4 g0 l. d; e+ e, U, ^+ MNNLM 模型直接通过一个神经网络结构对 n 元条件概率进行评估,其基本结构如下: 2 t( x, r, x, u: b L. k4 j5 l" H2 D8 C
, X& \5 t* n: D2. 基本原理. S6 Y" h# G! N& l- y3 i
NNLM 的概率函数是:! g; F/ H6 m- j4 j/ j/ g; E. A
(2.1) f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = p ( w t ∣ w 1 t − 1 ) f(w_t,w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=p(w_t|w^{t-1}_1) \tag{2.1}- u1 r. ^: e2 c7 W9 d! ~/ t# y2 d
f(w 9 M" H+ b" v0 T2 k: L/ s
t& o/ M7 i/ A5 s |
+ A- p5 q2 `: y9 e ,w : e% A) {2 i" Q6 I8 ]6 d i1 U1 Q
t−1 . c" E' H1 n* P$ f) F . {- C) T; `& | y& C
,...,w ' t3 o+ Z* ?2 Qt−n+2 8 ~7 P* @, o7 t 3 `8 C- v- D5 u% D9 \/ k7 o
,w 2 K$ X$ }* k' w8 T9 R% @. Zt−n+1 / h$ s( r- q8 ]( O% T5 E ! g) {( t" r, k# |6 z- ~! \
)=p(w ( S R) {: m4 i! C3 I8 u# j
t & u# k: o% g& m- `" z * D4 d! t2 U& @7 x6 h. E p8 X ∣w # r1 X. z# e- O) d" D9 k+ V
1 * f2 m0 R/ O; ~" T c+ bt−1/ r6 n: k5 _+ H
: F; A' \& X. v c' E" L )(2.1) ' r! r' Q3 F% k+ k4 I7 N6 M8 P; W( S1 n; i
给定一段序列时,由其前面的 n-1个词预测第 n 个词的概率。其中 w t w_t w ) J' Z+ a+ Q& ?, s# s7 Rt " z) Y1 H' j0 V2 O6 z" ^+ N : x3 w, t& i& h9 t8 c; i 表示第 t 个词, w 1 t − 1 w_1^{t-1} w / G! a! A. J Z1 O
1# O: f* b8 \) `+ A: h J+ ?' D
t−1' q9 U5 Y3 y% a3 ]& o0 k; j
% u) _" O5 x+ e% `0 _" Q
表示从第一个词到第 t 个词组成的序列,且模型满足: & r# C2 K! K( h: @(2.2) { f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) > 0 ∑ i = 1 V f ( w i , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = 1 & L- T8 y& X# w. s; D: b* b$ H{f(wt,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)∑Vi=1f(wi,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)=1gt;00 A7 K: c* P: }: y
{f(wt,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)gt;0∑i=1Vf(wi,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)=11 S# j& g; P3 U( G; Q+ C2 N
\tag{2.2}5 b4 k& w: Y' l% x( e
{ : y- [ ~, k$ T) S. G1 _
f(w + T. G. W6 @! l+ s) _t 4 g9 `; i+ @' x, ^4 ] 1 H2 _7 W3 Z r, u! v, p, _/ d ,w ; `6 ]; C6 R' T6 [ Ot−1 8 U9 e: ]+ f8 n9 F1 c / ~3 S/ b9 z( l7 x ,...,w + Z" s: D* o# i/ {- M; O
t−n+2 4 F! Q$ e8 A/ D& `( q9 P: Z& J 4 S9 t6 L5 S5 U( d4 A+ R4 { ,w , K( s/ o% T( [2 | W; S) n
t−n+1& K" K' o8 w T' W, n
0 c* _. U$ `$ ~- D# Z1 v$ O
)>0 3 Y5 V1 Y" s( O. ]! n. q∑ ' _; G" W0 h2 W! }i=1, n! H6 Z- p! O1 U5 M
V ( I1 b! L# Z2 r, s' g 5 ~) v7 a7 F8 H( @* _ f(w 0 J1 Q3 ] ^6 J( v- V9 `i 8 b) d" H* I/ C, ]7 ?+ u. I: L , f5 K9 n4 A% \- [
,w 2 @) U5 s; P; N; l3 i6 it−15 |& Z8 Y, H* i- R
( i5 u. h. |, L) T o
,...,w - b& {5 J( f3 u( c. ~. Lt−n+2: e8 h( U1 h. g% e" T& a
. K8 P% P6 A; w0 X) |" K( K; p' N8 j ,w / p+ g% |* q* T% ~' A Gt−n+1 : e9 Y8 t2 \7 |: t * \4 p* M* _' o. O( ] )=1& p4 \( O- C6 J
. O8 ^: Y9 _" b/ f: M% Y (2.2); C. K. H0 y6 [$ H2 {5 z; r
_( g- A0 @& G6 M其中 V 为词汇表的大小,即需要满足通过网络预测的每个词的概率都大于0,且所有词的概率之和为1 7 s; N* a% r( T5 P$ g' ~8 @7 W. X Q2 J7 o6 F, K
3. 算法流程 $ S! ]8 [$ Z7 m6 S$ n" z输入:一系列长度为 n 的文本序列训练集,词向量的维度 M,学习率 η \eta η ' M# K, h }/ k5 D3 N# Q: m3 X' \4 r% C ]# W8 M
输出:每一个词的词向量 x w x_w x - J; _* W: s& K6 J/ r
w ) D% e! ?& F6 ~ 1 R9 A7 s- o# S: v. l6 A+ C0 G
, o- v }/ l6 |. c4 s2 s* f/ c' ~3 z& z/ |* c; M
第一步对训练集进行分词得到词汇表,每一个单词对应一个索引 i i i 6 s5 r% w8 u( p8 q/ C8 L 4 D: X' I, W: r' y第二步随机初始化所有模型参数和映射矩阵 C ∈ R V ∗ N C\in R^{V*N} C∈R C" X3 S% ^ y& S3 x l
V∗N , V. ]0 ?" @- t" M f9 K) O$ i1 `8 B. H4 j0 ~) q3 T - q6 }4 i. m2 F第三步特征映射,通过映射矩阵 C ∈ R V ∗ M C\in R^{V*M} C∈R . T) ]; ^% W0 U7 b h
V∗M3 Y8 F+ V) f9 k. `
将每一个词映射成一个特征向量, C ( w i ) ∈ R M C(w_i)\in R^M C(w 3 x+ T7 ?, I* R
i9 g8 R7 z+ M( c% `4 C; B# m+ m7 W
- t# X4 Q; {& }' p8 g )∈R 7 G3 Y) E! y/ h+ U7 K
M6 p- Q6 j2 L" B
表示第 i i i 个词的词向量,然后将得到的词向量拼接成一个 ( n − 1 ) M (n-1)M (n−1)M 维的向量(这里我们定义为 h h h): ( C ( w t − n + 1 ) , . . . , C ( w t − 1 ) ) : = h (C(w_{t-n+1}),...,C(w_{t-1})):=h (C(w ( i6 C) T7 I4 V. ^" ^
t−n+1* A! {6 u. D; }& n
3 I" m$ [# Q* z; }4 `
),...,C(w % ?; p! W! [0 F& ?! k7 u( i
t−1 9 ~6 S" z! d1 S$ W5 ~: R/ a 6 E& j* V9 Y) u )):=h6 Z0 b/ m( j& f8 ~8 ^
6 M, w6 [7 R/ J) Z- N; ^ N
第四步计算条件分布概率:通过一个函数 g g g 将输入的词向量序列 h h h 转化成一个概率分布 y ∈ R V y\in R^V y∈R 1 f/ F! G* y2 ?' O
V3 p7 L! N2 i ^" p8 u: R8 Z- ]: G
,其中第 i i i 个元素表示预测的词是第 i i i 个词的概率 - Q7 V2 R6 I3 p2 W(2.3) f ( w i , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = g ( w i , h ) f(w_i,w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=g(w_i,h) \tag{2.3}7 K! k" M- R9 c* }) M
f(w 7 w, O: u& }5 ]9 h/ A0 s
i% q- w0 v: U. V5 j
9 d/ S, b' ~% n x
,w 4 W6 S7 q$ `" G' @( z8 K
t−1 ! T" |) B3 S# I+ S( g- N" n " b" U- ?- a! x# D5 ` ,...,w 4 l3 ~0 G8 W; E+ e: y' P
t−n+2! i" s& \5 x" F5 M0 N! |* i
# }2 M5 d* ^( |8 s( ~5 }+ l7 X. [' T, } ,w ; N2 Y T7 |/ t# Z
t−n+1/ H; x p# X2 t' n" g" g
9 |" r7 K1 `# K* w" L" @ )=g(w ; U9 b+ a" R8 J' U0 I: l9 ~3 M- I6 ii$ G7 G6 L3 d, T( o- b+ ]
' \3 p! u1 C$ n2 x# v; ?, q3 x ,h)(2.3) g- @+ Z% c& X- p1 Y! m. r: l1 M, D4 \0 M8 k. c/ b
第五步定义神经网络输出层输出:# A6 c+ z: }; p4 S5 t
(2.4) p ( w t ∣ w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = e x p ( y w t ) ∑ i V e x p ( y w i ) p(w_t|w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=\frac{exp(y_{w_t})}{\sum^V_iexp(y_{w_i})} \tag{2.4} * R; l3 q+ S5 u: qp(w + l+ A @) g) f7 h: Ft $ w: }/ e/ U; q V: R1 L' ]# a ! g- Z" u# o& g6 n' G$ d; l/ N% F i
∣w 7 m, ^3 j2 Y: ^0 t4 N. a2 F+ Ct−1 / D# Y! H7 {4 ^/ ?" q2 t ' [8 m' a9 J3 e6 X* V9 C ,...,w $ o9 I$ u) {3 V, t0 X/ z1 W
t−n+2 # l- U, D& H3 j- }0 K; V+ } + n0 s& O9 _$ | ,w ; A3 w# t( g" Z$ _! ^t−n+1 / o5 Z, J/ Z+ w6 T6 ^$ W 1 ~, ~& }5 q8 y; N )= - ^5 I: b7 s5 J1 R8 A∑ # X) G. m- N: E2 ei 5 h$ ?! o1 O# g$ I& gV 5 f- O9 X& j$ L, X7 \* p) ` + `( z" C* {5 Y* k, a7 y
exp(y E, I5 F2 u3 T! G H! Z
w , X! C: v; N+ O7 f" T( ri5 h% m! _3 v9 H/ Q# Q
% n0 n" Y& a( P9 g ( I3 o# Q/ m+ o& g9 b g4 {; l! p$ Z& B
)8 e( {8 h; I( m! Z# p
exp(y 6 y- k @) m6 W9 U7 l
w $ V' f/ o; t. r9 R/ E' }" v" k
t: y0 r G; a* U9 ~! h% s
5 y9 z1 }+ `' T" C) o& G+ G
?! C, @: @& s" s 5 d6 h7 o2 z4 x4 H R )# \5 J/ I+ T0 H9 U, x- W7 c
; G- t, H O) _+ Z# x4 P
(2.4) $ k+ C2 M* g* H7 q" ^$ d& c 5 m. X6 U0 G" ^+ U) H& Z3 \其中 y = b + W + U t a n h ( d + H x ) y=b+W+Utanh(d+Hx) y=b+W+Utanh(d+Hx),模型的参数 θ = ( b , d , W , U , H , C ) , x = h \theta=(b,d,W,U,H,C),x=h θ=(b,d,W,U,H,C),x=h 是神经网络的输入。 W ∈ R V ∗ ( n − 1 ) M , H ∈ R Q ∗ ( n − 1 ) M , U ∈ R V ∗ Q W\in R^{V*(n-1)M},H\in R^{Q*(n-1)M},U\in R^{V*Q} W∈R , _- m2 K; S2 s6 }! ]V∗(n−1)M. l3 j9 f' V+ M) O
,H∈R - m( R3 y; h9 l/ V. G, _& O% j
Q∗(n−1)M U3 ^9 Z; W0 Y! U @( ~4 Q- ~
,U∈R , f! c) Z- {1 ^/ A$ V1 S
V∗Q* U0 i1 C3 U. _( k4 A! @
,其中 W W W 是可选参数, H H H 是输入层到隐藏层的权重矩阵, U U U 是隐藏层到输出层的权重矩阵, d , b d,b d,b 是偏置。& |, d* M6 S, E: i
) N% K% }1 E8 ^
第六步定义似然函数并更新参数:7 ^9 P! T0 k8 R) q0 d
(2.5) L = 1 T ∑ t l o g f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 1 ; θ ) + R ( θ ) L=\frac 1T\sum_tlogf(w_t,w_{t-1},...,w_{t-n+1};\theta)+R(\theta) \tag{2.5} 3 I! x; z; s, u9 eL= * r) F2 Q. H# F) n* N9 e1 CT 5 m# q4 F& D" h& x1/ m$ e" y+ V+ A& M% {/ v
/ }: x! ]* b6 \7 G
1 h% ^" x$ j) c. A1 Ut6 _: w$ K8 T% {+ X) o
∑ 5 w: r( z; ]! F+ P* I 8 b8 r' J0 V- Z* T# u: y/ N" ~
logf(w " r# x: @6 H6 r ?5 R7 Lt9 S9 g4 g4 |5 ?3 i
. J- v5 E$ ?9 A& A" x- ~) F
,w 9 N$ g1 M0 R: s0 }0 S; e: Q/ ~. c, k( @. ot−1# G4 G7 d4 R0 H- H5 e b
0 C- t( A. ~! O& u" Y' z7 n: s
,...,w 7 p+ a% U# b: |) o u+ @t−n+1 2 n0 N" _$ N5 x2 P9 q $ z( K' u4 ?& c+ e$ m6 X3 z0 H
;θ)+R(θ)(2.5) + m, k* A6 E8 L, j$ k/ l* e( X; z. {- f% \; d+ t, c
(2.6) θ ← θ + η ∂ l o g p ( w t ∣ w t − 1 , . . . , w t − n + 1 ) ∂ θ \theta \leftarrow\theta + \eta\frac{\partial logp(w_t|w_{t-1},...,w_{t-n+1})}{\partial \theta} \tag{2.6} w6 }' k+ g7 \; u) T. vθ←θ+η 9 A# k D/ F! f4 i5 Y3 F
∂θ , }' O0 h+ o& f+ E8 r6 o: ]! P0 Z∂logp(w + V" g3 x/ z) K2 Y- y7 J
t & U; w% h; a! D0 G3 N& L% | # N$ Y7 v1 o( M; `! R4 J; P8 ?5 H2 D
∣w ( H+ e( i* t4 M- F2 O9 J4 X" }7 lt−1 6 h3 n6 H+ j: H' G! B2 H 5 {/ v+ Y3 t, W& D6 r3 S ,...,w 4 ^ H. @' Z0 H q5 y
t−n+1. |2 T M3 M( E8 D
+ V( K" A8 U. p! Q ) : `; n- A! d. A3 l# d 1 P! i2 ]) p2 t% n9 n! a (2.6)$ A, D) W% X4 S4 O4 m
- r6 K: p. W3 i$ |2 A" Z" J
其中 R ( θ ) R(\theta) R(θ) 是正则项 * f/ ]7 P$ T0 _0 j# {( V/ }& p7 q6 L. u+ g- v& J
三、词向量模型 Word2Vec8 I$ s7 b% O% J5 o! ^
1. 简单介绍 n- c- A! {; y- p0 E
word2vec 模型其实就是一个简单的神经网络,输入层是One-Hot Vector,中间隐藏层没有激活函数,输出层维度和输入层维度一样,用 softmax 回归。这个模型的产物是隐藏层训练好的参数,对应着每一个词的词向量表示。它本质上是一种单词聚类的方法,是实现单词语义推测、句子情感分析等目的一种手段。但是它的 context 窗口很小,没有使用全局的 cooccur,所以实际上对 cooccur 的利用很少。 & ]' d* E: }# S7 m1 Z. F+ w; t9 |! D; ~. u/ ~2 \
模型根据输入和输出的定义可分为 CBOW(Continuous Bag-of-Words)与 Skip-Gram 两种模型。CBOW 的输入是某个词的上下文词的词向量,输出是该词的词向量。Skip-Gram 则是与 CBOW 相反,输入是一个词的词向量,输出是该词对应的上下文词的词向量。CBOW 在只适合在少量数据集中训练,而 Skip-Gram 在大型的语料集中表现更好。 , @* g1 f( m4 ?0 c0 u9 Q' ?& x3 I' W B0 Z3 H. O( N" L
0 ~9 v$ m) c% t
2. CBOW 模型/ q+ M5 F) R( m8 L" L
8 Z' Z, d, q5 J& |+ S5 d! f1 H# ^% k% v( A/ _$ e2 O" V( Z! @
输入层是由上下文的词的 One-hot 编码 { x 1 , . . . , x C } \{x_1, ... , x_C\} {x 8 r% j/ i8 t- p1+ J6 }3 m, m& U" q2 V0 }
% K& P0 S+ v% H1 a8 O, s
,...,x {$ [6 m& w3 v
C4 _0 m: j4 P5 E* p9 h
' P: e+ g7 B3 r" _% e
} 组成,其中窗口大小为C,词汇表大小为V,隐藏层是N维的向量,输出是 One-hot 编码的输出单词 y y y,输入的 One-hot 向量通过一个 V × N 维的权重矩阵 W W W 连接到隐藏层,再通过一个 N × V 的矩阵 W T W^T W 4 h3 J& \+ Q# \0 ]5 j- R: A9 vT: G3 J! Z! `$ A; v' K) y; ?, }
连接到输出层。0 Q# f- R5 }( a3 C; K
6 Y& Y {5 i6 A( X: }/ k! k" G: |2.1 总体算法流程7 q. f; f, ~! q+ O! i$ X
输入:语料训练样本,词向量的维度大小 N N N,CBOW 的上下文窗口大小 C C C ,步长 η \eta η8 {' k5 N5 A" B" ?
, h5 X7 ?' N) D
输出:所有词的输入词向量 v v v 和输出词向量 v ′ v' v % V" n+ Z9 G( a% w/ \, w) c0 o
′3 z( Q; O' K1 ]* q* v0 }' G
,即权重矩阵 W W W 和 W ′ W' W 4 R( B$ ?7 w7 o* [) v
′6 m# }) u% v( Z i* e
4 [! J5 l/ d7 `3 `4 [* v2 U
" X0 L$ Z7 U3 ]! b* Z* G) T }第一步随机初始化模型参数 W W W 和 W ′ W' W 8 S1 X% S# V* G! C; f′ - o- \* |4 O3 |( g# n* v- t 5 o0 H8 H p- W! e) T' E8 O# }5 ?3 e- I9 Y
第二步计算隐藏层 h h h 的输出: $ h# H5 X1 m6 W(3.2.1) h = 1 C W T ⋅ ( ∑ i = 1 C x i ) = 1 C ( v w 1 + v w 2 + . . . + v w C ) T h = \frac 1C W^T⋅(\sum^C_{i=1}x_i)=\frac 1C(v_{w_1}+v_{w_2}+...+v_{w_C})^T \tag{3.2.1} 7 P! a1 P y: i. A) rh= * A( _* c1 A: Q8 ~( T7 t( cC; z0 {- E" `* [
1 0 M; c! A8 Z' N% L 2 u8 T! B1 D3 ~
W ( r4 }/ e4 D; m5 g' W9 w/ PT % h9 a! M5 Q' N- A ⋅( 5 L- F+ C5 O* E* [: H6 ?& F5 x9 t" Fi=1 * }. a, B+ x! }∑# t! V3 {4 b1 V2 O8 {) ]
C# b0 I2 v, x& v+ J/ z" j
& S+ B# @, A0 G- @7 {' r
x 3 H- Z% d' e& t0 s
i ! c9 b" a( l2 z* h. T % [- x( y" v# K: v
)= & h. D8 p8 y* l$ ZC 4 X. E/ M6 z/ m% H8 f10 q8 [$ ]" l* U8 L0 H9 q6 C0 k+ n
9 ~6 i. e( Z" T
(v " W' z" E: ^( I8 M. \9 ?* Iw : D% R% t% _. E" {+ R7 ~! Y/ @8 k7 S1) M+ p! V3 p7 m1 ]: o
" i9 v4 |9 f5 f + y4 ?3 I! {: G/ L. o( x/ u 1 ~7 m9 u% M7 u+ C
+v ; \( a3 z5 p E; U4 i) ~1 G v" iw . p' m& g% }2 a) Q9 |8 n9 n20 k. o1 A t' t5 K D+ k
: M4 D2 X5 u' P7 n6 M
0 R- Q8 f, }8 K ; y: U: t. ]1 y +...+v 0 ?, a. D' r7 f" H4 mw - G5 b7 P- f/ x, _% Q* M- v
C , p! Y' C# S& C( O. O8 w1 |* \& i3 b 0 S; R1 ]- A8 {9 A' B8 [& [' U' Y/ _ K. P
* b# v/ {5 n1 O {! G, x( K6 ~
) c9 O& l+ `% HT: r$ `5 |7 H' ^8 p( T0 B
(3.2.1), L6 F$ Y! Q8 e; t6 e, U8 ~6 O
( Y5 G, ^2 a! T; Y第三步计算输出层的输入: 5 h' l5 @$ p6 i' G: ?+ S1 T5 k+ f6 i; Y, B7 H, r9 y) T
(3.2.2) u = h ⋅ W ′ u=h\cdot W' \tag{3.2.2} 4 } q. o- `& w9 L( V9 c7 qu=h⋅W ) x0 Y! I8 c' B/ g6 _* n Y′) l b9 ^0 H9 t" ]6 E
(3.2.2) k1 k4 J0 o \6 Q2 c
; W, [0 y; B _3 H w( t5 _9 \' g
第四步计算输出层的输出: 3 k0 V1 y! v* z6 m% u0 v/ m(3.2.3) y c , j = p ( w y , j ∣ w 1 , . . . , w c ) = e x p ( u j ) ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) y_{c,j} = p(w_{y,j}|w_1,...,w_c) = \frac {exp(u_j)}{\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})} \tag{3.2.3} 2 x, H, O7 q" [. qy $ i( P a4 \2 k. U1 xc,j " N. }: W; c% ], I2 C$ \7 b 4 R' ]* U9 i2 _( n =p(w 8 o& S( X% J# T/ q
y,j " R) S, y! P, f6 I, L8 z 0 a4 N2 }! `9 ?, u
∣w : x$ ^% W' `$ N6 b6 {6 L4 }6 q
1+ c. w6 s) v% X6 R% q
* U; C( N. R3 s8 T# M& X5 o
,...,w & B' z5 g S( V0 ac / b, {8 L K7 k # J6 y2 |" b7 \1 f( J4 X
)= 0 I& J z! \# L7 C3 u
∑ ( p5 b3 i5 p' } @3 m
j # x# k( U% I# G: Q3 b3 m) |3 i0 ]* B
′. F% m9 d% h/ e* A w
=1( q: U: I# p, Q3 F9 S- D
V ! j4 ]+ |; g6 s* s 7 T0 t4 {$ T) Q; X2 j) u4 { exp(u + T) X3 i2 j3 }8 @$ V
j 8 a- c2 I& l! _: y3 f
′0 r& O0 ]% r1 f- e$ p @/ [ K3 s Y
b1 D J( \; r6 y3 D) [) p2 w6 {
4 o' u r- h7 E! m3 v" w )6 K( X4 A: j. X* {: c
exp(u # H( p7 c, `3 i5 K2 E0 aj 9 a! ^; `6 W8 v) S5 f % d; K& k H k. @
), U: f0 {# H0 N" k. \7 M
% n y y* b3 \2 L8 T' }% q& I
(3.2.3) - D3 }6 a, D/ M( \2 M# |7 d. ^) W" Z3 K* m
其中 u j u_j u # r+ W+ y8 h% k/ E
j # _! m" _2 \: F8 q + }& `4 p7 e3 r2 P" A; R! W2 E+ B
是输出 u u u 的第 j j j 个数,即对应的第 j j j 个词的概率。 . b D2 m: H- u, t6 m 0 j# M9 n8 L6 D3 y1 b' d9 j: \& t K2 x第五步定义损失函数,即为给定上下文的输出单词的条件概率,取对数形式:: X, _$ p9 W# b% N, _6 H6 |. f( n9 p
(3.2.4) L o s s = − l o g p ( w O ∣ w I ) = − u j o + l o g ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) Loss = -logp(w_O|w_I) = -u_{j_o} + log\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'}) \tag{3.2.4}0 O8 G8 V5 X7 a! a% y5 \- k
Loss=−logp(w / o- V3 X, @$ b DO* |1 Z6 r B0 s: T, y/ U
0 { m+ ~6 Y0 C+ Z4 @+ N& P( a/ K ∣w 7 U5 u. F' u. F! I( }
I$ w3 [2 P, c" d$ v" [1 ?" ?* H% ^
/ T0 H+ \' o: w: m+ f
)=−u ]! m6 S* w! W9 ^9 z7 Q8 a
j 2 t/ z% M/ Y: o, K* D, Ho + K+ V, q/ G$ U+ J+ S4 c, Z4 a 2 N3 i; }# N3 w, m! p$ e6 A$ a
$ P9 q8 s- W1 o+ ^7 ?5 s( \8 l
6 U! U+ b5 o& o. y# x
+log + {; g3 A' K1 [( G9 v! \. \j / W* f& O4 Q% m′" w5 f$ K& B+ T9 r7 m# f
=1 ; s3 j2 V0 s2 j1 s/ t" d) K% Q1 Z* _∑ 3 n0 T/ W/ \: C, }: UV * C. \/ f9 d4 \' u* B, R0 Y - r4 S5 N8 [8 U# d! X: K* f
exp(u ! T P: z+ J$ c2 n; Lj $ ^: e% ]( h* u" }' d$ V! K′- y! }- D* W# R- \* {, Y6 N/ M
% _# ?! E3 c& s3 I8 H
/ S5 d9 r( v' @5 _- \0 S# k" a/ S
)(3.2.4)' P" M+ R: D- f1 X% f" E1 h
( o [# y3 z/ ~: @
其中 j o j_o j & `; Q7 W6 j' U; Z& {5 E( ?. s& Z2 Xo# c' _* J# s9 X0 f
' {' h( c$ @4 o' U7 y" d 是真实输出的词的索引值,我们的目标是最小化 L o s s Loss Loss 。8 e0 k! x4 e6 |1 `: g% l* T* U
+ \8 ^/ S6 T t: j( c9 m# \第六步对上述 L o s s Loss Loss 求偏导并更新输出层权重矩阵 $W’ 与隐藏层权重矩阵 $ W W W 直到梯度收敛:9 {9 W [9 }6 ^1 }/ v( o- s
(3.2.5) ∂ l o s s ∂ u j = y c , j − t j : = e j \frac {\partial loss}{\partial u_j}=y_{c,j} - t_j:=e_j \tag{3.2.5} " O' ^+ w$ \2 N% {2 A* ?, X" h∂u 0 \& P2 H# f" a9 }8 g# A5 m! yj, o1 D' O# e5 {3 o" q3 ?& G
9 Z$ b: w; v% C0 B: h
! `0 \7 l- S1 L∂loss c! L8 X( x1 \, T# Z" k+ E8 d
! Y" ?6 E7 y# g4 Z2 d: `2 r =y 6 w1 y2 `) L. ~c,j ! f# d1 r- Y( s( s8 j4 a9 o j6 ] 8 v6 r1 f2 r, ?& M −t 0 Z& z& J" _, }- Mj 5 d% m6 c6 e* p/ t3 m8 t ; {! o8 a! d4 V9 [; U3 m
:=e " y6 Y O* O; ^7 ]
j$ u* }" [' ?$ L3 L, I
, @( s6 }# r) |- k (3.2.5) 1 Z! z/ \! i1 R0 i M7 ?/ n0 @& K( _/ A9 b( I) S: F$ k( b, v( Z
其中 t j t_j t 4 `' N: Q" H% v4 v/ W( dj , P' w$ ~ u. j 8 y" ?4 y5 `2 ?) ? F5 C 当 j = j o j=j_o j=j & {! T1 G' J3 M5 J5 io1 `1 {' h o. g
' d, O$ F2 F) I# K7 R2 c. ?( f/ R 时等于1,其他情况为0 。然后可求出输出层权重的梯度:1 d& R; o2 f# m5 q' u) p+ {
(3.2.6) ∂ l o s s ∂ W i j ′ = ∂ l o s s ∂ u j ⋅ ∂ u j ∂ W i j ′ = e j ⋅ h i \frac {\partial loss}{\partial W'_{ij}}=\frac {\partial loss}{\partial u_j}\cdot\frac {\partial u_j}{\partial W'_{ij}}=e_j\cdot h_i \tag{3.2.6}; M6 o7 ]) C( {/ U
∂W / {( V5 c" p8 ]" P }/ g4 |ij+ H' T9 Q( o- Y5 R; d
′! d7 y. u% [' B: a ]$ h
9 j7 j Y# r- U 2 G7 F4 z4 d* o4 q" V! E+ m∂loss 8 x( T7 Y1 w4 _ # I9 S" I! { y9 p: c/ x2 x
= . c( {; c# V( W. r7 {4 Y- R
∂u 0 M( a1 k, O- z" Aj 1 @8 ^/ Z: S0 g8 o. f. H 4 J2 ]% P6 ~! ~ # ?6 S" D2 u, b* O. J# w∂loss. B* O/ O& l9 K5 @0 m
* P* @; N% Y) ?/ j: G# l ⋅ 9 `' K5 J# d, x; T. o, u e
∂W # ?. Z( E X0 I1 r5 w
ij * k* U P; n% o1 M ~′" l* r+ M3 y. i! o! f
. C& r0 {7 U6 f7 @- E, ]0 V0 [0 D# z5 I+ c6 P! e1 H( v; o
∂u 5 ]; N" S3 ]5 R9 j4 I7 X' kj / o. r% D0 ]# n 4 r2 g! _, ?9 @
/ Z H! u/ Z8 k! K: G+ p& w Y
2 W$ A+ Q J L) t =e C0 [1 T& L( G$ s
j 1 p/ ]" V) a% h) _" T+ _3 |6 W 0 x, K* w5 Y+ O! V. S( }' ^4 f
⋅h 9 p* q* ~9 v m2 ^$ i. _% }i * Y% V' S/ O) I1 w0 w * L/ u e W2 z# ~! | (3.2.6)" x( b9 ~4 N1 o1 ^: e: F
) v& k% r: R0 s% ? b! X4 ~* j
则输出层权重更新规则如下:2 V+ i) t/ E% `6 V
(3.2.7) W i j ′ ( n e w ) = W i j ′ ( o l d ) − η ⋅ e j ⋅ h i W'^{(new)}_{ij}=W'^{(old)}_{ij}-\eta\cdot e_j\cdot h_i \tag{3.2.7} * M7 S) k g$ \' SW 7 s# w. L1 t' gij & c7 g$ }, s) y′(new) 7 G& H. k d6 t% C7 b - w. u+ ?4 m8 P! F$ t4 K* J/ u) | | =W % y9 Q& q/ b$ j" I6 [& T5 i. }- @ij, o W2 l+ R/ D- ?
′(old)1 C0 m% t' p+ S# s5 g
3 D" P" r1 `/ a6 h+ G
−η⋅e % o( M4 S+ ?. _- C" o4 m0 Jj / o! F g& A( ^% t [' y ! }7 l; {( q) w0 V [0 T8 q ⋅h , n- y* ]1 \4 Z$ xi 7 y, i6 ?. b- \7 w& W6 _ / L& Q9 U+ z) U$ D (3.2.7) , S& F0 |/ x/ E) Y( X* H% m7 ^4 k ) ]- b! P c* F r/ `9 y8 T- q或者:4 O+ X2 D8 M2 U z* D$ T/ s4 V
(3.2.8) v w j ′ ( n e w ) = v w j ′ ( o l d ) − η ⋅ e j ⋅ h f o r j = 1 , 2 , . . . , V v'^{(new)}_{w_j}=v'^{(old)}_{w_j}-\eta\cdot e_j\cdot h\qquad for\ j=1,2,...,V \tag{3.2.8} ( r1 t( s6 G9 ]9 |" \7 qv ' o1 Z& Y# a4 [4 B6 nw 9 h( \0 i! Q" Z' \. ^j0 z0 [* r* v4 U! B$ |# o
4 c5 m9 F0 i+ A; M; k1 x
/ n5 }0 v. W$ F0 G8 X5 `' O
′(new) * j2 Q( @+ ^2 E! j/ p, f6 z # |. b- r' v: N3 `: D+ ]
=v ) g) F7 {3 g0 cw ; z$ H8 w2 D; V$ J# T
j0 x4 u" D4 Z5 Z7 v% D. M/ L' o
/ Q5 k; I! A8 i( J7 S8 W
! j, }8 v5 r1 _* j
′(old) F/ M. T$ ^; ^5 a6 {( U7 r
; @1 i; ?! s, M" G1 n" F −η⋅e / r5 a* `9 n: G- d3 ~$ Qj 2 Q8 e" Z1 k' K- y , z x1 z2 J) F+ [; M) y ⋅hfor j=1,2,...,V(3.2.8). m$ F6 g. x: A+ ?, V2 c
8 G7 Y, v4 o$ N% h学习率 η > 0 , e j = y c , j − t j , h j \eta>0,e_j=y_{c,j}-t_j,h_j η>0,e - j4 y7 W( ]8 V" uj# ~2 C* L% k4 J5 j: E3 Q* j G
1 o+ a0 u$ T. D/ Y# _# J# o =y + m9 D# j8 l# a( G! T' T' Qc,j6 f/ C% u$ Z! L' D: L* u$ ^
( c" C" g, o8 M5 K
−t 2 ]6 c6 f( y* `% z' Q# R
j! t- N( d7 L6 s( z0 a% N
7 ` N/ |8 T! o% f O ,h ' G% O f4 Z; |, y
j ; M. X1 \, B, q. K- J( t5 ]+ @ 7 U8 L* D, }1 M% Q5 L
是隐藏层的第 j j j 个单元, v w j T v^T_{w_j} v 5 x8 ^! F( J$ e: v1 l
w ) v! i, s6 e; f5 ~' P/ u9 O7 q
j+ |% S* A& p- f4 _& N) m9 i
9 `: l8 P' e @* G) j' s% Y+ Q% z# c p. e
T ( T4 R- ^9 R$ ?" e: K9 I$ o 8 `0 D0 ~) j$ m; @( b7 _ 是单词 w j w_j w - a% n9 T, V, F' A4 ~
j 6 N: C4 t. _7 N% M. J : c. K9 [/ ~. c! v! H 的输出向量 * N$ x% |. ~0 h6 Z. u4 Q. C9 \2 }/ y4 `/ R' Y+ V) H" \! x$ f: \6 E; C
同理 W W W 的梯度: 8 S5 i: [# Z8 k. C# P% }9 e7 b* g2 K(3.2.9) ∂ l o s s ∂ h i = ∑ j = 1 V ∂ l o s s ∂ u j ⋅ ∂ u j ∂ h i = ∑ j = 1 V e j ⋅ W i j ′ : = E H i \frac {\partial loss}{\partial h_i}=\sum^V_{j=1}\frac {\partial loss}{\partial u_j}\cdot\frac {\partial u_j}{\partial h_i}=\sum^V_{j=1}e_j\cdot W'_{ij}:=EH_i \tag{3.2.9}8 _+ r: b; ?6 f8 u" Y
∂h % U" N/ D' k/ t9 l, _
i 8 w' D$ q( Y2 Q# p / |3 s& Y$ c8 C; B! h, O( q* K3 y* b7 L
∂loss : D7 j2 ?9 ]& ^, a : I2 n9 p3 N$ N. A6 o1 P8 I = : V$ Y- \) u- R, v: o5 jj=1 * A0 p. R' L N3 z4 ~) f$ t∑& y) v4 k9 K/ ^
V' g$ n0 @$ b# a4 s
- [. M+ O4 X7 Q. I; M. ^2 M& I! _$ G
∂u 1 P9 I8 V7 ^0 S' e, E" @
j( d2 [% j# W M; L% I4 s
$ d+ N( P' w3 ~- L6 P: i. n- k
2 r3 ]( W0 E7 |" \8 Z3 ~7 [
∂loss % M9 t3 L! q5 ?. u ' j6 u& S) ?* F; t7 I) A6 a
⋅ 5 n9 W3 b' i# ]0 i1 V& y3 n
∂h % k9 }4 G( y3 C! l# _i 5 t( R: |1 r) n $ n# Q6 {9 F2 T/ F w: M2 q
# s, c* C& x: u1 g D+ [∂u O4 N4 e$ V' z6 Yj : Y( Y+ `8 E3 l7 \' m- l 8 \9 F2 S" z1 s) [1 R9 {7 R+ h
, R' M/ u) O( Z
4 z( D% V+ w; a% ` = : X# Z6 _! g2 a2 U7 \0 I$ u' [j=1 ( j; O1 R) L" E; K) v∑ ( {& v$ l$ I6 {0 q5 n# D. IV; b2 }3 N- }# z2 M% p8 R
0 [, G) K% t- O e " a& p9 t' R4 A9 w0 C
j " `0 S: t! N, F 8 v! z- }- N! ~! I8 }
⋅W ) H+ _9 z% x9 k& e0 `+ _5 s
ij 5 ]' ~2 m1 I# J$ n′ z, r5 ]2 N, I8 G
# I9 C4 }9 y. C* ^
:=EH & Z4 U9 z+ ~+ o7 p; I/ S: k! ?
i% `. R1 @! T$ V+ K
! t9 E; C" H' i* w3 _
(3.2.9) & F) n4 Z. h# X/ n" }, {7 R/ N% u+ S . R! R+ [. ?; ]% ?; D9 S9 w. ?4 V又因为) `" J( p) U3 K/ A7 w' Q
(3.2.10) h i = 1 C ∑ c = 1 C v w c i = 1 C ∑ c = 1 C ∑ k = 1 V x w c k ⋅ W k i h_i = \frac 1C\sum^C_{c=1}v_{w_c}^i=\frac 1C\sum^C_{c=1}\sum^V_{k=1}x_{w_c}^k\cdot W_{ki} \tag{3.2.10} 6 d1 I& L1 s( C& D, mh 7 B, h) c* S s
i 2 N8 e4 |; J% P0 Q. I* _3 d , a6 l B: q) }2 z) C+ N0 q: j& H = + F4 w* d: h% O$ u
C 5 H$ G6 |% S8 Q( Z7 m' F10 b/ x# j. C& ~2 n& h/ Y5 ~$ J
1 ~7 ~: K& m" T. ]2 c7 h5 m
; z: E4 E n5 k( ?. _
c=1# b t0 ~' k0 b R" {6 a) L
∑( A7 \7 p- K6 a# r5 O: X4 h
C, T; X; z/ S! H
! R3 F0 o8 u/ I6 m6 p/ v v 5 {: u0 K; u2 P- L5 c
w + d% |# k; m2 A5 ]9 F% r
c * T* ^( r0 E% k* [/ Y 9 D$ i$ f: J2 c( G3 f- o4 B% O* |& s
+ ]0 d) H/ `' ~i . w3 { m6 {# \1 k $ A0 _' P7 `# ]; ?( z/ R = 3 S, z! Y8 `5 Z1 f: J; uC % ?% w8 @4 X$ g1 " i6 S, Q/ A& R5 y& Q- R, q7 O 7 _! L$ c8 H, P/ }3 B7 M
: N. L* Y7 M/ k7 A& T3 i4 z( g
c=1: l: Z4 ]. k0 v a s; K" ~: _
∑ + T J4 w' O+ x7 N" NC * K) K* H. T" p* v" g q' h: B + J7 y9 M( W3 ~ j, _8 n# u6 H
; x# q* d0 n! `1 ]
k=1% T' ]& H( e* L
∑9 @4 F& p9 p+ F; x0 T) B& `4 }
V0 e; s$ V% }3 a) I# U) i& H. A$ w
% Z1 I, \6 M* ^0 D5 \. ~ x 9 E9 R2 T# [6 v7 ~6 n$ W
w $ `5 Z& S: H9 }# Nc. F+ |) U5 U5 F& t- q4 ~, R5 G2 W
9 P, `' o6 B B, C. t# z" n- A( k
" s1 Z$ e W* [1 A9 sk r) Q" c; |" l5 [9 r! V / i/ I/ g! [; d8 k7 g ⋅W ! X8 [" h1 i9 r9 b
ki+ m- V" ~0 f+ q$ O. p+ R
6 [* A/ N% }4 l1 i (3.2.10) B& v% J& A: ]: r8 g/ Q
: L1 h; i5 X# K1 z5 i2 d(3.2.11) ∂ l o s s ∂ W k i = ∂ l o s s ∂ h i ∂ h i ∂ W k i = E H i ⋅ 1 C ∑ c = 1 C x w c k \frac {\partial loss}{\partial W_{ki}}=\frac {\partial loss}{\partial h_i}\frac {\partial h_i}{\partial W_{ki}}=EH_i\cdot \frac 1C\sum^C_{c=1}x^k_{w_c} \tag{3.2.11} , p1 q- `! q* p" L9 V∂W g1 L5 m) j+ A. |9 |, j
ki 2 M, o- e3 |* l, K/ | - T# c7 B/ n2 v) |: ~7 [ Q: q3 v
∂loss - u* y9 P8 P& r 4 v' i* z; ?; s/ w+ q" P1 X6 O = - U; D3 F% c' m' Y∂h ! g0 f$ O$ w$ l* d9 u8 ^
i/ c2 W+ r; J% c" ~& l. S
* ?- W: C9 w" w " i3 T/ ~5 q% ]& i( }∂loss 4 p3 m ~: f2 t7 L , }$ S$ i1 l5 S& c
6 Y8 D+ U# p0 A
∂W ( ^+ A b6 ?1 Z; k/ ]
ki & y: \/ l: p! d, U+ ~8 ^* R: i! d 5 `. G8 u% S7 M0 Y7 _. O; G U- G7 ^
4 S9 F8 `* P& r! w
∂h , n0 T' Y9 {- k3 n! Yi+ K$ u* F6 P1 r. U' X3 i4 H: B
+ i9 J: a' @; z; Y . m$ s+ z; {) ]. {0 h3 V; x 7 ^. |' O& Q. [% ^ A5 c =EH + k2 @( ?# u* ]3 E+ n* @
i 4 W2 T; C- c4 ?7 k" l/ j T & ? C/ ]4 e" n8 K/ ^& c
⋅ * H* C- A' S4 y+ I- U% Q+ W3 fC " O9 e% g _1 E+ T2 Z L9 [$ O: z1 $ F' A1 j# a+ w8 g . A, U* s: L+ [( h" b! j5 }, L! ? x1 e$ G
c=1 5 r1 ?1 ?* L& A- }6 R& L∑ 4 O6 M+ m" s* fC2 g; F" j0 j, G8 v. k( y
2 B5 }+ B2 B) k/ S1 P x 7 F$ M# Y# R, o" o5 z" |w % E1 N" T/ y! i4 E
c E- ~9 ^0 P, i . _% r" `' ^9 \! g. ]3 }" x! S R: W: Y
. y" |/ I( k6 H1 Ck & C8 t( Z+ |3 N ' J) F5 M5 O, G/ H" Q
(3.2.11) & q& \4 P2 Q& ^) F* X) [+ v2 I8 f& W/ o6 l) \
其中 x w c k x^k_{w_c} x " f0 u3 W% f4 Vw 9 u* L6 H- Q1 x: a
c ; i; }( P& \! F4 A ( J0 B T0 S+ e i' R ; {, [' i6 m+ ?- r0 s9 @. x1 d# {9 T: Sk 4 L* Z8 L7 q6 [% }5 Y7 f 2 t, y1 m$ w q. v+ b
指的是第c个单词的One-hot向量的第 k k k 个元素的值,所以 " U& X9 q8 F4 D3 a: t1 p2 [& `1 i% ^(3.2.12) ∂ l o s s ∂ W = ∂ l o s s ∂ h ⋅ ∂ h ∂ W = 1 C x w c ⋅ E H T \frac {\partial loss}{\partial W}=\frac {\partial loss}{\partial h}\cdot\frac {\partial h}{\partial W}=\frac 1Cx_{w_c}\cdot EH^T \tag{3.2.12}+ z5 S( }6 b: @* ?4 }
∂W/ T4 }/ z! ~$ D; i& D. q
∂loss& m7 U1 I7 D% {* J
5 U1 C0 h; k: b+ { = - ~/ ^% v+ j s q2 T$ i
∂h $ J" o4 w- z4 W∂loss , X. q! P, H7 Q ) _' ~6 ~- l' x+ y+ {
⋅ / G1 w% d& r4 P: d2 S. L∂W $ Y' P" q; |& a9 O6 T" G∂h: R" N2 j7 E- D0 `8 [ n
/ u# p, H- F6 G" j* I6 D
= ) M8 b9 d$ G1 C9 D7 C! kC 7 d6 I9 J& c/ G# ~1( j9 E$ k4 Y0 d# @1 e! A
7 M2 G6 k3 O' Z0 N' m5 d! U$ Q5 \
x ! `! b* c+ C. {
w - j* Q6 e- ?" m' F% f
c! ~ U& h, g8 x0 M* b3 J
- V7 `- [: S a* Q4 x- n: y2 ?
) q; u1 o6 s+ b) u; w! R 4 }! {+ L1 ^5 n9 p. R+ p
⋅EH " C) D" g/ u$ m8 }T ( d2 j$ F4 \8 i% C* S: Q (3.2.12) z' a7 v$ ?! Z, X
6 l1 f- d3 }; V2 M3 C/ T
这里我们得到的是一个 V ∗ N V*N V∗N 维度的矩阵,又因为对每个 x w c x_{w_c} x - u0 Q+ a- N: X; F* E- p( ]: vw & x+ z( Q: X$ R4 C7 q2 g- gc9 R1 V9 V/ B7 N' l
z. v" J# Y3 @/ o/ c: B% T0 m2 C
$ f, \) s, x' Z
,都为只有一个元素值为1、其他都为0的One-hot编码,故 ∂ l o s s / ∂ W {\partial loss}/{\partial W} ∂loss/∂W 矩阵中只有 w c w_c w ; Q' d U$ G" _2 e
c3 T! x0 E- o$ V
! b! s) i& I( h1 R) M 单词的索引行不为0,行值为 1 C E H \frac 1CEH 2 {8 W5 T+ ]# P; q0 O/ X- S0 ]6 TC 8 p" i2 I- B. h( x' ^8 n) d1 + _# C; z3 l3 g2 T' o 5 O1 ^5 T. u0 z0 Y" w
EH,所以 W W W 的更新公式为:0 m$ i+ T. L7 @- G! `* ^: C
(3.2.13) v w I , c ( n e w ) = v w I , c ( o l d ) − 1 C ⋅ η ⋅ E H T v^{(new)}_{w_{I,c}}=v^{(old)}_{w_{I,c}}-\frac 1C\cdot\eta\cdot EH^T \tag{3.2.13} + C- @6 ?) v: A2 Lv * P# y, i9 C" v/ i0 L2 Pw 7 r6 G0 d- j& ~. H( II,c 7 O# S- O( W4 ]: ~. _ 5 z! r* o6 z& e( W
& c% i$ ]* E" s2 ^: i
(new) 9 p$ o7 ]% h2 t8 W1 S * _1 Z6 L4 U* | u! H! U V: e
=v " F# q1 e' T3 p% [" _
w ' t0 @2 v% T/ K5 w& O4 s( HI,c' Q+ ~ U; r( ~& Z* r
$ F' q" t& n+ u/ N+ |) ~; U8 n3 Y5 p5 g' z3 S
(old)1 \ _( f% r5 g8 S- i
* E9 m- u2 u1 ^: R6 Z
− - o$ H: A2 O! B) a5 Z0 o
C; }; P, h n( C4 r" n4 O7 {
11 v0 S7 \# Y; E7 V" G# T
/ |9 l; n& d" ^. z+ H& _, t
⋅η⋅EH ( m1 B+ T% N* s( v; l* V
T$ j& r1 j; e Z! `$ r/ _' ]
(3.2.13)6 y5 ~# O1 K' N4 h6 ~6 m$ S
7 `( ~7 w3 X6 h- q
其中 v w I , c ( n e w ) v^{(new)}_{w_{I,c}} v 2 J+ N3 V% m5 ]7 s$ o: Y$ w1 lw 3 ] j% K6 S: O* ZI,c4 X! s" {1 t/ I/ Z# |, l2 o* O0 U
4 w; t5 Q6 ?. B0 G9 T 6 h1 [7 a1 p2 t9 y/ F(new)% g) Y) g* h* Z5 |
% e; D X5 ]! |9 k 是上下文中第c个单词的输入向量(隐藏层权重的对应单词的行向量) 1 ?" ?9 Z [0 n% p 5 B6 @2 d. q; l3. Skip-Gram 模型 7 J' y5 J6 n! S6 K {2 z1 V3 \' }/ o7 ^9 d( I
! I- v6 `8 p+ E g0 L6 g
Skip-Gram模型是由Mikolov等人提出的。上图展示了Skip-Gram模型的过程,该模型可以看作CBOW模型的逆过程。 # Z+ p1 c6 ^2 o& G' e4 e$ C) K/ J _5 Y' A/ S
3.1 总体算法流程+ J5 x" Y, p9 G+ h' v3 k
输入:语料训练样本,词向量的维度大小 N N N,需要预测的上下文窗口大小 C C C ,步长 η \eta η 0 S6 ]+ J4 V# G( z( r L/ h) D/ V* ]' ]. ]0 k
输出:所有词的输入词向量 v v v 和输出词向量 v ′ v' v % p# {6 q' y' j m′ 9 _0 c: b) S7 z( w ,即权重矩阵 W W W 和 W ′ W' W 9 X; Z, Z9 c K8 f ^′) B- W! s& e% z7 O
4 A' Q6 h% d7 F
$ _& K$ J( Q6 O' M& h* g! g9 L: U. _第一步随机初始化模型参数 W W W 和 W ′ W' W ! `5 m6 U+ a5 Z; d
′- X$ Z/ D5 r" i2 c% {# `
9 r! B& [" A7 {, H8 i
& a- y- \. u1 \ ~. R( m
第二步计算隐藏层 h h h 输出: : p/ A3 W: w+ m, b. x(3.3.1) h = W ( k , ⋅ ) : = v w I h=W_{(k,\cdot)}:=v_{w_I} \tag{3.3.1} 2 M' o( a: o& vh=W $ b8 V: u+ M' D" T(k,⋅) 3 _6 K. R4 {+ a2 i5 W * X7 V& `, o9 Q4 Q2 F' c) h: @ :=v ) j) `- i k* h( l' [9 {9 `8 w
w ; Y0 U8 t) H; P3 v W$ n% XI 1 d; U0 p8 j1 S) q* l 3 M5 V% D) B- R/ f( Q+ }5 E; O" A' S
6 Z0 S1 X% a6 v / x6 s& S8 S l& i- J) ]
(3.3.1) , y7 G2 I `0 c9 f X! j * m) N; [& a7 d8 y! i第三步计算输出层的输入: # y+ Z7 X+ ~, A; A* n; }* s(3.3.2) u = h ⋅ W ′ u = h\cdot W' \tag{3.3.2}# O- Q( s2 ?* F* A& ~( h8 p9 O
u=h⋅W ! F: z- b' t+ d0 m& b( w7 g
′ 5 t- `# D- B1 v7 V (3.3.2)5 h: G' }; A/ ^+ o% ^
4 y2 f2 B! r' {
第四步计算输出层的输出: 2 T' O2 o+ b5 I& k7 X(3.3.3) y c , j = p ( w c , j = w O , c ∣ w I ) = e x p ( u c , j ) ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) y_{c,j}=p(w_{c,j}=w_{O,c}|w_I)=\frac {exp(u_{c,j})}{\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})} \tag{3.3.3} . l5 d& l2 {; t: }. I$ T( \* Uy ; d! O/ ]" W5 g- W3 J7 W' E: Wc,j/ w$ {: K( p d2 P
" m. ]: ]- X* {4 m- l# g3 I
=p(w 9 H7 \& z0 R. N6 hc,j # O L$ G' P8 m$ w! r ! }: {+ Z$ P; Q3 X8 V& ~6 M
=w , i9 N7 t4 `- x7 _1 ? i) G7 p9 ~O,c . I: s- ~! x r0 ~3 C : N( v) s( ], G2 g ∣w # _5 `% u6 p: W4 H, [" ]
I / ^. h/ y6 i8 \6 l # Y7 [, x5 P* e )= - X- q! v$ p H! E0 z∑ 0 ~& ~" L/ D7 n# ^' S5 I
j 2 \2 _/ v0 ^% m/ Z1 C+ O ?& n
′7 ~+ K9 G$ I' X
=1 ) z* U" G4 \! U, ]" C. dV1 M J0 ]! |7 B
* L- J1 X3 I/ |
exp(u h4 @5 N" ^) i& {! I
j * t4 R3 F/ U X( r, K4 j′) X, F' d% {8 G8 u1 X" X. f
$ p" ?! Y u: c* U9 T$ ]
' I( X; Y. r" A& p5 Z+ i) y) _
)2 N1 E. v4 ]' c4 A& ?2 P0 a D
exp(u " F! ?) s. c7 }8 g7 m7 u. Xc,j& J+ t8 X9 Y. \
6 B# v' Z+ b7 l, ]5 T2 m
)* u( B* X. x9 M1 v& L+ Q
* ~; ~& J+ t7 c8 T* z6 S7 E% j9 h (3.3.3)# |$ A9 X+ k- ]9 r* q
. K% }! R5 Z$ W& A! U. I7 L
这里 w c , j w_{c,j} w ) K7 D% @+ z. h5 D
c,j 7 S% K( u/ O9 R/ o; f' c3 {1 t * ^; M ^- B+ K) _; _5 A
是第 c c c 个输出, w O , c w_{O,c} w , [. C/ y+ a8 A2 C1 [ {' t
O,c; g0 W# @; M. v2 S4 m0 V. R4 O
y5 U2 ], c& k 是中心词对应的目标单词中的第 c c c 个单词, w I w_I w 6 p" L' q# L+ a& P' F" sI, L/ j& a M& `/ X0 S) m
0 j, q4 j4 Z0 d1 {! m' H 是中心词(即输入词), y c , j y_{c,j} y 4 R2 N5 Y W2 M5 w0 U! Q& n
c,j4 k! C* T+ c; ^' q0 @
2 }$ H" R1 C! T2 I1 d
是第 c c c 个输出向量的第 j j j 个单元的输出值, u c , j u_{c,j} u h/ p* |: A9 c: ?4 ^! e' z
c,j 0 d2 P2 \ a, m% c4 } 2 c9 K6 S( H v; K4 v A 是第 c c c 个输出向量上的第 j j j 个单元的输入。且有: 2 P! J: z, l' ]" a9 r6 o(3.3.4) u c , j = u j = v w j ′ T ⋅ h u_{c,j}=u_j=v'^T_{w_j}\cdot h\tag{3.3.4} 4 Y8 d+ }- @' ju , g6 l/ N# y: P; k6 G
c,j# s% h0 y! i2 S, n& N
1 o5 j" `# y+ d2 h* C =u . m3 V q: x( f
j $ [) S/ L v6 S/ ^; S0 @5 Q , X! G' A3 a- f
=v # D$ {8 R: R8 e: n2 F
w 4 `8 Y P$ s. P2 b6 z* hj* `2 {) x7 M2 \9 j4 h9 }
# u/ F* W* ^# d) Z( I5 n$ k& Q4 t
% {/ Y( M1 j/ m3 s" g6 h′T! }5 R2 t! `7 a4 G: M, B& |( d
2 R: B( p1 F. A
⋅h(3.3.4) - S9 O2 O8 G% Y r9 z6 G/ p3 S3 ] / d" K: K! E5 L( W% iv w j ′ T v'^T_{w_j} v % j6 ]; e, J$ g' R
w 1 Z5 r# r$ X2 J7 T% q( X: t" tj / ]: e# p0 y5 n1 m( U: J3 h 5 O4 B+ ?2 y* B$ T# n0 n
+ I, _9 l9 B Z' i; G′T6 [: ^" ]( L* h. s
6 ]3 _& ?' M- P
是词汇表第 j j j 个单词的输出向量( W ′ W' W 1 @1 o2 g0 V. s
′. x! j8 G. O# ~0 q. F
的第 j j j 列)- E, W& \8 B p e# w* B
6 U( Y! ?, `% z6 b
第五步定义损失函数:" L# f8 a7 B+ @4 Y
(3.3.5) L o s s = − ∑ c = 1 C u j c ∗ + C ⋅ l o g ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) Loss=-\sum^C_{c=1}u_{j^*_c}+C\cdot log\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})\tag{3.3.5}1 L: D" z! G1 N0 }; e B+ a: b! C- }
Loss=− * q. \; R! D3 m6 j8 ]2 W2 L4 a& Gc=1 ' }" @5 W* ?7 c9 d& T \' W2 [∑ $ A! d* ?7 J0 \C 0 E0 @" S! B+ R, Q- k 2 a( W3 n# L" w9 G- F
u % P0 J2 I/ f& S- R3 o
j + k" D6 K; T7 b( O
c ' C5 z- x4 P# b∗ + d @8 P/ r. `0 ]- I , @) M( S# l8 d7 N6 U
5 D- m8 ` } k( P: B0 ^) C ' q; L. P Y. D( O0 `1 B +C⋅log 0 u2 {+ \, ^% J% q! E+ u7 G( q1 ~5 s# mj 0 H9 n1 ?3 U# F′ 4 ?4 x- y3 E( h: S" b+ Q6 U2 q =1" W; b; o; y1 j; B# L- q7 p
∑" [0 W, m) i3 o: L5 t K
V : }, F$ z: y5 ~- F9 F' G6 y 4 j" E$ j# z5 M6 W6 [- H exp(u / k3 R9 C& n/ n% ?j " M; h3 P% t; q2 K! z% ^+ [′ . w1 V1 a; g Y8 z( s" i) s* {; n6 I% A u; S& ~; [
; D8 j# @ {8 ]" ]3 v8 f
)(3.3.5) . S6 F: X+ l% Y% ^, ^: o% x 5 A3 @6 H) T9 X. N' {其中 j c ∗ j^*_c j % x1 M; b( P: i/ ?1 \c1 T* ?, V0 h7 O& ^
∗ 3 t& m, Z# G4 i+ F b / W+ P) b9 N" S* [; v8 I 表示第 c c c 个真实输出单词的索引值 , S4 U0 }& N# o, r7 Q$ f# \0 {9 h& M; _" ]" J0 _
第六步对上述 L o s s Loss Loss 求偏导并更新输出层权重矩阵 $W’ 与隐藏层权重矩阵 $ W W W 直到梯度收敛: 3 y8 i5 ?" |+ d" V+ d+ d' ](3.3.6) ∂ l o s s ∂ u c , j = y c , j − t c , j : = e c , j \frac {\partial loss}{\partial u_{c,j}}=y_{c,j}-t_{c,j}:=e_{c,j}\tag{3.3.6} ) Q( @. L( V4 A" ?5 e& |( J, @- ? e∂u `0 E' O% i0 N& Z+ E1 _ nc,j 0 M5 l& ^, J/ ?3 `, W 8 G$ G6 O4 @- w8 Q/ {; b ( Y' v" h9 a3 a( ^% V1 [0 Z8 \∂loss " D: h2 i0 p; Z9 `- T 4 j" L% d7 E% i5 O8 o& S G) _" R
=y ! T" Z* w0 ]2 _
c,j( {5 T, n! H) b) z
( S3 Q1 J' p9 }) ]2 ? −t 2 s" [& z* d: t; b/ O
c,j 9 v9 F+ [$ \ D 2 ^; G/ X$ n p& a$ I :=e 2 S; ]% L, s ~& _7 F7 B+ J
c,j( j8 _3 m& j6 h: T: M. S b* P
. c- R3 {+ y. T (3.3.6)6 R K; K2 U! A1 y& G' k
" N l1 n# v6 @7 O4 \我们可定义一个 V 维的向量 E I = { E I 1 , . . . , E I V } EI = \{EI_1,...,EI_V\} EI={EI & g4 U m3 [$ O
1& X9 o# D8 Y2 Q6 a8 s' I& d& y5 Y" X
/ U/ H+ P, B1 U ,...,EI . ^' F. z3 T+ Z- H5 wV9 j. ~# ?0 i/ N# j4 N6 a x
- V& S7 d- S+ j% O5 x" ^7 \" Q } ,该向量是 C 个预测单词的误差总和: $ }. K) |) x- D(3.3.7) E I j = ∑ c = 1 C e c , j EI_j=\sum^C_{c=1}e_{c,j}\tag{3.3.7}3 _5 g, `# ?1 L( o" Y9 {
EI $ J2 _) U' n% |( Y, ^
j " l; t: Z8 [. }) I 7 e1 ? k8 r8 ?
= 5 d/ a& g0 e6 y. B
c=17 h# ?" {) a$ s3 v7 [/ \$ S5 ~
∑ 7 d6 s d n9 b3 n4 ~C1 l# g+ {+ `& f, H
. J7 | ?. S, l$ y
e 9 L7 K# h' A# Q) W' wc,j% O4 l% Y- x/ `' H) R. k+ k6 O
2 f# J! D5 A+ g7 x8 O' }8 \: ^ (3.3.7)( S4 Z) s- F; U. S
/ l# c/ M% R1 S. ]4 ]1 e
(3.3.8) ∂ l o s s ∂ W i j ′ = ∑ c = 1 C ∂ l o s s ∂ u c , j ⋅ ∂ u c , j ∂ W i j ′ = E I j ⋅ h i \frac {\partial loss}{\partial W'_{ij}}=\sum^C_{c=1}\frac {\partial loss}{\partial u_{c,j}}\cdot\frac {\partial u_{c,j}}{\partial W'_{ij}}=EI_j\cdot h_i\tag{3.3.8}; ?! Q+ n) s- Y, o9 p; A* s3 f* w
∂W ' [& c6 O. {' o
ij5 k4 [# v! T& f% S' O8 h
′" G* g1 M; I; V) O4 T
9 c0 @2 L0 ~1 Y) T: C! L6 j3 F
5 y2 D, d3 A4 i E$ h- X8 N
∂loss # d- I: P5 I+ [3 y; p 2 L! x. \& A7 d3 @2 ~& I0 Q+ x = 3 } a# K7 {3 O& y$ q0 y
c=14 r+ S8 M7 c, @( R; N0 T) b
∑2 [7 k# u+ A) T5 e' _* J
C * X8 T. k- x2 R3 H, F: M& g+ }8 X 8 q- L+ M) U* _9 e # j6 b$ X0 b. D9 |2 E∂u 7 c! `$ R# J+ U4 |, Q
c,j 4 Y% Q8 m5 u( p/ x , k/ y9 F* G- w7 [5 ?( m" D/ b0 L; ?0 i' `
∂loss 4 P" n/ ?9 o9 Q( f! Y. U+ E ( j8 O, M3 `6 m7 }8 e ⋅ * P8 U; Q, k7 I, N- h4 ]5 S. E∂W " N( d6 I! i: I% y _ij + q! [* H8 d+ |( I! U$ ^! m9 t′ 6 l$ t. e2 K. L1 V3 x 0 }9 I: ~9 L% M0 N) L ) R+ y' k# S! c( e# }6 f; |% M∂u 7 f$ p g8 T8 x0 F3 p
c,j 5 p/ u; B6 ^4 @ b : p2 H$ ?) S |7 u, O
7 \( D0 T* |$ L. B! L7 \! ?$ d# @ & w$ m' w6 U8 M' l' {
=EI * w. _- `8 P3 O
j . N" q4 R* u; F, a; G ( s8 G# {7 P! r) J ⋅h 2 m) Y$ U) {( p! h) a( `
i ; F3 d' L2 S$ M " d5 q% W; ~0 v0 L (3.3.8)1 {; c$ |% _, l; z
9 x+ [' _( L9 P; A+ C2 |# D输出层权重矩阵 W ′ W' W 4 k( w" ^6 k2 G4 l" r$ {; F7 [: [
′ H* D1 F. s; J& f: `9 a- M; c 的更新公式: + L3 ^$ Z2 P; R' A- w) P& Q(3.3.9) W i j ′ ( n e w ) = W i j ′ ( o l d ) − η ⋅ E I j ⋅ h i W'^{(new)}_{ij}=W'^{(old)}_{ij}-\eta\cdot EI_j\cdot h_i\tag{3.3.9} ?, L/ P y$ p1 X* X
W & ^1 c7 P2 d$ h7 p/ W* cij+ e: k3 H6 v j8 G5 V+ i0 G9 _
′(new) 6 y2 _5 G- y+ t/ r . K2 i* G) f" a& ]! y" H; y! P
=W ; W0 j5 y4 d% ~2 A% _: d) C% m
ij0 v' j# z# q) t" |( C1 J2 b( a
′(old)" e' W: A; Q* E' W# f
7 R2 Z. p9 \& s6 `; O
−η⋅EI ( z2 T. a+ M' N: a5 E
j 6 @) i" A b: w ]" d0 n & B4 H; x W5 G: v; ?
⋅h , j r9 Y1 _; f4 u! T, Ti% c5 M8 l6 ~5 a% Q$ E
* K/ k! V( f9 [ (3.3.9)! p* Y+ d' H2 ]. {
' d# ~6 b3 A1 b! ?或者9 q; K5 n# z* A- h. t2 r% H
(3.3.10) v w j ′ ( n e w ) = v w j ′ ( o l d ) − η ⋅ E I j ⋅ h v'^{(new)}_{w_j}=v'^{(old)}_{w_j}-\eta\cdot EI_j\cdot h\tag{3.3.10}$ S; D. M: W8 B/ Z3 K, e
v 0 B2 |- n2 _- z% N7 [
w f) ^4 U' n1 N: F! \j . k% L/ v9 w1 C$ m( A 8 I, F7 _7 P: e # H2 a( \5 S* {2 n3 N2 v2 P′(new) " }; j# f' |' W% P, W1 b$ Z : \. N" ^4 w$ R( i8 V =v + U3 j7 o$ a% M* u; o
w , d6 c0 ?. W! w1 M) e, i, e$ fj 1 A% I% C; h2 D, ~8 J% i ( e2 X" \: J7 i0 B: F$ h/ @
) y, B( Z8 ]2 ~# w8 h+ z9 k& s v" K′(old)* U5 Z" l* @5 P$ w2 _7 u; ]$ @5 e
# g" k9 V2 g$ C6 M6 ] −η⋅EI - G6 n. F' r# J* g; Q0 w+ k
j4 ]# m3 K. |# x8 Y5 J- I% b
' r6 s9 e( F& i6 i" a% G/ e9 B
⋅h(3.3.10)0 I/ P% H2 ^' |, V% `2 V/ T$ u
! H/ s: w6 {2 ?/ J
隐藏层权重矩阵 W W W 的更新公式:8 R0 L+ p& Q s& g+ g
(3.3.11) v w I ( n e w ) = v w I ( o l d ) − η ⋅ E H T v^{(new)}_{w_I}=v^{(old)}_{w_I}-\eta\cdot EH^T\tag{3.3.11} % u& X% U3 ~/ {! g& Z9 ~* w+ h' mv 3 T0 V! L5 F, t' Y g; H! i7 E/ }% u
w 3 p0 ?1 l$ b% R: K2 H: L! `! EI; D2 K6 ~0 J2 S4 Z3 E: w* ?
0 f( o4 p" N: f6 v) @0 C n; `4 K
) K( t- v/ U8 }5 \; @
(new)- ~1 o- x+ a. ^; Z+ m$ U
' u; f% L" ~5 H8 d: w =v + q! s& \) b0 Q, ^w : l/ P/ k$ V! g* O0 U* b
I$ G) C* p' U6 l+ I* @3 J0 ~* e2 O4 [+ J
" w# F5 _; a: J; b" l* `- c
* `8 h9 ^ |3 x; f" V
(old)8 C( G. ~6 P2 R4 @
C! E( I4 S7 p; H- P2 S −η⋅EH & Y8 j( M2 J- P
T) T3 o1 J, `0 l1 M/ ^3 M. c0 ~6 N) }
(3.3.11) 9 g! |2 ~0 f0 J+ X0 h0 }" b: z- ^8 B2 l( `% Z! V% P* C
其中 E H EH EH 是一个N维向量 `' \* [: w* X(3.3.12) E H i = ∑ j = 1 V E I j ⋅ W i j ′ EH_i=\sum^V_{j=1}EI_j\cdot W'_{ij}\tag{3.3.12}3 E) ?) B1 D$ @% ?% v2 f2 W
EH 7 c+ j. n* y8 m( Z$ \6 Fi. b' A: t2 q9 [8 f2 X9 Q( `, T0 L' i( y
) P/ e7 g* p+ N$ K+ v4 h
= ' E8 C) F/ U6 J0 G9 xj=1 5 D+ t6 w) r9 q) p. h. F! ?0 A- M+ x∑( ~ v4 ?: V* b, [" x/ O
V3 {) @9 S [( h
5 x+ H5 s& v' ]! Y EI 5 T' \3 x% Q* n; n- R. |9 Q
j/ B, v4 |. ^) G
% Q" m6 b* p# X9 Y1 n ⋅W 7 X; P" ]+ G: h3 l7 sij % H$ W! s+ T* [+ X′ % F/ Y" @0 L. k: I6 l0 l . Q- e! j* A+ q( a( g: t# p5 a
(3.3.12) 0 g; [- X$ R& R* k' U2 G9 f ; J2 f/ G7 g/ b( E9 t0 _( S Z0 e4. 模型的优化方法/ ]& e! p2 ~ X1 }6 H" y9 _
对上述模型,每个单词都存在两类向量的表达,即输入向量 v w v_w v ! X2 Q. [: e. _( w- L
w- G* S1 k3 X K1 C, r
( u# ^5 _1 M. t% m5 w# U
(输入层到隐藏层的权重矩阵 W W W),输出向量 v w ′ v'_w v , {2 {# d1 }: k% Q7 C; b1 V" Xw% m, _! K, z+ j4 o
′ ! P6 @: W7 Z1 J- k/ C* n; C 8 F, R0 i3 h% _# V) X0 t# a5 s; g (隐藏层到输出层的权重矩阵 W ′ W' W % v. w9 p9 l7 {: u
′ 5 S4 j8 L! k n- [* Y I )。学习得到输入向量比较简单,但是学习输出向量是很困难的,需要遍历词汇表中的每个单词。若词汇表非常巨大,那么计算是非常庞大的。 " X& r( t. Z Y2 f. X* z8 Q2 F $ L2 p' q" J/ w/ N' h为了解决计算量太大的问题,我们有两种改进的优化方法:分层 softmax(Hierarchical softmax)和负采样(negative sampling)。 1 X* W& G8 f: ~7 l1 Y. d $ t+ Z- I& ~+ k5 I, W! u6 n7 k4.1 Hierarchical softmax$ g1 x+ \9 u6 Y L; D5 ^5 W
为了避免计算词汇表所有词的 softmax 概率,分层 softmax 采用霍夫曼树(huffman)来代替隐藏层到输出 softmax 层的映射。即将上述的输出层权重矩阵 W ′ W' W # d: w5 M& ~+ F9 Z' Z
′. y u: i( ]! y
替换成 霍夫曼树的隐节点的权重 θ \theta θ 。& b& J, h( C( n; l; z5 W: o
/ ^% w. l x1 k" @: y3 U& [4 X由于霍夫曼树是二叉树,故计算量由之前的 V 变成 l o g 2 V log_2V log 5 T" T) ?/ _% z V+ z9 m
2+ ]- e& q, w* k. r& Q
, {! F' C7 _9 f/ A( h* w, q
V,而且我们仍然有差不多同样的模型参数(原始模型:V 个单词的输出向量,分层 softmax:V - 1 个隐节点的输出向量)。且依据每个单词的词频作为权重构建的霍夫曼树,高频词的路径更短,更容易被找到。- @; ]1 [5 x8 Z) z: Y
: {& U- O4 k: C/ V$ F. s1 Q* V
5 q1 D& i- p+ z' N$ g) e( ^8 E- A) e
这里树的所有内部节点就类似之前的神经网络隐藏层的神经元。根节点的词向量对应我们投影后的词向量,而所有叶子节点就类似之前 softmax 输出层的神经元,叶子节点的个数就是词汇表的大小。这里从隐藏层到输出层的 softmax 映射不是一下就完成的,是沿着霍夫曼树一步一步完成的。每一个隐节点都是一个二分类的逻辑回归问题,往左子树走为负类(霍夫曼编码为1),右边则为正类(编码为0),激活函数用 sigmoid 函数即:) l0 E W- l: D& P
(3.4.1) P ( + ) = σ ( x w T θ ) = 1 1 + e x p ( − x w T θ ) P(+)=\sigma(x^T_w\theta)=\frac 1{1+exp(-x^T_w\theta)}\tag{3.4.1}, V4 n3 _, |# D- N2 S
P(+)=σ(x " S3 |: d- ~# g9 ]
w! u6 Z* y! I$ P5 ?+ ] S
T - N% f; L0 y, ~& E 7 o4 R M, i+ E. E+ Y! a& e, V. o θ)= 4 s% V9 z0 y' T0 v1 r1 S
1+exp(−x d2 m2 ~! S d9 d2 G$ i7 y, Zw ; X5 F" n$ }! k- @9 \8 M+ H$ JT l1 [6 Y& {, J: a1 h. z# F+ M) L & b, x8 q' y" V' c5 p, S8 W, A1 g
θ) 2 [/ d, q& e( w( R+ B3 \" S1% [' g) s3 m, J- l' F0 X
" b; V7 i0 ?2 c: T5 _; m, N" s/ L
(3.4.1), N) M; [5 t9 s6 A* b- S' u" A" B1 S n
; J" j- ]2 g- e0 N" y/ Q( R
其中 x w x_w x / A/ G# l+ Z1 @4 g7 e* Rw x) e7 J4 |/ l' z4 w$ C) V , r: Y8 @7 V5 F! F
是当前内部节点的词向量, θ \theta θ 是我们需要训练得到的模型参数# s/ u3 G8 e" Z
3 l2 |/ |' X+ J5 H5 F7 |0 Y4.1.1 模型参数的梯度计算# q% M" U2 W/ l4 r1 Q9 H) n* D: M$ o
分层 softmax 没有单词的输出向量,而是 V - 1 个隐节点都有一个输出向量 v n ( w , j ) ′ v'_{n(w,j)} v 3 P, m: Q# k6 s& T' X
n(w,j) ; c& r8 K% s- E; n* ^, a′ & v [) O8 b6 @1 [# t % l6 `# L: m3 d 。首先定义经过霍夫曼树某一个节点 j j j 的逻辑回归概率: ( y d+ i* _+ [0 ]( \0 E. v(3.4.2) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = { σ ( x w T θ j − 1 w ) d j w = 0 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) d j w = 1 P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1})=: W1 y: D$ f) S$ s0 Y# Y+ P
{σ(xTwθwj−1)1−σ(xTwθwj−1)amp;dwj=0amp;dwj=10 G W5 e, [9 O, d6 f
{σ(xwTθj−1w)amp;djw=01−σ(xwTθj−1w)amp;djw=13 p: O/ \4 e* i
\tag{3.4.2} + I' x9 ?7 ^& \6 u; \; C) Y6 nP(d ' v/ R0 \0 ]# ~9 c; u) D
j ( \8 o; H7 h G+ Ww 8 E& M9 v* v3 U4 J6 Q' S $ A8 u0 k1 w& J" a+ [( c" b
∣x 0 g# U0 M4 A( N5 j+ a( J
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那么一个单词作为输出词的最大似然为: v* r) k. O$ [! r# ~2 D& \(3.4.3) p ( w = w O ) = ∏ j = 2 L ( w ) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = ∏ j = 2 L ( w ) [ σ ( x w T θ j − 1 w ) ] 1 − d j w [ 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) ] d j w p(w=w_O)=\prod^{L(w)}_{j=2}P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1}) =\prod^{L(w)}_{j=2}[\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]^{1-d_j^w}[1-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]^{d_j^w}\tag{3.4.3} # @! A0 O2 j/ b ~. l: q, op(w=w V% Y! ^4 S: W! MO P- F4 e- Q8 k; d& o+ _ . a' n" `8 y( c$ M! B% Y- |6 J )= & q4 M# M' L/ K, }
j=2 % b$ g1 k% f: k' E∏) F7 F6 J5 i4 ^* t+ J! p
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) f0 Q( C- c- ^: B, A$ N P(d % o$ s& z& {6 z# {8 ?2 T% ~j 8 @8 x X( R) [4 c9 J, A fw 5 u# u J- f; A w- Y0 P" d . Q' r) N% y( w6 l
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w # k7 A- j% o' m _- g % B) I$ B, T* X1 `4 b )] ! c, a, f+ C. O9 d2 a
1−d ) I4 Y7 N8 k3 Y' t2 e4 L9 Wj + f& ]0 Z% I% N$ m, e% o* O4 bw 7 }1 a' c1 E& w- c2 ~- \2 ?1 u( K, E / R3 I% m) Y+ @6 V) X) B# z( d' [ - J! t0 f1 j: ^, m [1−σ(x / h3 m& n7 y' ~' E0 jw$ \$ T4 Q# {* T3 \$ l
T 1 g1 X* F. r4 w7 Y, G0 U $ R* t* T. v$ W6 [
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& {1 p/ v! z& j, ~$ x) |' g )] : T8 d1 X! j/ R) Q
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(3.4.3)% Z4 |% h) p# G, _
c$ O* _) l% L, T, m$ r取对数:+ T& K. L1 I$ Y) T4 S/ V7 }
(3.4.4) L = l o g ∏ j = 2 L ( w ) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = ∑ j = 2 L ( w ) ( ( 1 − d j w ) l o g [ σ ( x w T θ j − 1 w ) ] + d j w l o g [ 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) ] ) L=log\prod^{L(w)}_{j=2}P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1}) =\sum^{L(w)}_{j=2}((1-d_j^w)log[\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]+d_j^wlog[1-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})])\tag{3.4.4} 1 M. z9 H9 D4 P/ M- cL=log * ]$ T4 Q S/ N, g
j=2 " _0 U8 h( f" U+ c∏2 x' M8 {+ R6 ?4 M; x4 ~
L(w) , l" Q4 N9 ? Q i0 O4 T0 v; A2 i P(d 0 o0 W, u }) kj 2 T4 T# z1 H6 Z2 ~8 H; gw1 ^6 X$ D4 u: K% W; w( N0 r
2 `4 |6 o* Z7 o- M+ f ∣x 0 R7 \( x0 M% P4 u9 V0 W" U
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5 D( Q% i% B; J" l. L
,θ - h1 f+ u+ n, k9 [; k4 b: F
j−11 _; x( R, f5 p: C* e
w 5 Z4 X8 v$ o' K* E% L6 x9 Y/ w( _. u5 \ # r, F' N W8 ?' g" O )= 9 F2 h' I$ ?# w9 R: u0 @: G& Aj=2$ A) v# ?+ u! z8 `; Z* N' z7 k
∑, z' |- J `) g6 ^: Z+ Y2 G
L(w) % r0 e8 I# ~/ D7 s: b) T ( ~! f8 ~* c4 n3 {1 k( o% P I ((1−d 1 H! z# J. |# Z1 h
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w 6 c8 E" O P: ]1 }: M 4 K: Y+ Q' _ o9 e4 P: b+ g; l log[1−σ(x ) f% t1 u1 x% Xw }" }3 t1 w# J) P% p: xT; @0 s' z( e9 i/ k$ k4 c8 s* P
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)])(3.4.4)& B- `. L: _0 |; d+ p2 m4 s
8 C2 _: i. v, g1 d9 ?于是可对模型参数求偏导:1 }! ]' @( s/ Z3 v4 ?
(3.4.5) ∂ L ∂ θ j − 1 w = ( 1 − d j w − σ ( x w T θ j − 1 w ) ) x w \frac{\partial L}{\partial \theta^w_{j-1}}=(1-d_j^w-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1}))x_w\tag{3.4.5}+ a+ S0 f! H) S
∂θ $ e' d$ j0 |$ z$ F' O
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w " s0 V! d) }- q. j& r 5 q1 n4 p) ^2 {, {2 h
7 h0 y, \: u2 i9 c5 }8 y∂L 7 I8 h+ n) ^9 P0 a- ~8 m9 u- x 1 `: d6 H' l' r* V2 b
=(1−d " U b% ~4 }/ Y$ }; C4 G- cj ) \, Z1 J9 `9 u. r1 b# ]w " m6 n8 m- I& ] : P2 h' B T: E4 ^1 A5 u7 X −σ(x 6 K9 O, ]( @1 h' v
w 3 ^% e1 c$ T! N$ r& H6 l' jT: Y; ?; y6 I5 k; b0 {* H
7 O5 {- [) q, f, y" B2 j" g, I θ 9 B: a' j& _/ }; o
j−1 " Y6 h$ ~* m" L. m8 T& c8 \0 k+ r) Hw3 x/ z: j! e6 c8 _
! t' I& ?. W( b G' r( F
))x * t2 X% X6 k4 [w; q i8 |) U# f7 S/ n, {$ \
: n% ?+ F3 p% u# ^ (3.4.5)+ I7 n) r' m9 C4 A3 h
' `8 M/ t7 j' e$ ~
同理 / h! P0 B; _, l$ Y! R% e(3.4.6) ∂ L ∂ x w = ( 1 − d j w − σ ( x w T θ j − 1 w ) ) θ j − 1 w \frac{\partial L}{\partial x_w}=(1-d_j^w-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1}))\theta^w_{j-1}\tag{3.4.6} ' ~* l' `5 k4 j' ~6 g& V+ U∂x . s. H0 h$ J( l( [2 O
w 0 n) j7 H- M j* m. |4 T / w9 x, r9 j5 w# E: x! l# P* m. }& S/ e6 P6 V/ _4 ?- Y
∂L4 s4 C" G- ?0 `- _0 q3 n
1 Y8 ]5 T# N8 P6 l6 E7 q/ e/ q y1 l2 } =(1−d 0 }5 c) V" z4 D$ Nj % w& I- [9 I0 R& M) u) j4 T3 i1 K0 kw7 S @. i8 c! S4 ?
% F0 q6 { c* Y& G' f
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w" h: K6 R: k& p0 ?( e* `
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j−1# m* o o4 w, o! i2 ^' e
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3 x: B l% t; T n1 T' V
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3 U3 o( } i7 E3 Z
(3.4.6)6 E) a4 K" |1 D
+ _/ V) Q& e( m$ P8 {4.1.2 基于分层 softmax 的 CBOW 模型* ?$ `" R' o) B' I; i/ l; h
假设我们取得上下文的窗口大小为 2 c 2c 2c ,即训练样本中的每一个词都以其前面和后面 c c c 个词作为输入,该词本身作为样本输出。! [# s& A) N D: b" }
1 F9 K. K9 T9 O! u
算法流程如下: ; e7 K, n! ]+ L) u6 Y, y- \ `# J, k) H* _- @输入:基于 CBOW 的语料训练样本,词向量维度的大小 N N N,CBOW 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η / x t, r& G4 m% b , x$ t$ ?+ S& d, p, }* K4 T输出:huffman 树的所有内部节点模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x $ w; B: n: e* J" I, k) N 4 m R: }! _2 `, m9 }0 H( D第一步基于语料库构建霍夫曼树树 ! s) T1 a: ~& @( w# {) E9 M8 {4 r" u7 P7 `
第二步随机初始化模型参数 θ \theta θ 和所有词的词向量 x x x 4 ?7 \1 b% B* _, L" Z8 B0 M, j% P. q1 ^# K& i" d2 [! @
第三步计算梯度并对每个训练集中的样本 ( c o n t e x t ( w ) , w ) (context(w),w) (context(w),w)作如下处理: - ]6 I9 ?& D8 f" f4 y6 ]2 _! D! ^* X# V0 G
令 e = 0 e=0 e=0,计算% A& Z0 S1 n2 \4 N# |
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 50: …\tag{3.4.7} 其中 $̲x_i$ 为上下文第 $i$ … , b0 V* h! V% d# y3 F6 F9 D- L& G1 x
其中 x i x_i x + k1 d" G9 V3 [4 Si% }: N, g% p0 d
( L x" T4 b* D1 p5 g1 \4 r) ~ L! e# P
为上下文第 i i i 个词的输入词向量 }2 D8 P& o2 K2 l- m, Z, F- r# [+ K9 m, V) k# r. P4 X
f o r j = 2 t o L ( w ) for\ j=2\ to\ L(w) for j=2 to L(w) 计算:1 U# T- z. }- G) Y
f = σ ( x w T ) θ j − 1 w g = ( 1 − d j w − f ) η e = e + g θ j − 1 w θ j − 1 w = θ j − 1 w + g x w f=\sigma(x^T_w)\theta^w_{j-1} \\ g=(1-d^w_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^w_{j-1} \\ \theta^w_{j-1}=\theta^w_{j-1}+gx_w $ o% Y0 g/ g8 lf=σ(x / y" o; g# Z8 Z9 \0 n
w - u& @, p3 E; P; x8 d) k9 KT$ F5 g; I: N7 g, w
# q" U! L9 P- G6 u. B )θ % Y) K X+ e; q* b- b( [' I! i
j−1( Y5 j0 K" n: i4 j" P
w $ e7 O8 q" ~ s+ r) L, v $ d1 j+ O3 q0 F
! J' b& z+ [5 X( M) qg=(1−d 4 \" ~6 d4 t) i+ v9 r6 {j - Q: f3 U; o+ }! U6 Fw! N2 J m$ U0 e0 N! F
3 A% @ F# j- j7 r& }; B% e- q8 c
−f)η% ?$ e* U/ g( f% U
e=e+gθ 2 b: h+ X1 d$ S! K8 j- [, U
j−11 A' O U% H/ {# \
w 8 q, j5 ?: v2 C0 L ! T R( b: E8 S # ~/ d4 u' K: N9 p, D3 d1 Tθ 6 o7 ^/ R' n& sj−1% E# B$ w: L7 @% T' G
w2 @8 M) f7 n7 L3 u/ g4 z; d
, u, P( v2 Y, ]0 g7 r% f: I
=θ % D! p2 b5 u. m- h# `j−1# |* y7 q! N/ O: ^7 I9 _ p) a4 m
w 7 ~: c+ b! K5 {, F+ [ # E5 I( X3 T4 J0 W+ u7 s +gx % g* h; W& S5 I7 _w ; Z* N7 z" b/ k+ d {9 R / X/ r4 J2 H5 G* f/ {
+ D. Z$ B- y0 ~2 k% ]2 ?2 E: L
- ]: r5 C$ k% S9 e. X
对于 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的每一个词向量 x i x_i x 0 @2 c; O$ } e& R5 x: Z
i A- h" L& T9 A5 }( k- Q, y
% V! U: [7 s4 n7 y' f/ Y 进行更新直到梯度收敛: " ?' g0 _) f- g/ nx i = x i + e x_i = x_i+e ( ?/ _6 c' K4 ?9 u6 Nx * j5 h+ S" h! n% [' }) C2 |i ) q) \7 P, R5 U4 O9 Q; n% Q( Q" y 3 ~9 u$ c: e# E3 b5 F3 c: E/ L
=x , H$ Z; l4 }+ J/ U. o, ~
i) g1 d# N2 }, `: f) S5 U
M* T3 J( _. k) C
+e' \# X. \- }) x' y$ c
% V% [! w1 M6 h4 o# n4.1.3 基于分层 softmax 的 Skip-Gram 模型 / j, ?0 H2 m- a& t对于 Skip-Gram 模型来说,输入只有一个词 w w w,输出为 2 c 2c 2c 个词向量 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w),我们期望 P ( x i ∣ x w ) , i = 1 , 2 , . . . , 2 c P(x_i|x_w),i=1,2,...,2c P(x - U; s6 t) V7 y& v
i" d) @. {1 V3 _' @1 c, e" f
2 @% l" L; [9 D
∣x / i& A) x3 H- f0 b z2 c. U# zw & j, G: |! _; r . N5 N9 V$ p# _6 Y. P# r ),i=1,2,...,2c 最大。- }6 r# m5 [# i
]. O; m, @6 t: j6 L0 V
我们在期望 P ( x i ∣ x w ) , i = 1 , 2 , . . . 2 c P(x_i|x_w),i=1,2,...2c P(x " C- }: h9 h- `% I" } Si4 a) Q; e+ Y% _ a+ e$ F
. b+ J% o. |, K+ N5 K; F
∣x 8 C6 r/ @. a3 ^, v- z1 C4 T
w ; f0 I! q( s" }3 O* P 9 J: Q. @8 @3 E0 W6 V ),i=1,2,...2c 最大时,也就是期望 P ( x w ∣ x i ) , i = 1 , 2 , . . . , 2 c P(x_w|x_i),i=1,2,...,2c P(x 3 X! E3 Y: T% ?7 [/ dw 3 K8 Q: D: R3 Z9 U: T% E% Q 7 c1 o, M3 ]; U( G8 O6 q; ]. J
∣x # m3 [' C4 I% o9 g2 S- hi ' Y$ C2 N( D& H) h3 Q0 B# P Q 2 p) Y% r/ A K7 D# O8 u
),i=1,2,...,2c 最大,在训练时,word2vec 使用了后者,因为这样可以在一次迭代时不是只更新 x w x_w x % E' K: v6 M3 @5 W* }! o
w ; l' z1 [+ z! h+ D( e; p8 c# i . B8 T0 C# x% D! T, v
一个词的词向量,而是 x i , i = 1 , 2 , . . . , 2 c x_i,i=1,2,...,2c x ' m0 B5 |1 B; M Z8 _i' H7 T' u# _/ L! L3 `
; h4 g" X, U( r* N' G* B) \
,i=1,2,...,2c 共 2 c 2c 2c 个词的词向量,可以使得整体的迭代更加均衡。所以 Skip-Gram 模型不像 CBOW 模型对输入进行更新,而是对 2 c 2c 2c 个输出进行更新。$ S! ?7 c+ [. V6 o% B, d
/ l# P$ b$ l( p' p$ M4 C: A
这里相当于把每一个原本的输出词向量作为输入,原本的输入词向量作为输出,类似上下文大小为1的 CBOW 模型,依次更新每一个输出的词向量。% d, A7 Q& Y* F+ Z' u7 _
" t# |* V9 [8 k/ N* E& @$ F- q
算法流程如下: - q% U |1 K+ {) I" ]* z5 E& D' z ?2 K9 H* s9 D2 F
输入:基于 Skip-Gram 的语料训练样本词向量维度的大小 N N N,Skip-Gram 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η' {, N1 ~9 |1 p/ ^, P, z/ f# T
8 n( q \9 h! ~1 C! u9 R
输出:huffman 树的所有内部节点模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x ! D+ {. i: z% {$ n# A& m: d. t/ N6 g$ O% ] k6 H2 G
第一步基于语料库构建霍夫曼树 ' h2 ?+ L3 p1 D+ G" O" V. W) {3 j4 p* l, [0 y6 q9 ]0 ~0 J% }5 Q% t: A
第二步随机初始化模型参数 θ \theta θ 和所有词的词向量 x x x 2 p+ A* V5 v9 z9 E3 `0 s/ v0 I - H* E+ {; S( F6 M* t% V+ M8 e第三步对每一个样本 ( w , c o n t e x t ( w ) ) (w,context(w)) (w,context(w)) 做如下处理:5 G% H( `0 t$ |( x0 c+ R% |
+ s: d: Z4 P3 B' z1 E
$ for\ i=1\ to\ 2c$:7 m) M3 L8 W- \/ b; p0 G+ A
: |, E3 f1 v5 q' @9 l1 _( E4 _令 e = 0 , f o r j = 2 t o L ( w ) e=0,for\ j=2\ to\ L(w) e=0,for j=2 to L(w),计算:; K$ C5 z0 f; s! b9 T+ I7 M* N
f = σ ( x i T θ j − 1 w ) g = ( 1 − d j w − f ) η e = e + g θ j − 1 w θ j − 1 w = θ j − 1 w + g x i f=\sigma(x^T_i\theta^w_{j-1}) \\ g=(1-d^w_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^w_{j-1} \\ \theta^w_{j-1}=\theta^w_{j-1}+gx_i # C5 G! q( i% Hf=σ(x ( ~# e% V, j3 n5 r5 f6 u, G1 n
i $ f3 @5 p$ }- G" R" d4 XT! M# u" `# d- Y( I4 B6 L4 ]
6 G! r7 j9 {( U' v3 a' F. K
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j−13 E0 @/ @3 |0 I0 B S/ v) j( |9 [( j
w$ J- }6 s7 t) i3 j( H
. L: [9 x" E& Q* D ) * g3 v4 R, Y4 P @( Eg=(1−d . D ]9 d, U& u' h, U* ^% a
j 0 D# @; g2 C ?' S2 T4 n3 k# cw2 C7 F; G4 ~0 F6 n0 \- w
# G" e3 }0 D2 ^4 e; G) x −f)η / E O7 Q4 T* g) J u% v+ O$ ue=e+gθ 8 ]% _% F4 v1 r2 j3 ]1 L; `" W( nj−1 ) ?& A( m' f, A# `w 8 ?8 B5 C" ^3 H8 v5 U3 [; n " V6 N b. ]& U* p' @+ X; ~
. d. z" C" K/ H6 i
θ ) ~4 W5 x8 P8 W
j−1 3 H6 [7 I2 ]) n8 Ow( \9 }9 u1 C) x8 F
: H5 R5 C' d1 Z0 u6 u! P+ Q
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w$ E: S2 T6 v; G! @; G
* ?: ~; F E; |! ^3 c& f7 K +gx 3 D3 k L( Q9 M5 E+ R- o( `
i . _7 h; L& h9 ^! A 0 ? [6 c' y5 C
: [. v, }( \& T5 J, [; ^- ^& {- N
0 G7 a9 r6 v/ G/ B2 O
更新每个该词的词向量:9 E6 K7 E$ k6 F* \- h& p0 o
x i = x i + e x_i=x_i+e $ U' x& ?% k( B5 N! O! c) d! Zx 1 P3 { w9 u% d6 \
i ^9 b! t5 O6 i+ _9 Z: ?$ w0 l' o
. d9 A+ h, p& K6 d1 l7 G ~
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+e/ Z) a6 }& B: F
4 b/ t1 z6 B' ]0 `; Z; K
若梯度收敛则结束,否则回到步骤1继续迭代; x- v) U% ?8 b8 @ {" q) z
" z" U J& J; H5 A+ b: H& A
这里与上面 CBOW 模型的区别在于,上面 CBOW 其实也是由 2 c 2c 2c 个上下文词向量来走到 Huffman 树的叶子节点,但是他的根节点为 2 c 2c 2c 个词向量的求和均值,并且更新的也是 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的 2 c 2c 2c 个词向量。而 Skip-Gram 每次单一的输入 2 c 2c 2c 个词向量中的一个,最后更新的也是这个输入的词向量和Huffman内部节点的参数。 & }1 p" ~- k$ Z0 y8 z, G/ ^ 7 Y" T8 f2 M+ j& d1 s4 T4.2 Negative Sampling ( D9 @! h- x( ]' v) r相比于分层 softmax ,负采样没有用到霍夫曼树,而是通过采样得到 neg 个负例加上一个真实的正例,进行二元逻辑回归,得到负采样对应每个词 w i w_i w ; i5 O- H' e9 m# v. pi3 b9 H, {- A2 g
) m1 S. ^5 ?' }' a) ~ 对应的模型参数 θ i \theta_i θ - {& G5 r0 C, q3 Ai & E8 i1 J% f! y" z ; h8 k$ ~0 v. z4 I/ ^ t8 L4 s, ?
,以及每个词的词向量。负采样每次让一个训练样本仅仅更新一小部分的权重参数,从而降低梯度下降过程中的计算量。 0 I. L1 J8 ?4 f1 {1 K" | Q; e3 d: X 7 h+ Z3 z! r7 A3 i* w* O4.2.1 负采样的方法, N( K% n. V$ a
若词汇表大小为 V,我们先将长度为1的线段分成 V 份,每一份对应一个词,且词频越高对应线段长度越长,词 w w w 的长度:& U* L) \+ z% O7 z
l e n ( w ) = c o u n t ( w ) ∑ u ∈ v o c a b c o u n t ( u ) len(w)=\frac{count(w)}{\sum_{u\in vocab}count(u)}" T" ?3 o% I+ a) `" p8 V. a
len(w)= * O2 \2 Y4 E+ K% x w∑ S$ R( Q5 {4 j9 Cu∈vocab" x4 ~/ {3 R8 s9 n* `. w( B* J
8 ?) q" U; k! s9 [ count(u) 0 G% l6 _" e! j/ {* n1 I! j. l H# `count(w) ) g$ u* ~2 b8 h7 @& {" Q& v- \5 X & a5 b5 L0 f" R6 o 4 P) c2 R6 a" I9 F2 r) T , Z) x3 v" r5 O8 P# c B& o在word2vec中长度计算如下: ) ]7 ^' k5 x, [. Z9 T- gl e n ( w ) = c o u n t ( w ) 3 / 4 ∑ u ∈ v o c a b c o u n t ( u ) 3 / 4 len(w)=\frac{count(w)^{3/4}}{\sum_{u\in vocab}count(u)^{3/4}}, ?! [" l3 E" v/ E0 q) e$ K* q
len(w)= ) A& D, ^5 E" e/ @. U" n+ u2 J∑ " c5 I4 s; y) Y6 g# R$ N1 z: z, n
u∈vocab + \1 w6 E/ C# S. N * p6 X- o1 o- \8 [ v2 q9 _ count(u) + H J9 A2 [: g3 G$ J: u
3/4 / a, s0 I; v5 p7 J; t9 Z1 R" M# ^9 _! @: _ k8 B. O/ _0 x1 }! dcount(w) 7 u, X+ G# p$ J5 c% J. [: o# X3/4; \4 t0 n' a! m n7 G5 K6 P, @
9 r* U" ^% D+ M U8 l6 m# G- I
4 ^" X# s) M1 g/ ? y0 v; C- P% o2 i3 L$ n
采样前,我们将线段均匀划分成 M(默认为 1 0 8 10^8 10 ' k# H+ D' f! d0 J. f) o0 }8 ; g a# A7 D/ I )份,且 M >> V,这样每个划分点 m i , i = 0 , 1 , 2 , . . . , M m_i,i=0,1,2,...,M m 4 b& C: V. X7 N4 m& f
i, J* }8 I1 K9 a a
G7 m; p3 r8 O ,i=0,1,2,...,M 都对会落在某一个词的线段上,我们只需要从这 M+1 个点上采样出 neg 个位置就行,其对应的词就是我们需要的负例,且注意不要采到正例。 0 ]. `5 |7 ?; ? 1 P/ \7 r4 t* e* z% V c, F4.2.2 模型参数的梯度计算 : i H7 e' j7 Z' }8 Y假设通过负采样,我们得到 n e g neg neg 个负例 ( c o n t e x t ( w ) , w i ) , i = 1 , 2 , . . . , n e g (context(w),w_i),i=1,2,...,neg (context(w),w 1 a/ o0 W8 c4 J: Bi 8 k/ e5 @% A, c! ^! b* O5 y 9 Y/ R, z0 q$ Q2 h" k, C/ C% Z
),i=1,2,...,neg,并假设正例词为 w 0 w_0 w 2 u8 }* S; Z) A" K% a0: d C- G9 O' a0 J, ?" V8 m0 u, W
* A2 s$ s: L3 M% t% x2 e
6 q" b" L3 X, D9 J
9 N& t5 ? b; d& e
那么我们正例和负例期望满足:; l6 X5 B3 @) n5 ^/ U. f
P ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = σ ( x w 0 T θ w i ) , y i = 1 , i = 0 P ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) , y i = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n e g P(context(w_0),w_i)=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}),\quad y_i=1,i=0 \\ P(context(w_0),w_i)=1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}),\quad y_i=0,i=1,2,...,neg . r0 W0 k8 a6 M- H$ BP(context(w * D# R. _9 v- F
0 6 n( O6 b# h" E7 O V, C' A, P - o4 l* ^1 ?! w, N( @" u* y0 }
),w \6 a$ l' J, {0 }" ti ) e5 s6 m! ^! w% B. {- ~ ' l& b8 p* A: q' p! Q
)=σ(x 2 A( K" i3 w- M; R4 D
w ; r. o6 `: ]2 V0 8 [. X. A# ]4 |5 E 5 \) ?! H; A" r3 G$ T( A4 Y ' H) `" g0 R$ M$ W6 W) x3 E0 N3 VT% [# G2 M" d! }4 j
% ^ b! T/ i4 _" z( K( R/ a& o4 H θ 4 g H& _& n. k9 R; w! y: H5 @( ?
w * e+ _7 M# W' Z" I8 V0 R3 si r4 k* i) l: [7 B7 z
$ L0 f) S* L8 y L/ q/ Q* S: r1 E % O9 a' }1 Z' W g8 @ ),y % F3 {2 K- }6 `4 D7 g0 E! p
i - b1 U2 N8 d p" q6 u 8 u6 u' ^$ c, ?9 r& y# s =1,i=0 . i* G! H# f) a1 r% ]+ |6 X2 C/ ~P(context(w . D6 b5 s/ |" t0 M
0, t+ W* k$ @) x5 A0 [ ^4 m
9 j R1 R, Z5 M( S' e) A ),w % S/ D+ n; B, W* H& Yi ; f9 [/ U/ f7 N ' W: I- l* A) a' ^5 z )=1−σ(x 8 \# j/ {: @+ W' D: ]
w ' I; d: }; E7 w$ Z, D
0( E" B, r& m* ^0 }% ]
! M2 U5 f: r9 H$ Q$ w / A! t8 v9 O1 P( P+ r$ MT % @! G* _9 R. r: \( e ! w- X6 P2 Y7 D% o x θ ! J/ N1 U3 Z: ^9 l0 x% `
w " u+ {3 v: g) Q0 _7 oi$ ?8 _( m) e9 V! s
7 D Y( M, U, R5 u8 z8 m: M: }: D8 W# ]# |4 w. u6 n( r
),y 2 h2 i+ @, i/ M) H5 C: s: k
i % o9 J$ y0 y" o+ z6 u" [: B1 D* e * y. x3 s; N; M( q" C( [9 F =0,i=1,2,...,neg 2 X$ o$ f' i3 T! |7 L) J2 l: N; T# x2 J5 G* w$ C% _+ ]- D- V
最大似然为:/ u+ [8 l& F5 H2 f6 n; T
P ( w = w 0 ) = ∏ i = 0 n e g P ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = ∏ i = 0 n e g [ σ ( x w 0 T θ w i ) ] y i [ 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ] 1 − y i P(w=w_0)=\prod^{neg}_{i=0}P(context(w_0),w_i) =\prod^{neg}_{i=0}[\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})]^{y_i}[1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})]^{1-y_i}! U5 g, h9 o+ G$ z1 s+ R* ^
P(w=w 9 l' P1 h P! F7 \' g2 C: F! |
0( V6 S" K; @8 I/ H* F3 A0 _
& B% G9 Q9 y m )= 7 z5 `' o: y$ Ni=03 C( s' X- L% m. a8 H/ O1 Y1 ~
∏0 Y1 F+ y! Q* W( }9 k
neg7 q' V9 c6 H, A2 T+ W# u; X
4 ^8 |" k5 N' `5 @$ u
P(context(w $ n7 E: {8 t- Y" }/ y# n* m e# L+ J
0% f& c1 e! T% m* i8 Z
0 p0 }" Q% y5 ~" {2 T. a
),w & ]+ m% i* N% }2 ~; q4 @+ ui & e0 [; O0 [4 R( p% N0 H V* v$ N$ g' E g )= 4 I4 j3 A$ i! [
i=0 4 M3 Z5 A1 `: y% F. R2 P7 @( v% T: t∏ & U6 b9 E4 K; d3 w/ z% Q% @( h$ }neg" F7 ]" G2 P7 e* m3 p% d
& L& P! L( U6 ]7 K! [; \ [σ(x " J9 k" @( }# l- b* U+ P
w 8 W5 {4 V* j/ O2 n, F. I' A5 B0' d- r# o8 t0 Z1 ~
5 ]7 B; K/ q3 M$ {# Z
2 c6 I$ q# ?1 R% x! A. C( { [1−σ(x : q" a, g- j/ yw X9 D: w' M5 d2 @) F. b* a; \03 p" u, U$ \6 e( H; Q N5 J& I( Y# w1 X
6 u/ s' t4 q& s7 C2 `* }6 U8 r/ n6 ^$ W
T Z, ^; H2 @4 L
# ~1 D1 i- |; J8 @0 i θ ; H: e( q$ n: U$ C$ W G9 Y/ e8 _' ~
w 5 N% d) s& \& w4 l$ m& Zi+ e/ M! Z5 |' |- b" u2 ]# n
6 j/ Q, n |% j, C5 n
+ V5 @" F8 `3 W4 v7 C- @3 V" R )] $ M. ?6 P) ] X9 m! T1−y 6 T5 P0 _) @, w/ g8 r' ?i 9 c [2 [& J4 B' [3 N' T * P1 C# N1 O8 |( d! ?* H8 s. { i7 v! l
! [) T/ P, H; Z$ l6 Z) |6 P + q% ]% ^6 w7 C/ `6 g' i* Z取对数 5 j5 q5 N! c3 i( P- R' }L = ∑ i = 0 n e g y i l o g ( σ ( x w 0 T θ w i ) ) + ( 1 − y i ) l o g ( 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ) L=\sum^{neg}_{i=0}y_ilog(\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))+(1-y_i)log(1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})): } Y# j4 |4 R
L= / b( ~; K( w+ e* Di=0 ; {- q6 z* t4 m' @) o: b1 m) t∑5 _# F+ i& D4 ^3 I( b: v. A( H8 i) U
neg: j6 F" s E6 q6 f5 U
. F- n+ I; H/ Z6 z) I( p( k+ V y 3 S! B' Q# u. }+ f5 ri ! ]+ T! M1 \& N& I2 ^+ u M8 q M' l; C5 F9 g. m3 C. u log(σ(x $ d& e# L& L, V9 ]w : z8 {! b1 R3 U9 A5 g8 Z
0 " }; o5 [& ~# t% h/ @( Z' B0 [ ; |% h5 N( R( _; V V0 L
; b5 G1 r3 B' \- Z; HT ; R! h* W) z2 d! @4 C - o/ Y9 |# y6 o& S θ 9 m# v' \9 m/ E+ mw 6 z7 C- s4 E( e, l7 \: Q: h, Ei / } j4 Z, P s2 d0 b8 m / g( i) C* N; {$ m 9 V/ }. O `, ]) u: ] ))+(1−y ; K, f; M, b" L4 y: gi 7 `5 ]3 X- h8 A! F3 E9 \ - x% {7 f3 A% Y9 ^! Q- L )log(1−σ(x - ?# C& Y$ O* t' gw / e$ H& i9 f$ B) H2 K+ R02 n% Q/ W, J2 e
) _. ?0 T# m5 ^3 t 9 ]: {( G/ B' D) K: ]# OT ' } }7 q ~- T; v$ D0 Z' Q : Q4 Z) u- b- I: r" e* g4 o; e
θ : v# t1 _6 L' o$ v8 o& G5 K" N
w 5 I' E+ s$ E% F" b: }. a
i 3 g0 J5 b9 @5 W7 G4 _ 2 G- D; o2 j9 a( j0 K # S2 S2 b* t) W5 p& y )) & L5 n- V' U4 `. W x% K, y; Z) T. |( A2 a3 K8 n$ ~
首先计算 θ w i \theta^{w_i} θ - E! a7 b' f; `8 Z; sw 1 M) E6 s* M. T/ A% J
i; e" |5 _# n! N' R. c# z
1 k: ^( ^) U' h7 x
! z3 F. C# e, L1 D 的梯度:* l0 j% K1 X. Z$ T& R- U
∂ L ∂ θ w i = y i ( 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ) x w 0 − ( 1 − y i ) σ ( x w 0 T θ w i ) x w 0 = ( y i − σ ( x w 0 T θ w i ) ) x w 0 \frac{\partial L}{\partial \theta^{w_i}}=y_i(1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))x_{w_0}-(1-y_i)\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})x_{w_0} =(y_i-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))x_{w_0} * R) G) O+ B2 d' e8 H∂θ ( e) P6 X+ x3 w4 }2 E2 g
w - d/ Y8 j4 a, G& N, hi d- D5 j: j3 b4 A% O . ~& S( P- S/ {0 q$ Q9 K; X3 f
- `1 P: E# V, ]5 d4 V3 f/ w! N
?0 |' {. x+ \
∂L 5 Q% H `* m! {1 b# G2 p' I7 x * e/ l N p' D, R3 l% q: x2 P
=y & V/ A0 a2 [0 ]+ j3 y
i3 a4 t7 m/ V% G; G
: m" P3 n- P6 v4 N0 |
(1−σ(x 4 t: T- w, S. W7 h0 o5 }w ! Y, U( p9 v. A/ E
0 5 x" k0 s. N3 s) F# p- P3 o" I ' i2 G C3 a/ N9 S6 q0 u2 x7 a
% {1 F. s6 ^$ ~; \8 nT / x, E' E3 m* s* F 7 ?% b s. W& A& E/ a6 N
θ $ D: \# w3 [ [& B. `* R& D6 fw ' C; B2 ~# z2 C6 c0 j8 |
i( B% ~& P! L8 e" ?9 u1 O
7 @# k9 U6 W; O' O% y2 l5 T! }; n) ^% G" [. v# A
))x 4 Q; G' o8 f6 }: @+ Yw 0 e* A g7 t5 d- s
01 M8 x$ Z2 S8 H' B. W
! R v* C( J3 O
& ~ B0 f' c: K8 K
! _) f/ S$ H7 j8 c7 L) @( n0 p+ m; R7 K% X −(1−y 2 x7 n ], a( L! o% Gi 1 @& i$ { p& F0 a4 R5 } ( X& |& m; \( P6 y8 @
)σ(x 6 b3 D8 L& n8 K; g+ L$ f2 aw 8 t( U- R; X" c
0 r% L/ C) f9 `: Z H2 h
) w4 A6 ~. [: m5 l9 e, d5 o
& |) h7 O5 z' ]/ T% C. ZT# i1 o- Q! f( N' [' z7 o& M4 m
7 _4 i1 V# m8 q- C4 e6 a; P, H
θ 0 G( v# J! l: A/ s* M: @/ T/ X$ S
w 1 y8 u3 e: |( s; F2 q% di3 H) w4 l3 ~6 b; {' P
% k! k3 N: Y! _* t4 u : J! h1 a# J7 C: [ )x $ M9 ?6 ?) x, q9 h8 K: S
w 9 ?$ Z2 }6 c* X. }4 ^# l
0 / V! f8 P3 r: ]# n ( q2 }) `& S7 r ~9 I, R
' q' h* R" w% t# F. W7 R( O2 B
& T% V; \" f9 A$ o$ A7 x4 ~ =(y ; \! s' w. I1 N0 s$ Z* a' ]# I S! h0 W
i e# }7 R- d# T p! s* z, [
; C8 v% q1 M* s O5 L0 t8 _- q5 f# G' L −σ(x ! |5 T- R0 v' l( c# e- sw / F1 O/ E; m N# `9 H
04 A, V# N' Z$ Z) r7 {+ r1 Q1 L* Z# _
; `* \2 F4 V6 ]1 H+ G
# l" z* h* F) ?
T 2 j0 r; Y) }7 ^, P: ]6 c / Q B- a1 o* C0 {' F3 }
θ 5 M9 x2 z, u& `
w 5 U4 c$ v) G7 m4 v2 e
i % X/ \/ z0 E' [1 O6 E! } - y# |; V" ?# P. O; J5 J* g7 l
))x ! ~! t6 Q6 L, }3 R: {8 L
w . u# L# {# x5 t, i# \4 X( }
0 # h$ x. F% ]9 l4 s( E+ W3 c1 ^ 7 p- I7 }7 h# i5 x/ g" Q( M
; B+ P x, C/ N, I! q% k - O! @! K h( h7 F1 a
3 o" I8 u. C1 c' n0 l
( z- _% j, v# G4 D8 s, j' @
同理可得 x w 0 x_{w_0} x " {( j- p7 X( w+ z d6 Pw 4 Y9 r$ f8 D" N0# C/ U+ L7 J- V, W: C' }. B% {$ K
; A' c5 C3 |4 W, P, }$ I$ z, ?
8 p& B3 e$ Q5 |& e
; H" H) o7 h' v8 `
的梯度: - `" G, V% c( ^% W' h! B3 p" a2 G∂ L ∂ θ w 0 = ∑ i = 0 n e g ( y i − σ ( x w 0 T θ w i ) ) θ w 0 \frac{\partial L}{\partial \theta^{w_0}}= \sum^{neg}_{i=0}(y_i-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))\theta^{w_0}; s6 ?, B" A" ^* p
∂θ - k; I1 |) K* G1 q' qw ! d" H) i; |+ R; h5 k1 @3 @* l
0& `; P$ v1 l' B. }6 F. l
0 t2 M4 b, [% L: Q% u! |' Y& U" C9 F' Y3 ?; `( @$ L
3 B5 l/ |3 x6 L7 Y$ o
∂L ' z, L' V2 M; f1 H . H7 q2 w; \# b; D# ]) c* S! ^ = % U) K' Z6 K3 c, m1 b3 wi=09 J0 B/ \' K4 d
∑! V0 e4 z) v& S
neg & L& {3 I: l6 T 3 H* D& D5 c1 A" i" H8 l& G5 M (y % \4 O" K- Z) v, C$ k$ w
i% o7 s0 M. _% c. J' J, w
: t% ^6 E( D9 I; c' t −σ(x 0 k" n2 H j) Jw 3 B" `# I2 H2 R+ E3 x5 [/ I+ ~
0 ' Z- g8 U! N( g & X+ t0 A: l. [+ J
8 F# R8 X9 Y: {6 F l: Y
T' S7 A% u, }6 {, m
1 ^- x* B- N0 l# n' @3 c θ ( D; `9 o( Q! Y; Z) r+ K, ^. I! Zw ) Y: O( ~1 D9 e- M9 c T. V
i0 {/ C% m- H4 p8 f# e
6 V% n+ C, D/ D$ ^& w
7 W. U# `9 w% M& k% g9 y; \, f+ t, S: D: f/ ^8 i8 L* j
4.2.3 基于负采样的 CBOW 模型; ^0 t& m4 _" @' k$ K
假设我们取得上下文的窗口大小为 2 c 2c 2c ,即训练样本中的每一个词都以其前面和后面 c c c 个词作为输入,该词本身作为样本输出。1 B# E4 i& q) @
5 r: ^5 {! p# f4 A9 H' X' R算法流程如下: 7 U {9 e; G: }4 F8 n . V8 |4 e3 d# ]/ Q# A, }输入:语料训练样本,词向量维度的大小 N N N,CBOW 的上下文窗口大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η,以及负采样的个数 $neg $ $ {! d0 d( [* z6 j& D / @& c3 U! z1 p& b* E8 M. j输出:词汇表每个词对应的模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x ! Y7 V( Z! x: E( X) g! n' c) h% y/ y2 [
第一步随机初始化所有的模型参数 θ w \theta^w θ . H# R: t3 H) v. w
w $ F% G& a' T) s& |" D ,所有的词向量 x w x_w x 3 M# e) s: E: B4 Cw: \* m) l& a" [0 ?( J
) ? r+ V- M( L# u0 O; i9 C% F) o# B ! x# h! F7 X1 z: G - u; E7 d% U# L1 j! O0 u第二步对每个训练样本 c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 ) context(w_0),w_0) context(w Q; p8 z/ F/ H( J' i0& z+ S' j) F. J1 S/ @# E! G
4 A7 I# q. d/ i, v& { ),w + D" x/ i5 U* |; H0; [% ^) K9 h: G I
9 J4 t0 x) i! E
),进行负采样,得到 n e g neg neg 个负例词 $w_i,i=1, 2,…,neg $ 8 a- L. a% R% t. Z" B+ a s8 [: U" ^7 R/ m# l
第三步进行梯度上升迭代过程,对训练语料中的每一个样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 , w 1 , . . . , w n e g ) (context(w_0),w_0,w_1,...,w_{neg}) (context(w ; U. O8 |, I" H- H4 F, h1 ^
0 6 {+ b2 \. k! A ; K6 N/ J, H* O5 ]& T( f3 t/ \ ),w 9 s& u4 z N. K# W( Z0 B0 ; s) S# q' q! H4 s) v# ]( ? 9 I. Q' ~! Z- y! T9 K5 [' @" Z
,w 7 X( z: W8 a& V( j+ ^8 _14 N4 J& P; L: a4 P. f
1 g3 O3 r1 z6 ^0 v. t ,...,w $ |& T z3 R" dneg# l7 D6 [! [* C7 C% h! G! [5 V4 V
o f$ C' X* K" }8 m )做如下处理:$ d- n) C2 M- U, O0 K3 J2 W. h
6 J5 M$ @& F$ V" x* U$ H" P' ]
令 e = 0 e=0 e=0,计算隐含层输出:4 ]' w" n6 ~ G0 {. s2 R
x w 0 = 1 2 c ∑ i = 1 2 c x i x_{w_0}=\frac 1{2c}\sum ^{2c}_{i=1}x_i 7 Y" h% ?9 P1 Bx 1 r8 X$ |' x/ ~, B
w , G5 n/ g( u. ?+ E* _0 @
0" A% V2 l6 R; c' N
/ Z \/ \2 v. y: K' N/ N: l6 G* w
3 f7 D$ T6 n+ u, u
: l, Q9 I, y# ?
= 0 [/ p& y! |4 j/ W1 `2c2 {1 n2 z2 q$ ]' E
1 , q- W& C' l2 g+ }- E/ B 8 ^2 u: h( V& X4 `3 v8 w" e0 V! v i
' `. g5 A( \: `0 ?% v L
i=1 : a1 [5 K2 z- g. {∑; Z) c& a6 y5 ?8 m* b( p# Q. d5 N
2c ; o$ u, s/ p' {; |, S l8 F 2 x. ^+ c3 f* R( s% j1 K+ K
x 3 [* m; }( i2 Z; _/ C9 z, k
i . h( J& q0 b$ [1 `: F 6 J$ f% v+ m2 E c
8 M/ N0 O- S$ b9 O$ ~
4 C- o& E: W( H3 F
f o r i = 0 t o n e g for\ i=0\ to\ neg for i=0 to neg,计算: # ?3 S- p: ~" e, F( mf = σ ( x w 0 T θ w i ) g = ( y i − f ) η e = e + g θ w i θ w i = θ w i + g x w 0 f=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}) \\ g=(y_i-f)\eta \\ e = e+g\theta^{w_i} \\ \theta^{w_i}=\theta^{w_i}+gx_{w_0}) i" n D; u' k6 p0 O; H1 ^0 Y0 m4 b# e
f=σ(x : `, [' V, z( X7 s& L
w * F# b# W" @, K) w: L0 U0 . N- G) T7 v1 D& C3 ]% v 0 k. o& p# Q3 r; Z
9 P& {1 L9 o+ @2 {! n7 b =θ 4 b A8 m3 M M/ k
w ! I" Z" S z i4 Z
i % E' q- I0 e$ y4 \: x) \ 9 G! N: t! n4 P* r ! A7 d* M/ g; }8 h+ q3 @. l5 \ +gx ! T! c) Y& S! E* i$ @ T7 w8 X8 g
w # E6 n4 N0 \- F' h ~0" Q. n, r% u8 f; q( F& u! L
5 U( `: Y% N- ^9 x/ d0 B" r8 k 6 w. R3 g( {% C2 ^, p& R 5 w; \5 t" S8 B' W3 ?- g# m9 \5 p6 J. S
1 Z& W, A. X8 v# D( K根据梯度对 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的每一个词向量 x k x_k x ) ~ M: g3 q' nk 3 v9 @& X' o0 K3 w Y 3 J8 n4 R4 g# k
(2c 个)进行更新: # N' ~0 s9 w% g$ d! Y7 ux k = x k + e x_k = x_k+e . V; w# h/ n, Jx 8 ^0 h, L" i! O9 p3 ck * H7 a* f# w8 o9 t1 z, V 5 A1 Q1 e7 J; o( q7 h
=x " C% L! K: B% E
k% d% Z% ?$ ~( \
5 ?! z Z" Q R +e* U! T) _2 H, l( k
- Z5 ~) y9 S& X! b/ ?( T: t
若梯度收敛,结束迭代,否则回到第三步进行迭代更新+ K% \. m0 ~' g$ y/ M6 O
0 g/ [+ {" I$ M! G. Z, `; p
4.2.4 基于负采样的 Skip-Gram 模型5 c7 K) V, i# t: ~' `4 a
与基于层级 softmax 的 Skip-Gram 模型一样,这里也是对 2 c 2c 2c 个输出词向量进行迭代更新。 ) M- c7 Z, e. l2 n1 p5 @0 ^: I $ U1 {8 g9 ? r k2 n1 ]* k$ P算法流程如下: # V) C# l+ d. d& M' q" U. H, L. J0 M0 A! F% U: q
输入:基于 Skip-Gram 的语料训练样本,词向量的维度大小 N,Skip-Gram 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η,负采样的个数 n e g neg neg 。 ; E& E! u; p& t5 K: G/ T# t( e( n( @! z- @
输出:词汇表每个词对应的模型参数 θ w \theta^w θ ! E- {' y! u0 u1 }6 W7 Sw 7 F; F+ Q" c6 |2 E1 j( t0 u; M ,所有词向量 x w x_w x + u9 G9 d Q; @2 yw! `/ N# f3 c/ V7 S: B& o, _% Z
4 J( n5 D6 e2 {6 }+ y5 W6 f* _
3 L) k( u" d* n4 @3 X# n) g- q P
' w. r5 Z( D5 |3 ^" [% s第一步随机初始化所有的模型参数 θ \theta θ 和词向量 x x x + T' B. F5 m" v& M5 W 3 V5 z) ^$ X, k. Q5 H6 e0 a第二步对每个训练样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 ) (context(w_0),w_0) (context(w ' v5 \) b3 A9 E A
0 $ l- \: c' `& f5 } " a0 y" Q5 T! x; I/ U. [0 H ),w 5 t2 M2 Z" s* N5 {# j& G0 - t9 L# o9 X+ g # a0 q6 D! n2 e$ e ) 采样出 n e g neg neg 个负例词 w i , i = 1 , 2 , . . . , n e g w_i,i=1,2,...,neg w 7 R- K+ Z) W I2 w- F" f5 o
i - }% S' ]% G) \. K* |3 p 7 M: F) J$ z" I& ~. \* c ,i=1,2,...,neg# S1 P# X' g" H4 F
W j; V* a, E4 |9 ]' I第三步进行梯度上升,并更新参数,对每个样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 , w 1 , . . . , w n e g ) (context(w_0),w_0,w_1,...,w_{neg}) (context(w 3 u/ ? E: N7 [5 t% Y0 e# E
0 5 i5 @) t: a9 b$ q& L% m 0 D5 z( k' K! \/ X ),w : F! U( J2 P& {0 g2 Y6 n" q
04 s# L! D8 G" r. w# i& G
# Z; \" D/ y; z2 y/ ^1 B. z5 n
,w 7 J" A- ^8 s+ `3 e8 Y- a
1& W4 I# H& `2 }& c( w; c1 |1 ^
" m) ]8 c, n& {% J! E; h. E ,...,w 9 i5 G- p4 ^+ V# ~- l: Vneg M4 u2 n; R s$ u& v
6 V" f6 D* ~5 w9 G7 F. W, s* [ ) 做如下处理:" v6 p1 u0 M# h3 N/ Y
+ L# c/ x N7 R/ m4 w0 @
f o r i = 1 t o 2 c : for\ i=1\ to\ 2c: for i=1 to 2c: & ^1 _4 j0 B5 V3 a# b. N4 v1 y" [4 N3 o
令 e = 0 , f o r j = 0 t o n e g e=0,for\ j=0\ to\ neg e=0,for j=0 to neg,计算: 7 [3 r- I4 b4 Z; r) qf = σ ( x w 0 T θ w j ) g = ( y j − f ) η e = e + g θ w j θ w j = θ w j + g x w 0 i f=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_j}) \\ g=(y_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^{w_j} \\ \theta^{w_j}=\theta^{w_j}+gx_{w_{0i}} \\1 v6 j, T+ K" S" F* k# K
f=σ(x / C- I6 X" {1 K3 P8 ow - O) l# g. N6 @- ~! C0- s% \" s% f/ e
3 [8 L/ X V8 y( K% U1 L0 S
# P7 A" Z5 A6 V6 w/ q- E. dT; \4 P# n. @5 O# L+ b
* l; E ~8 h- H" _0 c( z θ . H4 X! u9 x" i+ Bw & h1 i& {. N' [$ t
j" g$ E4 @: U/ |+ G" e6 p
( t6 s7 j! l" W5 c' \. i3 ~' C& w% V- @/ Y
): H7 k3 i4 z5 z6 h
g=(y ^4 m+ M" K: l( M- B5 G
j7 p: {9 I0 u5 S, z& }
! G; g/ k) B4 R+ X −f)η 3 [7 l( b" a/ w3 _( `3 Qe=e+gθ ( ~, r- I+ f' k$ s2 Q9 X1 E- x
w 7 `: ]4 B4 a' ^- x ? t
j ! |/ t4 {0 l- N+ p- j! t0 g; J) {& G2 g 5 ?+ C7 m! ^6 o
9 I3 \/ `* r7 V. D1 \$ K% C8 n
" y6 Q7 J" {+ V4 q. e h
θ 4 C" z# o! U& ]8 ew - A& [! L, o |8 O4 _0 _j) }7 `& Y5 j! S8 \ p- j/ ~' E
# I9 c8 I, K, ]; T v* D" J
$ I) a8 ?- ^4 i4 G4 Z =θ 7 F- D+ U, {: A' c
w # F, n) m; M% ?3 U$ Hj 6 S, F3 u' ^) l1 P: A$ u3 } . _5 E$ m% g0 N, R
2 g) V5 I# q# z2 j* `$ K! x0 a +gx 3 U2 z g/ s' J. {, ?w + G K* V* @* P; T4 t( X0i 2 w# ^9 \4 [6 f0 k6 `2 e " ]8 N. c: P7 b0 i$ a. n
+ X! y5 h4 |) E& d
6 m$ [# z4 y% e% Y0 @, X9 s8 X 0 H, N% N [/ p3 J& f" L5 l! A8 h& L4 K! ~* X& j
利用梯度对该输出词向量进行更新: ) \- d. K% r: p6 z* a$ H- Sx w 0 i = x w 0 i + e x_{w_0}^i=x_{w_0}^i+e ( j$ ]3 o5 D, d% y/ gx # g/ s% B; m3 E7 P* p4 R) Uw $ z* \2 H7 u- |) Z) d4 o0 8 k* ^; ~. }* b V6 N: u; F( a, s2 Q 0 a( e+ X8 h' T6 [8 F
3 Z4 U! m" y4 w( U" k9 E
i + J2 B; g6 e; ^4 T * U; D9 Z5 i% ]3 l1 M =x 9 k+ ?4 @* N$ }) t: \/ i( J
w + M R1 m3 s' g7 |5 V1 F
04 ]7 F6 P, P6 y3 ~8 Z" u3 L
4 q$ m% M% v) O: `! W
" ]% q/ w* C0 @ A/ l: }! A5 e
i! j0 S" y! U" a0 i
$ E: d% R3 _/ r+ r$ ?: d, j# c5 D4 B
+e / b1 [' W2 D- _4 X! q0 H. ` ; E2 X) B$ X& G+ n/ L( e' ?0 T" B0 S其中 x w 0 i x^i_{w_0} x 9 P- L$ [9 y) n4 }w ! |, p @* Q2 z# }0 * D/ m( j: j+ M# x8 J 5 k$ c# H" @ p T
/ j" D1 v! Z+ t. N& Di 1 v0 } A6 U8 z1 [. h0 G( V % m* A! u$ [' }9 e/ ]4 X
为中心词为 w 0 w_0 w : M9 q8 z. m+ U1 Y, k! Q. S
0 $ `# l6 Z3 Y" }+ }% G& k 7 W F4 w8 H/ Q& u! c/ Q 的上下文 2 c 2c 2c 个词中的第 i i i 个词的词向量 ! ]$ ^7 L1 w; W+ E( G! l% K' n( N) I: \! Z
若梯度收敛,结束迭代,否则回到1继续迭代更新参数9 D( G `! Y1 R. |
- D% N z, g6 I& T: w; L四、GloVe2 v, A' S/ P( x* y. d9 @6 {
1. 简单介绍) a( w2 {' a3 n3 t% {4 p
GloVe 全称叫 Global Vectors for Word Representation,是一个基于全局词频统计(count-based&overall statistics)的词表征(word representation)工具,与 word2vec 一样,她也是将每一个词表示成一个向量。2 c- ]6 p4 ^& r7 B
/ P( b) Y* ?8 l5 wGloVe 结合了 LSA 和 word2vec 两者的优点,充分利用了所有语料全局信息,更易于优化且训练速度更快,但仅仅只关注了词语的共现关系,忽略了词语的顺序关系,因此训练出来的词向量包含的语义信息有限,只能进行一些词语相似度等有限的任务。 6 d* L8 v. v. @* i$ ]! |- ~ * {# Z% b! L* A; Y8 j9 L- |2 y2. 基本原理 2 H' k8 W9 m7 B2 K' ZGloVe 的实现可分为三步:( B, }4 b& c0 \1 y' y f
& l/ ?. k/ C" J2 a9 g7 b# q4 Y
根据语料库构建一个共现矩阵(Co-ocurrence Matrix) X X X 0 s/ i' ]7 I# m( O- f- S9 w ! ~8 W6 I1 S0 u" Z构建词向量和共现矩阵之间的近似关系,论文作者提出的关系式为: # ?+ o x( N! [/ e( X1 `(4.1) w i T w  ̄ j + b i + b  ̄ j = l o g ( X i j ) w^T_i\overline w_j+b_i+\overline b_j=log(X_{ij})\tag{4.1} 3 v$ t, R" z; l0 h# ]w 1 H# |# Z" g0 ]1 |$ _" G
i 6 @7 y( P% M& \/ _& ?/ m$ zT. e" |8 j6 d& |/ v9 g. n/ L2 f( H
$ F2 m* F, K2 d6 L3 e! P
" p( I4 [$ |7 K2 B0 f% `: yw. X" e4 |2 g. L) |6 q8 f9 m* p; e' H
5 _1 g3 C0 v) p2 d+ f# Gj ) X7 K- D' J3 t) P 6 P' f Z$ U! Z +b 7 W* J0 o* ^) C: B1 B: I$ X& E5 oi: z% z' ~( f+ C: o" s
7 t$ n4 e/ B, H! D
+ & M; l0 F5 r3 x: {! J) a/ j
b% g* T6 H2 t& K4 A: v
+ j- J+ P! t0 g* S8 Qj 0 g2 Q% f* B9 M: q( _ ' \6 l5 u$ d1 x =log(X % K! Q5 X$ T( O- @5 C6 kij 4 W2 p n+ a6 m A1 Y' y2 Y 9 g4 T8 r' T9 Z, Z+ `1 K )(4.1)& O/ ^3 K. h/ v
T$ T$ h! t8 m: c/ _$ v2 Q: T) X
其中 w i T w_i^T w . i% f. D( {0 ~: g, ~& E8 o! M
i + A, ^. d/ |# z oT6 ~! b4 a5 J9 R
" I, n* O& |0 V( B- y) ^1 K 和 w  ̄ j \overline w_j ; D% Y/ k' E/ q d8 L) t$ O" H0 @
w 0 p+ z5 y+ O8 _4 M0 \2 K" o; Y4 w8 x) C5 Q/ }3 V2 e
j ' b2 R+ }5 r1 i, O, C+ h 9 p$ }$ C7 {1 V% e2 [7 l
是我们最终要求解的词向量, b i b_i b ; r1 S+ _) S9 N- j
i3 u; d/ }" c$ H
1 y$ c5 l: H8 w. f- O2 k' g
和 b  ̄ j \overline b_j . Z" C' ]7 \% p
b a& z$ X6 \& [6 B* B& B c: j( N& E, J
j4 C' ?' D( \$ q2 \- `5 \4 [1 h2 \. z
! m3 `% k; D/ O3 i* L+ w
分别是两个词向量的偏置5 w; K0 j) z. m; t
& Y* ^2 Z) @6 l B7 d构造损失函数:2 e9 x' B7 V- l! ?) i
(4.2) L o s s = ∑ i , j = 1 V f ( X i j ) ( w i T w  ̄ j + b i + b  ̄ j − l o g ( X i j ) ) 2 Loss=\sum^V_{i,j=1}f(X_{ij})(w^T_i\overline w_j+b_i+\overline b_j-log(X_{ij}))^2\tag{4.2} 0 M$ G2 B+ L- @- l- T5 G" h2 z6 NLoss= / s K4 l% F- l( s3 Gi,j=18 r4 ?( Q9 z/ Y3 |
∑ 2 ?# K! k+ r- x( u- U& M* eV & x$ z* R* v7 O0 m6 M5 s 9 O, O7 w/ S, j2 p0 T f(X ! a1 l. @) y9 `6 jij7 n& M* a! D. ?1 [. G5 E- P5 `" Q
2 t8 p4 w! U# E2 i
)(w ; n* w; S$ r5 c7 ]; }' C9 D( m f. E
i$ C2 Z( P# A4 a, J8 y1 f0 [1 A+ k& z
T * [8 Z; v% u0 h& z% \ 2 Y5 }3 P4 q" w N+ K
5 ]# v6 l: |5 c9 N+ h7 j6 bw 2 a. _* k0 ^6 N6 n' Q0 `0 @ ; t. Y/ r) [% Zj% O( z R0 D3 |
9 F5 k: g- K7 b. G( [" x +b 6 Z1 L$ }; w6 ^# o! k Y, o/ X
i8 U9 {9 T4 h+ t5 c7 C# p% }
3 ]" T8 E: ]+ j) \+ a2 j4 e! [ + / X* e) J2 {( X$ g% @) F2 o3 H
b ; s' G: p% a- q4 I7 d+ R. o1 e- j0 T: i3 E( g& l' n2 Z9 P
j ) K* }) C4 o: C2 M9 f5 | 2 i4 F5 n. r; B' ?4 g; q2 j" e. ?
−log(X + N- q( U! g+ a2 }
ij + n$ o& w* D% H' n. i: ~5 o* l1 d* ~8 Q ! N) E% o9 U) ^/ C) F. E/ _6 s
)) 8 P" Z- o. X0 W K$ U
2$ ?6 Z2 C2 M. ~4 l! F
(4.2) " g% S( D7 k8 r( g* a+ L# O) m% B% e, j9 d- C( m
这实际上是一个加了一个权重函数 f ( X i j ) f(X_{ij}) f(X $ G3 V( n g, u8 z/ r1 X0 G
ij% d- A( f( M. _, V/ l
# C$ R! c q' c# |
) 的均方误差,而且我们希望:6 l+ \3 A1 k" X1 Z$ ]! d! Q
( m+ h$ @4 {: p4 `% b* b5 \/ R6 f
一起出现次数多的单词的权重要大于那些很少一起出现的单词,所以 f f f 是非递减函数: V0 H, V) U) N% R/ O
而且这个权重不能过大,到一定程度后不再增加" F: Z. ], `$ Q0 L Y. \
如果两个单词没有一起出现过,即 X i j = 0 X_{ij}=0 X - i3 \2 ^$ z) `9 ]6 P7 d9 G# D
ij9 y# c! J1 o- T1 A1 c
- M4 i! J1 g& _4 J
=0,那么它们不应该参与到 Loss 的计算中去,所以 f f f 要满足 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0# m. P' W: E) Y% H4 N
作者使用的是如下函数:* e8 j) t0 j# Q) V# p
(4.3) f ( x ) = { ( x / x m a x ) α i f x < x m a x 1 o t h e r w i s f(x)=8 @0 @ V. `2 y/ a5 C# ]3 l
{(x/xmax)α1amp;if xamp;otherwislt;xmax 1 `7 T8 k: r) ]{(x/xmax)αamp;if xlt;xmax1amp;otherwis + w8 o& C p* V2 l `/ {\tag{4.3}) G, D1 J+ q% f# n7 Z7 V
f(x)={ 9 \- p5 j$ N9 p1 c, ^. z
(x/x 8 P* T$ k/ Y0 q# l6 I: g
max% S6 Y9 e; W# h5 l) h
% H" N6 b1 c4 M2 y) K) Q4 M" V ) 7 r( f4 ]1 K( q8 l$ P
α - o' s+ C- e* l 7 L# U" d+ `& e) }9 l$ L1 9 Z( f! f- S" `( y' k/ _/ o5 W . _4 P. h4 R* w6 ^
4 O9 u1 `; P1 ~2 o# d. m
if x<x 9 U5 w7 X, G! m) B w9 m) xmax% Z3 d+ a/ H. Z9 C
: P# u' _. w2 p- N2 N& n, ` l6 i& O. W+ D# I6 o
otherwis3 h" x0 W) E7 w0 R" u- H& {8 G
c# T) X1 a1 C1 N
(4.3) ) c/ {0 T: G8 a # |# w% e5 W! E8 q其中 α = 0.75 , x m a x = 100 \alpha=0.75,x_{max}=100 α=0.75,x # R, v5 X4 T% H. Q8 t2 }
max& P5 j- R @1 a, z0 `
9 X' h& R8 u( y8 f( B$ ?/ S
=1005 g1 _8 |; n- P1 x( [" A1 u+ ?
9 s, X" o% D6 I% f根据 Loss 计算梯度并更新参数/ ^1 v2 ?9 X. T* u, s
8 ?( s( x; x/ ]: g k7 @2.1 共现矩阵 ! ?2 U6 G& R% I0 H' C共现矩阵中的每一个元素 X i j X_{ij} X 0 l( A5 f; C6 i1 K4 n9 f) q
ij- T% f! _4 f3 g' r
' B$ j" K/ M L* _4 b
代表的是以单词 i i i 为中心词时,单词 j j j 在特定大小的上下文窗口内共同出现的次数。一般来说次数最小单位是1,但是 GloVe 根据两个单词在上下文窗口的距离 d d d,增加了一个衰减函数 d e c a y = 1 / d decay=1/d decay=1/d,也就是距离越远的两个单词所占总计数的权重越小" ?8 [4 {9 F J% `' b7 H/ J# u
( G3 }; T, L* n$ r8 M
3. 公式推导/ Y( K2 i' [& i0 l' e9 \
我们先定义一些变量: `, W M; N) J6 p: Z
3 A- G8 [6 E. ?# o6 GX i j X_{ij} X Q% `6 q3 {1 t2 ]ij ! U4 M$ p6 N b! j( \( V& ` 5 h2 c( f8 b' c8 d
表示单词 j j j 出现在单词 i i i 的上下文中的次数1 P+ I* e6 q* |0 B
X i = ∑ k X i k X_i=\sum^kX_{ik} X & @6 h5 Y6 l) B& ]' J2 S# M$ ?
i, U$ z2 t& @8 r
1 X& B/ c) X% e- Q; J
=∑ * s( K; B# i& T9 G5 d) {k 7 ~4 ]1 C( u% s/ t" R X + C) p0 L2 }2 O; F6 Z! _ik & V8 v T" N8 d* ?; y- X/ \ * g+ ?" i2 l7 V' l# \ 表示单词 i i i 的上下文中所有单词出现的总次数 3 [7 U% R" l* T, D; P7 J- \P i j = P ( j ∣ i ) = X i j / X i P_{ij}=P(j|i)=X_{ij}/X_i P 0 R ]& f6 k3 @; fij 2 Z9 T% S1 n$ ]: } i; \ * N& G$ S6 b0 Z) @( Y9 Z =P(j∣i)=X / k1 T0 A, x6 O
ij7 R% i8 I( m7 ^3 w0 R" D
! p3 M Y# ^! A3 l3 N0 B8 E& J$ C /X 0 C# @: l, U9 B* F
i ( U: e; r ]- v/ J% [' ]' R # x2 R5 e, N2 P5 O' [; L 表示单词 j j j 出现在单词 i i i 的上下文中的概率 8 [3 u/ S* ]/ S: W3 D( }/ A) Q$ A核心思想是,对任意的词 i i i 和词 j j j,以及第三个词 k k k,如果词 k k k 与词 i i i 比词 k k k 与词 j j j 有更深的关联,我们就有: ' T: A$ g" D. j! {& ?( O3 b(4.4) P i k > P j k P_{ik}>_{jk}\tag{4.4} 3 Q/ B' n \' r8 ]7 HP 1 j' v1 f L) h) V$ e/ |ik+ i9 {! i4 c: @2 l& u: J5 U
4 R" D2 o+ a5 w0 ^& r! E* f > ) }$ z& G/ H0 ]6 ujk1 Y+ U' U8 R! i3 M; M: \% k2 J
& l E/ c0 d6 ]7 t, V' o2 I% e1 ] (4.4)8 p/ X- T7 |* T/ T: l
! w7 r3 _0 a. r- Z8 ?且它们的比值很大,同理若词 j j j 比词 k k k 与词 i i i 有更深的关联,那么它们的比值越小,若它们都很相关或者都不相关,则比值接近于1 。 8 s; M& @. H1 {9 B3 S ( Q0 i) a: H8 ~9 y4 [/ V. h7 A由上可以构造出如下函数: 1 R$ {$ N( X/ }. G! L" o% ](4.5) F ( w i , w j , w  ̄ k ) = P i k P j k F(w_i,w_j,\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.5} 1 Z# k/ N: j& {# C9 z4 lF(w ) q0 P' n |: W4 D/ |% ki2 J7 V7 a9 x1 k8 ~1 y- }: @3 e2 h
8 m' w; q4 u- \$ j, T' j
,w V1 Q& R% K: F bj 1 @- D3 c' U) ~( r ! ]: T! ^# D/ M6 a/ x) ]
, ; M1 _5 i/ K" w7 s; cw : q+ \! X" \$ [; o- o* H% N5 ?: l0 N* s( b9 R
k" W' F |3 S4 p' ~. c
9 {9 b; I- k. R% ~" M! w )= * U2 L$ h, g% {) R. tP " g1 E( D9 V3 i' g$ _; L, ]jk M" C4 g1 g# |' P0 Z/ P5 p 5 D6 w4 w* H8 [/ s5 ?: }2 @: s . X& F- S" V, F) r, aP 1 V( Y* o+ `4 p
ik , A3 o: l7 A8 F; l . a$ M- A0 F( v5 G 4 y2 j3 K! C! V5 K' c( j0 V6 H- } 6 `5 ~! t: _: g# D
(4.5) 8 f+ j2 J _# g" `2 ~; V+ x6 q# A: B" F2 h: J9 |+ E
其中 w i w_i w + B+ N6 U/ R& Ii - |! F4 M' d' ?, M9 n : h e$ H& S" u, \1 s" Z 和 w j w_j w - c4 D5 j, S1 W; M- q5 Z1 Q8 {* \j & k0 [* H, M0 }5 O . B) y/ U d" `. ?0 `2 k5 b
是我们要比较的两个词向量, w  ̄ k \overline w_k 1 D7 W' g) ^ v' V k, b+ M( j! F
w5 l1 Q* w8 f* Z: X! x- Q( N
- I5 g9 }& N; \9 _
k3 b; H. q% m1 K, G! B; t
; _/ |; U5 U) [
是其他的词向量,函数 F F F 的参数和具体形式未定 6 Q' h6 J2 z$ X S: r 5 z6 H* t# A5 q3 f" m. ?又因为向量空间是线性的,我们可以用作差的方式衡量两个向量的差异,于是 ( 3.2 ) (3.2) (3.2)式可以变换成如下形式: ; N' \5 r% r, ]! r$ S: M(4.6) F ( ( w i − w j ) , w  ̄ k ) = P i k P j k F((w_i-w_j),\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.6}6 z/ A, K. O1 F1 V; i0 c
F((w * L% j/ Y. ^4 y: t" a' Gi$ J/ U$ F* u* b1 W' f8 }; O: K' J
, R* E9 y! n, y5 h: q- o −w 3 D2 w# E! ?. L7 o' i+ Dj 4 J8 b6 N3 f4 Z4 p' A. F! D$ O 9 z7 |; Q3 S/ }: i; s6 f9 r. j
), 5 U) V) d) v# d+ B: mw 4 Z1 R5 B) T1 G$ V6 i; d( F 3 W# F) m5 } d% ?& Xk* R4 c' z) I/ g' B
9 x- G# y: m. w8 B' Q! a
)= - _! L5 o9 _" K1 @# m* q YP {6 |* H4 H# H2 z4 r( G0 ajk 0 s" R" a1 N2 H) S: |; } ! m2 [' r. D% Y4 K4 O9 t+ h% u
! g8 I' k: P& E8 J2 L$ `P 5 C8 C) W& ^; I7 ?# n1 n9 Tik; E# i4 C0 _) D6 B
+ E! S1 W7 s1 `0 k' w ; M5 [; W0 x" }8 L' G , d. W$ p( k* B* P4 ^- [0 S (4.6)7 a/ @- p) k3 s" v1 t
. M5 F$ a0 w, k; _3 C& h对上式可以发现右侧是个数量,左侧参数都是向量,于是可以对左侧两个向量做一个内积: $ n) h' s. F/ X& C" F+ S(4.7) F ( ( w i − w j ) T w  ̄ k ) = P i k P j k F((w_i-w_j)^T\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.7} & z- S2 i* O$ \3 ?8 @& Y3 @F((w ' V* a q& c# P+ Mi $ ~! B9 e; u" F2 J y* q4 z5 f 0 J) e" V: i, Z! F −w ' y: k* }0 I6 `! T8 J2 V1 h
j ) Y7 S+ W; B+ L: z8 k# X( l3 V' Q : m6 Q: A' q# H1 X ) 2 ?' a/ `+ s$ o- |$ VT/ Q3 T Z5 X# s
$ M* I& D7 o# |+ h. Z4 gw4 h/ L% E9 |1 ], V, d
9 L1 n8 T6 z+ W0 c/ y/ gk& [/ u" B+ d9 ~2 t
6 Q B7 |4 @0 d2 r3 [) Q0 E
)= * v# {/ G( u: {# z* S* O) [: y: y
P * m X- P0 w2 y) ]$ |: x, L4 e; w
jk- t, o1 E0 l- M. M8 L7 ]" u
9 I6 h" b; Z+ y9 q" r1 t # ]1 u7 ]: O) h# w8 Q* rP & Q5 ?6 }/ a% ^
ik5 c) c7 X+ ]: r2 Q- _6 j9 D
* |, A& C* j6 v( f
. n- n& c! x6 F' x' P9 [* y # f" |$ F; ^& X2 X# t+ v5 J9 v
(4.7) 2 O; f3 c9 Y: v" F& ?! X+ b4 D) i6 c
回到问题本身,我们要是基于 cooccur 进行计算的,实际上在一次共现中词 w i , w j w_i,w_j w 5 g3 j7 p0 t+ r- {5 xi5 C N; j' h0 Y0 M
- l [# o% q5 D ,w 5 F/ d& H) ]- y- h5 J4 z& K
j 2 j- B( \: D/ Q" n8 Y4 c8 T2 B# V * ~, H$ p- v' a, H0 l
是同等地位的,我们需要 F ( w i , w j ) = = F ( w j , w i ) F(w_i,w_j)==F(w_j,w_i) F(w z5 m, {; b6 ~4 o- [
i + u& p0 m. r8 D2 U 3 K- g# `4 n6 a4 P: x
,w # s5 ]& o( E! a7 ]+ B8 O1 ~4 ~( c) q1 H g
j( i) c( z8 q( M: A$ P3 A I
' t) y) \ d& T; `$ q4 j8 s+ X% R. F )==F(w 3 K( c a! |4 t- \- E' |
j ) }" `" N7 s6 ` ( r1 n2 I+ d i* b. j ,w 4 L$ X& e# A! C1 a5 w8 R$ q( Z( u
i " _1 e ?. }( r ' h; }2 u# |6 {% @+ S ),而现在的公式是不满足的,故而我们需要给 F F F 一个约束(套一层指数运算),将差的形式变成商的形式,使得 F F F 是一个同态变换:; R1 Y3 A2 ?9 Y8 L$ v6 ^
(4.8) F ( ( w i − w j ) T w  ̄ k ) = F ( w i T w  ̄ k ) F ( w j T w  ̄ k ) F((w_i-w_j)^T\overline w_k)=\frac{F(w^T_i\overline w_k)}{F(w^T_j\overline w_k)} \tag{4.8}& A! V' v( q- B
F((w 2 b, Z! [& V6 m. E4 E' ki; N" a1 }5 A4 U6 U! H' \
, e. M: M* y7 f/ a
−w % D( x! C; Q2 T, Q- X
j) N' R3 r( K2 E- P
* p ?: N3 x+ T0 D' X8 h8 J, R: J ) + x1 t4 f# @5 B0 h$ _, @T # C! L. o# Q$ S! T; D; F5 ~- h: |& n) |6 i/ e- `, t
w0 j% J. n. i3 k
" d- k* d( z' O @( @; h) b) j) z% w
k5 B3 T l( {& W, U6 R' I/ m
i8 n3 m& x0 \7 Y1 m h7 q )= ! I* P& C6 _4 |9 v6 x. L8 z' _) q
F(w D/ P8 |7 W" H+ ]9 f( ^
j7 U7 c, ^ s- q5 v! ?% N
T$ }8 v( J$ W$ K
# u' J6 Q: k# p9 ?" d6 O- [2 r f
' p( V0 X8 H& l I$ C
w" x! N( S. N; l# E
* v* p9 U( C/ d6 H6 h# Ek + H) _1 R- M: H q0 N 3 r: Z" Q3 I: `8 `9 ?& @ ) 0 @6 M' r5 [5 b F4 O0 V) E $ j1 j+ Z/ Y1 L (4.8) ' l n$ l8 H# Z" F4 L/ s" X% a p7 \4 r& P
这样,由 ( 3.4 ) (3.4) (3.4)和 ( 3.5 ) (3.5) (3.5)式,可得: + p7 t$ s& B% t* A(4.9) F ( w i T ) = P i k = X i k X i F(w_i^T)=P_{ik}=\frac{X_{ik}}{X_i} \tag{4.9} 8 @/ P) o7 Q& l, H4 a4 D& B, OF(w % Y) d/ h, ~8 G+ `# w+ ^2 l
i8 X6 | N& d: r
T 0 X( d3 D. \1 x8 _+ q# x % q$ L; j/ ~- y# J% O )=P - v! b$ F' J3 |- R' Tik 3 N Z0 Z+ J+ U+ a9 X2 Y ! b8 D6 @! m1 B5 r, x = $ e) I% w6 C h. f/ X6 C- bX 2 @7 S* l6 I! l4 D! T4 E
i , f! p4 F7 ?$ ~5 U0 |7 X& ~3 v / D2 Z% H5 Q e# ?0 M w$ }/ q; [2 Q ! @3 T9 Z5 [( K u( g/ m, HX : O x7 n; g p4 S$ k
ik y! W- y* ?9 A6 }
/ M- P, r5 w" a# L9 V( p' k) u 7 Q$ O. @0 B/ L# f; u% Z # P/ B! j, E9 D! @ ]0 T* ^* o
(4.9) % i+ l- o7 Z q& z o 0 @* L q* ]; l然后我们令 F = e x p F=exp F=exp,两边取对数于是有:( `) U1 i# e6 x+ {/ v5 r
(4.10) w i T w  ̄ k = l o g ( P i k ) = l o g ( X i k ) − l o g ( X i ) w^T_i\overline w_k=log(P_{ik})=log(X_{ik})-log(X_i) \tag{4.10}! M& Z5 G6 o- ? Z+ B+ s2 N
w 9 I3 e- i8 O" i2 ti: [2 E2 v6 A& O' x* L. }
T2 D) k$ O# T$ @5 C* J
2 Q$ E9 |" y# n* \4 }* \8 G& c# L4 D+ W" b- ]
w6 b! y0 W; d: S: b" i5 A. ~, ]
4 l) Q0 ]) r! @4 i1 ^k K9 f2 j+ A% Y9 R: L 2 O$ P5 b3 O) o _ =log(P 6 Y1 ^& U3 t; J' r" {* d1 {
ik. m3 _! {1 q6 \* t
$ E6 J$ S/ V# s
)=log(X , ` e* C/ N4 _7 q0 Oik 1 l( c/ ]: E8 F7 Y6 B) e t* `3 c" e; z& h5 K )−log(X 1 [0 H9 H" G* e y2 }1 _5 U, \i- {0 L* U7 |5 ?1 N" v* Z2 N1 a2 n
2 i+ [* s+ |" N$ C )(4.10) / h; z# o2 }$ v# N$ s4 O% q/ a" s4 D3 _6 f- V5 L7 S k
但是公式还是没有满足对称性(当交换词 w i w_i w - c+ e5 N1 `- P: l7 |+ x/ r* H
i r3 I3 x1 D8 g2 ~ # ^1 h. `0 ~$ T, V, v2 F& y 和词 w  ̄ k \overline w_k ) P4 f+ W) }$ q# h! r
w4 m8 q! Y- q3 p, Q
Y9 y7 W5 k& u8 \. |, dk* K: D$ v1 q {& y1 m9 h1 z/ J+ f
3 m% a F( {- _6 `) C4 z 时公式不一致),且 l o g ( X i ) log(X_i) log(X 7 @% x7 I4 e% _+ D& t
i4 ?9 R7 Z9 h$ j
/ R( Q. b. f/ N" B# q ) 只与 i i i 有关,我们将其吸纳进 w i w_i w + j7 n; O0 H/ U3 i3 x9 Ti 4 H4 f' v, C A a% {* s" M( y- } " B9 E1 H: S1 F6 {! W 的偏置 b i b_i b + h# F' J. Q4 E- K
i 3 s9 H" R* F" Q, I" s. a! J: W ; e0 I$ Q. T5 ^5 ?3 q% }( s/ U ,同时我们可以针对 w  ̄ k \overline w_k ' n6 z+ {5 T& E. @" aw 6 e9 x% D* @6 ` 5 V% f) m) A& o+ c+ f% N R/ dk I! P" e# k" S: r* N * Y( m) A' F4 q! N 加一个偏置 b k b_k b / ~4 Y( _, V0 h3 J
k 4 a/ f* |6 [ p6 t! _4 E / ^! N9 B- f* W :- F7 N4 ^* F8 G6 u' ?( r9 \
(4.11) w i T w  ̄ k + b i + b k = l o g ( X i k ) w^T_i\overline w_k+b_i+b_k=log(X_{ik})\tag{4.11} # z h/ E, d* Q/ O6 U8 Vw ! m% d# U& d2 w( `- Z/ V5 ji ( d' Q2 @+ \$ d( cT * {& M1 h7 r/ x/ Y" Z : P" {! n! C! ? u! ^
1 o- }- K# e3 `: X2 H9 Y6 |6 ?; n4 U
w n! L( Q1 J7 v' B; ?' W( p, u0 } 2 J% T3 v6 d% }3 C% s% p! @. Mk 3 ` c+ _& ? T1 K; } $ ~: j& d u/ F f# S) o9 J6 i* }* ` +b ' n- P# _& C1 X: M
i 1 g- D8 Y' r3 e3 \" I1 Q3 D# @ ' W! b4 n4 t+ R1 I0 z +b ' h+ w; e, _: b- M: ~' \0 C/ lk* a5 a$ E3 ~. Z/ @
( n+ \6 E }: Y8 `3 L$ R. @
=log(X 1 S: v' Z' N. y, L6 F
ik 6 v' u- S$ N. P q9 i: L) I 0 ]" q. ]/ k) J3 K3 }4 c2 `2 u
)(4.11)% {( U8 v4 ]+ y+ i2 E5 o
0 B3 c' L( m" J
五、ELMo6 S+ t/ n! P- E
1. 简单介绍 4 c6 l" @, Y) B1 PELMo 是一种新型的语境化的词嵌入(contextualized word-embeddings)模型,可对词进行复杂特征(如句法和语义)和词在语言语境中的变化进行建模(即对多义词进行建模),根据单词在句子的上下文中表示的不同含义,给它们不同的表征。打破了之前 word2vec 一个词对应一个词向量的 embedding 方式。 ' c7 C" `& B; Z8 Z0 K. Z/ Q ; V# }% ^4 N1 T* l0 qELMo的主要做法是先训练一个完整的语言模型,再用这个语言模型去处理需要训练的文本,生成相应的词向量,它使用针对特定任务的双向 LSTM 来创建嵌入。同时它用到了 finetuning 的技巧,在预训练好的模型上,我们只需让其在我们自己的训练数据上进行微调就能使用。 * q3 K/ R/ U# H, d, [0 f/ ?* c+ z! {( Z; D" O
2. 基本原理 , ~& f4 b' N; Q' e/ I9 ?ELMo 最重要的就是训练的语言模型,模型结构如下: ( d' O/ b# b) `6 b / B9 l7 W( D( s% E7 X- f5 V - v$ h/ q- n; R1 Q6 M7 i$ r/ H2 t , c* P0 B0 F- J. W; e0 F( m它使用的是一个双向的 LSTM 语言模型,目标函数就是取这两个方向的语言模型的最大似然。 0 C8 V# d% Q' b! X 9 l$ j& a" H" E4 l4 b" `0 }# n3 l9 N前向 LSTM:4 i+ s3 a1 a3 l6 V& t
p ( t 1 , t 2 , . . . , t N ) = ∏ k = 1 N p ( t k ∣ t 1 , t 2 , . . . , t k − 1 ) p(t_1,t_2,...,t_N)=\prod^N_{k=1}p(t_k|t_1,t_2,...,t_{k-1}) 7 p0 w7 F+ s1 Z! q1 yp(t # | ?( ^/ ~' d$ b! C" {% g
1 * c; A+ j; M/ j4 } : z4 R5 Z4 K: R" |- Y7 \: W ,t 1 Q8 C, i9 B3 f5 X6 p" s2: t+ L% d+ s: F' d5 ^8 ^: m- K" C
( [& R4 u; X# \5 `' L2 ?
,...,t - p: f' b @- D2 K. U5 E5 w. q7 j
N / g! M. J' K [ ' l+ u) L0 p, i8 f! j: [ )= # F( e: e2 f v
k=1$ U: k6 X1 H* y' R
∏2 z1 Q4 _. d* T# D
N $ t8 M# d: C: C* B ; ?! l9 k5 J/ {" z5 F# U0 s$ T
p(t & e& ~' A: `% p! F: w: M
k# R. f8 J2 C3 }! Q0 G x
4 f( o$ G6 \1 G' r! y; u ∣t 7 F% c7 m$ E6 x' m& T
1 6 {9 G# r E2 _) N5 z# { % A# E0 b. R, H$ t$ N ,t # W" O h$ ~. v# V: H5 h, ~2' m5 p, b2 v- j
3 L6 C( m0 r! u: U- l% z ,...,t * i+ g+ h* B. Gk−1. h8 Y0 d! U, C7 x) h) K8 S* d
! j1 {+ j6 P+ p. g) u) ?7 |, U0 m
) 3 E- G n: q r/ B 4 g6 B8 I2 n) K; c反向 LSTM:4 u0 Y. g8 g5 _* f
p ( t 1 , t 2 , . . . , t N ) = ∏ k = 1 N p ( t k ∣ t k + 1 , t k + 2 , . . . , t N ) p(t_1,t_2,...,t_N)=\prod^N_{k=1}p(t_k|t_{k+1},t_{k+2},...,t_N) 7 m% [! j# F: I/ Ap(t ( A; e" m' C3 u+ O& J4 Y/ S
18 P( T! B4 E+ y' I8 T% R
; e* E H$ Q! W; U ,t 9 n0 N& b& U! |" I+ F3 r5 t
2! c7 @. |4 q( Y9 f! M
& K! r! y# J2 O4 ~. B- W ,...,t " _" m& s! F# i3 O, f" WN& k& R9 O% k1 ]; p
# e3 ?1 c0 k; d' ^( x4 ]5 J )= 6 A. B) Z. |, Q7 Mk=1& [' h4 ]# N! ]
∏ ( H) @+ g+ N) B9 h1 D; wN/ P( v7 G, \ `* T
& v, j0 o$ |, S/ ] p(t $ J6 B; [7 `* g1 H- ~& jk + q3 V1 J8 j9 M0 g 6 ], G& A# A+ M6 w1 L# ?) F8 D ∣t 0 u( q/ f' z1 _" k3 Tk+1 ' j7 u' ~- y5 k9 C& T, X 5 R. i6 k, _: S" y: _4 l
,t " p& w3 a" Z9 A! |& n6 L8 I! r, xk+2 + L, P$ s% S! d' p8 m " N7 w. i) D! @; A ,...,t # ?* o$ S2 ~% b8 gN1 d- x' h+ z2 K, N3 ~5 p6 \. c
0 C( ?) d0 ~. _" K5 |8 f/ M
)8 y% i6 j1 S: J( h0 a& i
7 ?% L' x; j, k- U8 Q6 D最大似然函数: - p3 h( @% { x# H6 |∑ k = 1 N ( l o g p ( t k ∣ t 1 , t 2 , . . . , t k − 1 ) + l o g p ( t k ∣ t k + 1 , t k + 2 , . . . , t N ) ) \sum^N_{k=1}(logp(t_k|t_1,t_2,...,t_{k-1})+logp(t_k|t_{k+1},t_{k+2},...,t_N)) $ ^5 f/ Q7 b- g4 hk=1 ; p2 U3 I7 H1 {+ W' \. Y8 l! c* e: q* ?/ F∑# u8 |: K3 Q1 {2 V7 G* c, h
N T/ y: G7 M3 e7 H , l1 f+ u# ?( K! @1 t6 {; q
(logp(t 8 x# Z. T& {6 F$ K a3 ?! o9 jk. E% ^4 `$ N1 J- |9 \% [! p
% I0 ~2 Z4 Z" i! d& ` ∣t " s! H& P8 T/ w- \, ~9 s8 `" J( X$ l1 ! {9 R+ a0 K9 l: m, g8 V7 n " `1 H: t* y8 y ,t * m; X. P. a9 e! ?, k
2 ' K& V! ~6 X5 G/ N" O! J% D4 ^ & o s; R+ }. [* N, v% ?1 S
,...,t 8 O: ~) X R5 m- p g
k−1 % @8 v( Y. w/ j 3 F% V2 a$ |* j )+logp(t 8 l# Z7 s1 @% ak ; e* Q4 o% H' a/ \: M f4 r; S9 D. q1 ^) u
∣t ~6 z" `3 T6 R% p1 n/ W! v7 | h
k+1! P' _! x4 e# h, x/ k D
. Y2 p0 @3 h5 O, a; X( h ,t + P% Z2 T# ^( _1 e: g& k7 vk+2 V2 E6 f( u' ]" \
1 @8 E. ~4 J7 @* O5 L! q ,...,t 3 F: ?, H, Q2 }% L
N$ U+ S; R% C; @) x5 ^- T7 s
6 Y2 X% Q4 s. @, ^# k5 [ )) ! {* j5 [2 q2 t% l* r$ ?$ S+ m$ w2 M! }- p) R4 K
其中 ( t 1 , t 2 , . . . , t N ) (t_1,t_2,...,t_N) (t 9 \& G/ }# h4 l: x$ m- c
1 ! E e$ w" o# k" f+ z2 U ' w& g3 q; \1 g' H/ @: g' a
,t 1 J& ]. P" Y7 O& j; [* s
2 ; {. B0 }; `: z4 P8 P6 Y , l( [" o4 `# c% D4 x" T/ a# o ,...,t / t% o2 T/ \% X l4 T( X
N; H+ i; G7 B1 P8 {% J- w! p
( s: d q% u3 A* }$ M3 Y. }
) 是一系列的 tokens,对每一个 tokens,一个 L 层的双向 LSTM 要计算出 L+1 个表征(词向量),我们可以取最后的一个表征作为我们需要的词向量,也可以综合所有的表征做加权求和得到最终结果。 i& k3 ^/ ?' p W) B
. y0 ^/ i. i _2 `8 `. \2.1 具体步骤5 L3 Z, K# J# F8 G2 q6 C. c
对于一个 supervise NLP 任务,可以分为三步: 7 g& i, a; L) L8 s* X; D5 D a4 q, q& A
产生预训练好的双向语言模型,模型由两层的双向 LSTM 组成,之间可由残差连接 / ]8 G- F" d6 R1 ?0 Q在任务语料上 finetuning(无监督训练)进一步得到语言模型8 L- `1 d, k5 E, ^5 H! B# M/ d* K' E
利用 ELMo 的 word embedding 进行上层任务的训练3 o! b" a0 Y" d; c6 ^$ q
3. 模型评价5 M% Q2 i# C% _1 u- T
3.1 优点 ~7 K& p4 A O& p6 G7 l& S" I' D
ELMo 训练词向量是基于上下文变化而改变的,所以在一词多意方面 ELMo 的效果一定比 word2vec 要好。5 A5 F2 C0 ^, e8 |* M P
) X1 P' M. `7 {% J- l4 ]ELMo 利用了双向的 LSTM 模型,能看到更长的上下文信息,更加准确代表一个词的意思。 * B% h5 ?& M( b3 F4 C8 X+ }& _! `, V) ^; u* t, h- C
ELMo 还有一个优势,就是它建立语言模型的时候,可以运用非任务的超大语料库去学习,一旦学习好了,可以平行的运用到相似问题上。 ) G+ }- P' L5 `+ o1 E7 l# w. i0 P0 V
3.2 缺点 7 Y3 n0 t2 G. h2 Z% {+ }3 `6 xELMo 对双向 LSTM 模型的输出只是采取的简单的拼接,并不能很好地融合双向的语义信息。 # ]8 k( }- }# }7 b双向 LSTM 模型对语义的提取不如 Transformer。2 \( r2 p7 A, v5 P
六、GPT / w7 e! ~ b0 B8 r6 E, r! n# j1. 简单介绍 C) _. ]( b! N2 q
GPT 是一种半监督的处理语言理解任务的模型,使用非监督的预训练和监督方式的微调。模型的目标是学习一个通用的表示,经过很小的调整就能在大量任务上进行应用,而且这个模型不需要目标任务和非标注的数据集在同一个领域,模型分为两个阶段: / L# Q* m" R( e/ @0 l+ D1 h & A% @- n* w& U$ \+ f8 {用语言模型预训练好一个深度模型3 ]* E$ ~9 s* {& l
使用相应的有标签的数据将这个模型的参数调整到目标任务 5 ]+ }* u1 }% v1 q! @8 b& {2. 模型结构和基本原理; D7 K- Y: V- l
) s5 j! L4 K6 J6 H 0 b7 V9 ]8 V/ x; K4 S2.1 无监督预训练 3 o/ R+ z8 h2 p( p预训练过程是对非监督文本 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) (x_1,x_2,...,x_m) (x - q5 w$ {' k2 L1 `) M" ?0 q5 v
12 I3 g" o: F! |. V8 F
6 i$ y8 U I9 T; |, c2 W8 \ j8 f ,x + _6 f( H% s/ Z7 U6 Q% O" a
25 J, a0 { j6 ~: ~
4 K9 c' g S5 A1 _6 b7 Q ,...,x + Q" n& _! P% y5 R7 f* V8 }: z4 _6 e
m * O$ U* Q7 J. Q8 A; m5 G % ]5 X% w+ p( F! X ) 的处理,我们的目标是用语言模型去最大化语言模型的极大似然: " J: Q( C% A4 V5 `. I: L1 q. W6 ?(6.1) L 1 ( X ) = ∑ i l o g P ( x i ∣ x i − k , . . . , x i − 1 ; Θ ) L_1(X)=\sum_ilogP(x_i|x_{i-k},...,x_{i-1};\Theta)\tag{6.1}( m( }& H& e( D( p7 {& K
L " ~/ T& D/ P @! ?1 . G! Z# R1 {( t# o4 q1 t % d2 J o$ C9 A4 F# }
(X)= ! k% [ S& _9 U, Q. X* a. z3 ?/ hi5 P) a3 t' g# e7 \6 p
∑ & q7 f8 ?( b- m$ @$ P2 w # C* f$ i4 x$ h- p- z6 h& H3 |
logP(x : `& K- R: e* y% i( ?' }+ `8 @8 d" m
i: \# C: U+ Y$ I4 j8 E
# I+ B* |) ?1 I U- Z( u( K6 K! n
∣x + C7 a& c) A/ @
i−k# `4 j3 A0 N( x$ ?- B, K+ H
. n8 D/ ^, U! y3 Y- C2 { ,...,x # T0 @% I8 a: R$ T+ m; i
i−1% [4 A# k0 ~3 a! A7 e4 O
/ Q6 ?3 z5 Y2 I$ [+ u# p2 d7 l/ k! x ;Θ)(6.1) \6 O+ c; r& |, O* b- H3 F9 p5 i 5 u4 q5 M$ ^# U1 s7 }- s3 r5 |9 ^8 F其中 k k k 是文本窗口的大小(即预测需要的上文的长度) - G9 A7 ]4 a) y* D) e+ S" Y& m, y# q
GPT 用的是多层 Transformer 的 Decoder 模型,这个模型应用了多头自注意力机制。模型的输入是词向量加位置向量: ; [5 ~; y; u5 n+ C) z5 F- O" x' }(6.2) h 0 = U W e + W p h_0=UW_e+W_p\tag{6.2} 9 \7 W, n: f/ r6 Ph 6 y5 r& d/ P7 s% v$ {, r
0 " t p; j! A. w/ W4 w 7 B& S: V' d, i% L
=UW s/ o W3 a$ d# ]. _' Ee ' u8 f6 T" a& E 6 u, l1 ]% A8 f5 C1 c( F
+W 3 l' d- H% S5 s
p/ M6 E6 n, v( I2 D/ a
# E. `" d1 J( p) _# _- j% r4 j% {
(6.2)4 p. I( x4 s* w$ e# F# p
0 G% c' D8 K7 I8 w A* t) Z6 P其中 U = ( u k , . . . , u 1 ) U=(u_k,...,u_1) U=(u : B% `" G1 Q3 a/ {' q. uk# w0 b$ @4 n0 C
# ~0 R6 m3 k+ O4 s! W1 {
,...,u ( a" c. ~6 a; _& \7 V4 g1$ a& J1 D* |7 {9 n" y- z- G% v
. {$ V7 O6 p8 y9 O, Z& t ) 是 tokens 的文本向量(One-hot), W e W_e W ! R' ]7 U7 k! `
e ! d1 a' m7 |- C9 H % G5 k9 t) B, ^
是词嵌入矩阵, W p W_p W m" A+ S+ X5 R3 q
p+ A/ }+ U) ~" R
$ Y* K; `5 ?3 W9 F/ g0 R
是嵌入矩阵的位置编码。: t: e& ?" w! Z/ D' p) j
" ^" S) R% I/ A# H6 E" i/ z
再经过12层的 Transformer 模块:- C$ P4 `3 H) \
(6.3) h l = t r a n s f o r m e r _ b l o c k ( h l − 1 ) f o r ∀ i ∈ [ 1 , n ] h_l=transformer\_block(h_{l-1})\ for\ \forall i\in [1,n]\tag{6.3} ) J. T( g; s9 K4 h' ih ! U4 O) g2 E& s& _1 p
l 1 R% w9 ]% ]' p' F4 \7 E 2 w& c1 p; R7 `* d k
=transformer_block(h 2 f3 r; v, K, |# e6 B
l−1 * y% A2 y- u7 |* K; X1 t1 S : n3 L7 c. J( J8 W6 M
) for ∀i∈[1,n](6.3) 7 h9 \# U/ C( Q. E! ?( h* G) J3 Z9 v W7 D% B* P* d X' |. x
其中 n n n 是网络的层数, h l h_l h ; N, R: t- t t6 Y( f0 f
l $ R7 f/ U2 ]0 f# { ' G4 t& x- L) y$ F: x! N6 I! y5 R x
是隐藏层第 l l l 层的输出。- G* q* o0 h1 D5 t( ?7 d+ o
7 @' P _ E, q. e$ L# J9 l
最后通过一个全连接加 softmax 预测第 k 个词: 0 ?$ Q [3 A) B5 i- n(6.4) P ( u ) = s o f t m a x ( h n W e T ) P(u)=softmax(h_nW_e^T)\tag{6.4} D4 Z. d4 N# g: B2 S- R) LP(u)=softmax(h ) ]. y, i- b/ z6 \$ ~( h; An & N8 F0 S! D' {! c; h( v$ g * c: C" X; d$ a4 ^& d' }% E W . Y* ~6 ~( q% u m* {. j
e 5 K* Y$ d w# aT8 B3 T3 X% W5 _" x+ S/ e
( i6 [- _# N$ h )(6.4)9 ~' l+ I$ \+ n7 ^9 w
8 q0 i4 Q6 R6 Z6 k
2.2 有监督微调' V8 [6 D" U# l; q9 f% i
在使用 ( 6.1 ) (6.1) (6.1)中的目标对模型进行预训练后,我们再利用有监督目标任务对这些模型参数进行微调。假设一个带标签的数据集 C → ( x 1 , x 2 , . . . , x m , y ) ∈ C C\rightarrow(x^1,x^2,...,x^m,y)\in C C→(x 6 k$ }9 [( e0 U0 F1, u# F: [8 W( g) F, c
,x ! l( C% b4 Q/ L" u0 C$ ?23 Y5 Y8 D/ I9 Q$ w
,...,x . f9 N# N4 B* _9 e
m0 k0 o( T$ e3 a2 N) c% o8 |
,y)∈C,输入 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) (x^1,x^2,...,x^m) (x l% C# H" s+ p) K: W8 {) h' [1 ( D0 _9 Y, U# h' Q0 O) I6 _: a ,x 2 A8 ]# l8 h3 C# p7 S$ U& Q- x
2 / `$ I% W u" m0 e ,...,x & i* |7 ~& E& s& k a4 a7 xm $ R/ C) d9 J9 c3 a! I% M ) 经过我们预训练的模型得到最后的输出向量 h l m h^m_l h * D. U' v" B1 V' F& a
l3 X1 ]# K; f- S! y3 h% P3 b- k9 k
m 0 G4 B( P% K6 W1 `1 H2 K ] ; o7 i6 q! D2 r( P2 o# i$ {, t
,然后通过一个附加的线性层和 softmax 预测标签: 5 A6 e; O; ]; U(6.5) P ( y ∣ x 1 , x 2 , . . . , x m ) = s o f t m a x ( h l m W y ) P(y|x^1,x^2,...,x^m)=softmax(h^m_lW_y)\tag{6.5} ' V0 w, _, n9 p" H; Q+ Q7 A6 DP(y∣x # l" y6 X2 V( ?& G1 . X \4 j5 [& } ,x * @" K+ I/ N: J( D0 P0 r" Z
2 3 U' m1 F+ q& R, s ,...,x - Q7 I7 V$ I: X' H
m - E. v& L# S( K7 x I7 U: } )=softmax(h % g" {* }6 Z0 n
l 4 Q. ]6 W3 e: ^m/ [3 m. ?6 O4 d3 s/ @
- Z* m' P" v" e# L W . F' E1 s9 m/ g5 |# C
y4 x. P2 I& c" f
2 m* N" t. i# l# L) d
)(6.5) 4 }% b- W! n2 e3 e ) \# Y- F; ~# D) F: S! v- I2 o1 C最大似然函数: * q! `* j! G0 S% j6 {7 t; l7 D(6.6) L 2 = ∑ x , y l o g P ( y ∣ x 1 , x 2 . . . , x m ) L_2=\sum_{x,y}logP(y|x^1,x^2...,x^m)\tag{6.6} & c/ r3 f! O7 x) I6 R7 ML 8 ]- s, r' y: K3 h8 J( A( _% w
2/ }) U# Y$ u1 y# d4 U1 R. H
6 s: ~& e) p( E- o, ]4 }
= 4 z: _* w6 z! k3 j$ P
x,y " k0 N% w4 S6 h9 z∑ ' Z; c* y* r: z; x `: T9 q + O0 X4 r. k6 ~7 h7 x/ r" Q$ h
logP(y∣x / G* H$ m& ?! ~0 j4 b+ R5 E
19 y2 e( r% `! c" l1 L: `
,x & P( z$ _/ p* Q1 k; m& c& {
2 * [$ e* {/ G3 l5 [5 [7 W ...,x 7 i# a# O6 a$ Am, ?* `% v7 p) k% f9 l& [
)(6.6)( w+ E" i8 X5 l2 B( ~
; O6 Q% n" ?7 c8 U% Y" H- n
另外,我们增加了语言模型辅助微调,提高了模型的泛化和收敛速度,最后的损失函数为:4 y+ K5 ]$ [# W# g# O" B+ n' @/ g
(6.7) L 3 ( C ) = L 2 ( C ) + λ ∗ L 1 ( C ) L_3(C)=L_2(C)+\lambda *L_1(C)\tag{6.7} , S3 s+ u( Q( _) XL : u4 O6 `3 Y' m; e& P$ h3 2 ?: |5 X3 `! O+ g 1 [1 ]; u- M, C1 C
(C)=L 4 V _) N8 n4 \$ J* `
2 $ f. d- I' k3 N, C- d( C " v5 y2 I& }. X2 Z' ] (C)+λ∗L 4 }4 n d+ k: R; u- r1( Q2 i0 ^- J- r' l
2 [% V% C7 p; l* `. Z. P7 x (C)(6.7) ( d9 D$ T6 [! o. E2 X % j' v6 y6 y. T2.3 下游任务的改造: * X# T) Y* x ?* @9 I' E . G6 j6 _/ X- D6 h9 O) X# D6 r: X
对于分类问题,不用怎么动,加上一个起始和终结符号即可;对于句子关系判断问题,比如Entailment,两个句子中间再加个分隔符即可;对文本相似性判断问题,把两个句子顺序颠倒下做出两个输入即可,这是为了告诉模型句子顺序不重要;对于多项选择问题,则多路输入,每一路把文章和答案选项拼接作为输入即可。/ k/ i5 Q6 U! G5 A