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标题: 一个有些挑战性的组合题zzzzz [打印本页]

作者: Osiris 时间: 2005-7-2 12:14
标题: 一个有些挑战性的组合题zzzzz
整数 |p| ≤ n , 要求从这 2 n+1 个数中取k个总和为q的数, 请问总共有多少中取法？

：）看似不难, 但其实有些难度, 而且结果可能有多种形式.....

作者: Osiris 时间: 2005-7-3 19:07

可能上面说的有点抽象, 看起来不是很明白,举个例子
譬如n=2, 则满足|p| ≤ n 的 p可以取
-2,-1,0,1,2
共5个数.
如果想从这5个数中取3个数(即当k=3时),并使这两个数的和为3(即当q=3时),
这时的取法有:
0,1,2
总共1种;

再如当n=3时,则满足|p| ≤ n 的 p可以取
-3,-2,-1,0,1,2,3
共7个数.
如果想从这7个数中取3个数(即当k=3时),并使这两个数的和为3(即当q=3时),
这时的取法有:
0,1,2/-1,1,3/-2,2,3/
总共3种;

现在问题是对于一般的整数n,p,q, 总共会有多少中取法呢？(即求其通式)

作者: Osiris 时间: 2005-7-8 13:45
：）是不是觉得难度很大？

作者: Osiris 时间: 2005-7-11 00:22

有两位朋友提出了如下的想法, 大家可以考虑下:
第1种. 按照要求，如果这k个数看作是有序的，第j个数记为x_j，其中1≤j≤k，-n≤x_j≤n，则x₁+x₂+…+x_k=q。再令x_j=y_j-n，则0≤y_j≤2n，y₁+y₂+…+y_k=q-kn，这个不定方程满足0≤y_j≤2n的整数解的组数是多项式(1+a+a²+…+a²ⁿ)^k展开式中的a^q-kn项的系数，记为t，即有t种取法。如果这些数看作无顺序的，则有t/k!种取法。

第2种. ∏ (1+yx^i)展开式中(y^k)(x^q)项的系数,连乘积对i=-n,...,-1,0.1,...,n进行.

当然其实这两种想法比较相似了, 各位也可以考虑下有没别的思路.....

作者: Osiris 时间: 2005-7-14 12:56

不过上面也只是提出了一种问题转化的思路,并没得到最终结果的表达式,..

谁来挑战一下.....

作者: Osiris 时间: 2005-8-31 14:57
+_- this is a real challenge, right?

作者: Angel52416 时间: 2005-9-7 08:10

好厉害的题目!!

作者: xxgzftj 时间: 2011-12-28 15:56
看了一下，没有头绪

作者: yywkc 时间: 2012-4-18 13:41
说的不错！

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作者: zhj5 时间: 2012-5-24 12:43
额，怎么看不懂呢

作者: wangchen881202 时间: 2012-5-30 23:55
我好羡慕她，受伤后可以泡吧；我好羡慕他，受伤后可以泡仨。

默

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