL求偏导数,并令其为0 : 0:0:3 b4 w% @1 T/ k. U# [0 D/ R* X
∂ L ∂ W = ∂ ∂ W [ ( X W − Y ) T ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W [ ( W T X T − Y T ) ( X W − Y ) ] = ∂ ∂ W ( W T X T X W − W T X T Y − Y T X W + Y T Y ) = ∂ ∂ W ( W T X T X W − 2 Y T X W + Y T Y ) ( 容易验证 , W T X T Y = Y T X W , 因而可以将其合并 ) = 2 X T X W − 2 X T Y
( s# ?$ T8 \$ i6 x  l5 X) l∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY
8 K  H3 h$ k$ P' S∂L∂W=∂∂W[(XW−Y)T(XW−Y)]=∂∂W[(WTXT−YT)(XW−Y)]=∂∂W(WTXTXW−WTXTY−YTXW+YTY)=∂∂W(WTXTXW−2YTXW+YTY)(容易验证,WTXTY=YTXW,因而可以将其合并)=2XTXW−2XTY; u4 J. T" H8 H$ t2 g
∂W0 W* F: }1 {6 a! h1 t9 u4 @1 L
∂L
7 @( p: l  C( O# H, M8 K- `  C; F) {3 V. {. J- ]  G
2 g: s' Q/ E8 B4 e3 W+ }# U

6 f& O+ E" ~+ B* r) ?& |# B3 p. D: c, q0 i/ t
= 9 s) g. G# [) a7 P
∂W
; X  w, L/ C4 d  T! c# L# S0 w( S# a+ R
% |5 N, h# O# e& S* H& R% M7 t
" x) G$ H: z* R [(XW−Y) 7 R) L3 ~. F& e' w
T
* |8 K: ~9 u/ e5 L2 {* e" d (XW−Y)]
  d/ d8 L9 `; y  v# F9 K3 E= 5 X' E" K" h0 ^: _6 ]" X
∂W( F2 W" c+ O7 G( V
% T. l: \9 b8 i9 N9 G! V
2 f7 r7 K+ z+ n* p
[(W
" T( k/ j- g) o" ?: v* tT& [" C0 H) _) I7 r4 H% M& Z3 |
X % r9 W; Y" e9 l
T
; `* ~! N4 b5 p* ^$ | −Y ! \" W5 n' v  G9 f" d
T6 c9 l- ]" u! x5 o$ T0 I9 l+ |2 {9 E
)(XW−Y)]
5 ]. z4 Y; J1 z/ d=
& K2 ?) q* G8 H4 p∂W4 u2 o! |2 b* v5 a( K8 }: f6 K# e5 {
) ^4 g( L; ^. U( Z
; ?% n5 \& D' F  @  M9 W
(W 9 \% F7 h4 J1 v$ @7 i
T  w" Y; K$ i1 \- ~  b! r4 Q9 f
X
0 l3 N( _5 x7 v* z. q% _T
. |- E- `) |- T9 a% t XW−W % r+ z1 H. r9 H
T# O8 ]7 G7 |% K; s- d
X 8 P" j! x1 G! _$ f
T. g2 @7 D- i: m8 K& ?% k* U( F
Y−Y
3 }7 m, j* D( H! {T
; N; |) x" U9 o' y0 Z+ N- [# k+ k  i XW+Y 3 O0 `: A" T' y5 B& U- r9 d3 F' b1 g5 Q
T
2 f' Q3 j1 L! y+ a; G Y)1 u! Z! A5 f  `* j& K: k+ s
=
8 q8 j  D# g; f" w% ^5 M6 d∂W
$ ]1 Y, a0 b8 n7 B
( |2 R: b+ F" s# a3 A! d& d% A
$ @& F* s$ r% m (W / s  i! t* B/ T0 ^0 D. d
T
" ~: W1 @  F6 {; O2 B X
6 x; k0 N# Z8 F0 A. i: }T4 n$ Q: a( r, K' `$ C$ w
XW−2Y
  I4 X# A0 i6 v. u7 m" y) \8 tT& t+ `, n5 ]  w- o. l8 U
XW+Y
: n! b* @6 N, n9 Q; S- D+ {7 pT
  S+ ?5 T1 t1 f- ?  e- j, p Y)(容易验证,W
# _& p9 y! @5 u0 P# W: a/ KT
+ C# T4 |: V/ Q2 \, |+ c X
; a8 i' ^  Z& ^( w) {T
# Z2 a0 {6 r% ~8 |* r: d/ C Y=Y   I5 j+ C  I( G1 ^
T- T, B/ K) Q% D
XW,因而可以将其合并)
& A3 s) R& G! P* Y=2X ) k0 v8 r6 [7 P# i
T
5 y7 [: l5 R+ n3 X" B# t: }7 ]; ] XW−2X 9 W9 d" I7 U. x+ {) \
T
: c2 U+ L, i- X" S Y1 S% D7 Z( ]% l" _

6 ?1 Z; v2 y4 u1 v( ]; F# l  b6 Q0 e3 d( F

) o! z6 E% O( R; `说明:
6 z6 e4 `) s2 W% y4 P(1)从第3行到第4行,由于W T X T Y W^TX^TYW
  R' S7 X9 E/ z' i6 m+ N2 mT5 R, k6 }. r" I! |5 z
X $ x1 r; n3 c( e: N+ H( N) q! ]
T9 g0 E4 j: n4 d# K! J9 |$ U
Y和Y T X W Y^TXWY " e# d7 {9 W2 Z( ~& @( ^2 C' {
T
$ ^, l% s3 R5 y4 O8 p1 F, M  _ XW都是数(或者说1 × 1 1\times11×1矩阵),二者互为转置,因此值相同,可以合并成一项。8 A6 t& |+ G- N$ W+ z
(2)从第4行到第5行的矩阵求导,第一项∂ ∂ W ( W T ( X T X ) W ) \frac{\partial}{\partial W}(W^T(X^TX)W)
+ S9 ^# W- p* y0 y; S7 X  H8 p8 a, Y∂W. ~; A7 p/ u1 A" _1 T$ F6 M

+ ~# T3 I3 X' N$ j. E/ d
3 R9 D" I5 f* w2 p6 M/ ]8 i, d+ \; @, I (W ) }% ?$ ^" e6 q& V4 ?  E
T
, l9 N- L4 ]1 o9 F: z (X ( c9 ], y7 {- r- G  c9 z' A
T0 P. W2 e) r1 h/ X% b* @4 A0 S
X)W)是一个关于W WW的二次型,其导数就是2 X T X W . 2X^TXW.2X / B: q5 U- R9 B6 h, e' c
T2 \; [0 b9 b, X5 M$ W
XW.
1 t+ G2 Z5 \: w- t: U" E; B(3)对于一次项− 2 Y T X W -2Y^TXW−2Y 4 D) ]. r/ }0 a! L: ?  ~/ H7 ~
T5 l+ j, i. c7 G6 v/ ]& h2 s
XW的求导,如果按照实数域的求导应该得到− 2 Y T X . -2Y^TX.−2Y 0 H3 Z9 h& R& v0 i/ n& x
T- M. @0 i+ ]( I$ }3 c
X.但检查一下发现矩阵的型对不上,需要做一下转置,变为− 2 X T Y . -2X^TY.−2X
- x* a, Z/ D* u# W( w( S5 VT+ K/ l3 t) Q# q9 y5 h
Y.
% K: o2 w2 G  C; `7 ]$ \9 `4 }3 a/ k' N/ M! G- i0 \% V  e
矩阵求导线性代数课上也没有系统教过,只对这里出现的做一下说明。(多了我也不会 )
3 e, ]6 T) ^5 {4 h0 y6 S9 s) c令偏导数为0,得到
/ \: O2 S5 L( ~- S0 m  A+ s+ p+ SX T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,
5 F! b% C7 p$ O& D; B' `X 7 }& H; D& s' t' E! e# I6 v
T
% x/ p6 }! ?3 {: F XW=Y - B8 U4 y3 ^0 ?/ q7 k
T
. [/ Q6 O+ t; K7 V* T' X X,
1 E8 @) `; t8 O5 U) |- a, K  }  y: l, a# [! U- t
左乘( X T X ) − 1 (X^TX)^{-1}(X
% b. l: T9 ~3 q: Q9 ^: ET/ ~2 \% t, {" {& G% h6 G
X) & T. t9 F0 h8 d  O# c; @2 D: J
−1- {2 n% G- Y. K4 A
(X T X X^TXX / ?0 X1 C0 u5 P$ E9 H  f# I
T
  O$ X8 G2 z! g% o/ D* i: S& s X的可逆性见下方的补充说明),得到
7 n5 ?: @( K) ?# t# dW = ( X T X ) − 1 X T Y . W=(X^TX)^{-1}X^TY.5 _3 g: g- C0 d7 H2 n& {
W=(X
) F: N9 E7 H9 L) }* z" B; f) v) ^T8 @0 ~+ W2 ]' y, y. q) d
X)
& J$ l3 b$ w. N: }/ @/ f( z−11 i/ f) l8 j: I& @
X ) y% Y! R/ ], p% @4 Q8 Q
T. c/ T2 }( N5 J: Y) ]
Y.
9 t! G% R* c3 ~' F0 W  \- R2 q$ B) L3 V
这就是我们想求的W WW的解析解,我们只需要调用函数算出这个值即可。
! k$ V3 ~. B- W1 }, q; u
$ U* m  t4 U+ _. h'''$ H4 I" M( R: _$ m  c0 m3 G. \& n
最小二乘求出解析解, m 为多项式次数
( }2 Y% P. L: h9 a2 v" O) w. u) _$ Y最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)" u! y# @0 N8 t
- dataset 数据集4 \  s0 J2 F+ I' i( X
- m 多项式次数, 默认为 5
0 l& H; x  p; r0 `3 R'''
) O7 [* z* b! V3 ]/ i0 \def fit(dataset, m = 5):; a- ^$ x% |8 h3 s# t
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
+ _; u# r: L& ^( p. G% T    Y = dataset[:, 1]! Y5 b3 I: {: _* R9 {. d5 S
    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)2 l0 Z8 I5 }8 b. _7 D* Y
1& e! F/ [8 ]4 @7 s5 r9 q4 @
2+ n  D& W1 n1 X) C$ n* `; K, h* e
3
6 @. U% U' ?( g! G' M4
) ^5 ]" x3 x; ?* t3 j. `5) s& J0 ]8 @' H" b3 h4 r
6
, R$ x/ t# I( {6 V5 a7 \" D77 O2 c0 [) F( E: g9 o
8, \+ |+ d6 }7 [' v
9+ O5 z4 T' F' U) \: k3 R# N
10
) Z  c  J2 T+ ]  y1 C( B$ [4 [稍微解释一下代码:第一行即生成上面约定的X XX矩阵,dataset[:,0]即数据集第0列( x 1 , x 2 , . . . , x N ) T (x_1,x_2,...,x_N)^T(x
/ w9 S: E  Q) S1 ~7 m1; Q! `0 z! N, Q

/ N( b- P  ~$ ^ ,x % N# F! J) l" l6 u0 _- Y* l$ P
2
/ K$ Y* i, s3 P& H3 f) ?# s$ K; s
5 N2 I' y5 r2 x$ i. b ,...,x , a! X* p3 d1 j  I2 o, E+ k  g
N2 L# u+ b1 r7 M) ^1 j5 w
( o6 ~! \& Z. u& S  z
)
, E* J/ y" M" J8 n+ n( M+ lT
' M4 N. `( d8 H' F% I ;第二行即Y YY矩阵;第三行返回上面的解析解。(如果不熟悉python语法或者numpy库还是挺不友好的)
- I8 E: E1 c. B7 w% s  `! n
9 D. [- Q6 |. Y. D0 e简单地验证一下我们已经完成的函数的结果:为此,我们先写一个draw函数,用于把求得的W WW对应的多项式f ( x ) f(x)f(x)画到pyplot库的图像上去:6 {: J, {7 _! S% O' W& c$ J

$ e& s! l' d9 A'''
* |1 Q* b+ K# C& G, T  ?8 Y绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像
9 D% n- t7 `7 M3 y! d$ V' c: U- dataset 数据集1 g: J7 y+ L3 e. V# h( n( D
- w 通过上面四种方法求得的系数
9 W" u5 ?$ X" W7 m+ }" U8 i! X- color 绘制颜色, 默认为 red- Y- c' b. _) Z0 c. Y  C
- label 图像的标签$ w( A7 U& o2 b
'''
# v, n4 q3 c! F. gdef draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):
' K& ^+ w* C# @6 b    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T1 D7 O. B6 g# h6 X* |
    Y = np.dot(X, w): H2 X% Z+ ~, b7 s& b% d

; q# ^7 [# r& D& J    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)
8 U- P. e4 h0 v/ l! N7 N1; q# \8 H) l$ ?) X) K" h8 o+ ?
2# r# J6 Z3 m( f2 [& J! k: q' f
3& K' ^4 P1 B, z3 f6 o
4
1 j+ X/ O  ]" [2 [0 ]50 ~9 ]  a8 l$ G5 G
6
; e5 }. i. U# R1 L7 |6 h8 N. L" V$ w* j7
* _- h; _# X4 r8
2 W8 J" a4 j+ o. V9+ X, u# `* w) j5 }1 m
10
+ H8 H3 m# S; Y3 J6 R$ L5 q; q11
( g: c! d4 P: v12* D5 @5 V" \' a9 r& U
然后是主函数:
7 Z* G- Q1 J/ H6 m) L% k0 g. `
$ M3 {! k% V* o) B  yif __name__ == '__main__':- _( ]$ ~0 J% N! ~4 T, Z0 g3 L; k
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
' C% Q; n0 @: p$ I4 H2 R( S3 n& R0 h7 G    # 绘制数据集散点图3 \- Z7 c7 Z& Q  Q9 \; Q! S: r
    for [x, y] in dataset:* x  I! Z7 y  b! d
        plt.scatter(x, y, color = 'red')' m( N5 n5 q+ x$ V! D& \
    # 最小二乘) p- b5 e7 S, p# O3 `- @
    coef1 = fit(dataset)
) D$ J' m1 [% E    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
# M  g3 G5 v0 R2 f7 Z' t4 j  D! j0 }5 Y5 J' V( e8 x
        # 绘制图像( C  g  U6 ^9 |- R! @
    plt.legend()3 `3 S; }, b& z7 O/ m2 r# m. d
    plt.show()
, B+ [) [; h: }# S1! z# V' _1 f$ u
2
# W: Z; D( t  B# \, q39 i! E* `+ y. T# Y4 h, |
4
8 Z8 D5 G& U" c  y5
' \8 E# _. Q6 J* n! I6
' d, K! n# J" Y- l( h; x7 a7
, q7 u; a+ N2 X' C; g4 x8
: x: F; g$ R& O# L! y" ?9. z( X3 A% |0 p% d
10: J& S1 r7 J" x) K) R3 e
11
( i) a6 P$ z5 X12+ N8 S! C) K' b+ v4 r

  e) U) J9 X( m/ k可以看到5次多项式拟合的效果还是比较不错的(数据集每次随机生成,所以跟第一幅图不一样)。
0 q; ~1 a( z( O; N: u+ G5 f# \+ `' m/ C/ Q; d4 f( c
截至这部分全部的代码,后面同名函数不再给出说明:
+ q! T# p. L! m6 }! k* H' v* k8 C: i( Z- P) e- \* M9 i
import numpy as np
' V1 ?, @5 V' k4 J( W$ m- i; oimport matplotlib.pyplot as plt$ r( s/ D4 p  @: I( C
# Q8 `2 C3 S$ s+ Q
'''* R: ~  l* E# L: R' P
返回数据集,形如[[x_1, y_1], [x_2, y_2], ..., [x_N, y_N]]6 M) E# S; ~/ a9 A! n+ n) l
保证 bound[0] <= x_i < bound[1].
" g8 R' A# z4 W4 q! K1 G+ I' r' {6 R- N 数据集大小, 默认为 1002 R  [6 H1 Z) G+ L% \, y; q+ o
- bound 产生数据横坐标的上下界, 应满足 bound[0] < bound[1]
( Y; g# T! i# _'''3 D3 ?8 `/ M2 B4 ]( f/ P( {. Z
def get_dataset(N = 100, bound = (0, 10)):
* Z& z' @, h: X& N+ m* h3 f3 k    l, r = bound; Q' y* W+ E* a3 z# ?# r, P4 D
    x = sorted(np.random.rand(N) * (r - l) + l)+ H* [9 I' w: \! o' ~+ D/ t& G  j
    y = np.sin(x) + np.random.randn(N) / 5- t; m% `3 {9 D4 h/ y9 E# ^
    return np.array([x,y]).T
0 C4 O. W2 w3 [' l
# i$ C+ V. b- G- }" i$ W2 Z'''
0 P  B% t, J: }$ s最小二乘求出解析解, m 为多项式次数! s9 N! f' @+ b- e9 h" e
最小二乘误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y)
' A$ L. C8 Q& Q- dataset 数据集4 M1 a2 y% I  _/ F: p3 ^; J) X* C: w
- m 多项式次数, 默认为 5- u" u; K, z+ `' m9 y+ \
'''/ {7 t- u7 h2 P9 ^+ U
def fit(dataset, m = 5):7 w( b) Q0 i8 w- g' k; O# ^3 j
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T1 v* i6 C* g% h6 Z
    Y = dataset[:, 1]- k' `. h) H/ K
    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X)), X.T), Y)* _+ L4 U. z, N4 x/ N: W
'''
- \" z7 N; }6 |/ ~" l7 R绘制给定系数W的, 在数据集上的多项式函数图像( Z7 ?  t5 f) ~2 @6 v2 X
- dataset 数据集9 R; H( z3 s+ }( I  H
- w 通过上面四种方法求得的系数# z# h5 t! n9 s4 @& b9 U
- color 绘制颜色, 默认为 red- [' {" w# z) Z# T, o! A( W4 Y+ _
- label 图像的标签2 D' N: V2 _' [; B& Z: k
'''
4 u& `- \% h8 D8 K) |# F# r8 o4 qdef draw(dataset, w, color = 'red', label = ''):# D3 O& |: d# J8 B% ?. h: W
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T& S$ O, A! \8 ~- u/ {% I
    Y = np.dot(X, w)
. j/ a, X! I# A' y( w8 R2 |' y' B& }1 N$ l) b: }* |2 G
    plt.plot(dataset[:, 0], Y, c = color, label = label)6 w2 I# u1 Q& Y; {9 G' x3 W# F

3 u( Z$ J5 t: C( P' M3 r% eif __name__ == '__main__':
2 l7 w! G  j5 N( _* |& \( X4 @7 ?4 c
    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))5 S7 S+ W. O  C3 l; m+ X
    # 绘制数据集散点图5 p" l' f) v: m
    for [x, y] in dataset:
7 z" P2 r* G% o4 Z        plt.scatter(x, y, color = 'red')
8 k2 w7 X: V8 {7 c' n
& I; F. g$ X0 y8 z6 u+ t& v# d; _& [    coef1 = fit(dataset)
. w$ ?2 T# w$ _( N    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')
1 x( o( H' @6 ~
+ _8 ]# g8 ~' Z$ t    plt.legend()
+ t+ z( B. J" |4 K8 o. w$ a, Y, G" [    plt.show()
7 ]1 T$ W" G# d& p
. A2 ~& c) e& l3 [$ l  r1+ O- Q0 u8 w/ ~$ N' F1 s
2# u) h5 {% s: W% m. l. O
3
& ~3 u7 P: B# X* W8 q4* L3 c! E; X5 Y+ S, a7 ^* J
53 L( E: n+ D3 r  ^) a
6
0 y% `( Y. Q* R7
0 N0 d5 `) \3 r2 ^+ Q+ S( n" ?1 h8
/ d" n3 l6 K0 f/ O& U9 ~9
6 I. A( R1 S+ \4 L103 _# c& Q7 `0 q
11
# P; v8 N" j- E* h2 a. V7 X3 M120 i! A& P' `1 g6 m8 `4 u& ]
13
% X0 u, @/ }* T$ x6 J1 Z3 {149 H4 \8 ~7 _/ [" L: B" L
15
, t+ y8 S5 n1 W7 R) H, w. j168 I0 a/ z0 j4 ]1 X2 e
17, X9 h; i# u. B
18
% u/ b1 C$ p9 G: K. a19+ e% e1 S: E' G+ H, F1 r, [* V
20' \* a. H' N' q' J( X! o
21
$ N% v5 i+ z& @. q7 t3 i7 Q22. Z) y9 v( g3 R+ j4 b
23; v) C. n4 P, C0 B, ]+ f/ t
24+ T7 J, u" z, B5 l. Y. T& i
25
- g8 z+ ^  h6 B# r/ P! |; D26
" Z. Y  O, G; F27
; ^/ c& @3 ?2 F28
9 v  k1 r+ F/ E9 d! s! n1 R29
' A, Y5 p; q4 J30
5 J- k5 q- f9 n; `( M1 g31
% e0 b& k0 ]+ r* t3 N32
2 Y# {( B/ N/ @( s1 t$ x335 Y0 ]& f* I# p8 O' g
342 R* ^# ?) x3 M7 v8 e& Y/ N
35; z5 |# j  M& D% p% L0 }
36
* L$ \( _' J# \37
2 c3 d; a( P3 Q38  w, y; Z* m4 T6 p+ e* {
39
6 Z  [/ i8 a5 g% j40
% O/ p  L8 V5 `) F41
- b+ B, h9 R- i  t# f- g42# l4 r, c6 v# _
43) o. n( O! ]+ p  x3 F3 |: ?" w
44
' W' @' n; D( \: D457 D& m% G, R( q5 M- t3 R& @, Q, b
46' b5 q' a8 v5 G! P4 ?7 D
47
6 ~0 ]0 Q3 V1 b+ M2 G8 K8 P2 ^480 p8 y4 ~5 @1 q" A
49
% l6 E  N2 \) G2 }( w50, U, q/ }5 f7 v9 c/ o
补充说明
0 M- n3 D% }' j上面有一块不太严谨:对于一个矩阵X XX而言,X T X X^TXX
) Z5 J7 ^( p$ v& iT
9 Y3 N! S7 C, V- L/ e! ?) t X不一定可逆。然而在本实验中,可以证明其为可逆矩阵。由于这门课不是线性代数课,我们就不费太多篇幅介绍这个了,仅作简单提示:- `. O+ S  A; _& G0 S3 s' w5 ]
(1)X XX是一个N × ( m + 1 ) N\times(m+1)N×(m+1)的矩阵。其中数据数N NN远大于多项式次数m mm,有N > m + 1 ; N>m+1;N>m+1;9 |; |, f& N& {  M) Z
(2)为了说明X T X X^TXX - ?: [$ z* Z. @# j
T
$ j4 V, z/ @+ W/ M X可逆,需要说明( X T X ) ( m + 1 ) × ( m + 1 ) (X^TX)_{(m+1)\times(m+1)}(X + w) ^* Z4 U3 q4 H
T2 ]2 K6 {3 K" u* a/ J# Z5 p
X)   W& E; W; I+ M" E8 K4 s8 j  m6 l
(m+1)×(m+1)
1 B) U0 j$ G4 d- n$ x" J, ?
2 y  C8 o5 s; |" V: Q 满秩,即R ( X T X ) = m + 1 ; R(X^TX)=m+1;R(X % H+ d* u8 k* h9 W  k4 U+ E( ]% ^) H
T
- |5 {) i5 T4 g- g4 H9 O% z X)=m+1;
! I; \0 b- r$ j1 c" S, n(3)在线性代数中,我们证明过R ( X ) = R ( X T ) = R ( X T X ) = R ( X X T ) ; R(X)=R(X^T)=R(X^TX)=R(XX^T);R(X)=R(X $ @" i6 _4 ~% K4 Q. {: }( P
T4 J! O0 w" o7 d' z
)=R(X . p1 m( j4 |- k# e3 b2 T" X. k
T6 A' T! q8 |6 R0 J# s( J4 E4 g# \
X)=R(XX
# ?: B* T, F8 r" T( iT
+ @. m: ]" {3 g5 b; Z );5 q% f% l% Q% C) j
(4)X XX是一个范德蒙矩阵,由其性质可知其秩等于m i n { N , m + 1 } = m + 1. min\{N,m+1\}=m+1.min{N,m+1}=m+1.
% D- G, F; |; E) H& _0 Z) \( W
# h7 x, J' q# g1 c, f, f* u添加正则项(岭回归)
( H( `6 N4 A8 u' D6 B- U3 ^- f最小二乘法容易造成过拟合。为了说明这种缺陷,我们用所生成数据集的前50个点进行训练(这样抽样不够均匀,这里只是为了说明过拟合),得出参数,再画出整个函数图像,查看拟合效果:
5 {! v0 @& ^. d  K4 j. @9 P: H" Z( ]* t" R' q
if __name__ == '__main__':
5 }, e" ]5 B0 q; p. J- p4 K( D    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3)); Q* _. H! n4 h* E5 O. R' A
    # 绘制数据集散点图
( R$ Q. c3 u: g2 H    for [x, y] in dataset:
+ N6 o, c$ s6 \  F% J' h  g        plt.scatter(x, y, color = 'red')
7 p# c& V9 M1 I  ?$ l, H    # 取前50个点进行训练# `$ u$ L0 C1 e( ^
    coef1 = fit(dataset[:50], m = 3)
3 P& `, A" Y9 T$ |, O. ^    # 再画出整个数据集上的图像% a4 j- w, L/ B9 r; }, s% U
    draw(dataset, coef1, color = 'black', label = 'OLS')1 T% T* m& h9 l" ]; d4 D
1
( B6 z/ O: v) l* b6 P6 L2
4 Y( Z" G* r! Q8 D" M3! M# a; ], T+ W; c: r, C9 b
49 B9 X* _6 i+ {/ Z4 L4 O! ]
5" V9 l/ G% D$ n" f& a: c
6/ k# l, L4 w( |0 n( c+ Y0 b8 ~
7- \8 Y9 s+ A, q& J: H
8
* M2 g; Z4 }) ^# m6 L95 o  ]$ c% O; |- [: P
6 O0 X/ d/ ^/ J
过拟合在m mm较大时尤为严重(上面图像为m = 3 m=3m=3时)。当多项式次数升高时,为了尽可能贴近所给数据集,计算出来的系数的数量级将会越来越大,在未见样本上的表现也就越差。如上图,可以看到拟合在前50个点(大约在横坐标[ − 3 , 0 ] [-3,0][−3,0]处)表现很好;而在测试集上表现就很差([ 0 , 3 ] [0,3][0,3]处)。为了防止过拟合,可以引入正则化项。此时损失函数L LL变为
6 A7 ?2 z- ]2 q$ p. a: m1 wL = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) + λ ∣ ∣ W ∣ ∣ 2 2 L=(XW-Y)^T(XW-Y)+\lambda||W||_2^2
, O1 o: D' H. RL=(XW−Y)
: h: `) ]( d  f) Q# aT/ n# t) d+ ^1 Q
(XW−Y)+λ∣∣W∣∣
( M6 S; n9 E$ `% W; Y) v2
& [: ~* t! f3 s2% u% S9 }) D- ^; T0 C7 M

3 o& }7 D0 f) F/ Z0 o
: C8 u! i: Z1 T" O1 \1 N3 N% w0 G2 z5 E$ E! |1 ^
其中∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 2 ||\cdot||_2^2∣∣⋅∣∣ ! L3 ?$ f4 L. o9 J. a
2- N8 f- I9 c& V3 m  K* g; `8 g! {
2& S) p* p( y1 ^9 C

3 J  r6 T6 F  X9 Q0 l  c 表示L 2 L_2L 2 c; f! q3 _9 q% @/ c( z
24 Q- _; ~! U: ^7 x  s, Q
  P5 |: W1 W) k: w
范数的平方,在这里即W T W ; λ W^TW;\lambdaW
9 i" r; O5 }* H" M" L" `/ YT
( T5 `9 j- R) Q- J W;λ为正则化系数。该式子也称岭回归(Ridge Regression)。它的思想是兼顾损失函数与所得参数W WW的模长(在L 2 L_2L
/ G' c& O4 ~& b0 e$ r4 N2- f, I. W$ u. I( J! q' u; r% q- y  U
8 |  D7 u; s- B% s/ P
范数时),防止W WW内的参数过大。" j' u" G$ R+ F) U3 R

6 d6 `9 J+ F# u2 w- M) P举个例子(数是随便编的):当正则化系数为1 11,若方案1在数据集上的平方误差为0.5 , 0.5,0.5,此时W = ( 100 , − 200 , 300 , 150 ) T W=(100,-200,300,150)^TW=(100,−200,300,150)
/ r, W' ^6 D" O# IT
/ b1 T) X6 g3 d5 p1 z: Z ;方案2在数据集上的平方误差为10 , 10,10,此时W = ( 1 , − 3 , 2 , 1 ) W=(1,-3,2,1)W=(1,−3,2,1),那我们选择方案2的W . W.W.正则化系数λ \lambdaλ刻画了这种对于W WW模长的重视程度:λ \lambdaλ越大,说明W WW的模长升高带来的惩罚也就越大。当λ = 0 , \lambda=0,λ=0,岭回归即变为普通的最小二乘法。与岭回归相似的还有LASSO,就是将正则化项换为L 1 L_1L & _+ @) z9 i/ Y- S0 d
1+ b! l9 s. N/ k
2 s2 t  Z( h6 b, C( I- T' h
范数。
* S1 A# F% j9 K( i1 v% }0 Y2 Z, n/ H; j, U
重复上面的推导,我们可以得出解析解为% f) n2 K! U% N6 G0 f! q, ^1 B9 k4 s
W = ( X T X + λ E m + 1 ) − 1 X T Y . W=(X^TX+\lambda E_{m+1})^{-1}X^TY.
! u2 u$ @% R3 e( X. u" }: [& z; ^5 eW=(X ( z! }1 E9 U7 [6 W: _- I
T
, ^0 P0 c/ @4 h2 _$ U; R0 F+ s X+λE 3 C& K% D. k" `
m+1
9 O, q9 `+ P$ k4 l7 S# ]2 {( a4 a  O6 \$ u/ ~8 g
) * W; K" p& q: R3 R3 @. g
−1+ k* v, I$ M; l$ Q8 O- e' d/ g
X
1 R) r. F$ N' M) ]T
+ b2 W2 {- `. e- I& m Y.5 B3 ]5 I6 f# |3 K
4 c: h% t0 J4 r
其中E m + 1 E_{m+1}E
: m. q3 w' Z" J8 k5 `m+10 y' P, g# n1 \1 Y( X" a* @
& A1 `& E  s4 o
为m + 1 m+1m+1阶单位阵。容易得到( X T X + λ E m + 1 ) (X^TX+\lambda E_{m+1})(X / W) m& g1 ?4 X1 N% }4 Z- i6 I$ S: Q
T5 f% _9 w, a: D$ K8 c, F
X+λE
5 {0 ?0 a7 m3 M. Qm+1
7 a" t& k' H6 z2 |/ x5 `! z9 I/ `
2 O, f: o2 Q- E4 n1 m( k. s- B3 T% V )也是可逆的。
" `/ A9 g8 [, ?4 b! p: A" G. g
; T& G8 [7 U7 S6 c该部分代码如下。+ o7 w+ w% _9 E) r
: Y/ K: S" ?( r6 f- q' z& m
'''
: U- W$ H! [* l4 G岭回归求解析解, m 为多项式次数, l 为 lambda 即正则项系数: I+ U1 j4 O6 V( P6 f3 I& b) L9 O
岭回归误差为 (XW - Y)^T*(XW - Y) + λ(W^T)*W$ x( ]( G! c8 a3 @! A* Z1 g
- dataset 数据集
* l. d3 l) _$ K1 ?- f' h- m 多项式次数, 默认为 57 L9 M" Z3 s. V) U. E- s
- l 正则化参数 lambda, 默认为 0.5
8 a& M9 f6 P" `- z: _+ c! d'''
4 s5 e, K: w( ?# O+ qdef ridge_regression(dataset, m = 5, l = 0.5):
& W! f: u; k4 L& U    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T  @3 ^. J5 B# X& \5 ^. y* K  T: e$ y
    Y = dataset[:, 1]% e" S: u( Z# L
    return np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(X.T, X) + l * np.eye(m + 1)), X.T), Y)
7 |) q; a- R' \  T; h1 Z  h1
9 W, g* O9 K/ y  F2 x! X2: N" C/ q# z$ J8 k
3
- B$ P; s( j; P! N2 S1 R41 n6 R6 F& i6 r7 c$ r+ g
5
9 {& A$ D( f4 H2 L4 l: u+ t7 [6
; @* G# u6 q- w5 g( ~  L2 t4 b2 ?7' w: P0 i1 O5 k3 r: I4 R
86 E0 l" p6 {; R) }
9
2 z1 M* Y4 ^( C0 K& q- |( l9 W, O3 h105 @8 \3 \& u) d1 |
11
" {/ U$ C  _6 Z8 ~5 P; A两种方法的对比如下:
) f, }( p, z3 ?) i/ d- l' S$ B- ?: l6 S' P0 o+ t, C% ^: v3 d! }  D
对比可以看出,岭回归显著减轻了过拟合(此时为m = 3 , λ = 0.3 m=3,\lambda=0.3m=3,λ=0.3)。
9 I/ t5 I; o* E1 P; E5 \3 Y; J+ Z2 E/ Q9 c; E4 _7 |
梯度下降法- W) n& h: R! j$ }1 l5 V6 ?
梯度下降法并不是求解该问题的最好方法,很容易就无法收敛。先简单介绍梯度下降法的基本思想:若我们想求取复杂函数f ( x ) f(x)f(x)的最小值(最值点)(这个x xx可能是向量等),即: U! Y! X# q( ]5 N, ~2 q3 O
x m i n = arg min ⁡ x f ( x ) x_{min}=\argmin_{x}f(x)4 R0 A1 ~8 Q9 ?0 P& Y& D2 Y1 [
x " ]( q  h0 v1 z6 S' t! K
min9 |( M' ]/ [. h4 K. x0 N1 u

& q- X, g& i& P/ ~ = 4 V& C( `1 k3 Q& T
x" g/ _4 v' i% l" L) ?( a: Y( S1 }
argmin
+ Y" U  E* h3 h3 c+ ?1 s: y
8 u! I# p) ~* r( i+ I6 U f(x)
- d2 G/ m# y; B8 C6 |. P9 c! y. O9 T+ w9 r; G9 w
梯度下降法重复如下操作:6 S+ }3 m0 H( r% o9 O3 y
(0)(随机)初始化x 0 ( t = 0 ) x_0(t=0)x
. p% z# b1 u1 v" i0( J* u/ O" `7 `! w1 l2 D  H
) p& j6 h6 [, u9 O
(t=0);
8 K1 M2 X, k# A; v. w: v(1)设f ( x ) f(x)f(x)在x t x_tx
- Z; x. a: m6 I+ [" |- Rt
! Y- u+ G% H( v  \
; Q$ w2 l( t8 d6 y 处的梯度(当x xx为一维时,即导数)∇ f ( x t ) \nabla f(x_t)∇f(x
0 p4 \3 }$ e$ z1 v9 D/ et
, a5 G5 m7 t& Q4 |
* V$ a: [9 A$ R- X* T );
' {) W( P) w0 {0 P, K* @3 ~8 _0 w* |(2)x t + 1 = x t − η ∇ f ( x t ) x_{t+1}=x_t-\eta\nabla f(x_t)x - a* K8 P$ u% W( d/ b& J
t+1
2 ~, P- T# B; Q1 i' f" c* g. X7 r5 l3 l4 B8 t
=x ! k6 Q5 R$ a* t$ ~' R3 O' N
t
- C$ m9 e; v1 U9 |% ?! x2 T8 v" q+ \# L
−η∇f(x ; Q: ~) x1 D8 ]. n1 ~+ z
t6 ~; M* S4 X8 ?; K4 [
4 Y# v- K# w6 N: p: w! n7 s5 m
)
* X% L' [- f2 p5 j& E% g(3)若x t + 1 x_{t+1}x
' i6 B0 P; t, Ht+1, A5 x* |" K2 {6 J) |

; l6 j' g1 a% |( U/ d: A# J 与x t x_tx $ J% j( m1 }, y" d
t
8 ^0 D2 n; ^! ?5 c/ _! y3 t% a0 v
* p8 A  o5 ?! l4 \5 h 相差不大(达到预先设定的范围)或迭代次数达到预设上限,停止算法;否则重复(1)(2).
& I: z% S7 I3 V; Q% s' P! |
% W! I# N6 l! A% S; V5 ?其中η \etaη为学习率,它决定了梯度下降的步长。& }  C# Z2 v2 L% q  W
下面是一个用梯度下降法求取y = x 2 y=x^2y=x # y. ~# S2 i3 X
2
3 Y# R! \0 A% L# d& } 的最小值点的示例程序:
9 G( C$ M; Y" n) d0 Z
; U" w) G& _' T) t4 L0 ^import numpy as np
$ e; S0 @' M+ {$ c# P3 i; ^# aimport matplotlib.pyplot as plt6 h0 k9 U) s* j- s
5 [. ?% I! o6 ~* {9 i
def f(x):
& T' r- s! R* D/ {( Y/ X    return x ** 2
' g, N' t% l) x+ T% A& Z5 r8 W
9 t* k  v: j4 M7 m9 g: |3 sdef draw():
7 m/ v* d9 S) E) W    x = np.linspace(-3, 3)
2 H# o+ C$ a% I; c- q7 q' N2 w6 F    y = f(x)& {9 g1 \; t9 j3 I' S, q
    plt.plot(x, y, c = 'red')
1 i/ ~+ j/ }0 c% \' l4 h5 O3 w$ s( O  {, K7 R' W
cnt = 0
6 ^' |  L4 b" u- O  E' k- K# 初始化 x
, \# W" ]% Z/ V, Dx = np.random.rand(1) * 3
5 `. q$ g8 @2 r+ c! V( z6 Hlearning_rate = 0.05
, \5 I" }- y7 j% n  H
3 O0 F0 E' F0 w6 kwhile True:
7 b- m  k  X/ [2 \6 B' c    grad = 2 * x
3 b' H' O# O7 K9 r    # -----------作图用,非算法部分-----------/ p9 X) o7 @1 W  G. N5 f8 {3 M/ ?
    plt.scatter(x, f(x), c = 'black')3 a4 |# p, Z( L* r  z; v& T
    plt.text(x + 0.3, f(x) + 0.3, str(cnt))
. \& O3 C7 t7 H7 D1 `2 K  i9 N    # -------------------------------------
" \5 v6 H6 A; q, s- t    new_x = x - grad * learning_rate2 P; k* L7 L2 i5 G7 F/ {1 k8 f
    # 判断收敛; @* U+ d8 W% e( c
    if abs(new_x - x) < 1e-3:
( q3 F' {* |. i4 `        break
2 y4 p" |% `" _1 q. t1 g: K( _" e) k: U- N( W
    x = new_x
: W( V2 h7 A, [% w, k0 a* O    cnt += 1
1 A5 N( q6 n* o& I; k
+ S9 k/ @0 Q* C4 Y. O( cdraw()# ~; K8 {# G4 S5 P& s5 w
plt.show()
& \" P4 Q5 z8 {( w+ m  Y- x- y1 c" y* \; o. X1 u
1$ r  B! O8 X3 q5 P8 h
2
# b2 W( r$ M6 {" _0 k3 r: b' U% _3. M* F6 t% {5 M) ~0 A/ a
45 Z5 Q, I7 c7 x+ ]
5% ?# I1 B7 Z; t; x% v
6! g$ Q" ^& s) s
7
+ y; U% ]! k6 U8
  r" K& x  c4 `0 l, _2 k9
1 W' o5 c- A  W* M# V/ l10
9 Y; u) c- u6 @0 x1 i+ D111 \, t0 @# h3 Q1 X
12. E, |$ O7 f: V' W6 Y( b9 l5 C
13, D8 W; V8 U9 u# d/ }% K
14
2 q! \5 ?1 h; ^) p3 s- q% U15
$ `3 H4 x, I  G3 k# e4 j16
. \8 T' P# f- o8 @17
. ]0 b9 t3 a; x$ F18* d- P( A7 Z' Q( ~7 \6 @7 J
19' }8 n( m6 }/ }5 h& Y7 z
20
' P+ o! F. s$ H' }0 @21
! P! K3 M. s1 e- K$ b7 m, o22
3 |3 {( u6 R2 X. I1 p6 H* K3 A$ ~23
: s( k* S8 u' r6 f& f24
# @1 u! @, X/ q3 a+ Q25$ [5 \' ^% v: m% V4 u! w
26
" O$ a/ j3 \  K) ~- R9 S1 t' z27
; a8 u) D3 l" g' s28" z# z9 g5 }" [0 U  w0 y
29
9 e# e2 r" }5 w3 k! k' S30) Z7 m1 L+ s+ ~- S
31
! {% S4 }: w6 H: c  a1 W32
5 \2 Q& m. R+ Y5 j' s
5 d/ }! N( q- |8 z- z! H上图标明了x xx随着迭代的演进,可以看到x xx不断沿着正半轴向零点靠近。需要注意的是,学习率不能过大(虽然在上面的程序中,学习率设置得有点小了),需要手动进行尝试调整,否则容易想象,x xx在正负半轴来回震荡,难以收敛。5 U6 g+ r/ U0 i9 g0 F& ^" Q

6 E. G9 Z) ^' y( r8 h3 n# m& n" o在最小二乘法中,我们需要优化的函数是损失函数
. s  w2 A8 a8 v0 B0 }L = ( X W − Y ) T ( X W − Y ) . L=(XW-Y)^T(XW-Y).
8 N( V+ x% `/ {L=(XW−Y)
7 b  Y7 [0 S6 G4 m! \T
; R8 o1 P) K1 H' Z5 i (XW−Y).* T, b% w- [3 z1 v2 C3 {. K
0 A  C3 |+ t5 }* s
下面我们用梯度下降法求解该问题。在上面的推导中,. Z  w; W6 Q, _# S/ d+ h) ]1 g; }
∂ L ∂ W = 2 X T X W − 2 X T Y ,
# p$ V  _2 j" y7 i! s∂L∂W=2XTXW−2XTY
- l% Z: G* s/ j& _+ d6 c) C∂L∂W=2XTXW−2XTY
: V! c" u$ q0 T, k& P- z,+ E; o/ E; l* g- Q
∂W
# E) V) e+ h4 J9 |9 N∂L9 `$ e$ L3 C5 D  o  m7 e$ l$ Z5 z
; l' e1 |3 t5 k) o, t
=2X 0 v( i% r; i4 n* V/ ]
T
! _) z- b* n* u4 _) h XW−2X
6 H1 ~4 X3 k# B2 M$ V8 \& uT6 L" Z" H! b2 b( [/ h  y0 g  A
Y
( I1 R! j4 [( n$ i- H3 g. Q6 |' \
" R3 g) T; @& `5 K% S ,
" h' ^! a0 }! \: S4 A
) }: X2 ]# n( D3 C- Y( n$ s于是我们每次在迭代中对W WW减去该梯度,直到参数W WW收敛。不过经过实验,平方误差会使得梯度过大,过程无法收敛,因此采用均方误差(MSE)替换之,就是给原来的式子除以N NN:( H7 c0 f: l* |& X* E

' q. w) T2 S+ t* X'''% ]' T  W( y3 T8 x8 t
梯度下降法(Gradient Descent, GD)求优化解, m 为多项式次数, max_iteration 为最大迭代次数, lr 为学习率
& v: ?  P% _2 ?, K) u3 E" x注: 此时拟合次数不宜太高(m <= 3), 且数据集的数据范围不能太大(这里设置为(-3, 3)), 否则很难收敛9 Q$ |1 ^. U( P6 S5 S
- dataset 数据集
- B# G% i6 Q' ?" O, \9 |3 T: i- m 多项式次数, 默认为 3(太高会溢出, 无法收敛)
# u; w" H- n: p, X& N! ?* Q- max_iteration 最大迭代次数, 默认为 1000
: h7 v) X2 i" \5 {) u% r- lr 梯度下降的学习率, 默认为 0.01- f8 Q0 \% p; W! ~: ~( C" I
'''4 v" b2 _/ {2 r% c2 w; M
def GD(dataset, m = 3, max_iteration = 1000, lr = 0.01):
6 L, Z+ R( V9 ~* L    # 初始化参数* |, V& T% P- A& t6 j* ?1 F/ j
    w = np.random.rand(m + 1)
$ }  D$ b+ p- M: t
, [, b+ I5 e; |4 x, J! o# T    N = len(dataset): s7 O1 ~2 |  u8 ^2 X& ~9 I
    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(len(w))]).T
6 {- F+ K5 X, u4 T$ K3 d    Y = dataset[:, 1]/ C3 k# Y# d+ I- z3 G. V

5 H2 B' B; z/ G$ e! P# c    try:/ L) A0 }6 y4 d$ k) A  O, r
        for i in range(max_iteration):; {) z3 R" z( \5 ~/ N
            pred_Y = np.dot(X, w): J& c5 G& Z& R1 \% Q$ p0 S
            # 均方误差(省略系数2)4 n( @6 }( |' N# C  b9 ?1 t# B
            grad = np.dot(X.T, pred_Y - Y) / N- j) e+ L- s% I, ^( V/ p
            w -= lr * grad& _5 f% `( j$ w  U  `# y
    '''8 B$ |4 p" N* ~7 B
    为了能捕获这个溢出的 Warning,需要import warnings并在主程序中加上:& t! x6 L9 U! f' G- m
    warnings.simplefilter('error')( s: x" \5 F$ H8 K9 H  j
    '''7 i4 R, X# `% [" o
    except RuntimeWarning:4 F/ K! K- Z9 `4 X7 ~) d! p7 R
        print('梯度下降法溢出, 无法收敛')8 V3 v, N& A, G/ X6 \( w7 j. }$ U

+ F+ e* a/ Z: Y5 I. t9 F0 N    return w, Q" _& E. @& K& S0 m

# U4 m( ]8 q1 Q1
+ E0 G4 U7 q: q2
- C2 C/ N4 U( A" y8 x+ o3& l/ B3 f- C' d& p& |
4
: n  s  J3 o/ k5
7 b8 F9 \! O9 m9 x4 T1 [9 z% J6* Y& q  k5 S; D% z9 R
7; o5 X& M3 ^3 D+ c8 T- E
8
1 i" U$ Y( |% t: B: u. `' N9
* u+ J1 m4 ~  ?10( W' ?: O" p. m; e* H$ U, K
11- H( Y& r1 l9 i$ U5 L* Q
122 M' z$ E1 v2 _
13- a7 `' x, g( z& Y0 M- Z
142 x) |8 S. E+ r; V% K2 Z! S
15
  M! \9 j0 Y6 R16
+ n1 O* X0 z8 T2 V: w# w178 Z! \. o/ d, k0 l9 C
18
6 g  p+ A( F1 u( _0 A( P$ `' E194 S! A' F; [8 g$ x- ^
20
% f: A5 e" ~; M- D2 g21
& z# V* |& c$ ?8 e) ]) B% o22
6 M/ W0 {$ }) g+ e23
/ m# N: e# S5 e& O0 k& J; R24
/ ?; v( C5 }+ d% V/ i! |& E/ U25
& {% P2 r/ r" x* f  C9 u7 C26# f! t- R. ~( a! y5 H- Y" }6 m
27
1 S9 ]& J' C- b! ^8 N28
! T9 I6 {. J. y29
) ?8 r$ `  g- n30
; y: o" q. R+ O# H这时如果m mm设置得稍微大一点(比如4),在迭代过程中梯度就会溢出,使参数无法收敛。在收敛时,拟合效果还算可以:) W3 K7 L7 _! Q# x+ F
. I  O2 V5 d: Q8 i
! ]/ h& U* b) `; G% h3 Z" e2 G
共轭梯度法# |4 D. w$ |1 ~5 U, u
共轭梯度法(Conjugate Gradients)可以用来求解形如A x = b A\pmb x=\pmb bA/ \9 \7 D3 D3 A) M  k/ g8 s. p* A" s
x
6 [9 D6 d& x3 M. Yx=8 v( U1 x0 y) _% }! |7 m
b3 Q( K8 o4 t+ |
b的方程组,或最小化二次型f ( x ) = 1 2 x T A x − b T x + c . f(\pmb x)=\frac12\pmb x^TA\pmb x-\pmb b^T \pmb x+c.f(; D( }6 _) c5 [* P2 o
x
. B3 _) \! e1 u/ M& H# fx)= 6 ?: y; {, e8 Q: A
2
" Q" ^# x7 Y4 v17 Z/ O. }7 w) P9 \

4 t7 n4 m' O+ h9 n$ k+ T
" v% z" r& M8 q" G. _4 a$ R) bx& p; E/ F- O1 j5 a8 s6 G
x
1 A8 ?/ U$ |5 v# b9 }$ k; JT
5 t. b: ?, l6 q1 b A- o- Z# h6 J+ U0 {& o
x# S  l+ s+ j" U. V' d
x−
* q* c5 N4 N" hb
% S0 c4 v7 A* e' ~) ab
; C6 f" q9 U, ~" h8 @; DT& k# v6 l+ |3 A% |1 [1 F) S$ ^

1 k* E, Y& w( L4 F) E" zx
  @1 r. ^( f3 F( n/ kx+c.(可以证明对于正定的A AA,二者等价)其中A AA为正定矩阵。在本问题中,我们要求解2 F# n2 s' J0 F' I0 C$ K8 G
X T X W = Y T X , X^TXW=Y^TX,- ^3 j1 E* Z; ~3 K
X 9 ~6 ~+ R$ F8 }
T
, f  p$ i, _4 Z  J* J3 C XW=Y , I: n' i: R! v) d9 t/ O
T5 `7 \9 f! Z2 G" l3 k
X,
; a# n2 c7 [4 P3 N  ~2 z7 |. c3 D/ w
就有A ( m + 1 ) × ( m + 1 ) = X T X , b = Y T . A_{(m+1)\times(m+1)}=X^TX,\pmb b=Y^T.A . t, t" ]0 l  F) \
(m+1)×(m+1)" {# M5 T7 @, D5 F3 E  d5 {" B2 o

8 I1 a( U, R+ w+ [. X =X
1 v8 T  O7 @1 n& E) Z& T( n# C+ C) eT
7 z, y4 z; x" N" ~2 H4 k" p X,  R# ]7 m, g' E  x3 T$ K1 V+ _
b
/ c0 @; M+ \) Z8 f1 t& _$ c. ~7 d# _1 r2 ob=Y 3 C, m1 w( z: z2 I5 F5 O/ [$ P
T1 ^. c- [1 i6 f$ A* O2 U% G$ e; O
.若我们想加一个正则项,就变成求解
/ o2 s- q! ?" Q, x! {( G( X T X + λ E ) W = Y T X . (X^TX+\lambda E)W=Y^TX.$ G; d, r6 F2 J# Z2 u( e
(X # p7 w4 |5 |; q" Z( N( J
T0 V; g$ @, Z2 M
X+λE)W=Y " H' O- M  }# j& U9 Q, X
T2 s7 B& I' G! j  e
X.0 X3 k0 Y. a' u+ Y+ b% h7 k

6 p; p- z3 R. a# o" a/ W( g# K首先说明一点:X T X X^TXX
3 ^: e5 j( W+ _, t6 j2 qT
( E7 m+ t9 ^. M8 G7 ? X不一定是正定的但一定是半正定的(证明见此)。但是在实验中我们基本不用担心这个问题,因为X T X X^TXX
; F$ c+ Y' ?! ^" {4 DT
! J  W7 i$ V7 d, u0 Y. }4 N! A' D7 X X有极大可能是正定的,我们只在代码中加一个断言(assert),不多关注这个条件。
8 ]( s- i  {+ x共轭梯度法的思想来龙去脉和证明过程比较长,可以参考这个系列,这里只给出算法步骤(在上面链接的第三篇开头):
7 z+ u% B" l" G/ s) T; H9 g
4 k2 |6 ~* p2 r5 i6 \4 \) ](0)初始化x ( 0 ) ; x_{(0)};x
4 i6 g" ^* ?( h3 I: y" M( }. Y(0)
5 ?4 M6 i# P5 _
9 c8 L( @( V+ | ;9 b, `- L$ E8 c9 _4 p
(1)初始化d ( 0 ) = r ( 0 ) = b − A x ( 0 ) ; d_{(0)}=r_{(0)}=b-Ax_{(0)};d
5 k  Z, i5 @2 N& w- x% J(0)& F1 y' M$ R2 m$ s3 \

$ [0 \& _5 @5 p5 b0 M, } =r
9 w5 v% l, [) J4 g1 I, o(0)- _$ L& K1 k9 [: {( {
3 m' _- Q6 j6 X/ l4 @! `  R
=b−Ax 1 R! D) \0 _5 K& k/ d
(0)
$ z; M5 ~! @3 F7 d
- Z# D" k$ K# }6 v, }* ^! Q ;7 n: R# Z  J2 W1 X. W& T
(2)令
* y. e1 t! Z  j$ Zα ( i ) = r ( i ) T r ( i ) d ( i ) T A d ( i ) ; \alpha_{(i)}=\frac{r_{(i)}^Tr_{(i)}}{d_{(i)}^TAd_{(i)}};
; n$ ]* a# F+ Gα
# z& H0 G& m' ~(i)% T6 ]: o' }& Q& q  m% t4 ~. N- u

! {5 V/ b4 F& h' Z = ( p8 @, h0 r3 K* |* m, D; G
d * X* L0 u! c, G9 V: e8 X
(i)0 a. o. l. N) |1 i
T
# P6 Z3 ?$ E8 z
" `3 O! {# n; A5 m$ x Ad - |6 o: a0 ?# O
(i)
3 g' J1 e6 d5 J. j$ S- N' o* y  b* h0 |2 x) y8 E3 W, P

4 [& F' @, C5 c! p8 f  n1 xr
& @9 q8 Q6 B: K4 f+ q! h% Y+ E(i)0 `5 ?) r% c( O9 i5 t
T
8 r% ~# c" x" B& D2 `* f& v
9 p; m1 f% o7 L1 V r 9 n) _7 i- D4 X! H; w. H; l
(i): r6 ?' j2 I& h
  E+ F, ~0 h' g. T' J+ F8 a
6 k* x/ k# w* |8 M
8 ?" P$ b  @6 R$ K, ]
;
* M" E7 s2 E  U0 E8 ^/ J" `
( f, j$ X# G! a9 f. c9 q" }0 D: L# s(3)迭代x ( i + 1 ) = x ( i ) + α ( i ) d ( i ) ; x_{(i+1)}=x_{(i)}+\alpha_{(i)}d_{(i)};x 4 ~0 r9 B% f# h- A4 W/ W9 b0 d7 ~
(i+1)
5 Z* \, t  l9 z5 m2 u
% B4 {0 [( p# Z2 x7 `" | =x . t- [# D; o5 K
(i)
- r0 f( R* t) D& o- v3 [0 J) I; J+ O2 Y; p( ^/ }

8 R% I0 l( @4 A(i)+ g, G0 i7 G$ W$ g. q! U1 e

, R) W* m( e9 Z d , Y6 B  |& ~# f3 b$ \
(i)
$ p+ y! i5 L8 E, _9 ?2 g; J8 o, s( E5 o8 E8 v( ^  h$ ?& {2 y
;
, v: I' F% U5 A) }" g) c(4)令r ( i + 1 ) = r ( i ) − α ( i ) A d ( i ) ; r_{(i+1)}=r_{(i)}-\alpha_{(i)}Ad_{(i)};r ' |/ z; w- t/ ?. U0 s' K
(i+1)8 Q4 f/ o  v5 S6 W

2 b' n: u3 F' e, p4 d =r 6 f8 c% V2 t& G9 h9 _% _4 Z
(i)
7 b+ L8 v- W: I  A9 z1 P# R
; o) }- j4 D, D9 N8 M −α " Q- |$ ~. N' X6 H- s( r
(i)
; B) e' ^% k  E; D- Q
. }5 u  e/ L. t; f! [+ Y9 `: E Ad 3 ^4 ]! ~! C6 |5 P/ U3 W2 ~- q6 V
(i)
$ f, ~* o2 ?7 Y- I( E
9 S- `1 M  r% L. x ;  j: n/ H( j) o' o
(5)令
7 [6 b( w' q" X* V' o# J4 N7 Uβ ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) T r ( i + 1 ) r ( i ) T r ( i ) , d ( i + 1 ) = r ( i + 1 ) + β ( i + 1 ) d ( i ) . \beta_{(i+1)}=\frac{r_{(i+1)}^Tr_{(i+1)}}{r_{(i)}^Tr_{(i)}},d_{(i+1)}=r_{(i+1)}+\beta_{(i+1)}d_{(i)}.
4 N1 }& R. R' F) ]$ |" S# Fβ
2 Q% \) o& b1 D: @6 R(i+1)
+ e5 O4 T% o' M0 S( ]  K
1 b% S3 @* \  C* L = # P: A/ u; x: i
r - V! A  o. ^1 R2 B$ }! Z+ L
(i)
- _$ M4 ]6 v% X2 IT
8 y( K1 h; ~- `
; m. S1 L" F) O r 1 U% A# Z! `/ _7 |3 q
(i)" _( I) e9 Y* C( f4 e8 R+ W" W  [- e
: A6 }5 \' ~. z6 c$ B

3 }- P! e8 k' z; x( Br
- Z& x7 m& G3 u$ @- D' {1 y(i+1)
$ m+ ^$ y5 B/ i& l: {: K* v* RT! |+ F: x3 S5 f7 b0 V; l0 z0 T
: U6 `4 C5 K$ g& Y' y" L
r & T4 `. g& H# [9 p+ v1 \; Z$ f
(i+1)
6 b" n+ a" Z9 h3 I' U0 P7 ~5 D7 w7 `/ T* _/ S2 {

  h9 v- _3 k1 W5 o* _! Q9 n% G3 F" `2 [6 r
,d * l8 g9 g$ w  `; O2 A* l
(i+1)
7 x- N% V& O2 i' ?( s, v1 Z5 B( D4 J) B0 N1 X: a) n
=r 7 e8 A# S7 R' a
(i+1)) e6 {. ]. W9 x
; D/ ]& V' z( d+ p2 e- f3 o& ^8 N+ F; ~

& x6 e2 h1 ~7 s0 P(i+1)' }  ^8 |# h# p0 q

3 o5 g8 m3 g. |8 z! U- c d
4 M3 C/ U  G0 x# w7 T% W4 e3 n(i)
! W& L% D+ C; C% ^( B2 c7 n, y2 c- A9 o' @: B+ T- Y  P8 e
.& j  p: E+ e8 a; M( t( |1 w9 T8 D

' e" V% z( |% n! c4 d(6)当∣ ∣ r ( i ) ∣ ∣ ∣ ∣ r ( 0 ) ∣ ∣ < ϵ \frac{||r_{(i)}||}{||r_{(0)}||}<\epsilon 2 k- B3 K8 k0 N' G
∣∣r
# A- N+ v4 }' |! k, F) L( F. d(0)3 i7 H; ^0 c; F
% v- N4 x; E# i; Z! H6 s8 s
∣∣
4 P) u' d: I# C∣∣r - n8 Q$ r. M1 g
(i)+ G8 Z$ o4 l( B  p+ @

+ g4 D6 f+ B- ?' A$ t) p ∣∣6 d0 N1 ^7 P& U, f: ~. z  H

- N! k9 J* i% M <ϵ时,停止算法;否则继续从(2)开始迭代。ϵ \epsilonϵ为预先设定好的很小的值,我这里取的是1 0 − 5 . 10^{-5}.10
* V. a) a. H% K- O−5
0 f) i% v0 D! s .( a# x  K4 F4 F2 ]9 n6 m1 n  H/ _0 C
下面我们按照这个过程实现代码:
, x+ b) S1 k3 Q, |1 v9 N5 C, W- t7 {5 ]' J+ D* @, r
'''
7 C. X4 q: U% M$ ~9 t共轭梯度法(Conjugate Gradients, CG)求优化解, m 为多项式次数
% B* [  o3 |# o$ O5 z3 n! A- dataset 数据集
$ Y$ E1 W, G/ \" w; P- m 多项式次数, 默认为 5" \. W0 \  W6 T
- regularize 正则化参数, 若为 0 则不进行正则化
& J3 @: A4 H% B! [3 v) D'''6 |" n# q0 C. @9 G* i" d) _
def CG(dataset, m = 5, regularize = 0):
0 a$ G7 b# `! j    X = np.array([dataset[:, 0] ** i for i in range(m + 1)]).T
+ _3 k" `$ @* G% L4 }) f  _    A = np.dot(X.T, X) + regularize * np.eye(m + 1)
0 ^. J+ d1 j) F: k$ z- S. A    assert np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0), '矩阵不满足正定!'
3 `6 X$ U" x, P    b = np.dot(X.T, dataset[:, 1])
( K0 F4 d8 x' B; Z4 l+ }7 G2 Q5 L6 v    w = np.random.rand(m + 1)
; N; l, [; i, o& z0 g    epsilon = 1e-5
& K& h' ?7 r( q6 h, Y/ e9 ?
9 T/ z" t# i' b1 o    # 初始化参数" ?7 x( a) W: d$ ^" o. U! Q
    d = r = b - np.dot(A, w)" q8 W) \; Q* w
    r0 = r' [! l' ]$ d! O9 n$ O
    while True:9 S% v" O$ l) i
        alpha = np.dot(r.T, r) / np.dot(np.dot(d, A), d)5 d' u$ }% ?! N9 B1 q2 X( d1 x8 X
        w += alpha * d
" x+ R/ D! b* W+ _0 ]- S. x0 f5 y        new_r = r - alpha * np.dot(A, d)/ b( l  j, z5 Z4 E" F. O
        beta = np.dot(new_r.T, new_r) / np.dot(r.T, r)+ n$ j. N5 ~6 I9 F2 |" U9 d6 F: ~3 S
        d = beta * d + new_r% U# W. B5 G% E8 p- Z9 q* ]
        r = new_r: J4 \% ?, J( J" G
        # 基本收敛,停止迭代3 F, x, Q8 \& l8 T- v
        if np.linalg.norm(r) / np.linalg.norm(r0) < epsilon:
6 e- d2 `  t% K( g            break
6 O# l8 w, _" {( k: d( Y( p+ A: z* e    return w
. U$ j; L' n1 g5 k4 W1 D- ~! \$ W9 O% s
1
6 j8 a5 n* ]) i# V# R& w0 o/ ]) r2
+ U5 r2 T' L( `6 ~+ y; A3' N$ i+ P4 t. _
4
/ U/ v) _1 [' n4 s, Y53 a" A! o1 m; k: _2 `  @# `$ `
6
3 J$ v( ?6 \( a8 c) L7% k7 Q. [9 g* R5 v
8: p8 e& w' z) i2 S
90 \2 @( \) Y. Z. h
102 G1 t) S2 B' t3 H( `' N
11
# y  m# j& z. j; N12
0 D1 ]' W2 S/ t+ Q, p13' ]+ O/ j4 z3 m0 y6 P, x9 c
14) \& U8 Q' v4 K0 v( \
15" g' m8 o) E$ b8 N2 `, v0 x
16( {8 t+ l: R' D- Q
17" ]: m" Z& v7 X( @; q+ |: H+ Q+ s9 ^
183 Z  ~1 N) y0 q
19
+ g+ e5 M6 w: [( _20
4 t& [4 B* y" ]+ A+ K' B212 l( p3 i7 N) }# z* L5 T
22
8 b! v% P' j+ E2 I( X23/ [7 {# t/ z$ y5 b4 [7 p4 Z4 a, Z
24
% \6 n6 [5 c" @, S* k25
4 ^7 ]2 C6 {5 r; ?5 u26
' V" f( \0 ^4 h* B$ z; h27
4 _' X8 f) D( u5 ?' f/ K28
4 L! T2 J& \, C7 s& L/ P) M+ a8 c相比于朴素的梯度下降法,共轭梯度法收敛迅速且稳定。不过在多项式次数增加时拟合效果会变差:在m = 7 m=7m=7时,其与最小二乘法对比如下:, S2 n/ _* J1 X0 r/ e1 j0 B

5 N( h. B8 C  ?此时,仍然可以通过正则项部分缓解(图为m = 7 , λ = 1 m=7,\lambda=1m=7,λ=1):
2 z3 }, D$ K0 o( D! Q, j: S% N# |( t9 y
最后附上四种方法的拟合图像(基本都一样)和主函数,可以根据实验要求调整参数:
: \8 q/ [9 z! u. r) ~. z4 _! k* a* K6 S% y, x. l4 W. F
3 k! ]7 s3 K6 d9 {% a+ z3 n3 ?- C
if __name__ == '__main__':7 _- Y* r6 t7 k' P
    warnings.simplefilter('error')
; @5 Y5 H8 \' R$ g) c
# l2 d2 H: e. i6 u! i! r& H    dataset = get_dataset(bound = (-3, 3))
' b6 l. P8 V. N2 l; E    # 绘制数据集散点图
8 E9 E0 b4 y. I5 g$ \& G: x    for [x, y] in dataset:& h& G$ a. P9 q: K3 v) ]3 M- d! q
        plt.scatter(x, y, color = 'red')2 _( j/ n5 K- r, B" c4 Q, B/ J4 n

! F' o- L. h1 V8 _3 u: A1 {$ g; ?: g) e6 E$ F$ v1 E4 m
    # 最小二乘法, W) M3 u1 S( @; Z; ^
    coef1 = fit(dataset)
2 M& r* @# Z; ?$ d& U$ @    # 岭回归
0 s4 a( e' L& f. Q    coef2 = ridge_regression(dataset)0 w" |$ X$ k% v& R* T3 q+ A" W! f1 I
    # 梯度下降法5 ~1 J" V' ?9 `! ^9 z
    coef3 = GD(dataset, m = 3)
/ |+ K+ }0 |0 p    # 共轭梯度法# y) Y' |3 M4 v) U) @
    coef4 = CG(dataset)/ E4 X9 A, X- k( ?+ |. l& s% |, q

' `$ N0 v: ?$ R% `8 i. }5 x% P    # 绘制出四种方法的曲线: f$ I+ a# S5 x( D) P2 H
    draw(dataset, coef1, color = 'red', label = 'OLS')5 E- U% o+ \& _) J& D6 z/ }
    draw(dataset, coef2, color = 'black', label = 'Ridge'); ~- ~) w+ X9 U, k; N
    draw(dataset, coef3, color = 'purple', label = 'GD')
" t1 k0 o0 D3 z* P    draw(dataset, coef4, color = 'green', label = 'CG(lambda:0)')
+ }' d# W7 p3 G1 t2 M0 t1 S
% @- L0 H* R0 t( S    # 绘制标签, 显示图像
2 i, Q: `; B5 @( E, L    plt.legend()7 t- Q; ^, ]) Y. E' v+ U3 K# {
    plt.show()
  Q. z; l" g9 U7 B; j) m& }$ |; b& |! o4 x& \# X" Q0 Z5 c4 {0 i
————————————————' @+ C' ]3 i' h$ y- r
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8 a! [0 o; }" X6 s/ E! N原文链接:https://blog.csdn.net/wyn1564464568/article/details/126819062
) O; M2 v; d5 n- X- L
4 j: p( r2 Y8 `4 R
2 M2 p- f& O3 o( `9 d+ ]* O( h




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