- U% u3 S6 m5 w. Y2. 基本原理' x: F! x7 k U5 h& f1 g% r
通过对大量的文本集进行统计分析,从中提取出词语的上下文使用含义。技术上通过 SVD 分解等处理,消除了同义词、多义词的影响,提高了后续处理的精度。- ?0 M/ D0 e' i* D4 f' j
; Q" J: e6 R9 v2.1 词-文档矩阵(Occurences Matrix) : E% A: r _0 U$ ?LSA 使用词-文档矩阵来描述一个词语是否在一篇文档中。矩阵的行表示词,列表示文档,每一个元素可为该词在文档中的词频或者该词语的 tf-idf(term frequency–inverse document frequency),矩阵的每一行代表该词语的向量表示,每一列代表该文档的向量表示。 ; ]! I) M+ ]) B " \# J4 n6 t% l' S/ e2.2 SVD 分解0 u, q& d/ W2 n. d% A/ f
假设 X 为m*n的矩阵,SVD 就是将 X 分解成 3 个矩阵的乘积: ) a2 J- }6 a2 J2 U3 S# {7 H(1.1) X m , n = U m , k ∗ Σ k , k ∗ V n , k T X_{m,n} = U_{m,k}*\Sigma_{k,k}*V^T_{n,k} \tag{1.1} 7 w4 Z7 ~3 v! P. [: {( P- yX # o! B; n" l8 n `% N" rm,n 7 g( k* i ] Q4 a. L 7 q1 z8 z- \# `" @' t q+ } =U 3 e) H% @4 K) vm,k " z% Y5 a& V( N , T* N2 P; P/ @/ h ∗Σ ~, \9 W' n: K: \9 ]k,k" h( \/ J4 b( Y$ x/ ~
W" v; N/ W) {3 N8 \* z& ?4 ? ∗V : Z1 C& `7 \; O* W2 x) U5 R
n,k 9 _5 K" n5 J' ?: j8 p1 n# b8 F# lT1 f$ T5 m* o$ M# d" S9 \
7 s7 Y6 q! J; R* T1 N. `
(1.1)/ G$ F2 B# f ^) H$ n
0 s9 a+ g% ?( Z; X5 Q+ h8 V3 z
不妨设 t i T t^T_i t 5 D; j: x& H: I
i 6 {- X% O9 S+ j, M# B7 n, IT Z9 S* _ F" x! _0 ]7 [4 w7 R % Q6 l U7 A9 V7 y. P5 }/ l c 为每第 i i i 个词的向量, d j d_j d ' l2 r; V$ K( L, _$ {
j ) W: Q. W' R, }% n& b# E , @7 p2 M4 s6 U. b; W# L 为第 j j j 个文本的向量分解可看成如下的样子: $ h7 ^5 T+ w' X) L- G, v3 F! h9 S+ x( q, M) P: s
其中 σ 1 , . . . , σ l \sigma_1, ... , \sigma_l σ 5 W6 v3 }9 `7 c, [
1 , \0 Q8 s8 J, z9 J ' l) j, r+ ]7 X' S# q
,...,σ 8 r0 u* c6 A7 a0 r/ d/ U# S0 a
l2 _* b+ m( @# T9 m6 Z: O9 i1 \
! y9 K2 L6 M, K1 e5 ] V
被称作奇异值,而 μ 1 , . . . , μ l \mu_1, ... , \mu_l μ 5 j U: D( H4 f- d: z1 U1 ' O! N P3 y6 a2 j5 M5 L 2 J! a/ B: g x7 l) T5 { K! v) z ,...,μ : Z; Y9 Q2 z" d: G* P3 N
l 0 {+ N" x V( ~& g' x" \- l* g ! _, T" b1 ^; r$ @: S" N 和 ν 1 , . . . , ν l \nu_1, ... ,\nu_l ν 2 D6 U" Z0 w: s6 [* j4 r% B/ X1) I9 Z- }; M8 S# N1 ~- t( C
. P4 {4 N6 t$ H
,...,ν 9 D5 \5 A+ |; G: v9 |
l6 f1 a* b' m0 H3 j# P
5 _; {4 p5 q. I* j
则叫做左奇异向量和右奇异向量,可以看出原始矩阵中的 t i t_i t " Y1 z- i1 ], Q, Ui 0 A D0 t: o y+ I , a1 t- g; `6 Y* M( _
只与 U U U 矩阵的第 i i i 行 t ^ i \hat t_i , T5 W" H; v( i7 ^9 At/ ` v% B- N5 N
^ & O4 \ J" f1 x; c. G: C 6 { B0 F' t# I$ M: J- xi $ o( ^7 o: r3 r# \7 w& R4 |- ~7 R' N' b . Q, y( g. T/ l# z 有关, d j d_j d - y3 z) `1 ^+ i7 l4 Oj+ q* q5 k. ~' A) H
. s: T3 C. w3 W4 @
只与 V V V 矩阵的第 j j j 列 d ^ j \hat d_j " |' D; K* [' h3 M. q1 a
d/ v% r; }& X' n; j, q
^ 6 l$ q* @! X5 |* c# i. R) W ! c( i3 t& M- X3 P6 jj0 t+ j! o2 o3 u" p/ z, g
1 N- [* f. f0 D" {7 ?- Z& _
有关,且都由矩阵的所有奇异值所决定。) r8 {# D3 O: {/ l
C6 X, e% e' u5 X/ ?
我们可选取k个最大的奇异值,和它们对应的 U U U 和 V V V 中的向量相乘,则能得到一个 X X X 矩阵的k阶近似,这样就将词向量和文档向量映射到了语义空间,这也是一个从高维空间到低维空间的变换。$ _0 z# N" ]' r# K
! Z+ r ~7 A! L5 R% m" M' V0 C
2.3 流程 3 s& T# ^) h$ C. u统计分析文档和词的集合,构建词-文档矩阵 A。' W q$ A3 [- r8 O
. y2 k" I* W2 [4 f! q4 a
对矩阵A做奇异值分解。 : q) b' ]) g! j Y% {- A# K# x0 ^0 c1 K! P
对 SVD 分解后得到的矩阵降维。 : N" y g! P9 j4 O! y# b ! l& d7 o1 ?1 k6 U使用降维后的矩阵构建潜在的语义空间。/ ]6 ^: Y" o3 X* h
: B4 C0 x3 D) E" g
3. 模型评价 % a8 v+ M9 n& z/ i3.1 具体应用3 e, z+ R6 o) R- K: a$ T
比较向量 d ^ i \hat d_i 7 e+ X# v+ ~5 `3 M; u$ ~
d * \& w2 H! e# r5 E* N^$ W$ C/ D4 ^6 C6 C3 I+ I9 @3 U
3 U' S6 i3 i4 l% ~, X q
i . H# D. H2 _9 B) r9 t : i9 p B% `1 j' V 和 d ^ j \hat d_j 1 _0 j! t$ ~; q
d" r7 M9 F. l# w8 m" d
^! I7 e3 x) `/ h( s, K; W1 ^$ a
; u7 `+ Z# b' i- Qj " p( } w# y V0 }( M ) @+ j. T2 A6 h) P5 @0 w 可以判断文档 i i i 和文档 j j j 的相似度,可用于文档聚类和文档分类。+ F3 m' ]4 a4 Y5 M4 p0 g: ?; i$ g
7 b- K% V; }, x0 W$ `) n7 R4 R5 k) X
在翻译好的文档上进行训练,可以发现不同语言的相似文档,可用于跨语言检索。7 c# g; F% x0 [4 A. p
+ _# k0 t- Q4 A, P
比较向量 t ^ i \hat t_i $ L/ P8 l$ A( C+ m: z4 dt9 u' ]9 Y* K4 @
^+ }. I: k; ?4 ^9 V: A
6 L0 z x2 y- Si 5 e/ t1 d, F3 w' ~0 F3 ? 5 z& ?) a8 u7 r1 N' G
与 t ^ j \hat t_j 4 K5 {1 {/ P h9 V) |2 H6 u9 D ht % @/ K8 A% H! Q, T+ H" f^ ) y% w% a# I: K7 b* ~4 D9 h' R! X- F. X
j6 Q! f" r# ?2 L+ D
% h. |. s6 e. A& n0 T& |/ h 可以判断词 i i i 和词 j j j 的相似度,可用于同义词、歧义词检测。 9 D; `: o, I3 t: W' [* C! e$ i / ^( r- N! Y( [通过查询映射到语义空间,可进行信息检索。给定一个查询字符串,可计算其在语义空间内和已有文档的相关性。 3 O9 y# X9 @6 b' U( N6 b对原始文档,将文档向量映射到语义空间, d ^ j = Σ k − 1 U k T d j \hat d_j = \Sigma^{-1}_k U^T_k d_j ( M# X; _0 }) t% n8 `% y
d9 P# Q. [( C! \. ~+ A1 t
^& [, d$ c3 F3 @1 `2 U: `/ a
) g1 K5 Y/ P$ A* F6 c
j + H/ |, j% L0 N; C 6 F. a9 y" e u. D1 q
=Σ # g: u5 Z" y: M3 H5 J4 g3 g/ g8 n* hk / L8 d8 E$ ]: [' p) o( ^2 c−1 : A% K/ S5 g5 {& j P9 S+ C/ @ X% h" |, t3 T
U 5 O8 |; s4 L" m
k & h! c( M4 e( KT" U3 k6 P; _& Y9 M' |
& h4 N1 Q. ^4 c7 Y4 \; }$ Y
d 1 {( i" Y5 P5 V; |
j 0 j* w$ V5 {- H2 ~. j) G 0 N! N5 m/ c2 Y& K% Z6 p- D$ Z
,对查询字符串,得到其对应词的向量后,根据公式 q ^ = Σ k − 1 U k T q \hat q = \Sigma^{-1}_k U^T_k q 3 |$ c7 a% B( ^$ bq # k% z/ d# F% d0 @3 z^% Z x2 S7 f1 B# ^1 A1 U5 l
8 W _5 k7 K# j8 {# @9 N7 }$ ^1 A =Σ + ?' d2 a+ a3 x% \
k ' O: s% {" n; J7 N5 k" ^. v. z−1 / \. r' q, `: N 7 p! Q% G. w4 l# M W! \/ E U ( \$ z2 \- P0 _+ }# T( xk- P5 }) \" z0 g5 `2 i
T : ]* U- [4 H- K5 ~ + K% _0 T" X; r* X7 S q 将其映射到语义空间,再与文档向量进行比较。; a! i. F# j6 ?/ T2 {0 T1 Y
@, H# v# q6 f
从语义的角度发现词语的相关性,可用于选择题回答模型(multi choice questions answering model) 7 e% D9 j/ d$ p8 W( {8 [# W1 p+ j ' O% {5 a" o1 I U$ u, o3.2 优点 % }) c6 _! `* n4 H低维语义空间可以刻画同义词,同义词会对应着相同或相似的主题。% B6 q' {5 m1 z6 ~
降维可以除去部分噪声的影响,增加特征的鲁棒性。2 m. q* k) o; X5 I+ r5 x3 y, c" R
充分利用了冗余的数据。' g- |* }+ {+ v
无监督/完全自动化。& X ~5 j. i. Z/ C5 K
与语言无关。 ( E- Q: F3 U( A* v# x- B1 h3.3 缺点 . O! M$ k8 B; u. v( w# D新生成的矩阵难以解释。, d8 r* ]8 ~, S7 T+ Y- v Z
LSA 可以处理向量空间模型无法解决的一义多词(synonymy)问题,但不能解决一词多(polysemy)问题。因为 LSA 将每一个词映射为潜在语义空间中的一个点,也就是说一个词的多个意思在空间中对于的是同一个点,并没有被区分。" t2 p3 V% k. x3 n, n
LSA 的概率模型假设文档和词的分布是服从联合正态分布的,但从观测数据来看是服从泊松分布的。因此 LSA 算法的一个改进 PLSA 使用了多项分布,其效果要好于 LSA。4 f$ l7 v0 s; N& D; d
LSA 具有 Bag-of-words model 的缺点,即在一篇文档或者一个句子中忽略词语的先后顺序。 + y" z9 D3 c9 xSVD 的计算复杂度很高,并且当有新的文档到来时,需重新训练更新模型。 ) a( V2 |7 \; `二、神经网络语言模型4 a. K5 v- O& n0 j. {5 c3 Y f0 H
1. 简单介绍, G6 O" h+ K7 u E) y6 S
用神经网络来训练语言模型的思想最早由百度 IDL (深度学习研究院)的徐伟提出,NNLM(Nerual Network Language Model)是这方面的一个经典模型,具体内容可参考 Bengio 2003年发表在 JMLR上的论文。原文地址:http://jmlr.org/papers/volume3/bengio03a/bengio03a.pdf 1 T/ k% v6 y+ W& a* z2 o5 o/ } . K& j) E4 F3 S P# P! K3 j相对于传统的语言模型,NNLM 模型使用了低维紧凑的词向量对上文进行表示,这解决了词袋模型带来的数据稀疏、语义鸿沟等问题。显然 NNLM 是一种更好的 n 元语言模型,另一方面在相似的上下文语境中,NNLM 模型可以预测出相似的目标词,而传统模型无法做到这一点。* @0 L$ k' A& U$ L
: P* B, Y d; wNNLM 模型直接通过一个神经网络结构对 n 元条件概率进行评估,其基本结构如下: m: k- J0 s" J " a5 b/ Q( d P6 O 3 `- L! f9 _4 z6 F, O2. 基本原理 - T* R. b" q$ L! V. ~NNLM 的概率函数是: : u0 s1 o5 K! f3 W2 E# k& I+ w; D- J(2.1) f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = p ( w t ∣ w 1 t − 1 ) f(w_t,w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=p(w_t|w^{t-1}_1) \tag{2.1}) g- [ O: ^ A
f(w 1 H( B6 S% r, `8 O0 D6 `2 O4 v- kt , _+ R( e. d. m& \7 }5 Z4 s ) u" U+ Y, X7 ~7 r4 w
,w : g$ C ]2 N# B5 e! I9 e" W
t−1 & I1 o# o0 x: I" [ q2 @* B 3 r% S0 e j3 _; K
,...,w 5 g% h# ^* Y+ a4 n1 |
t−n+2; @$ @% T. ]5 l R- c' @
+ d; B8 \' G8 H! d
,w ! k- b' x9 ~8 G2 u
t−n+1 7 ~: L) G7 c1 l" T* _0 O7 V ' ]& @6 {3 Y( S$ \ )=p(w + w% C2 e/ a' Y- {6 I( Mt 1 U+ a8 l& E5 p7 q9 N/ K 4 u, s ?. `* K+ [
∣w 9 w4 n$ b$ R8 `# X% D1* P( d9 y8 `0 Y; L# W# i# l7 @
t−1" L3 N! W+ [9 r0 V, X1 D
( Q: j- {1 T5 _7 b2 G
)(2.1) $ S" @; j7 V& ?7 y- F ; @6 _/ @4 k4 q7 b$ `9 b给定一段序列时,由其前面的 n-1个词预测第 n 个词的概率。其中 w t w_t w ) o+ u% }! |% a; L1 @2 Rt 1 |8 l- `- o3 _) n3 q $ f B1 J1 v J8 v6 I; J 表示第 t 个词, w 1 t − 1 w_1^{t-1} w 1 K* s" s) m- J1 3 F, F. r, X R, f$ {$ W. P6 r; Ot−1# B5 ~% M. | x: o
* R/ a4 G1 Q7 I! a9 @& O1 P+ H
表示从第一个词到第 t 个词组成的序列,且模型满足: R" f+ Z% g& c: }4 |; u5 N! I% m r(2.2) { f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) > 0 ∑ i = 1 V f ( w i , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = 1 ' M, p U5 T( ]5 H, f* }: F{f(wt,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)∑Vi=1f(wi,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)=1gt;01 ]+ Z. T% ]. {0 j" I5 I: k- j
{f(wt,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)gt;0∑i=1Vf(wi,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)=1* M0 E% @. p0 U) I/ A
\tag{2.2}/ i* {2 ^7 q# }3 x
{ # h( r% }9 K# ]! q8 K
f(w & Z" c" E. F, e. H, at8 _( z6 W) Q6 }8 S+ y! h. C- }) i
, E$ G0 X2 b( N& w1 ` ,w ' \, D( X* W' Z( g7 u
t−16 ~3 G: U7 l' G5 v
& j% Z( k, Y* W0 }6 s: f6 X9 s3 m ,...,w 6 C. o" U/ d# D5 i
t−n+2+ ]9 g$ R' m. p( x
; K( h+ V/ |% d+ @- s0 q
,w 5 n; M( b B2 U: E0 Dt−n+12 L# @4 @1 t7 j' W6 B
# N, _0 k+ Q `, ] )>0. I$ S% p5 n: ~7 a) J- h
∑ * k! V6 t* c# r: p R0 p& x* g
i=11 n" m$ [( J* ~2 y# [4 L# t
V+ u8 B# b$ }2 l7 m& P2 j
: v3 G6 C- {, y/ |. v- @
f(w - |+ q6 @7 A5 g: n) J
i/ R6 {/ ^% f/ `, w% D
; _0 Z2 V" i o8 F* H7 C, K
,w ; T+ Y+ w5 N9 C3 X* |$ ]7 }! ^) E
t−1$ r5 s3 q3 ? Q$ E1 i" D
* ?- x; V. d3 p- I; _ ,...,w 6 _2 \$ [) m4 z6 R4 [0 Lt−n+2 + i# y4 U7 U& i$ `$ e - x5 _* y, a" U/ s$ t2 l% u0 Q6 ~
,w 8 ?: ]2 p6 W0 q* x2 h0 \
t−n+1 8 |" p$ Y' }! T$ K, C 7 i, z \4 S& I7 T* O
)=1 ) i/ L, O" @1 ? L( W' R) Z0 O $ t8 H6 @9 r$ u6 K
(2.2) * d, \" N6 j& t3 u; o4 T1 E9 y/ r: o. b
其中 V 为词汇表的大小,即需要满足通过网络预测的每个词的概率都大于0,且所有词的概率之和为1) c% t) h4 n+ i, J& C& ~ [
8 b; Y2 @: J* K- }3. 算法流程 O8 ]# D% n, G6 K" ?8 C% z# x8 G
输入:一系列长度为 n 的文本序列训练集,词向量的维度 M,学习率 η \eta η4 u# K3 y( [' z+ y& w- L. ]( T& s
" v- P0 q* p+ r: y+ T, b G
输出:每一个词的词向量 x w x_w x / Y& j/ d3 ?* R h& `
w % p% E. d m6 S# ]* W/ n2 z 5 r) n3 a2 B0 G) o+ @1 c
+ C, I$ y# g, g8 h1 L5 I) E4 ]& h, M7 Q/ o
第一步对训练集进行分词得到词汇表,每一个单词对应一个索引 i i i + z4 R( p& Z5 q5 b- @- C6 L* R6 f0 a! n, @( d. S$ l) H$ K1 ]
第二步随机初始化所有模型参数和映射矩阵 C ∈ R V ∗ N C\in R^{V*N} C∈R # Z3 O* ^) {4 V
V∗N 3 f8 g: v9 w* ?+ _ n9 e9 ?5 n! M
* T, U1 P( x6 w8 j" J t第三步特征映射,通过映射矩阵 C ∈ R V ∗ M C\in R^{V*M} C∈R ) O' K3 k3 \- y6 Z) j; u5 U3 w
V∗M , U, r$ H0 c+ ?+ u w- D 将每一个词映射成一个特征向量, C ( w i ) ∈ R M C(w_i)\in R^M C(w * V- S) P# C; Q9 j6 g) ki7 C& K6 D: F, A* m- b, R1 Q# k! d" b
* n0 F5 Z9 t1 w2 i4 D# T )∈R 1 z& p& f8 t- b/ F3 ]1 pM+ I) a% X2 c9 o* Y1 ^; m4 E7 O
表示第 i i i 个词的词向量,然后将得到的词向量拼接成一个 ( n − 1 ) M (n-1)M (n−1)M 维的向量(这里我们定义为 h h h): ( C ( w t − n + 1 ) , . . . , C ( w t − 1 ) ) : = h (C(w_{t-n+1}),...,C(w_{t-1})):=h (C(w 4 a. N4 a/ s9 R3 r
t−n+1 , @8 n2 c6 E" X/ m 7 f f1 m0 v. o1 p0 j
),...,C(w % h! G$ c7 D$ m; x1 Q0 h* m5 @/ vt−1 + H: G8 l! r' f( W9 Q9 m" @ - V! M Q3 [1 f8 o4 l3 S4 J+ J$ {
)):=h8 f* V% o9 O n2 S6 I# y4 c
! K! E6 Q, W" L' T D
第四步计算条件分布概率:通过一个函数 g g g 将输入的词向量序列 h h h 转化成一个概率分布 y ∈ R V y\in R^V y∈R / x |- d7 _" o6 \( @
V/ f2 R: m& M. f6 J
,其中第 i i i 个元素表示预测的词是第 i i i 个词的概率! Y( B! x6 F7 T3 U6 P7 x
(2.3) f ( w i , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = g ( w i , h ) f(w_i,w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=g(w_i,h) \tag{2.3} 6 T2 @' ^" t: c# qf(w - k, H: l- X3 o" [6 v
i + X$ h; a' T$ M& ^0 z0 |: b/ ^ + J' ?% F" x* ^1 O
,w . _3 w1 r2 y2 L# f
t−1; A% x- `# B, J# y
- l6 l) t8 G- d: i* @2 j ,...,w 2 ~" d, `* o% b" K$ C4 @t−n+2 ; s2 Q3 p" S+ \: Q+ Z4 [/ B; m ; c* `7 ?8 l! d! ?; e( T- P; l ,w 6 J/ v6 [2 ]7 m
t−n+1% E4 w/ } h$ A; U9 s
4 |- j) Q; M) X
)=g(w $ H+ L/ @0 e5 u' V- V. Vi 5 l+ h* b3 T$ }! h7 m( B) e. c) Z 8 E2 g; b8 E" K$ r r4 H. B3 h. ]+ D: F ,h)(2.3) 6 d+ Q# g0 G6 x % E# J( j# n( S( ?, I. z6 d第五步定义神经网络输出层输出:' r2 Q, c2 o! r$ V# `: y, i
(2.4) p ( w t ∣ w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = e x p ( y w t ) ∑ i V e x p ( y w i ) p(w_t|w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=\frac{exp(y_{w_t})}{\sum^V_iexp(y_{w_i})} \tag{2.4} r/ {7 {4 F4 Vp(w ( }4 L4 t: ^2 B9 l. |t 8 ^4 r# S1 t* @, a7 v4 G5 R 0 `3 w# N& L6 v, b
∣w . q7 A9 j6 a1 l
t−1 # F b( {" ^' a" N/ L2 W8 C. W ! p" Z( R; P- U5 t+ }/ u ,...,w # `; u3 T& C* h, ]t−n+2, r, H v( I9 ^
- R r* c6 g3 G# c" x
,w + l( {/ v4 D5 A$ b% X5 }/ b at−n+1/ ]6 u( Z: p1 D: ?( K
& P0 v7 N, Z. Y" i- m, @' m
)= & j1 Q0 m. Z0 ^
∑ 4 M" i! y- O$ S+ d5 D% ni / d! Q8 w; E& a, S" Z1 {V s9 _7 y/ T3 B+ } 1 O. l8 k" J6 i& P6 j, _4 N* F
exp(y 9 ~6 d* v/ Z, @* a9 Nw , p2 ~- T7 `/ k" j# _i& ]% d8 a# \6 i8 j$ ?6 R, ?6 L# z
5 }% D; S* O" j. N1 q
5 @$ R# D! ^8 c$ q- [/ Y. \1 K
$ y; `; w# U. r' r$ f ) 4 [" b3 I: {3 U# B. _exp(y " `- ^% v( V. Z) z) A3 D3 `
w 6 M- B; J/ s9 o/ At * i, G: p1 x7 G$ L3 [+ D , t' m- M4 s) v$ F, d2 w, \- y! k% S; X3 U
/ ~5 i5 [7 N# q& |+ m ) * g' e& d1 \: a; y9 H# Q* v6 A ) Z9 g# T2 _1 ~/ R" {
(2.4) 6 X( i& F" ^! o9 n: o2 g( z/ h# N$ W1 o% }* }' ?$ m, u5 x
其中 y = b + W + U t a n h ( d + H x ) y=b+W+Utanh(d+Hx) y=b+W+Utanh(d+Hx),模型的参数 θ = ( b , d , W , U , H , C ) , x = h \theta=(b,d,W,U,H,C),x=h θ=(b,d,W,U,H,C),x=h 是神经网络的输入。 W ∈ R V ∗ ( n − 1 ) M , H ∈ R Q ∗ ( n − 1 ) M , U ∈ R V ∗ Q W\in R^{V*(n-1)M},H\in R^{Q*(n-1)M},U\in R^{V*Q} W∈R 7 F( \+ }, F% v, d% q
V∗(n−1)M. B" ^9 ]; g- }* Z4 G K! U
,H∈R 8 o. U0 |0 y( J
Q∗(n−1)M, M" T! Z2 e {' i
,U∈R & I2 K* k! D+ {2 ]5 y4 v9 n! CV∗Q ! G8 ~* Q2 d- x9 ` ,其中 W W W 是可选参数, H H H 是输入层到隐藏层的权重矩阵, U U U 是隐藏层到输出层的权重矩阵, d , b d,b d,b 是偏置。5 @7 f* S, f# @' Z& D. O. t: j
; F1 ]; V3 z }" _/ e: m9 D; i
第六步定义似然函数并更新参数: 0 `2 c/ ^! \/ ^1 J! ^(2.5) L = 1 T ∑ t l o g f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 1 ; θ ) + R ( θ ) L=\frac 1T\sum_tlogf(w_t,w_{t-1},...,w_{t-n+1};\theta)+R(\theta) \tag{2.5} ( S4 q3 i3 P7 AL= # a$ T/ f; j0 ^8 R! S# s& ~. y
T2 @, d) g H; R- _3 c% S5 C3 m
1) Q/ S, p# w7 H7 j' p
?+ n: S0 c1 ^3 b
1 s* R2 _$ A, S! L2 Rt 9 W% p. |' p7 W1 v4 p' R5 g' T∑ % u% s. }& s7 X6 Q/ h& o ; J1 W3 U. D6 w; P. f) M2 F/ o logf(w ! ~+ S, B; B, k; g6 A( z! D- I
t 4 r3 }* ~, B! B' K; s* { ' s1 C) p9 y. V2 h% v/ A
,w ) N4 B3 H/ {2 y" B' c
t−1 % n2 F+ P6 h! S) G! a8 T ' f) l4 z* H2 ]' }9 z8 _ ,...,w 6 H+ q. U I3 e4 q' O
t−n+1 5 H" u. p" v6 S" h' l & x' i9 C8 ?% L& _& G2 G% V ;θ)+R(θ)(2.5) 4 f/ p& M' l X! S- ~. Y " c# @( b/ W* }$ d9 e. ?(2.6) θ ← θ + η ∂ l o g p ( w t ∣ w t − 1 , . . . , w t − n + 1 ) ∂ θ \theta \leftarrow\theta + \eta\frac{\partial logp(w_t|w_{t-1},...,w_{t-n+1})}{\partial \theta} \tag{2.6}% ] F; g# t' ]
θ←θ+η 7 F1 a, c. `- M' A2 A) X∂θ1 I4 p9 [: U' N* S3 G" M: P
∂logp(w & p& w# M/ g$ G; h! i
t3 m& Z" k4 y% A6 ]; ?$ M
$ C3 ], R) g* ]9 S3 z ∣w v- ~ t; w) J' a# T, S1 M/ Kt−1' n! C0 E t1 D4 E3 g
& t0 | O y s+ G# S0 q0 w; l ,...,w 0 c4 C4 n9 a. f! e
t−n+13 |' `0 ]3 O% S7 N
+ L$ S% m6 R6 x) J H2 E ). v/ X; [& y; D! F
. d7 P6 a: u3 ^
(2.6)$ D, ^5 X0 V9 Z/ ^# c
$ Z8 D, K3 F$ w: s$ I- T
其中 R ( θ ) R(\theta) R(θ) 是正则项 6 A% u- N3 x) b' b* u1 @9 \ ) Y! k0 q+ e) z3 i5 f& l三、词向量模型 Word2Vec2 W+ T8 u2 ]" Y4 c
1. 简单介绍 ( L1 h$ s/ v* Q$ e& P0 Rword2vec 模型其实就是一个简单的神经网络,输入层是One-Hot Vector,中间隐藏层没有激活函数,输出层维度和输入层维度一样,用 softmax 回归。这个模型的产物是隐藏层训练好的参数,对应着每一个词的词向量表示。它本质上是一种单词聚类的方法,是实现单词语义推测、句子情感分析等目的一种手段。但是它的 context 窗口很小,没有使用全局的 cooccur,所以实际上对 cooccur 的利用很少。6 y, P7 W0 Y% Z. h( { ~. P8 V
$ h4 ~) A# N- o7 z* y3 Q! b# P% B3 `" l
模型根据输入和输出的定义可分为 CBOW(Continuous Bag-of-Words)与 Skip-Gram 两种模型。CBOW 的输入是某个词的上下文词的词向量,输出是该词的词向量。Skip-Gram 则是与 CBOW 相反,输入是一个词的词向量,输出是该词对应的上下文词的词向量。CBOW 在只适合在少量数据集中训练,而 Skip-Gram 在大型的语料集中表现更好。( B8 g4 ]8 ]) f: g3 \3 X
' I. Q! _4 N* Y& r 5 A! ?# t7 |' v6 o# K; J2. CBOW 模型 $ x" y, V2 T# P7 c4 T3 {) Q0 H3 s- z; x; K
- v6 S) M% E& b4 O输入层是由上下文的词的 One-hot 编码 { x 1 , . . . , x C } \{x_1, ... , x_C\} {x 5 A* j) |- ]8 p, d
1 2 e/ ?8 A! g7 t! A- Y7 k. E6 p 4 B6 y1 L- \9 Z: a3 P& E8 ^1 q
,...,x ; x( y I% ?) X3 g0 l
C ( Y% }; q7 M: z & _5 e% R# [' c C& n
} 组成,其中窗口大小为C,词汇表大小为V,隐藏层是N维的向量,输出是 One-hot 编码的输出单词 y y y,输入的 One-hot 向量通过一个 V × N 维的权重矩阵 W W W 连接到隐藏层,再通过一个 N × V 的矩阵 W T W^T W ; W5 t( Q( w* x0 p3 S$ p! BT5 B" ?! U' X% Q3 o) c s
连接到输出层。 : h- x! X/ V* U; \9 `( h$ s1 b3 a7 U- l" U
2.1 总体算法流程 ' A y& ~2 Z0 ^. M: S输入:语料训练样本,词向量的维度大小 N N N,CBOW 的上下文窗口大小 C C C ,步长 η \eta η: ~& G4 m3 s4 h( W0 H- {
( q" e# {" A) U0 A* ]' O6 H2 D
输出:所有词的输入词向量 v v v 和输出词向量 v ′ v' v * Q+ f) M; r8 `, ?
′4 [" Y6 I m3 I( m4 D& v. u6 p
,即权重矩阵 W W W 和 W ′ W' W - _. C( `9 x8 J6 E$ a" r" M# [1 Q0 g
′1 d0 c5 J. \. v
% E* v. \+ A# p2 [$ k( z
9 _- a% ]9 A |* ]第一步随机初始化模型参数 W W W 和 W ′ W' W 4 b, X" b# Z$ b′9 s N0 U X5 \$ ?
8 |; Y4 V' { P% Y! e$ O$ l
- P3 W6 ~/ I! [( L
第二步计算隐藏层 h h h 的输出:- f+ ~+ ] O6 J" ]
(3.2.1) h = 1 C W T ⋅ ( ∑ i = 1 C x i ) = 1 C ( v w 1 + v w 2 + . . . + v w C ) T h = \frac 1C W^T⋅(\sum^C_{i=1}x_i)=\frac 1C(v_{w_1}+v_{w_2}+...+v_{w_C})^T \tag{3.2.1}/ a# P! k9 r6 B1 d' l: ?) B* u
h= : ?' M# F) r+ b6 x3 Y+ d( mC : j6 M$ ]# z! ]8 l# j3 |) K3 {1 b3 v: C$ d1 r _3 N) g# v( G
2 y" b1 P+ `5 _4 K W ) u6 d3 R: J9 y# T6 Y' ET & ^8 _# e+ Q! ]% v; n) ? ⋅( 8 J* o: a3 S3 B' T
i=1 t3 y9 i0 u- K$ d4 r' m" \
∑1 J. u/ `5 Z. F; a6 p7 K- i
C 8 \$ f5 d& D! ?; V0 G, q. O + @" f) v3 z7 K8 Y. q% C
x $ i$ l( ?# H$ Y7 [) B
i 0 F/ |( a c1 I9 ~7 O , Z' R4 h/ L8 q! [7 i )= % r0 a1 a. I1 Q) UC / G0 t, m8 D7 \/ ]! Q1) g0 B3 [# }4 {2 J9 S
* r' D6 l1 |# E6 {" n/ p7 S- @; K& z
(v ) b: |3 A- t+ n Z: w5 C, zw ; a) ]1 E; @: o* q7 l1 ( c% }9 O7 p' W+ e+ z 6 p. f% E8 V! o+ R# ~1 s [
% r1 C/ I* N5 B! H0 K/ K: |( x/ c. a: b" r# u1 ]/ m% S
Skip-Gram模型是由Mikolov等人提出的。上图展示了Skip-Gram模型的过程,该模型可以看作CBOW模型的逆过程。 4 z" ?4 k ^4 M) W' ]$ Y) k( g2 C1 W+ ]. l/ D# x9 Q
3.1 总体算法流程' z b( k9 W6 Q% U
输入:语料训练样本,词向量的维度大小 N N N,需要预测的上下文窗口大小 C C C ,步长 η \eta η $ {0 G: x2 A- ? A% G' L4 h! ~, _: D3 I输出:所有词的输入词向量 v v v 和输出词向量 v ′ v' v " |/ a* z6 e: {) v+ d) \% m′ % ^6 g. n! m2 A* i ,即权重矩阵 W W W 和 W ′ W' W 6 L! X7 X" v5 c$ {& J8 e7 q′ 8 a9 L" m& z$ L4 v2 k ; P, G3 T c5 f2 s* @" ?$ R8 M 9 f" B0 ]/ o- q, |( t; d6 w& h第一步随机初始化模型参数 W W W 和 W ′ W' W 2 N2 G0 o- T) R% S7 O′1 w' Y n+ {( j6 S6 P3 o' M
8 Y" N @& I) N4 X0 v7 n6 |
; G7 c( {4 |( M9 E
第二步计算隐藏层 h h h 输出:+ T8 e) U+ G& ?, m% N
(3.3.1) h = W ( k , ⋅ ) : = v w I h=W_{(k,\cdot)}:=v_{w_I} \tag{3.3.1}' g" `! {& }5 p: C0 X' A
h=W 2 k, P% Q: |/ `! ^0 ]+ _% v(k,⋅)( S% r3 [5 u0 _2 ~& [2 M
' ^4 }( a0 P+ r% H& G+ H :=v 1 D0 u( g" `- o
w 6 Y5 E1 O d- i* L2 ^. o2 cI ! x: ~5 s3 q; T4 _ / C+ r0 I7 \- r( W ; I$ g& r7 j- Z0 v$ c& t0 D ; S# H7 M) N7 n O! a( b( K* U- x
(3.3.1) ! M; o7 D* s8 e4 K \& V f 0 y6 G& M/ _# W3 y2 _8 S第三步计算输出层的输入: & U! T1 z9 f+ @' Z' n4 |9 O. I(3.3.2) u = h ⋅ W ′ u = h\cdot W' \tag{3.3.2} # h1 A y7 G: x0 g, r$ h# J7 Bu=h⋅W : ^4 y9 a* ~2 w) t" K′3 m3 \6 v8 O. L" s4 X3 r
(3.3.2) 2 r( Q7 w) A4 d1 t& O7 k7 N3 { / u0 I( [. |) ]4 m/ W- P8 ~第四步计算输出层的输出: $ R" O" \+ [8 w( n, I( l(3.3.3) y c , j = p ( w c , j = w O , c ∣ w I ) = e x p ( u c , j ) ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) y_{c,j}=p(w_{c,j}=w_{O,c}|w_I)=\frac {exp(u_{c,j})}{\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})} \tag{3.3.3} ; `( g' t& D. p. q0 [y ' y0 B' f3 M1 S' W1 P- ]$ _c,j6 |$ z' [& W! P! V: _
8 j8 F l8 G$ [ =p(w 6 D* \: R( ]2 t9 K
c,j( Z- }$ ~7 g* f- r6 H1 V1 |
% N% L. Q( C5 a) O$ ~2 }
=w + `( Z' |7 Y* G/ ?: K0 f g+ G
O,c + ?0 U1 j& z2 w3 Y, I7 {2 `' R & q' z! h1 ^9 q& F ∣w : F9 X0 N& x/ }% {2 c( u' R2 {* T! fI: c- s/ j( V3 f$ Y! @) [
7 t* ^! |3 K- ] )= - i4 o- |# @& a2 Q% V$ B$ u
∑ - H2 A F8 `# t7 t" k
j ' Q2 O2 W7 ?8 r( L% X8 q
′ $ w3 v- a k, F: H' E$ L6 m7 M' W =1 s" R( S! F Z/ @
V# y0 `1 ~' t3 x: f: S# ^# O" e
+ e+ W' ]& M0 ~+ B9 h0 S1 Y$ A3 y exp(u 7 N5 R x- |# |% Y6 n! r
j 6 {- f. ~8 A! ~" p4 E3 G′ 2 [( X) [* _ f" Q0 s* A4 F& v 8 [2 _# o! E5 Z7 T4 E6 {# S7 M. G 2 R# [2 l* L; n" B
)! C5 K5 J2 p' A, d9 y$ c
exp(u 2 c4 A* i4 }! b2 lc,j5 N | q6 L, r2 u0 H4 {+ P: b
, o' A+ d% g! O: b6 U ) * M' A b5 e0 Z0 c$ m ( h" }/ P e% l& G, H (3.3.3)! J* i" I6 i+ b, K2 J( ]! S6 C
& k* F2 }' g7 c1 T2 e这里 w c , j w_{c,j} w 6 A* p {+ o, v% ` m$ Dc,j " T+ Z* d5 C8 _8 E% z & I9 ^/ N) p2 g$ z1 E 是第 c c c 个输出, w O , c w_{O,c} w 8 D3 S k+ \% ]2 W+ Z* z7 |/ r
O,c + d% f0 r6 a) E- i+ P 5 U: o. q2 I/ `9 Z 是中心词对应的目标单词中的第 c c c 个单词, w I w_I w ) S6 D b+ t3 m
I 2 U5 t/ ^# Z, B3 m4 D/ A! Q7 E7 ? * m+ h- K4 \9 o
是中心词(即输入词), y c , j y_{c,j} y + G5 L. R0 ` P# t2 b( H# Q( Yc,j( ]6 F6 H4 K$ a* t8 m
, Q8 @4 O1 g1 |2 {5 C8 ~+ x1 _
是第 c c c 个输出向量的第 j j j 个单元的输出值, u c , j u_{c,j} u 4 z' s2 L9 F# U+ ?. Oc,j " w# a0 n" Z: _7 H' z ! X s7 b( L" [+ \
是第 c c c 个输出向量上的第 j j j 个单元的输入。且有: ' O7 @% v; W F7 y J3 }5 `(3.3.4) u c , j = u j = v w j ′ T ⋅ h u_{c,j}=u_j=v'^T_{w_j}\cdot h\tag{3.3.4} . w' U$ w# h. {* a4 {u $ V2 o# ?9 h8 k. Jc,j2 ~# P% O4 z. |" p! [! s/ {( T
1 c1 d1 v7 F$ Y& w+ p, c3 x
=u 8 N4 r2 w9 S5 F7 i- A6 Mj$ I2 ^* V8 Q& z# O$ T" o( [
, c; \( Y+ y" p0 r" y, _
=v * m/ K- `) ?# }# I# l( v1 Z5 K
w 3 X! l0 g7 T0 X1 o$ B5 v9 `
j- @5 j' Q( r; u* R" [2 \
; V$ o+ X q) F 8 n1 x6 V9 r4 F4 H" d8 _′T# r) K1 A7 m+ F# i, q- D
/ G ^8 ], i6 h% E1 C
⋅h(3.3.4) , {! D5 [: K* S/ |8 [( W 5 }/ a! k8 I% J% v, qv w j ′ T v'^T_{w_j} v 7 P3 ^& F0 N# Lw / F$ T3 W4 d8 P' P& Lj' \1 s0 }7 T! ^& O6 M
# R C* M% P$ m2 O6 t5 U& e7 J+ |8 d1 w& E5 [( Q7 W8 t9 z \# g9 v. ^
′T1 k6 s5 M# H* p+ z" ]* |
+ C0 p/ |) G" `; X. B* B/ c3 Q 是词汇表第 j j j 个单词的输出向量( W ′ W' W - s* a2 J+ d5 O" L3 k2 k
′ - r. r& h4 I4 T7 O/ w 的第 j j j 列)- N1 ^( T' p: {. w. |3 N
, y9 t5 I# j+ S; Q! @' \
第五步定义损失函数: " {( G( h- A8 E Z1 c(3.3.5) L o s s = − ∑ c = 1 C u j c ∗ + C ⋅ l o g ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) Loss=-\sum^C_{c=1}u_{j^*_c}+C\cdot log\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})\tag{3.3.5} 9 v$ L/ ~# ?+ [5 `- L [Loss=− - ~3 i% \9 D9 J8 K7 F: \
c=11 I3 z" R& N% W& G0 Q
∑5 J+ @) h! ?9 V, l) Q6 v3 g1 A
C 4 K7 s+ Z! K1 h. h- \0 I; x & r; j' l: e- E j3 D# E% V u / q4 p; i! M! Z$ W
j , H5 H8 a6 m" A7 u, n
c7 V2 e9 p5 a v3 H
∗ / o* ~: o6 c- ~4 T6 [ % ?* Y, V+ R( B1 `0 R
% Y; g; e1 p4 }8 W( C* M
6 z( A! |( \: W5 R: w1 @
+C⋅log $ w/ K" e. T/ a6 }6 G2 O( x3 ^j ( w' u9 m: ~1 {. N( g* q a′1 @/ \; l# R7 w
=1 ) Z: w! k( J7 J2 e1 a- J. \∑ ) b# X9 }5 f6 x1 c6 f! J0 L& }( EV 5 w: l5 A% e8 m! N, \% g( j ' F m" _; h/ P/ j7 C+ d
exp(u + Z* @; `+ [* Gj : r+ \ V3 ?' ~. J8 ]3 e′. K3 I3 f9 J# t. H
8 g6 `) \& ]* M' ~( _" T) d! ?
* ?8 v& |7 g# V, L# q$ Y! P
)(3.3.5) $ C- b0 t7 a1 B% z7 h. W , a f6 Z, Z* ?! u# k; g T5 `' T其中 j c ∗ j^*_c j 5 ^, P+ r' y4 W) L
c 3 i1 ?* [0 L$ h4 V4 f5 k∗ & d; j1 T* A3 | 3 R/ { X' Z& k) x9 {9 O5 `6 Y0 J 表示第 c c c 个真实输出单词的索引值 R+ Z$ t* Y2 i7 l8 l8 [) Q& H6 q
第六步对上述 L o s s Loss Loss 求偏导并更新输出层权重矩阵 $W’ 与隐藏层权重矩阵 $ W W W 直到梯度收敛: ( _6 _$ K8 K% T" ~6 G/ Z(3.3.6) ∂ l o s s ∂ u c , j = y c , j − t c , j : = e c , j \frac {\partial loss}{\partial u_{c,j}}=y_{c,j}-t_{c,j}:=e_{c,j}\tag{3.3.6}( X+ {1 S; c" \3 F6 z, X L
∂u 7 T( G7 L6 t+ p# t1 ~6 S5 G- Lc,j " u* c# F; d2 U+ W) L" J0 { ) J% Z/ J! I1 p' J8 h& t! V: {" L) [% y1 i/ V3 c V5 `8 c3 O
∂loss 3 \2 Z: Q, y: B9 F7 v7 Y) n3 y ( }; x* z8 j; ~2 l0 i =y & e* x+ ?6 G" A5 Q9 j3 Uc,j" E6 f* X( ] ~6 D% T' ?+ C# W
: K2 @9 S" q7 X5 | i −t & B1 v- H6 C- p( z9 x
c,j 0 g F3 S& W5 P# r9 b1 N / o3 T F0 {3 T! L* D5 F :=e 8 a7 N0 ~4 _1 O% n: T$ q5 m+ ?) [c,j ( @. |) r9 ^: f0 E' L! _3 ? 3 `8 M3 I/ T7 s' T* t
(3.3.6) 4 {- d' ]7 W* {. H - S+ V" Q! h0 X- I2 ?我们可定义一个 V 维的向量 E I = { E I 1 , . . . , E I V } EI = \{EI_1,...,EI_V\} EI={EI y( X' X/ O4 g" d
12 a4 U d+ v, E
p6 p* u _2 w/ M3 Z6 u4 S3 ^2 c ,...,EI 6 M1 A! `) E; T2 R9 t" T/ R- B ?! p
V# O9 v' W$ p M' q1 ?
M* k7 u) d, t( }( B4 V/ U, Z } ,该向量是 C 个预测单词的误差总和:7 ` w/ w& e( t7 r2 q3 Z
(3.3.7) E I j = ∑ c = 1 C e c , j EI_j=\sum^C_{c=1}e_{c,j}\tag{3.3.7}; R3 P6 D+ g1 p$ O B0 r8 h
EI % n6 g# b$ A" j- J0 ]j 5 o; {( J5 G. [$ O- J( P1 @" k4 S / E4 B; J! ~5 k8 O = , k2 _! I h$ t; O" Y- a# t
c=1 : Q }6 S% J% h m( M* s∑, } h( i) x+ a5 D1 }* X
C 6 m+ C0 J! Q4 ^) U5 t: x ' K0 c8 X! v% H1 n% ~: f. T
e 4 V, B* L% f% [& k
c,j% i( _2 r! B% c: R1 J
' E; j* I, n# v( I7 N5 Q
(3.3.7) 9 G: ]! i4 s: e+ S& k5 l O# T6 W; z. _/ o _3 A1 n. M, r6 {
(3.3.8) ∂ l o s s ∂ W i j ′ = ∑ c = 1 C ∂ l o s s ∂ u c , j ⋅ ∂ u c , j ∂ W i j ′ = E I j ⋅ h i \frac {\partial loss}{\partial W'_{ij}}=\sum^C_{c=1}\frac {\partial loss}{\partial u_{c,j}}\cdot\frac {\partial u_{c,j}}{\partial W'_{ij}}=EI_j\cdot h_i\tag{3.3.8} ) z3 [" ?7 O" G# c$ C∂W " Q& e# d: |6 K; dij, ~$ G9 o% U$ y. z7 O- G7 N
′' E2 t2 i$ b5 \0 Z' i! |
( H, m2 p0 Z1 J9 {, F/ u1 w6 I O, @6 U+ r
∂loss9 N, I1 l8 P7 L7 P( n
8 R4 j( E& K9 f2 [
= " ^+ t- J' q& M; G4 Sc=1# {! q+ U3 [1 w2 a: R8 o
∑ 1 Y; E1 z" L0 ~7 QC. k f/ v$ Q7 Z4 y
' I+ h' B! j ?# m9 \2 @0 A 5 n; I$ j" Z. l∂u - l- I$ s. I: _# v. V6 |& Qc,j- V# o- [0 R9 G) S V) C
6 p) v7 V0 @" U" S: F0 c: p- g5 `8 i7 J. T- P% n7 m. [: k2 W* T
∂loss % j* W6 f7 ?0 K C$ R: X! `/ W9 r$ D8 V1 o% X! K, y% D& F
⋅ ( P- p& k- i3 m. F( K9 j
∂W 7 _7 B6 v0 R h6 l2 _5 \
ij9 b. m/ x6 ?/ z% B% x
′ " }- j, e3 O6 N1 G" V: h2 W % S4 F* K, o' d ( h' t9 ~3 | Z, ^6 t! t' u∂u # ?# U9 Q/ V; L* X% i8 `
c,j ' ?' L2 B% x# x8 H) z/ o9 G7 P $ @/ \4 N; n$ P! P + W% }3 C8 G; U- ^1 t% W. ~, G 8 X& X. ^" @. }" h3 P: x. `
=EI ; Y6 k% X4 f0 U
j & G1 s1 P+ b% [+ o- W, t2 h + M5 T1 {% X" J6 c
⋅h 9 j' W0 x! }3 i9 ?5 @" f
i" ^. U. g( m3 Z9 z {( s0 G. T
# E K. K' `% d/ l (3.3.8)9 R# Q' |% h j# C) u) X
6 k/ v: x+ D( i. h) h
输出层权重矩阵 W ′ W' W ( W$ x/ M- w: t) }( a
′ 1 e0 X* A8 f" q S. ~ 的更新公式: ; Z7 B/ t4 q( R( M0 d8 v(3.3.9) W i j ′ ( n e w ) = W i j ′ ( o l d ) − η ⋅ E I j ⋅ h i W'^{(new)}_{ij}=W'^{(old)}_{ij}-\eta\cdot EI_j\cdot h_i\tag{3.3.9}; X& `6 s W3 F- k# J
W * Y) q& B; r# W
ij) t* h6 t% t8 _/ ^3 R+ R
′(new)2 i; F& J3 V% u0 ]; c8 w
2 V3 h% o. ^# e2 L& M$ a3 v
=W ' o1 V+ ~# T9 T6 Z+ A; a* Lij* A1 `/ y& g- ^4 j
′(old) , d. B9 Q- F9 H( Y$ B & y' h3 }% u2 u+ W5 A" P0 J −η⋅EI 4 X4 z+ t) v: }, P( D) D, Tj# R9 C& C( [5 y9 d m! x8 C
E- a3 z! S! ]$ S2 Y/ t ⋅h & u4 `) T; W- J S: i5 hi8 U4 a: M. x4 R( y, `
6 A8 C0 G' D% \0 Q( @ (3.3.9); k ?6 o7 @: N
# u; V9 ^% @1 d* i. q5 v或者2 k% @: h+ D. W
(3.3.10) v w j ′ ( n e w ) = v w j ′ ( o l d ) − η ⋅ E I j ⋅ h v'^{(new)}_{w_j}=v'^{(old)}_{w_j}-\eta\cdot EI_j\cdot h\tag{3.3.10} 5 i m: x4 n$ d% x' d3 dv 5 p8 T! t4 R/ O* Iw ; W! P" U9 a0 E# T5 ?
j , S: L+ _4 Y) X / P8 }4 w3 A3 o$ e# \& Z
# ]6 T* {& _- n o# O1 W+ u隐藏层权重矩阵 W W W 的更新公式: . S" e: ?6 u" K6 Q) ]! {(3.3.11) v w I ( n e w ) = v w I ( o l d ) − η ⋅ E H T v^{(new)}_{w_I}=v^{(old)}_{w_I}-\eta\cdot EH^T\tag{3.3.11} 4 p, L' c5 i7 W( \+ @, Y! yv 6 c3 I6 m' \/ z# o( q# u/ H$ Rw , x0 Q$ n8 p% }8 `9 p s7 XI - V9 m' q( p% `6 |% l% T( ` 3 H) K s: t: ~9 ]0 e, U: I9 B; f
Z5 I, o1 s5 Q: r- l) F(new)/ D$ T$ g" M+ Q$ Y( \: {# ~0 N
* H" f3 W! v S
=v " U( u4 u) a m( ?8 v
w , Y6 L9 c* C' P% y' B7 ~
I 7 S) J0 g% G2 q/ a: l M( v1 k) C$ \8 { % g8 J1 i5 }0 D" ]$ G' Y; f 1 Y/ U- [$ b% A* T* ~/ V(old) ' |" G: z z& P/ I6 O3 Y + u- N6 E( W; b+ ?- n
−η⋅EH 6 i2 O3 c A; {% u+ K- |/ ?
T" k5 B: T4 }' M! {
(3.3.11) " ^! a& t* }) i, a# i% D8 o" c0 Z A/ l) z9 ^8 g
其中 E H EH EH 是一个N维向量 p# l' T+ r0 P9 P(3.3.12) E H i = ∑ j = 1 V E I j ⋅ W i j ′ EH_i=\sum^V_{j=1}EI_j\cdot W'_{ij}\tag{3.3.12}0 o4 R+ w" I( ?9 v4 u
EH + y: d6 l- ]* k6 M6 @
i : T7 ], E: m- E/ n: S & C! O" t. Q9 q" {9 z = / y$ b/ L' \/ tj=1 5 {5 W% E8 ]7 r4 z$ [( j1 Y∑) B2 }) P1 \# l; r3 l, K1 V' J
V 6 N# w( x/ i4 W) t+ `3 ?1 ], Q 8 ?( n$ T+ {; k' d2 {6 t7 x
EI ' |. x$ L& { U) q7 T4 Yj 3 X; Q' ?6 d2 V- o . X% r, F, z, A6 v5 C g ⋅W : t9 e% e1 Y$ T$ N! t* ?
ij 2 h0 I! A- i' ]# X4 F& U" u2 V$ l′ # Y0 A2 d, T0 W4 q0 D 4 g+ g; `% i# M1 V8 Z, s7 |: ]& S1 q
(3.3.12)0 \& P0 K K% ~8 p! F
6 U6 A. j+ c; L9 ~4. 模型的优化方法 3 }' O4 \8 ^+ _) h; x e# t2 H7 e2 @对上述模型,每个单词都存在两类向量的表达,即输入向量 v w v_w v , i6 c8 t6 x4 R4 ^2 w+ Nw4 ` H' r' A, b+ j' P
+ f) F3 b6 X7 u1 S0 M (输入层到隐藏层的权重矩阵 W W W),输出向量 v w ′ v'_w v 4 c% W/ D5 O: V4 }2 \* C
w ( h* [& r( G( r2 i′4 [. T" t- e3 W7 Y0 e
" H. ^+ N' Z; D7 U- p$ q+ h
(隐藏层到输出层的权重矩阵 W ′ W' W & L' h/ f7 k: x
′ " c; n% O" L8 ?* m. G )。学习得到输入向量比较简单,但是学习输出向量是很困难的,需要遍历词汇表中的每个单词。若词汇表非常巨大,那么计算是非常庞大的。 $ ~$ O; n8 n2 j- k1 s + Q; L( W* p* u1 c; z为了解决计算量太大的问题,我们有两种改进的优化方法:分层 softmax(Hierarchical softmax)和负采样(negative sampling)。3 [2 R* o0 z C. {
* [4 }7 n. Y$ D
4.1 Hierarchical softmax; x C; m' `$ Z6 }( j! V3 l0 L
为了避免计算词汇表所有词的 softmax 概率,分层 softmax 采用霍夫曼树(huffman)来代替隐藏层到输出 softmax 层的映射。即将上述的输出层权重矩阵 W ′ W' W * n- J1 S9 U- X- U0 j
′$ I) j- k1 v6 b7 r t
替换成 霍夫曼树的隐节点的权重 θ \theta θ 。7 v. r+ |2 j' |) ]( T; P2 Y
* J5 Z- J" \. m7 V由于霍夫曼树是二叉树,故计算量由之前的 V 变成 l o g 2 V log_2V log ! Y% q- O, n$ L; u$ M+ s- n" L/ P( _
2 & H0 u+ B9 N7 u. t! }) x 0 U+ ~7 R; z, u$ t, a' m V# m V,而且我们仍然有差不多同样的模型参数(原始模型:V 个单词的输出向量,分层 softmax:V - 1 个隐节点的输出向量)。且依据每个单词的词频作为权重构建的霍夫曼树,高频词的路径更短,更容易被找到。 1 r: Q1 g& t7 A6 L3 o4 O S; s1 ], G3 q
0 R- x* g% V) f$ B6 O @5 @
7 p4 D$ d J9 j+ }0 A
这里树的所有内部节点就类似之前的神经网络隐藏层的神经元。根节点的词向量对应我们投影后的词向量,而所有叶子节点就类似之前 softmax 输出层的神经元,叶子节点的个数就是词汇表的大小。这里从隐藏层到输出层的 softmax 映射不是一下就完成的,是沿着霍夫曼树一步一步完成的。每一个隐节点都是一个二分类的逻辑回归问题,往左子树走为负类(霍夫曼编码为1),右边则为正类(编码为0),激活函数用 sigmoid 函数即:" y" ~; Z: }- L% e
(3.4.1) P ( + ) = σ ( x w T θ ) = 1 1 + e x p ( − x w T θ ) P(+)=\sigma(x^T_w\theta)=\frac 1{1+exp(-x^T_w\theta)}\tag{3.4.1}, D/ b" ^5 _; m7 k ]' ~. E k
P(+)=σ(x % G* s8 h3 K3 M5 \w* q$ J$ \ ?# C/ v6 j: U. O
T 2 o4 k; {- P5 r- K" N# a - S! T% }9 M2 ?! n+ ^/ \ θ)= 6 K4 P: H2 z6 ~1+exp(−x 9 x. A8 O/ |0 M* Xw ' r6 G2 M% d v( R1 P0 GT 7 \8 @' M" y6 c* c! v5 ` * d, ~0 ~' ^7 M" J# u
θ) $ P5 Z/ R# ~1 A2 v3 W" m) T1 " Z# [& M& K9 V9 [2 M8 V# { $ b* P1 n1 i2 o ]2 h. G (3.4.1); b& {( k5 z5 f A
: T" L# b/ T7 o# S/ j3 j& `/ R
其中 x w x_w x " P7 p( p) s5 h, h* rw 7 r& t* }/ B/ D' G; @2 R- v# [ " i1 `& b0 o# G$ v3 b( Y
是当前内部节点的词向量, θ \theta θ 是我们需要训练得到的模型参数5 P j' V% @2 U3 J# _6 K7 F
3 F+ A+ y2 o) d9 m4.1.1 模型参数的梯度计算0 U3 ^) f6 }8 H2 F0 u9 }8 T3 Q$ V
分层 softmax 没有单词的输出向量,而是 V - 1 个隐节点都有一个输出向量 v n ( w , j ) ′ v'_{n(w,j)} v 4 @8 e8 X; q; Dn(w,j)6 ^3 t( H6 ?4 A* ^0 e9 a
′( Z5 h6 R$ N1 c( N+ c- r& ^
3 d- Y- }. O9 U; b5 g) G& } 。首先定义经过霍夫曼树某一个节点 j j j 的逻辑回归概率: 6 _; H" M9 a* |4 m: Z0 K* V( x. p& ~(3.4.2) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = { σ ( x w T θ j − 1 w ) d j w = 0 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) d j w = 1 P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1})= 5 s4 x7 s, o! U; y0 v: C Z* |{σ(xTwθwj−1)1−σ(xTwθwj−1)amp;dwj=0amp;dwj=1 5 Q, l+ w6 d# x# d k( D1 b! t{σ(xwTθj−1w)amp;djw=01−σ(xwTθj−1w)amp;djw=1 . }* l3 N3 V2 l. q8 x' X4 G5 b\tag{3.4.2}# p0 y7 I p* U" z) }6 ?
P(d 9 U+ c8 ~1 e4 F3 i) B. cj% z" Q1 \9 W) H$ L# m+ K# Y( k% D
w8 }$ }9 f8 `% J) h7 P
' \ L0 c; X1 `. L0 e2 i ∣x $ ^0 H& W) k ` ?6 {
w # K, M3 j0 l4 B2 D8 G% q* Z * a2 z9 y& U- g- B1 C6 g( m# w
,θ ' g' m, k- s& M; i7 w hj−1' G' K8 G: _5 h- O' u
w ( L7 j7 x6 X9 A c$ l% x. c9 h# U( V
)={ 2 o7 T; W' _/ K6 u
σ(x , k& P, W9 ], Y) |w4 I" f+ k! P- p' D9 K9 W- ]2 O
T1 ~1 N$ t7 `# L$ ^
" Y0 r" D1 h& T! _5 W) X& x θ ! o( {! ^9 } a5 u' O- y5 T2 kj−1+ M- j3 I( L8 T5 Q4 x
w8 b6 {5 x% F7 J2 {# M% ^" Q9 L
! @! b& f3 [( p+ ?& I
)7 x5 u6 J4 A4 Y4 u" j3 Z& h
1−σ(x 8 [" [9 {/ s0 B' y6 Q
w $ q! c6 Z/ S4 X0 ?- oT 9 V0 Q9 |* b" t4 S3 L/ z' w& I , X1 y3 z! R; ?* I8 b
θ + S; o# v1 z; M* R; ?( Dj−1 6 a# C) t0 m( p* O: ~ E. J) Nw& V& ~8 T- I5 S
8 v: i! G: T% Y4 T2 n# ]* [
)" G. x; \3 U/ z% o1 o/ N
# w( m0 s; U0 Q( k T0 ]% L$ U; ?5 h9 ~9 R2 D
d * V; z: h: o8 x2 D8 ~7 Hj ' u) F. p0 e3 K) {w & _2 J; C- T0 K( M' w* v + s p" i, Z) ^7 G! F0 }
=0 ! m5 H- U8 V* {4 K0 C k. Ld / d5 n) W1 H: d2 X7 `* E( Jj9 O2 _, i |, q- p% F4 V
w 1 P. D8 r0 n6 M : T; i1 o" o$ \3 \: M- ^2 q
=1 & Q- @; y6 z* T Y5 K( D 2 r T0 n$ d( \6 ~/ Q0 y (3.4.2) * p2 ~; e) _3 I* _, j+ E2 q5 l0 Y) \( {4 w+ |
那么一个单词作为输出词的最大似然为:% R1 ]7 S6 Y7 y4 J9 P9 ~! E' y4 l
(3.4.3) p ( w = w O ) = ∏ j = 2 L ( w ) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = ∏ j = 2 L ( w ) [ σ ( x w T θ j − 1 w ) ] 1 − d j w [ 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) ] d j w p(w=w_O)=\prod^{L(w)}_{j=2}P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1}) =\prod^{L(w)}_{j=2}[\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]^{1-d_j^w}[1-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]^{d_j^w}\tag{3.4.3} 3 J, \1 N6 e' g$ g: J0 D( T: np(w=w * l* |9 A0 x1 F! m% Y# q& X. o
O # f, X7 y& u3 v I0 C9 w, ? ( F% E' j& J0 f0 [: R
)= - k0 K, |+ L7 E; O. |. S& x. |
j=2 " U2 G0 j$ z8 B1 K+ K∏+ q" {! h9 |2 R/ }
L(w); Z( Y7 H: N. P; M3 C) B
. r+ S+ d P5 _" Z
P(d 6 Q1 h8 l3 _& [4 Ej. P/ f2 _9 H) a/ D
w 6 b2 q5 f7 @4 F& E 5 z! z* N6 D: @/ f8 N, F- R ∣x " D9 F d5 M f$ O& ww5 P8 b4 H2 o0 N) Z: H: P
( i- d2 O% O3 ~1 N a4 n( Q, I
,θ $ Y& q( n& G" t2 N6 [- c: `9 |& Wj−1 * ]) M' d2 u/ e0 a1 Q3 fw2 z) N, W5 C0 p+ f( J
2 p$ a: k; f: r3 G, j H
)= % u3 A. f5 D7 j
j=27 }* o* Y' W4 d1 x% s$ t8 n& g# d- P) O
∏ 7 b- e8 \! h; s) FL(w)) M$ M$ L" c4 e* B" d2 R: H
. k* u& u3 o$ N1 e
[σ(x ' ]0 C& `0 |# K( w$ tw 6 Z; ]4 E3 b! O: ]2 p% yT 4 r8 D2 n( }- q" N/ _ + W- l5 c1 S' l9 n* ^
θ % p, z# I x4 Zj−1 1 |1 l4 t0 C7 e5 V- ]- @w ! i5 w1 z# t# J+ L, L4 y 6 M# I2 w9 N! J: U! a' D3 |
)] - f: U" b, E9 N( L$ x* g4 G/ g3 B
1−d & W% o! [# ^% k4 H# i+ rj & H% e. z" i/ `- Q+ V1 Aw* X8 h5 _$ C+ b* g
c9 w4 q9 m0 `. h7 g! d4 z0 D 9 y1 v; Y8 C0 f' i. Z3 F, b" r9 ? [1−σ(x X' p; K* c" e1 i& k0 W4 mw : M5 S" {/ X$ X; l% C, T2 u0 WT! W/ m) x2 D% h6 @3 G7 i: V
/ P9 ?+ D' [$ b
θ 7 I( P2 A/ B6 n m/ F! R2 b
j−1$ Q) @) y' b1 x, j7 t7 A- e
w . S$ v* E) @( g0 [0 G! c: [; t ) r& O% d9 p5 F- c. o* }6 x. W
)] : @# H- Y& Y( z1 B# ?; _d 4 [& H2 \) P; [& u! x% x# y- S5 T: h- [
j$ c# a& P+ U+ @. y' P) r" V) d7 Q# m
w 2 w; c0 X) c) P8 u 7 ?: b6 g. q% I2 x0 F: w! f m* v, z * L# P- b. t7 {' ^1 Q( {9 E (3.4.3) " S, S' K |+ c l! ~. h; M. e* t. X
取对数: 4 W6 |. C/ G* D% `(3.4.4) L = l o g ∏ j = 2 L ( w ) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = ∑ j = 2 L ( w ) ( ( 1 − d j w ) l o g [ σ ( x w T θ j − 1 w ) ] + d j w l o g [ 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) ] ) L=log\prod^{L(w)}_{j=2}P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1}) =\sum^{L(w)}_{j=2}((1-d_j^w)log[\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]+d_j^wlog[1-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})])\tag{3.4.4}" e8 Q3 E4 \0 V; g S2 D
L=log ) ^2 E m# L! W. g4 a
j=2 + i+ {2 e2 n0 ~# c: K* t6 U∏ w9 g& `$ D+ YL(w) ( W( P' G( B7 w5 p" U . a2 @; `# q' K. c; r2 P+ D* \
P(d " W" c: s; }9 y5 E* p) Qj" l$ k) e+ A7 m
w . V# l f8 _" t7 | 3 h, s5 f* C9 k4 x/ h2 _
∣x * S2 P1 y* Z: M8 M; y* Z! L) U
w J! h7 k" n0 E4 c- A . |" G6 @) k9 l5 D/ O/ O
,θ 6 ]! N! R& |* z% W; n9 n; kj−1 ! S: e1 d, r8 W# ~8 Xw2 Q" N: o; n( ?7 z
9 s2 _+ u# ?/ b$ k+ j s8 v; p
)= - g6 ?2 P% @; r, ?6 _ \2 K# Lj=2 * E5 Z( O+ o r2 c∑ y; H5 V6 {' p! y0 g" x3 h* }
L(w)) j" ^$ x8 w- X% s2 \4 s0 W) i6 l3 Y
6 d1 f; w' W) k6 x7 }* N: F6 @& ~
((1−d ) e. `- i) V+ rj / e, h! n1 Y7 I- U) D; Rw / ]% @% |0 H6 d R. O5 D Z 8 m$ s6 o$ b& R5 @ )log[σ(x : I, V& H# T$ e# m
w) a# ?: F: u% e, i3 a. n5 `1 O% C
T# ~" a* z% L S7 Z2 h' V3 j
1 i h% u# P2 j' R- m( v θ 0 N3 R. d; z7 a% A6 I
j−1 & N, j; G1 }4 u3 L4 n6 L9 v6 p! ww ) m p, ^& f- k* I8 W: ]9 E * t; R& N; N! p8 q& v. N( h% o )]+d : e& z) {, i2 H ~# A! m+ |, h1 nj% c% X0 x7 r4 O
w * s" f2 F( Q' s/ T" E. i3 n2 |8 w 4 u" O/ | z+ r" P log[1−σ(x ( J0 i, [# g4 w0 U
w ! j( W2 o+ L' r4 s, K% ^# jT& @ _& b5 }5 _% x, M
, K6 a& R+ Y1 } q θ 2 F4 \ k; t6 ]* C+ Aj−1 & J1 A& h4 }! C$ J' Fw1 J: W( `5 e, A/ r3 c$ S6 |
8 B0 S( @, u! U7 V6 q) I )])(3.4.4)# t5 I* V( V+ R1 f; X8 u
3 @. y6 l: o0 c3 P/ I! Q于是可对模型参数求偏导:7 K" P' K/ m. ?) V1 s$ j9 R3 R4 j
(3.4.5) ∂ L ∂ θ j − 1 w = ( 1 − d j w − σ ( x w T θ j − 1 w ) ) x w \frac{\partial L}{\partial \theta^w_{j-1}}=(1-d_j^w-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1}))x_w\tag{3.4.5} : |4 P9 E+ t9 g3 }9 ^6 J8 D∂θ $ d8 I4 ^/ X- y1 O' I, o
j−1 1 D% f/ D( w9 D# B. N. [5 f s0 pw 5 W; S: D8 J8 V% ~ & [9 W+ b6 S8 K$ P
4 C2 E1 h0 x, r; F1 ]∂L0 m$ b. W1 l5 b+ ]. k
+ j4 j* B) A+ h7 X" K' r9 n
=(1−d 1 n7 f2 ~! z5 D- b* Hj) z# B& T. Z2 h
w . M8 P# U% B3 p; c. O1 H( i- Y . X2 Z! s3 ?0 G' k+ K$ |% m −σ(x 8 P2 c" J; S7 \0 f% m/ d" bw 3 [) G% S0 ^9 V3 S( Y# qT( E8 \4 A# d5 E8 x& p
6 P p0 q0 c- [% y θ r) [3 h& I' M3 W
j−1: u2 N! y: B5 D+ n) a2 q- e
w * ]5 b' B2 z& o4 t# }1 ?/ Y6 _ 4 i3 ? m i% [/ R; ]8 [4 z. l3 ^ ))x & K+ b* q1 ^+ n% }) y
w3 \( F+ \2 U! Z7 U X* Y/ g
0 G) [# v9 a% M9 w6 ^
(3.4.5)6 @- z( A/ z s, ^) Z
9 J5 |* ]) A* Y2 B0 r+ Q& p3 s1 E
同理 5 F3 d k. N4 K(3.4.6) ∂ L ∂ x w = ( 1 − d j w − σ ( x w T θ j − 1 w ) ) θ j − 1 w \frac{\partial L}{\partial x_w}=(1-d_j^w-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1}))\theta^w_{j-1}\tag{3.4.6}+ Z* m/ Y" u4 e: F
∂x , _0 a5 q- p) F4 {
w ; t5 X% s* P# p% e; n1 \2 P 8 ], k2 Y# S$ ~: J* P) |3 z; J% P/ ~2 n8 U
∂L1 v3 o( z) ~( @9 r8 x W
' ~( v+ }: ]( m% g; A) q5 A =(1−d ; q" ? b5 x% F9 A
j 2 a+ r5 K+ U9 B: a# F3 sw ( c' ~7 {4 U. ]+ e1 t- I1 X" M 5 f; v" d/ m$ Y9 v −σ(x : |8 R; P& l2 A, |3 A' K6 S
w! P, _1 f1 ]4 ^8 T/ L* g
T8 G7 G( v, W5 E$ j2 T; V
5 U1 }5 ^. ?7 N m1 U1 R1 E
θ 5 P2 P2 }6 ?1 L, m0 P
j−1) L* w8 ? F, T, |! F' u% d6 {
w " F. a) k7 I0 K% O7 [ C' k ( V2 V- q4 f7 |& {3 M( M8 B
))θ ' L% p0 V1 _3 Y# {3 X3 a5 H/ c4 ~j−1 + ^, a& v# p/ H0 p$ e) ~w( \ b& Y7 k" r1 e# I
4 E" D" ?3 V: a" D( K (3.4.6) % R' [- ~/ _$ f( `3 Y. q8 B1 F 1 s$ ~: Y. N( P3 H8 A4.1.2 基于分层 softmax 的 CBOW 模型" n1 {6 a8 p5 } O
假设我们取得上下文的窗口大小为 2 c 2c 2c ,即训练样本中的每一个词都以其前面和后面 c c c 个词作为输入,该词本身作为样本输出。 2 |. Q3 S( K! l+ |- n - m6 j, n: M/ J" ?) F% u. y, q算法流程如下:1 `1 m5 G% O1 M4 n
, f: F* X9 M3 A5 ? p. Q输入:基于 CBOW 的语料训练样本,词向量维度的大小 N N N,CBOW 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η v- @. A6 }% |- Z2 O
/ O. _9 r& A2 ?2 [+ J5 R1 ]
输出:huffman 树的所有内部节点模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x . @+ A: y4 ?) ]0 B' B6 _, y! t7 r" i# Q( [- v' T% Q
第一步基于语料库构建霍夫曼树树" R7 n* p+ c# c r* u" ^
) e$ Y( @0 A8 n. e第二步随机初始化模型参数 θ \theta θ 和所有词的词向量 x x x 1 t) N$ t D1 C, O6 {! m- x* S0 P& y
第三步计算梯度并对每个训练集中的样本 ( c o n t e x t ( w ) , w ) (context(w),w) (context(w),w)作如下处理: t( C/ m- \; p0 s* {' }$ X% ^( F2 O3 R* o, c) \2 D
令 e = 0 e=0 e=0,计算5 G7 {1 q; p+ f# O
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 50: …\tag{3.4.7} 其中 $̲x_i$ 为上下文第 $i$ … ; {, R+ H8 a/ k Z& S % W& d7 o0 k W, @) y, s其中 x i x_i x 3 l7 F0 m1 w% W* I9 O9 xi) E' V4 V8 c6 \5 K
! t) j7 E0 o! w/ c: n. o 为上下文第 i i i 个词的输入词向量 6 T; [2 d1 D% p! ]8 e- a7 d0 b : t# P7 H2 H6 of o r j = 2 t o L ( w ) for\ j=2\ to\ L(w) for j=2 to L(w) 计算:2 [; X8 A- P" Q1 z K8 T
f = σ ( x w T ) θ j − 1 w g = ( 1 − d j w − f ) η e = e + g θ j − 1 w θ j − 1 w = θ j − 1 w + g x w f=\sigma(x^T_w)\theta^w_{j-1} \\ g=(1-d^w_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^w_{j-1} \\ \theta^w_{j-1}=\theta^w_{j-1}+gx_w$ M, F4 C- U7 h
f=σ(x , ~' [5 t% H* O+ \# F7 E* }w ( C) ]) R8 v5 R5 a3 K1 BT4 A. B1 E0 I' S# L0 Z: u
2 ~8 @2 ^$ k- _3 X+ U. N )θ 9 `' n! X* ?" u- E8 B2 pj−1 7 n2 G- _, n2 A0 T6 l4 Dw" p- ^9 d( I1 n9 X4 N% x% A* Y
) s, r- X) R9 u3 q" M" f1 M5 T
1 V" x; R+ H. O( ^7 G+ s" `, v8 X
g=(1−d ! ?. ]/ @0 d- o' B7 t6 ^1 r
j % y: E9 ~( r: F3 Y1 l: o6 i" K: Rw5 j3 D. K O4 F D5 p# f0 s8 X5 t
9 I2 E. H0 g7 Z5 o
−f)η ; S* i) l6 ~7 v$ `e=e+gθ s1 {" L0 n1 k; T' j5 Mj−1& O, ]; _6 ?" `; Z/ `) n4 X
w 4 R l$ |) R3 F; i ; {' `3 Q# {* y3 Q5 e$ s0 M4 r6 Y
θ & t) j' s. d% W3 x8 v% f8 xj−16 q% ?; A+ _3 N; \3 J5 y% }
w 4 {4 z+ ?- H- e. a j5 o" n 2 c* J$ `: C0 K& E* T1 Y" q =θ 8 H7 F% _% k% m$ ]: bj−1: ]( z/ P$ f4 \. x4 b6 \
w / }( ]0 \" g8 k2 [$ _) e7 j % c5 i7 d, o' m( K! [% G: ?) w +gx 7 w* o& w3 i& q8 G$ H
w6 u2 n% }3 k z
$ e; U; W$ b3 H
4 b( A8 F0 f9 j3 V ~
# Y6 b8 h, Q7 O, m4 H对于 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的每一个词向量 x i x_i x ! r5 m/ j! m* ^" N; L; N7 h
i 8 k# I& O, C/ X5 }- F# v + d. ?: G, l) b# y1 r 进行更新直到梯度收敛: ' B3 P8 d3 D& F# y Bx i = x i + e x_i = x_i+e; H1 P& S& v6 {: H5 d
x $ {- V& x6 T6 O$ o8 \# _" u
i 8 P& W0 p5 ~8 ]4 k $ r$ m4 ?; N. x. V8 D" B4 N% ~: ~0 y! j =x % q: Y3 r, c9 O+ l- f8 ci ' k4 R3 H5 ` \$ C0 N / r( l; A4 o, S, S( E
+e , [7 U' U, e+ _( X) L1 n7 @( o4 e2 t4 S& {1 S5 U. Z' {
4.1.3 基于分层 softmax 的 Skip-Gram 模型 5 a+ z3 ]. B) i对于 Skip-Gram 模型来说,输入只有一个词 w w w,输出为 2 c 2c 2c 个词向量 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w),我们期望 P ( x i ∣ x w ) , i = 1 , 2 , . . . , 2 c P(x_i|x_w),i=1,2,...,2c P(x 1 n; l2 _( c6 B( R* d" X4 A" x
i : |, E, z3 i5 K# j$ A7 d. @, I: i . X% {& t1 z% E; k7 l; H, w! z
∣x 3 Z7 F; g7 b k2 |$ L B" X. t9 n. o
w - e) y, N! D9 e , }* A# b- x O' O ),i=1,2,...,2c 最大。+ y$ V3 ^3 `; `) J0 O$ m
+ D" K- d1 x4 O N: O
我们在期望 P ( x i ∣ x w ) , i = 1 , 2 , . . . 2 c P(x_i|x_w),i=1,2,...2c P(x 9 E- ~! |5 _/ |0 o2 Y
i+ \3 r, g5 |- q8 a# S$ P
' \, c% F j! B3 R1 i7 K
∣x 6 e& E8 m: @( r/ M) Q) k, i
w . ~* Q" }- q- h- R 9 |1 B8 J5 ^, q3 h1 p
),i=1,2,...2c 最大时,也就是期望 P ( x w ∣ x i ) , i = 1 , 2 , . . . , 2 c P(x_w|x_i),i=1,2,...,2c P(x 0 d& E$ y/ |- b4 j1 n3 {) x
w8 N2 O3 d+ G) w3 ^2 k! U& Y5 v
. W W/ q9 Y( G4 e. O% v ∣x 6 c' I* w) V1 f
i 2 ?. {8 M9 h2 |1 F5 O + j+ ~" o, l( ~9 U; o9 G* F ),i=1,2,...,2c 最大,在训练时,word2vec 使用了后者,因为这样可以在一次迭代时不是只更新 x w x_w x 0 F: I9 g3 ~9 T6 J/ J
w 5 a) k+ Q+ J3 W4 K / U& i4 |" U$ g% R. u Q
一个词的词向量,而是 x i , i = 1 , 2 , . . . , 2 c x_i,i=1,2,...,2c x ; ~+ M6 h2 K! C i& di % a# u T5 c \2 |- U ! }5 Z% S) v+ @% u2 l ,i=1,2,...,2c 共 2 c 2c 2c 个词的词向量,可以使得整体的迭代更加均衡。所以 Skip-Gram 模型不像 CBOW 模型对输入进行更新,而是对 2 c 2c 2c 个输出进行更新。 , r& q I0 K' @( C- x. L7 h0 ~, ]# x- r
这里相当于把每一个原本的输出词向量作为输入,原本的输入词向量作为输出,类似上下文大小为1的 CBOW 模型,依次更新每一个输出的词向量。. \ B8 `+ a, P# n+ ?0 o3 I4 o* y
% v$ l, @# _/ A4 x算法流程如下:9 r5 J3 G1 Y* \
8 M5 c9 F8 l4 P2 Q
输入:基于 Skip-Gram 的语料训练样本词向量维度的大小 N N N,Skip-Gram 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η ' b2 B" H/ i9 V1 Z+ u9 Z; x& j3 y( s! C8 k3 f7 c
输出:huffman 树的所有内部节点模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x( [& q, s6 `$ V$ j
7 m8 h2 J8 e; V! B; t. n: q3 t第一步基于语料库构建霍夫曼树 ) T0 r/ N7 E- z! K2 I0 ^! Q# H' j ; u) S3 y, s$ t; B8 c! _第二步随机初始化模型参数 θ \theta θ 和所有词的词向量 x x x 2 s( G' t6 K; E, K0 x( o' k: R' S7 Y$ V$ Q* @1 V
第三步对每一个样本 ( w , c o n t e x t ( w ) ) (w,context(w)) (w,context(w)) 做如下处理: 6 O3 k W+ G/ C; f+ w t & B# P) r) I1 v5 j$ for\ i=1\ to\ 2c$: " y* M2 ~8 X1 R+ o6 R2 y0 J3 ?# \' }( q t; Y4 q9 ^2 u" q4 x
令 e = 0 , f o r j = 2 t o L ( w ) e=0,for\ j=2\ to\ L(w) e=0,for j=2 to L(w),计算: - L% O9 ]' w9 |* } y4 [& B }' d- F2 n/ {f = σ ( x i T θ j − 1 w ) g = ( 1 − d j w − f ) η e = e + g θ j − 1 w θ j − 1 w = θ j − 1 w + g x i f=\sigma(x^T_i\theta^w_{j-1}) \\ g=(1-d^w_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^w_{j-1} \\ \theta^w_{j-1}=\theta^w_{j-1}+gx_i* |/ T$ X9 b+ @
f=σ(x 0 I0 C9 v* G0 \$ q
i 3 h+ u( _5 ^$ A* @. QT 9 W6 A, S0 N% A/ L: X + T9 |7 C2 @: r V3 z$ f
θ % B9 T: y/ [0 J# gj−1 4 e# m3 \# b2 |5 o' rw" H# O% S4 E4 F" F
3 p# c3 N/ S: D1 d. ` ) p' g7 u5 F( f- g6 X) N4 h+ Ig=(1−d 4 r6 g" V* ^9 ]j ! F9 ~7 `: o% k8 n5 [3 N: C" @w , l; m7 t( s( w6 Q+ G# ? ) U* s) x5 o7 |! K$ w* N. r/ v4 t; ` −f)η * O* ~# a3 ~. y5 z$ y( ue=e+gθ " v5 ?* a/ r5 {9 P: s3 j/ V* w* ]
j−1 * s' W" F& i7 Fw & u6 V, p) f: B- K7 L * w) K8 z8 B. r0 ~; F% [* J x! ?2 s! V. {: ~% Xθ 7 @, {: c% F8 d) ~) p, S# Jj−1 + a7 \& [/ q5 l; O, a! [6 Xw ( p0 z0 H6 M" j/ M/ d 3 v! }! a% ~ X% o8 E w( d
=θ # Z) }" O: S0 y. N" G% n
j−1 ; c/ @; Y9 \! }* F& [! D# Mw, X$ O# h" V0 W6 n9 W# L9 c
$ p% {' c- _: E+ r +gx - [3 M$ v3 X; V+ A! p7 v7 s/ Fi( ^+ k" q% ^% ^
7 ?5 ~* Y5 y! e9 ]- f3 s ( v+ C) _9 n" z, ~4 D, B2 z2 L8 ?
更新每个该词的词向量:% |$ O8 L/ l, c" q
x i = x i + e x_i=x_i+e ' R5 A: ]9 d/ k2 H+ Zx + H+ f3 u8 g# O8 h# v
i 8 @$ w! L$ G" T0 G ( m, d p) O* r1 ^( @
=x 8 v6 o6 M# D+ v( t7 E% xi 2 y2 ^+ N4 K( c / V- h( K/ I! `( Q; d" r; \/ u& e2 j
+e9 o( d! c9 D1 b4 D8 \/ h* x* w2 d2 T$ N
" }4 ]" ]3 a; X: ~" O$ Z6 z
若梯度收敛则结束,否则回到步骤1继续迭代. ~5 V9 k/ }) }! Q1 r2 v
; w) \1 r6 a/ J L3 I5 h3 L
这里与上面 CBOW 模型的区别在于,上面 CBOW 其实也是由 2 c 2c 2c 个上下文词向量来走到 Huffman 树的叶子节点,但是他的根节点为 2 c 2c 2c 个词向量的求和均值,并且更新的也是 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的 2 c 2c 2c 个词向量。而 Skip-Gram 每次单一的输入 2 c 2c 2c 个词向量中的一个,最后更新的也是这个输入的词向量和Huffman内部节点的参数。 ( o# x3 M7 I. V0 W( [: P; |: c6 Z" D3 S4 i
4.2 Negative Sampling " O0 O; f# T! \: g# F相比于分层 softmax ,负采样没有用到霍夫曼树,而是通过采样得到 neg 个负例加上一个真实的正例,进行二元逻辑回归,得到负采样对应每个词 w i w_i w 6 F Q2 {7 v# t7 w8 h, ~7 T4 U1 x
i D/ S6 @) J+ }8 K% z& z
/ x. m1 n1 R" r% k
对应的模型参数 θ i \theta_i θ * r! y0 Q2 Z: m. ]5 G7 F
i$ U3 m+ T9 M9 z
/ V3 e8 \0 p I5 Z* `! D
,以及每个词的词向量。负采样每次让一个训练样本仅仅更新一小部分的权重参数,从而降低梯度下降过程中的计算量。 , a/ T$ O# ?* K ) X7 e1 B7 j1 M' J; w9 g4.2.1 负采样的方法 , Y5 i( s: [) y) Y$ u' w! M4 d若词汇表大小为 V,我们先将长度为1的线段分成 V 份,每一份对应一个词,且词频越高对应线段长度越长,词 w w w 的长度: ( T& L" |4 l( Z* q, E9 h/ Tl e n ( w ) = c o u n t ( w ) ∑ u ∈ v o c a b c o u n t ( u ) len(w)=\frac{count(w)}{\sum_{u\in vocab}count(u)}! t8 G, {, K& O3 ]
len(w)= 3 h" F, C/ S: L9 h, P! [$ v
∑ z$ }9 g- j. c3 ^3 X3 N9 P6 L$ l
u∈vocab - a9 N* ^0 I" ? J }: b W6 X' g( x) X4 B3 ^
count(u) 9 s& z/ J" R, ~- x( E& a& ]9 A; t; g. |count(w)3 L+ I% U1 a+ m, D
) l( i6 F6 s/ ^- ~, M2 U
: Z- H: ^) I2 m V! G7 r2 Q
* v5 Z- k- e" _* M2 ^
在word2vec中长度计算如下: 3 T8 o( ?' t1 Kl e n ( w ) = c o u n t ( w ) 3 / 4 ∑ u ∈ v o c a b c o u n t ( u ) 3 / 4 len(w)=\frac{count(w)^{3/4}}{\sum_{u\in vocab}count(u)^{3/4}}- T7 ^. N6 B- j; t
len(w)= , V! ]3 o, c2 b/ B* v6 t1 X* ]
∑ / f$ H+ }# c. c0 Wu∈vocab( L% z! U& _7 j/ {) a
6 Q B+ Y8 u& p
count(u) ! P9 S. }- ?& o$ \, C: c. y) [+ N; r3/4 8 V" z2 s* M. \$ X5 T( X! V ~+ ^1 n0 n! p* M# {
count(w) ) f: d/ ^3 G% ?/ ~/ i
3/4 7 V" r( Q( ~2 Y# u, A : V' n# J4 P) q+ R9 Y, c+ b7 _) J 9 |; G. [, O0 L) c2 c$ b% K- W
; \2 i k* Q# P& F) n/ b) \
' |4 o6 C4 L3 O5 s8 S ?
采样前,我们将线段均匀划分成 M(默认为 1 0 8 10^8 10 * E. Q, C* P# O; ?8 P1 u. d" k! D' t. [
88 Y8 U0 d' C- @$ J' C$ v
)份,且 M >> V,这样每个划分点 m i , i = 0 , 1 , 2 , . . . , M m_i,i=0,1,2,...,M m 8 H U" E$ p5 {
i" ^! z& H' |& x2 a+ y% f
7 m7 e U) I' q5 n. ^( R& t0 `) Y ,i=0,1,2,...,M 都对会落在某一个词的线段上,我们只需要从这 M+1 个点上采样出 neg 个位置就行,其对应的词就是我们需要的负例,且注意不要采到正例。: |: P, n, g# a S2 m7 T, e
. K0 p/ L1 g8 j' x5 \! l4.2.2 模型参数的梯度计算 ! T7 N$ V. w- T. Q" M" b8 L9 s" O假设通过负采样,我们得到 n e g neg neg 个负例 ( c o n t e x t ( w ) , w i ) , i = 1 , 2 , . . . , n e g (context(w),w_i),i=1,2,...,neg (context(w),w / T0 O% S& p+ V8 e5 W" |
i 0 C3 x2 n ]! O) n! U; q % g0 S' `0 E5 ?4 h1 S ),i=1,2,...,neg,并假设正例词为 w 0 w_0 w + k4 f% D l8 p7 F5 Q- c" e% Z/ u
0 " g( e$ N& A4 F+ } D: G9 o* K# C 8 ^* {% n% l& q" X/ d1 F
' F3 s; J) }; ]9 p' X* T 0 W/ I3 U4 v/ P) B& V1 i! @* j1 E那么我们正例和负例期望满足: - o! N8 q% k5 m2 s* Z% VP ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = σ ( x w 0 T θ w i ) , y i = 1 , i = 0 P ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) , y i = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n e g P(context(w_0),w_i)=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}),\quad y_i=1,i=0 \\ P(context(w_0),w_i)=1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}),\quad y_i=0,i=1,2,...,neg2 Q2 n. P0 P1 S7 G
P(context(w 9 y4 o* F6 l8 h$ @) G0 8 v7 W+ g& y* q. l5 _7 } ' G( K/ d5 }# w9 I0 l* [8 U) @ ),w 2 {" }4 W, n7 z) Ai ! P$ V/ k; u0 i & j* J4 i" ` v" r )=σ(x 0 f+ Y- ]1 d6 \% f) ? D t, z) v! n4 }8 y
w # h: S3 C' m6 p4 d( E0" j2 ?2 z9 A4 j( O7 Y
( w: e n2 v6 X d( Y7 {$ j) D- X0 {1 _, a0 B' s% X( P& R/ D
T, \1 U6 k, `+ l R/ ?
3 B ]- H& e- ~3 U
θ 2 A: R; C* G) ]! ~7 O+ q$ u
w 9 @8 o. Y; J% N6 l1 W4 l) Si5 y; R+ o, |5 ]* u. |8 X: X# T. i
$ d# K/ m+ d u& X# V! A% V! s
' ]1 W) L+ n' s% h% @ ),y $ r- H# n0 C0 hi & |7 B5 E- G3 w7 e7 d& \ % f: e- ?& E% e1 ~" \# v
=1,i=08 o v) N; |: K$ @$ _9 H
P(context(w 3 u& R. Y- |7 a I0( M& Y3 M3 e& a5 d9 M
4 ]& D7 Y& W( r$ C- j& `! Z2 R
),w - E$ w* y- r6 M5 e0 U% P
i # V$ ]9 z" s( b 5 X! a- p! D% S )=1−σ(x 7 r) D6 b% O% `: L' r* B0 I1 z
w # u$ I* u- a1 q2 u+ P5 R: G0 e x6 G! _- c
* k0 e: r, {! b& G6 }! o4 A9 c& ]: J
$ \$ {' ~9 Q# o" v9 b& k
T " A8 T1 e" Q" d) T % |4 J1 q( Y2 a6 z θ 8 R/ |* ?( w d3 j1 L& Dw ! }) H2 p# y+ X9 ]i6 s1 A1 E' l! ~7 p Q. G, B
" Y1 d. H: Z6 W& T
2 P8 [7 X' n) v1 E1 q `8 F
),y / t4 Z& G; ]$ N6 W$ w5 ci / O5 @6 G4 g8 j3 Q7 n ^ / y/ g, c" t& [! u$ I6 x
=0,i=1,2,...,neg ( x; U: P1 ^/ a5 o) ]3 _, S5 ]! N% w$ N$ Y" ^& W$ t
最大似然为:& Q1 B7 d6 k0 [2 v; {
P ( w = w 0 ) = ∏ i = 0 n e g P ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = ∏ i = 0 n e g [ σ ( x w 0 T θ w i ) ] y i [ 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ] 1 − y i P(w=w_0)=\prod^{neg}_{i=0}P(context(w_0),w_i) =\prod^{neg}_{i=0}[\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})]^{y_i}[1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})]^{1-y_i} ( m7 W' m7 ]: n; c' OP(w=w - @4 z9 F8 i4 H. J1 E" P$ S" S
03 ?- |. }' p7 g& @# g* [/ T
" h3 I+ D% U0 w$ T )= 6 L! _$ E* _; ?% O
i=0( a$ }0 X4 u5 g4 {% ~6 F
∏ 6 J1 Z/ T& N- _2 ^/ Ineg4 N$ k! R% c' b. s: n4 n
1 n2 x, N& f4 W$ \ P(context(w 7 v; ?# r/ Z; _2 j/ W( r0 ( Y, s& ?' S6 B: O) D 5 K( ^0 G$ _- o# M
),w $ o2 S0 G+ ?" W. a& Ji$ L+ o6 n5 y9 T$ v4 u8 p
2 @* g' g8 A) t9 J; T )= % n# C* b! L2 Xi=0, A/ w/ Z5 d9 n
∏) y% l4 n5 @5 Z7 s7 u; N# I4 X8 `7 O
neg6 u; o! d( c [ W) H
5 V7 W. @, \6 E
[σ(x 2 G6 x% U2 H% ?/ U6 }" p5 L
w % P; \( B- }. a: ], A0 U& x2 d
09 P r. w. p5 C! k1 k. t/ k) E
( {9 {/ W: a6 T% _1 V2 H! A9 I4 d7 v) z8 o T& a
T " T- i: _% x% v' V% A5 h , c- p% G0 S" t θ 2 e0 g1 q1 a6 a, A K9 ^! hw 3 ]4 H, h, \# q) z0 u8 q
i `3 k: N$ K6 G5 ` ! f# J4 j( k) q5 d4 p5 N) e ) A" m7 Y# Z5 G; u6 H6 V% X$ M6 Q) l )] ' |) @ e$ q- o5 u$ hy c! Q0 ?8 N5 V" G3 X/ J+ W
i ! s G( g- T5 `* m 2 \# p9 i, ]+ v5 B
$ Q6 d; } n3 M+ D6 } [1−σ(x & v6 S: a% u( S8 b4 G/ i# j, L
w / }7 N9 u4 N j9 [; S
0 ) V. `1 `7 _& { F 7 p# v }# G4 F0 L4 _3 \6 S. a8 {+ O3 @, w/ i! }+ a
T9 L) P' Y: X; A: ~
( o0 t. L7 Q# S- q+ {) S0 S θ `9 S# u. }' B: y8 N+ E
w 7 h9 f) R+ o, T7 D, Z7 s
i }6 ~# _% t% Z9 S) p. y% r; p 2 f3 ^8 @: s B' Y ( j* _$ d8 L G6 g, q0 Q )] 9 H/ p0 u0 `) o1−y 2 [) {# Q5 M" K' X9 w0 w
i. j* [/ [& ^; W9 g, \
; p( z6 \% q, J5 M
4 U1 V. m7 j6 e l) q
* y/ w1 j+ J0 C, }2 w4 w0 J k0 G8 d/ H C% v7 i
取对数. _! A/ X2 J8 B
L = ∑ i = 0 n e g y i l o g ( σ ( x w 0 T θ w i ) ) + ( 1 − y i ) l o g ( 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ) L=\sum^{neg}_{i=0}y_ilog(\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))+(1-y_i)log(1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})) * F3 H0 p+ B* }4 I( [$ @L= 5 c# H$ W& P; U6 V: g7 yi=0& d) i$ C0 q% D4 I1 O, |
∑8 V! P$ C; n6 J' G
neg. ^- Y- l& c3 ]% i
& u, w) T% |0 K# D6 G y 7 A5 i; Q I/ a$ C8 e3 Xi 1 ~7 N/ G* h( s/ ` + T- M' \. O+ ]8 @ log(σ(x 5 P( Y& v, V8 Q: ~; U
w % P) G' O: r0 o9 L. W u( h
0 * a% n7 j% ]+ S: F! @& U" K 1 }: U; V( H& Y! Y& S% e5 S0 p; K F# ^! k+ G8 Q9 |8 pT6 ?9 I0 x7 O7 }0 ]9 t
1 b6 T8 L" I% |2 ]+ a+ F% p& z
θ . C; @7 A8 n" Q2 N4 S
w 9 U7 V( i5 X I9 H- C# ci + S) F5 g+ O* E6 O; [ - V/ S2 B+ K* ~3 [* }# C; S$ ?+ y) a6 m% v5 W1 L4 e
))+(1−y 8 W6 w' Z u; W4 G
i/ o+ C, G& Y. h# Y
/ X2 R( e0 m$ F8 n( d5 K
)log(1−σ(x 0 e: R2 I1 t1 Yw 4 y4 a; f9 ]( u% z- k |" ]
05 s- M: e4 b) x9 G# |) t
' b3 }, P/ s" ~2 Y
4 K2 f, a2 j: D3 [. f5 J; W' [
T 2 U) Y+ }; }. i! i: Y" { 7 n2 t8 s0 C4 v" K) e/ B8 ?8 t" A$ N θ ; K: s, `1 g3 v: Y& t2 ]* `w # P' H* y8 D3 h$ Bi 5 E5 d6 f3 x% O$ M: E! ~3 E4 m4 L- Q' T 3 x, v4 s4 {: L% f6 n ]" G/ @ ?5 ]1 z c4 e% n* V0 h2 p
)) ' V5 ~' h, U4 j M: m0 |* q5 a, K) B3 f9 {$ `- O6 n: t
首先计算 θ w i \theta^{w_i} θ 5 P1 n& B/ j: h1 i& u( h3 rw 4 x; X/ N- }' U! A
i: c. E2 o0 i0 y) x( t
# h" E. h2 B( e3 ~% m
( J$ O0 O: G. f, c 的梯度:+ k/ F3 ~; X; n( z. W
∂ L ∂ θ w i = y i ( 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ) x w 0 − ( 1 − y i ) σ ( x w 0 T θ w i ) x w 0 = ( y i − σ ( x w 0 T θ w i ) ) x w 0 \frac{\partial L}{\partial \theta^{w_i}}=y_i(1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))x_{w_0}-(1-y_i)\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})x_{w_0} =(y_i-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))x_{w_0}- P# \+ U$ J7 K- N. b# L
∂θ 4 ^, d2 {0 M2 c* \1 E6 N* t" jw 2 T8 }2 Y% k# T0 S5 p. _
i 2 }1 G" |4 ]) e7 V5 M% A $ N6 z6 Y' { x5 p: d7 T8 p5 Q% p' L! H
7 ~$ Y! Z R$ p6 {, ?∂L 4 m- R3 `3 w& d! P+ `5 h0 R 4 I* `0 d+ N7 T# G+ c9 E3 d =y ! z" W/ u# j% b4 F! ]/ U
i3 E8 D% Z* r: T1 C
. l- r+ z! V2 I; m+ f7 H; v, s
(1−σ(x 3 V! U1 i. w8 G. D( q$ i0 A" N1 Aw 1 b8 ~1 m3 O7 s. Y0 y0 2 {& y* ]. U- C) X: K: ? ' I2 |% e. r+ U1 e6 f' d4 c/ C5 v: {9 v' Q B
T ( o# d# c" [: r . u" [1 ~; X5 V8 O/ Y) [ θ . |4 G/ V! l; H, E0 Uw 3 @8 q& q5 C$ H$ [. b: h( _
i, }1 @4 l: c4 L1 A$ d3 ^
. G' K6 }2 i6 N4 {; l7 k) @% o8 V9 T' _: h* p
))x / S4 G& u/ \4 T7 z7 @. l; y
w 9 e8 \# \7 c: g& ~" L0 ]2 i
0 p$ C' O+ ?8 | 6 r: `, e2 [2 I# U
5 ~, M1 R( b, O1 ~. d7 V% O6 Q
# g) ?, I% y) M
−(1−y , H2 Y; S2 @$ @/ ji4 j+ F2 R8 U1 S5 l, w
' M9 Z8 u' e- h P2 f6 C )σ(x ; E {: c2 y' G0 E3 G( F, d
w & O o5 f6 R' A! T k5 ^0 0 }4 M) d, v2 F! e3 ~ 7 O7 X6 R. i/ z9 i7 m
! Z! G& ?+ d2 Q" g) KT3 L6 @6 f* O/ u, I
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θ ' D0 @, D6 i# X) M/ G0 ~9 T
w ( w& r& f! e( Y* m! K6 q' {1 q; x
i; O2 \7 O5 d7 T+ C
0 ~: a) r p& Y- A5 `
[0 ~& M2 r* D2 \
)x 1 g# G& |" l# Cw * H2 z' w, S% D, V! ]; b
0 : X; \; R5 p+ }1 H5 C# { 5 P. A3 e: h4 z9 L/ U( y: M9 D2 R" s 3 a3 W0 s9 V- T* J+ T ) r2 a) [" n( R# X
=(y # b9 e/ M- t U: b' |, T2 d' O/ Yi' n( u3 l+ |% j9 R2 K2 Z
6 s" P2 D {4 E; g( `# V −σ(x $ K/ K& t" \- y& t \0 R$ K# \6 r Uw 9 P8 G" F! o! X1 y. z0 + b- O3 [9 h" z# G6 C * \5 i9 W! g% t% T
) v3 z1 f+ b) b# R0 {" Z1 _同理可得 x w 0 x_{w_0} x 2 Y( d) u* ]* f2 w
w u" i$ P9 {' O. d/ P4 o' g03 y: s* Y3 k p8 T7 t& E
! G, M3 ]7 c* e6 o
9 _0 ]8 F3 B8 W& V6 z L. ~
/ `% W' N# v. ?. S. q, e) S
的梯度:% O, f0 A6 o8 C: O4 `; `
∂ L ∂ θ w 0 = ∑ i = 0 n e g ( y i − σ ( x w 0 T θ w i ) ) θ w 0 \frac{\partial L}{\partial \theta^{w_0}}= \sum^{neg}_{i=0}(y_i-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))\theta^{w_0} 9 Y8 U1 Q: B7 ?" i* ?∂θ 4 v5 f0 c' R; h; K
w 8 s- W, p, w* w* V7 G! v: x' z
0. _9 C- b+ c7 s B
+ N1 [- C* T9 E: F' Z' n; h# B* H6 b: F2 b$ Y/ f9 m9 }. f
* I& x! y: W" W. I7 }! F3 N
∂L 2 ~ o' T2 Y) ]- f/ I7 v / J2 h. U4 u3 S2 i
= 1 k7 W0 V/ a! b! \1 g( X
i=0 5 M* T3 g5 o/ w" X1 X∑! E4 L8 E* I. r7 J$ j
neg% |4 j/ B+ y" {6 Y6 I3 \
# O( [2 |1 l3 R7 {/ p- V+ v0 t' M
(y $ L6 u3 |- D9 z" `
i1 h# Z/ E( d) m, v
) R' I! ]7 h5 W% C7 I: w* ]3 B
−σ(x & M A. c1 t# {% u/ a# dw : G. l; _+ Z' z+ j0 / w: G) N: `! T( K5 a+ } $ ]: B* I; m/ [6 N9 A( d4 c" R
% h/ X0 @, G; }1 C( U7 B, w( _& E8 E3 oT " a8 i' ?& M+ U4 A9 a. } ( D; R- j8 o6 x/ q3 I0 l
θ 1 p4 z+ u8 h: |( D( Q5 I' ~; |+ Yw $ y+ V7 {( Q& ~. Z8 |- Gi3 U7 ]$ z p/ N; Z0 J# O
! }2 a) |' F |+ Z3 A$ `
/ I) I7 |) z/ j/ B% v% O
))θ + `5 {8 k& _- g9 D! J
w 8 A- J, ^, a) ~/ G
0 3 q% B) q& I o7 { , u) P9 @) T, e% j4 B. X) w5 S ' A A+ P8 b9 `, @$ F( C # Y/ B* x" d5 Z' v: s% g o7 g. B/ c7 p- M
4.2.3 基于负采样的 CBOW 模型- @6 S" p0 Y2 W a4 H4 k& T0 E. V3 {
假设我们取得上下文的窗口大小为 2 c 2c 2c ,即训练样本中的每一个词都以其前面和后面 c c c 个词作为输入,该词本身作为样本输出。 1 [; a1 L& }) N8 x& g9 b& Y" E% \: h* V! x4 {
算法流程如下: 4 }" l4 t+ U6 q1 K, K( p! p1 C+ ~. T8 H1 ~+ P
输入:语料训练样本,词向量维度的大小 N N N,CBOW 的上下文窗口大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η,以及负采样的个数 $neg $! n8 U v* v% m
7 G0 k( ~' c1 g- ^% d输出:词汇表每个词对应的模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x % A# h# Y0 {% U, h9 i ! ~2 y- W5 n* z h/ J* a9 h4 h第一步随机初始化所有的模型参数 θ w \theta^w θ ! O- W5 x6 n7 s1 P
w9 ~( A9 T8 K2 q
,所有的词向量 x w x_w x ; E+ ]- k$ k/ O; R; O) vw 0 J- X+ P7 P6 E1 d- ] $ F) u) J1 Q, s* d1 W" d8 ?7 V: [2 U+ J
& F+ v8 q L, Z, \
8 K; v# E( k T8 k! T
第二步对每个训练样本 c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 ) context(w_0),w_0) context(w $ j0 f' d9 }. S) b/ `/ S0 v0* t% r* _; V/ i4 O
- [9 @# X& P8 `; w ),w - w+ E A( u* q
04 d$ r8 f) I; |9 \! i
6 Q9 i5 x* M1 l4 j; x
),进行负采样,得到 n e g neg neg 个负例词 $w_i,i=1, 2,…,neg $2 A8 \6 C. ~6 e7 x: @8 w% k
' N( C* R, f" P0 j0 n0 u第三步进行梯度上升迭代过程,对训练语料中的每一个样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 , w 1 , . . . , w n e g ) (context(w_0),w_0,w_1,...,w_{neg}) (context(w 1 s) a9 r& s& M0' y+ J/ k+ T' ~6 j2 f& d& K
4 j( Q" Q* B, c8 w
),w - A( @" C( Z' F6 o n
0 " I$ j4 X$ u( ` t3 F5 [5 @1 ? 3 v% ?. O- D e7 h2 s1 c
,w ) Y( J# e; p. Q4 Q2 C8 ^6 i1 : R* K& U) R* V4 ]/ ~4 ~ 2 b- Q" v3 s: I
,...,w 4 k! ~$ H) t, u0 ]2 o# hneg $ N3 y+ l' Y- z/ t& p6 n# G+ Y . {6 W+ k: p b9 o/ \, k
)做如下处理:0 R) w4 W9 f5 L* V; }: H
J( v5 x/ S3 u* e
令 e = 0 e=0 e=0,计算隐含层输出:6 C- e* L: Q' y
x w 0 = 1 2 c ∑ i = 1 2 c x i x_{w_0}=\frac 1{2c}\sum ^{2c}_{i=1}x_i G: [+ t& W2 G) ~8 P, g; dx 2 b. {7 y7 k. r0 Y1 w1 t1 L
w 7 T) o- g; U: @
0 ! S* D4 V) _+ n5 A, j t " B0 @; [. d) F6 l) g" Q- b! X2 l! D$ |7 j2 w) e
. o( A3 X2 e$ v% q/ O = 9 I8 ]7 P5 [5 ` J0 k2c. q0 Q) {# ]8 @" O$ x9 }0 D$ o9 h
1 : A0 v" S+ S- R9 E/ `7 Q0 q ) |/ S3 Z& u+ T- v+ S
( z6 d& \* s! V- L
i=1 ; k. z* m, M# {# s∑0 H! @, P7 m+ g
2c- r& o1 \3 l+ d. r
: }3 K- M2 h3 w$ Q: ]3 m+ h
x 0 m; i/ v8 G. s1 k# p! N2 p* W" Ci / u2 t: v% P0 [- l & f4 s8 D! q S% s: `5 y" R. J+ p# U% v
! @" H' \+ o, ~) K
f o r i = 0 t o n e g for\ i=0\ to\ neg for i=0 to neg,计算:# L; s: L6 t: w; F. ^4 g$ G4 u% l! h* c
f = σ ( x w 0 T θ w i ) g = ( y i − f ) η e = e + g θ w i θ w i = θ w i + g x w 0 f=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}) \\ g=(y_i-f)\eta \\ e = e+g\theta^{w_i} \\ \theta^{w_i}=\theta^{w_i}+gx_{w_0}" W1 ]6 c9 U% t- p, t
f=σ(x @' g8 r7 O" fw # |& j5 B: v9 K$ Z( x4 u, {06 W& r P* H0 ]. n" }( N
8 S: T+ M8 ?" ]9 r
% q2 F* P6 m5 m1 I* F. @! Y& gT " m. B; e9 c$ [ - j# ^: Z/ |& X$ ^* H
θ * p) ^/ H4 w2 |w ; d8 G9 N( n3 ]7 m6 D) S4 N+ p% wi ! s7 P7 E6 V% e8 n 2 a! b& ^9 s% G' h4 i' E& B c7 Y7 `( e; M+ Z1 u' `9 f )0 S( o9 |8 p* f5 A
g=(y 8 A: p2 L4 g% ^, z1 j/ a: `# Y
i/ b# }1 P5 s; s% S Y
4 T4 S" i0 W$ H* X! m: J0 h6 T −f)η 9 `! P8 x0 p& F% J1 W& `8 Be=e+gθ 6 l" f3 y9 A3 K9 T. Z0 m+ w1 X
w 7 k2 v# _+ K6 }) X6 ^6 C# j6 mi0 b! f9 D% Y+ V @
9 H* }6 C2 P& r: N 1 u ]) N- b; a h) A) ?/ n& V5 ^' v; L2 h8 m6 f, v
θ ) l/ G5 f* @5 v% T$ e- H5 v: A* Xw , W4 D- v- R% k, _+ ^. k5 U
i* w' I0 u: ? E3 W& u
0 e. X5 H+ J$ Y: |4 M: M( [ % N0 A6 W* K" y =θ * _* A9 q; L' z. m1 k4 e. @w $ |8 x+ R: h2 I5 P3 zi9 s8 u% d2 N& k- Z% M2 D) c) V
0 ?/ c. z9 E9 A; i' Q2 j# y X( g
+gx 8 v. C+ U! c# t" i& H6 |0 } s1 a
w 8 _) {" ]( b- p; F3 G6 Y% n# q04 G9 ~, L9 L) \; F. n
" J ]$ N, O8 X& m& `
( L$ ^5 i& I8 J2 V2 R2 W9 _! Q& G
, x$ Z8 V: ]2 _' l+ U3 m
& I) ^# B8 n( \8 g8 R3 ` `
" J! T' o6 S# M根据梯度对 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的每一个词向量 x k x_k x * j4 c3 L- u- [& X, B' Z, C: b. d
k/ J% k% l6 w2 b- p3 u4 g
& S/ l0 Y. N* h9 Z: ]# h" P' h# S (2c 个)进行更新:! I& c5 U$ j3 @5 X+ K
x k = x k + e x_k = x_k+e4 n1 h0 v4 I- o2 z( Z, f
x * u2 o9 u; S- b# O& Z; M: T
k & |. E; y7 o2 ?9 m0 ^9 ^! m" M 7 R, Z8 i+ S1 J8 F! J5 G ` =x 7 J& k1 x) C' Z8 l
k 9 Q5 N# L) G" e% o3 Y8 k , ]* s) v$ t# X8 i5 K% f d +e 9 {" g: l5 l6 P4 b- N( p' [! K) N/ a1 l) g
若梯度收敛,结束迭代,否则回到第三步进行迭代更新 . S! Z; r' J1 t- R4 q0 j2 w& b) ?: U: I6 \
4.2.4 基于负采样的 Skip-Gram 模型 " x) N; A; o! ^0 [6 ?与基于层级 softmax 的 Skip-Gram 模型一样,这里也是对 2 c 2c 2c 个输出词向量进行迭代更新。 @1 x6 u% c6 R1 P- e5 f( m6 d& _4 X. B
算法流程如下:9 W+ x3 [( q, z3 b
& n1 i, o0 C6 ~# B% f输入:基于 Skip-Gram 的语料训练样本,词向量的维度大小 N,Skip-Gram 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η,负采样的个数 n e g neg neg 。# y( U$ L) r8 X# v0 i
% i: h7 s* X# x7 S
输出:词汇表每个词对应的模型参数 θ w \theta^w θ 0 V3 S# t; u' j) k+ E1 c% J+ X* Kw 3 M( k9 S. ^& e0 t8 W% t ,所有词向量 x w x_w x % H |( X) u/ N: E9 m) I" {4 i. E: {" }
w/ Z$ z: g7 j4 N" O w/ k
" u5 \( w: z6 q7 U- C
i' I0 @& B1 h2 @& L7 ?6 J" @, D! f" v
第一步随机初始化所有的模型参数 θ \theta θ 和词向量 x x x & o# Z4 s; r4 b) r" F& z: Z) E. ~+ K: X) z0 a5 E6 v4 a# F
第二步对每个训练样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 ) (context(w_0),w_0) (context(w ' Q' ]9 ?+ L$ C+ [5 v
0 , v* z7 ]5 F, _; i: t & I& C& |8 R# b8 f( a" g8 q
),w 9 @; S; u* h3 L; a4 P2 `0 # c+ X$ y" t" q2 E7 Y! p; s2 G6 B 1 N: q9 x% a+ R ) 采样出 n e g neg neg 个负例词 w i , i = 1 , 2 , . . . , n e g w_i,i=1,2,...,neg w 2 B+ g( C( \2 R3 ]/ u
i% `7 f# h& A2 f( B2 H$ N3 ?
; @& O/ i4 g. ~% f3 q7 G6 P- a
,i=1,2,...,neg* U( d" K+ Z$ P4 f+ t( V
# @4 I: b* S8 F/ F" _' {
第三步进行梯度上升,并更新参数,对每个样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 , w 1 , . . . , w n e g ) (context(w_0),w_0,w_1,...,w_{neg}) (context(w , _ k9 |3 X& K6 {2 m2 X0 + j: A# [: s& n7 S. z - q+ Y7 q; b4 o1 p& e" a1 P ),w # h% Z4 `: A" Q8 Y. b
0- q1 X; G2 y) D' Z, d- h+ s7 \
. z9 U: I- \5 \, x9 ]
,w ! \0 S4 b" p h9 [+ i9 U i% V1 " ~# G4 f$ s5 ]1 w. F * F" ^" @, ^$ b2 a3 `
,...,w : P- u7 z* G7 ?7 K. h! dneg% n- Q" L* S8 c' T6 M
7 {6 p; B3 |* N; v* A ) 做如下处理: 1 Z, f4 f9 i3 f0 y8 T- w2 I" X: v9 e
f o r i = 1 t o 2 c : for\ i=1\ to\ 2c: for i=1 to 2c:3 H# Q$ h# Q* z9 M& b$ e1 L" _3 s
( ]& j7 A) ~0 q( j
令 e = 0 , f o r j = 0 t o n e g e=0,for\ j=0\ to\ neg e=0,for j=0 to neg,计算: # v0 s; e* Y" q$ nf = σ ( x w 0 T θ w j ) g = ( y j − f ) η e = e + g θ w j θ w j = θ w j + g x w 0 i f=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_j}) \\ g=(y_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^{w_j} \\ \theta^{w_j}=\theta^{w_j}+gx_{w_{0i}} \\. j1 w* D. ?! o* O
f=σ(x ) ^/ U* N4 R7 @# H* ?; D3 O% t# z
w 5 p3 ?7 ~% X; _" f: G0 - d3 e: n6 A9 {6 R; _9 P " h$ s7 P% M2 Q* E4 }5 B& j) `* n0 l
T * S- d. n0 i0 u, m! N 1 p0 Q, u Q/ X; e# v' u$ e, s θ $ v" ?0 |; g! ]
w 9 B9 e5 k0 m5 S9 I6 S8 v
j $ L; e0 b6 i' s 0 \ i; j" [ ^5 }% ] w4 I; z- _! f2 \2 V
) P" d$ R+ Y6 ?: I" h. k2 r: Ag=(y * r0 M! {9 A: H( Hj- `) ]+ d6 _; f6 `, `
- Q5 c3 c0 N0 j! a −f)η: r9 i) N# e5 x7 G, L4 j0 C& \/ b
e=e+gθ 9 p4 k# _' H) l) O( z% {- ^
w / x& R6 Z; F1 a* }9 k
j% o2 k* j9 N: g* _ }
' V7 U3 r: M4 F9 A4 m$ x
7 I+ H' R, S9 G) G2 O4 {0 n8 b- Q
4 j S% y9 d4 r* J* n1 l3 h* i! O
θ - U H) h: j5 c0 L; o
w 7 |7 c, o6 B7 R: v3 I
j 2 M2 C1 x3 m$ g - `9 F% K3 T3 W) G+ {$ t
: l. {7 x2 {0 f, r3 K7 ?+ V- D
=θ 8 G" V* y% \) A; N' Q Y
w ! g" ^. Y) \2 l. v+ R) }: b# sj % ~" ?9 d& d9 a( f7 s9 U / I1 V0 j' D j' K& K6 X
4 G9 V( _1 X9 H2 r) w4 F* y +gx 6 s0 l* Z1 G8 V( v
w $ }" t+ b% Q, s/ Q3 x! Q- d: z' Q
0i' z% h, O( j& m- i& x/ ^
& L& A, L, ^; Y
9 U. G& q! C+ z) a5 f利用梯度对该输出词向量进行更新: * s$ ~4 ?' [, e1 A, W0 {. W! Yx w 0 i = x w 0 i + e x_{w_0}^i=x_{w_0}^i+e, W* @4 ~4 R4 _* @5 @# I$ q
x : U. r% Y4 H4 H3 T2 O2 ww : y/ w5 ?# z+ }' k9 p0 5 E- ?, m! N' M9 M : s& g2 y3 u( [" p1 w9 B
5 D% J# [- X8 ?i - c9 A! C$ H+ Y( B- x- ~ 4 U! K, @% d" N; i# K- l ~$ J =x 9 b Y$ b# T) C$ j! Z/ G. L+ G) \
w " k+ U" U7 D) [* w0' |2 V9 k/ s! z$ k
- Z+ c; a# U! }! l) L0 C) W8 s, W7 ]2 A
/ z. W/ y: k+ ?& d7 {i: j3 N( x* o/ h9 K% _
" r+ V* I- c! ^" j- q- z% ]8 K
+e ( b. Z7 Z8 O! d' C2 `6 W* [+ _$ n& e5 N9 j
其中 x w 0 i x^i_{w_0} x ' F7 w' f6 W4 T9 l
w $ s' j6 I% z" p6 y5 n( M0 M \$ d, G6 z- j8 n
+ D5 ]- b+ U# U& C
0 O) Q5 W" t4 s i# l- Q8 ~i9 X0 J+ T. t' `+ n
. n7 X4 _. t1 r) |
为中心词为 w 0 w_0 w 3 A& e7 l9 Z- l02 v8 N5 r6 W/ t* e! H) N
* [$ t# C; e& o2 q( E3 z 的上下文 2 c 2c 2c 个词中的第 i i i 个词的词向量+ g/ s# T; q: }2 D' _* k
. _' \* Z7 j, r' g
若梯度收敛,结束迭代,否则回到1继续迭代更新参数 % u- R2 Z2 B' g& u7 a/ E , ]% ~4 b* |' M0 p四、GloVe. J* z D+ X$ ~
1. 简单介绍 / {) K; p4 F1 m0 `1 r8 s9 qGloVe 全称叫 Global Vectors for Word Representation,是一个基于全局词频统计(count-based&overall statistics)的词表征(word representation)工具,与 word2vec 一样,她也是将每一个词表示成一个向量。$ o: O5 ~# g8 B/ F- E" j3 w' e! N* l
3 C3 E0 _( A/ j5 [. ]+ p, @GloVe 结合了 LSA 和 word2vec 两者的优点,充分利用了所有语料全局信息,更易于优化且训练速度更快,但仅仅只关注了词语的共现关系,忽略了词语的顺序关系,因此训练出来的词向量包含的语义信息有限,只能进行一些词语相似度等有限的任务。 & e1 X k9 @$ m: R* Z9 Q % M& R, U1 u& T; n9 F2. 基本原理6 g k" V2 [4 H8 Y" o9 [+ G
GloVe 的实现可分为三步:) T Y: {3 _7 h# S4 r2 Z( [
. E9 ], m- I6 s) I! s3 J4 y
根据语料库构建一个共现矩阵(Co-ocurrence Matrix) X X X" H& W" G) T# i5 B' X
, G% F$ H' Q* s* H& s0 |$ d0 h
构建词向量和共现矩阵之间的近似关系,论文作者提出的关系式为:+ z0 z3 O- ]8 R4 p0 k7 G& I
(4.1) w i T w  ̄ j + b i + b  ̄ j = l o g ( X i j ) w^T_i\overline w_j+b_i+\overline b_j=log(X_{ij})\tag{4.1} . M: J5 o( A/ ` Fw ( O$ t! A: n- I1 ]0 o
i8 }4 v7 ~! n+ y- Z; z5 p) @
T , R- y) y) E, m2 N + F! T8 P% X- e& v 0 ?- A6 e) [6 I' j9 Rw* B6 z3 K" ^$ w8 I3 o0 P3 G
$ n! o, D9 Y9 X. X/ Y) tj- M* q+ Y* r' [+ d- v2 Q: a
; Z+ A5 n! E1 b +b 3 m( ]- x3 |+ \4 v# Xi . U. p' z) S: i$ Y0 O+ I* d ; J# N* }% f& I% u + ! N H% ~# _9 b4 [9 D
b5 W" Q% C9 Q+ c9 f, ]$ D1 [6 p
. _; K6 z) F; @4 oj, i& w; V5 S; f
3 p/ b' T5 b5 b/ o6 t H =log(X 3 }+ w# m8 Y' U9 x8 Sij # }2 T0 r2 e* P! y; ~# m D% f % e5 K0 b; q6 U4 \& O )(4.1). }* S' D- E3 m/ v% Z
5 Z) w/ Y) ]9 F0 E8 ~7 ]
其中 w i T w_i^T w # N% S, r! t5 S" [i! y {$ C* n3 E
T' h5 j- G2 k7 C+ l
|1 Z* G% R. s' {! i 和 w  ̄ j \overline w_j 3 B. \4 `, c" N9 L6 L2 i' c/ b
w 0 j1 s9 _" N3 T1 h6 _' s % x! ]! |' E8 D8 R+ p1 S2 X0 Xj5 A( J5 @( A8 @4 {4 v; @( j3 f, @
4 p1 L: u, P7 J* ? q: d' ^3 U 是我们最终要求解的词向量, b i b_i b & U6 J! y& l3 h- o! `' h" a1 H5 S
i 7 `- u& n/ M( j! W r4 Z7 A3 d+ F) r# l; F 和 b  ̄ j \overline b_j & |9 d. W, u) B) Y5 pb % T e0 Y5 F) E7 }! Y6 r0 ^& h3 [* x
j . Z3 H% ~# R: x& ~+ s4 [ 4 `2 ~; v! a& z2 [! Y. f7 r
分别是两个词向量的偏置" Z/ T1 J! t) y2 r! v; ]8 z
0 {/ z# n. y$ S- T! N1 Z" O' O
构造损失函数:# {3 W. ?4 Y, |/ A
(4.2) L o s s = ∑ i , j = 1 V f ( X i j ) ( w i T w  ̄ j + b i + b  ̄ j − l o g ( X i j ) ) 2 Loss=\sum^V_{i,j=1}f(X_{ij})(w^T_i\overline w_j+b_i+\overline b_j-log(X_{ij}))^2\tag{4.2}/ Y' I! d5 ^ g! d" b+ n
Loss= 8 ^1 v0 n, `; x2 P& a* M
i,j=18 I: |3 ?! I$ ~4 H
∑7 P1 y3 S0 y R' r$ k8 u
V) T9 D$ @* U% h+ z* x3 b
" h% H/ y* v8 \4 k/ ]7 _
f(X 0 Z) N+ {# T7 w/ s5 Xij/ g* o2 n) H) V) }- q% Q
4 _+ T K0 |/ h$ N )(w % I: e" U3 G. T+ M$ t' |! ?! @# ni 0 c& H6 M }! m/ XT7 O' i& Z) b! ?4 T
+ a1 g0 D9 h+ U3 u$ P
6 s. H: r8 w' W2 C7 c5 lw " J+ _ h3 d& T. q) U9 b1 D4 B# ~9 p
j& H" f1 K) ^9 |' [" P" v
6 {: ?" D3 w# Y3 @
+b 5 |5 r# R' W# L; c$ k9 S6 t; ni $ U, [- e" N' s! g; ~ ( y' Q( d( V1 u X6 j
+ & `( O8 }9 `( b+ C) ~6 y8 ~ C2 i# fb 5 h1 S. w6 b. t) n3 q. c" D 5 \$ {/ Y. o8 Q/ qj! \; q0 m+ i: J [
% A$ D% b* V) S Y7 c2 `: f
−log(X 2 U8 m h3 Y9 Y$ O! d
ij4 Z0 l' |9 G7 V+ S+ c) Z0 x
1 S) y3 I$ h8 l7 V# B3 h
)) : p$ h+ E% t. E- _1 i$ ?3 ?8 H2% X1 J" q+ O0 A% m1 F& E; I
(4.2) % ^' B0 h/ [' R $ \) I2 p( c6 V, X6 S! \这实际上是一个加了一个权重函数 f ( X i j ) f(X_{ij}) f(X 1 ?5 M2 t5 X. a1 vij6 u3 \" X. x4 r8 E& s9 W
7 Z' e; i/ p% G8 q1 {
) 的均方误差,而且我们希望: ; h3 {1 e" `$ A$ a2 y) Y8 \; V3 }" q; ` L
一起出现次数多的单词的权重要大于那些很少一起出现的单词,所以 f f f 是非递减函数 ; }9 W1 s) M2 ^0 t3 k! K) f而且这个权重不能过大,到一定程度后不再增加6 R6 a: N0 J1 X7 Y {
如果两个单词没有一起出现过,即 X i j = 0 X_{ij}=0 X ' k- p( [* U" f3 _! M6 }
ij8 m5 E' K, }+ ?* f! b3 r
6 ~5 I4 B2 ~- p3 |
=0,那么它们不应该参与到 Loss 的计算中去,所以 f f f 要满足 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0+ K2 l J2 A/ K9 k+ v* E- b1 b
作者使用的是如下函数: $ D, S D& k- n1 M+ U(4.3) f ( x ) = { ( x / x m a x ) α i f x < x m a x 1 o t h e r w i s f(x)= ' s" L' x+ U: m+ x5 A5 ^# A1 ~. X{(x/xmax)α1amp;if xamp;otherwislt;xmax ' G* C' ?5 h2 E6 p- P8 N{(x/xmax)αamp;if xlt;xmax1amp;otherwis4 E: M$ r: b& [. a0 t( @! f
\tag{4.3}( q9 W" f9 Y; E- Z7 m) ?
f(x)={ , F5 O3 S4 X& ^; a4 [
(x/x / V; A: k% f* C( R) J+ D7 L% s. L/ g0 t
max # r: h+ Y0 m* M: s, f% g/ S# |) j; U% f 8 X/ H. ^* \; |8 @; t n* z
) % a, m v9 v; D. V" H* |- a& B/ S4 F B
α % K+ T; J9 f1 i7 i/ g" J( D& k+ _3 g- ] % t# v3 q1 B3 Z u11 ], I7 X6 ]! ~& L2 P- g2 w: g; r
5 p5 T) s3 `- O
. m2 R% Q) e# I3 T" F# K( _- L: V
if x<x 4 z/ L8 D+ [% t' B& ?! d8 K2 Z, I
max0 x4 H* T- j$ J8 P
* d. |8 \! C- \4 U9 D# O
8 R$ R. U( G8 _4 |0 s4 K
otherwis- j3 ?. w- {( d7 E
5 q6 {+ T4 C' L& t
(4.3)9 r1 O- ~0 P; r m! O; j _
9 ~! P1 W1 D: V% G$ [- r其中 α = 0.75 , x m a x = 100 \alpha=0.75,x_{max}=100 α=0.75,x # ?7 ?# ?; f) M- X( U
max 2 j7 ~" {& J7 n7 ]0 k: k. }7 w$ u) X ; b, T/ n7 Z: _5 G2 O( S2 s/ [ =100 4 |: ^% g. D5 @5 f* ` & X! K0 O1 J! V& {7 o5 L根据 Loss 计算梯度并更新参数 , F1 m7 b5 v: O$ v/ O: u! ]" M, Z V # l) b; ?7 j8 A9 C2.1 共现矩阵. h, x8 J, ~; {# W$ l$ H; @. T
共现矩阵中的每一个元素 X i j X_{ij} X # L6 J w1 w( }2 T3 [6 A* k$ w7 m* ]
ij4 E, [$ X1 x' M, n% F# _
( p: F: S# N6 l1 Z: j, y: m 代表的是以单词 i i i 为中心词时,单词 j j j 在特定大小的上下文窗口内共同出现的次数。一般来说次数最小单位是1,但是 GloVe 根据两个单词在上下文窗口的距离 d d d,增加了一个衰减函数 d e c a y = 1 / d decay=1/d decay=1/d,也就是距离越远的两个单词所占总计数的权重越小' z& d, k: M; _: E& m
" n, n+ H, a( b$ c- J3. 公式推导0 D6 P6 Z2 a" F( s- p2 u. z
我们先定义一些变量: 6 _) o0 p/ f8 ]/ o' C 8 r$ n4 J9 Q0 B, F, A/ l& pX i j X_{ij} X % N" V; S0 F9 s( N9 j# \ij : k& y+ C1 R0 J8 k( \& m1 O 2 c) T9 p" P- [ 表示单词 j j j 出现在单词 i i i 的上下文中的次数3 p/ V4 j' ]% z, L S1 X
X i = ∑ k X i k X_i=\sum^kX_{ik} X 0 r7 L5 {+ I9 g M) gi; R% {; g5 l' C* q3 k, |' M' h8 {
* g7 G; m; c7 l4 C4 n =∑ i% g' D2 d1 h* e
k 5 d" F, Y- {7 D2 Z$ y* b _' v X 2 l- y/ l4 N8 L( _: \
ik$ x/ S9 I0 j3 V# t) ]$ {8 z
4 E. D- q' R% s' q
表示单词 i i i 的上下文中所有单词出现的总次数 / F+ g$ ]/ n: i& y8 h+ J. F! W gP i j = P ( j ∣ i ) = X i j / X i P_{ij}=P(j|i)=X_{ij}/X_i P 5 K% K' I5 t$ [! @/ _( k$ v. B( H
ij, q6 B4 I1 L I% k8 h0 C
) A* M) k" _+ p; Z; \) u7 j) _
=P(j∣i)=X " z& j$ Q9 I- r2 I6 b. A# c: X; ^ij* L1 G) p3 n* B4 }0 J- {+ p3 v
9 C5 p# U- z- v' e* D /X , Y( H' Y P6 v; }1 W; Vi5 O* s* ^' l6 }: L) l
- [2 [2 v- }( r$ [
表示单词 j j j 出现在单词 i i i 的上下文中的概率: _ b; ^2 @" J5 [' v- h
核心思想是,对任意的词 i i i 和词 j j j,以及第三个词 k k k,如果词 k k k 与词 i i i 比词 k k k 与词 j j j 有更深的关联,我们就有:, y9 p' T3 w( _3 p/ k
(4.4) P i k > P j k P_{ik}>_{jk}\tag{4.4}" n0 @6 x0 x# Z: U: E; `. q
P & u" V" V2 p+ s! c
ik : \$ ?. x. ~2 T4 ~+ A* b2 ~ _; |9 r+ o1 ~$ u6 F
> 4 `; \: \) d8 l3 R. F
jk7 P. _; o3 |( Z
% t0 y7 d" a9 [ J j/ e! V
(4.4) ; k, `* P% O0 w7 G4 | 8 `6 x4 B0 N9 {" K0 F3 ~) v且它们的比值很大,同理若词 j j j 比词 k k k 与词 i i i 有更深的关联,那么它们的比值越小,若它们都很相关或者都不相关,则比值接近于1 。$ J: u7 N( T8 m G" X% Z
" y. A/ g9 C5 \, o& Q( E4 z/ \
由上可以构造出如下函数: 4 o. t5 z+ ]! g1 {" H(4.5) F ( w i , w j , w  ̄ k ) = P i k P j k F(w_i,w_j,\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.5}8 p6 Y5 q) O6 f& E
F(w ' v! d) a( @ C$ O) @9 Ni" P: u4 X) {4 K+ F b
7 h) B9 _8 Q/ q& t# h8 y ,w & [' R( O8 w/ {+ p0 lj9 c2 O; S7 j* ?: Z) M
1 q! z4 o: |( r' Y9 \* P4 a , ) ~) [; x! ?' @; ?w* O/ O% ~8 H* }, T+ C6 h4 D" v
' a8 _4 s* c# d; `2 d, o) D, B
k, S0 x- ~* [, C1 K8 H
7 \0 \; [1 q v+ j8 @3 Q
)= 3 p& i3 g, z. u; Y: m( L' p9 pP 8 h6 z! ^; {- l* s! m
jk8 `) D& \5 k- o* K# M
: ], |- s! z" S+ J3 Z, I( S Y4 M, a3 x) D3 E" X1 h# h C
P 0 u, g0 @5 j6 c5 Z ]ik( w$ @$ l) {. K1 |$ m
, E+ i8 c6 t2 F- J5 Y: x5 c8 N2 @! `
( s. g6 _) b d (4.5); c* T0 o. j6 B) x
4 m! U1 L- S S$ m其中 w i w_i w " l' z" M# g$ a) Z) D J: q4 u
i3 B$ C9 o/ E9 ^4 x
) ^, [1 ^/ i+ k& F) I( r
和 w j w_j w 6 H- A- `* ]4 S- g2 h, sj , C5 Q- C8 C( M% r: N, Q 6 L# O" b- n5 R/ K+ ?7 o
是我们要比较的两个词向量, w  ̄ k \overline w_k i( ^ E0 Y5 W- [8 [" I; m9 ?w% g; h6 y9 P1 R: g: _& ^$ f- ^
" e3 E, q' q2 n1 dk9 j7 y E. t- s* [1 f& f0 I
D, d5 W$ L9 V- o# t0 f
是其他的词向量,函数 F F F 的参数和具体形式未定' c" ~ B( p$ w+ [, h$ H8 g
' N, ?+ p. j9 m4 M# ?
又因为向量空间是线性的,我们可以用作差的方式衡量两个向量的差异,于是 ( 3.2 ) (3.2) (3.2)式可以变换成如下形式: $ z; {& b* `% [0 O(4.6) F ( ( w i − w j ) , w  ̄ k ) = P i k P j k F((w_i-w_j),\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.6} / |$ h/ {9 T% r. j: i3 i1 p6 x, CF((w $ k. D' ^3 s; b/ e/ H% V% i9 pi _+ w1 W8 F/ p3 I o* n) ` ) u7 V1 Y ~9 z1 C
−w ( B! G& ?$ w1 b7 s, m! N) f8 g' U
j# K. k% u2 M8 \6 V/ M$ [) W) }
J# o: a0 A4 H \+ P7 }5 G
), 5 [1 d a P% V% j) l3 }/ h
w" u' {1 \9 z+ Z( ~
' l2 r: p0 {3 b. N- u. I7 G
k5 M$ z9 c& }; Y
. X. t, R6 q7 g9 [2 L# I; \ )= ; Y6 I& F3 ]! V( K% X/ a6 \P ?2 P+ O. j7 |8 M. v
jk " y. T) x, ]' C! r: ^! | ' U8 S0 e- W- Y7 z
- z$ Z5 }7 Y4 _
P # ?, e$ S$ T6 e% l+ Cik . A# }3 k) P s' P6 k, T + G. |, b# f1 W- P) J+ U. r : r% B: v6 s% N! U9 }; i9 M0 Z % X1 ~- ?. c& Z; }% j# |- b (4.6)* c& T) c, P7 z
$ [1 i% p: Y- |2 j- i* C: Q+ }& h
对上式可以发现右侧是个数量,左侧参数都是向量,于是可以对左侧两个向量做一个内积: 2 t4 d3 z( e2 {4 b8 W) N(4.7) F ( ( w i − w j ) T w  ̄ k ) = P i k P j k F((w_i-w_j)^T\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.7} . d' e! l, ]: Z5 c( aF((w / K$ t5 K7 u( g8 S
i 5 k0 A) W2 A; o% U/ b' m: w6 @ & k) I/ I0 T2 f( u& j
−w : [1 S- {+ B9 s6 {0 X
j " s$ N- ?: c& [+ S1 k / u5 I( h6 o2 K; q1 q
) % c4 p% d5 D# ^T 0 d* v; J0 R! Y! e 2 b; m! N; c ?% }w: E2 O% C1 X7 d$ E. ]% A
$ ~ d, S1 p4 k! N" g% d( J5 A
k 0 v; K# k; _& q7 ? T 7 z5 ^. C6 F1 ?3 g
)= " C0 Z7 D, Z, w1 W* @$ g1 E
P 0 m+ g. m4 C7 Bjk 6 c# p& ]. |" [, u( O# t [7 H y( Z0 i, R$ g 3 C$ R0 q$ X7 h$ YP & Q' ?# M& f) l0 o' y7 T& x( k8 Y% B
ik " G- `( w: A" i8 T. @ + t% p3 z5 w( |, I
! x( s j8 u9 _ " J& ?3 N' \7 F6 X2 C9 w: e (4.7) 0 W5 c4 n$ ~! H* W6 D+ S0 Q- n# B1 Z+ c- u
回到问题本身,我们要是基于 cooccur 进行计算的,实际上在一次共现中词 w i , w j w_i,w_j w ' u- P! a: A/ n: P- H
i 0 s, w+ g# Y' _1 z1 f# }9 e " ^* Y$ J1 M0 [2 V6 k5 [ ,w * i N- `5 R1 G' b0 V X, y2 `j % z5 r8 [" r* r4 @( `; j ; Z8 r- V1 E; y" D' u 是同等地位的,我们需要 F ( w i , w j ) = = F ( w j , w i ) F(w_i,w_j)==F(w_j,w_i) F(w # F T# ~3 m9 ?; y
i) S% i) Z" N& Q9 Z B ~* m
2 v5 x5 U; g4 R+ }: N; X& A; ]2 p* g ,w 4 ^2 \! J9 i- A: Zj1 R( a' [5 ~: V$ t3 [
+ Y, o+ t% ?- d$ d" x3 z )==F(w 3 ~& }3 n, a* Z, {4 v" a# o3 g
j & ^' _0 j: `% Y& j1 _% n. P* E5 F : E* V3 B2 ]" V5 J2 D9 F: H ,w * D, w7 \2 y) ^
i& s, V* G& ]( c
/ o" w7 ]8 P& @7 ]+ J* D% j
),而现在的公式是不满足的,故而我们需要给 F F F 一个约束(套一层指数运算),将差的形式变成商的形式,使得 F F F 是一个同态变换:$ X+ y8 E4 \ l6 J9 V) U/ T
(4.8) F ( ( w i − w j ) T w  ̄ k ) = F ( w i T w  ̄ k ) F ( w j T w  ̄ k ) F((w_i-w_j)^T\overline w_k)=\frac{F(w^T_i\overline w_k)}{F(w^T_j\overline w_k)} \tag{4.8}5 F6 k+ K# O I* A; W# A
F((w 3 s/ M2 o w2 G" V, U& Li6 C# X/ `! R' ] ]& V, }
) {( c, {% S# v8 o+ h: E# {
−w 5 m, D9 X9 {1 [6 r5 {4 D
j" R/ F7 r9 c& J3 J3 e, q
) e6 r3 q C. ~7 ~ ) 6 {# N2 o! s8 Q" G& q _
T * o8 b) \+ F7 O0 h8 D: O) t z2 k8 t2 k6 B* B0 @0 E
w2 N+ }1 k6 X c$ a