数学建模社区-数学中国
标题:
二次剩余值的关联计算(上)
[打印本页]
作者:
songls
时间:
2023-11-15 20:10
标题:
二次剩余值的关联计算(上)
二次剩余值的关联计算(上)
5 w7 g4 V! G2 y+ {& N1 f9 A" R
( [1 F) B) q6 c& ]
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算:
7 t6 J* N, r7 a6 T6 X# U
对于完全平方公式:
! i% o9 b7 J- ~
(1/2 -m)^2 = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1) (m≥1) (1-1)
% {: L7 D& l) e; |" b
1 I4 H @" s" z, k
在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
! g3 g5 X+ |9 q2 q1 u
① 当n=4k-1时,对(1-1)求同余得:
/ {" u! Q1 R$ H8 [. {
(1/2-m)^2 ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n) (1-2)
8 i1 S: b; A) m7 Q. c3 R! q
② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
' t, k0 ~4 X" c0 e) \) c- \
(1/2 -m)^2 ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n) (1-3)
, F0 q% u% b' B4 u$ f6 r1 d& T
% {; \' q5 Y4 m3 C
为以后叙述方便,我们对 1/2-1 1/2-2 ... 1/2-m (m >=1) 这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2 减小的方向的数列.
' X+ w y+ q4 y1 T, p$ S- d3 a
7 y- S( b4 ]3 Q# ~" M
二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和,与k值同奇同偶。
$ J) e5 D8 R W8 c. U( o; t. s3 H
如n=299=4*75-1 k=75 2k=150 , 二次剩余后序序列为:
9 K5 M, \! K) R( z1 K- O: B
(150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299) => 149^2 ≡ 75 (mod 299)
& {6 H+ d3 }( x
(150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299) => 148^2 ≡ 77 (mod 299)
D. A' M3 N+ L, S( w
(150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299) => 147^2 ≡ 81 (mod 299)
9 f& P$ n3 z8 Y8 j k1 }
3 J; P3 N) k/ c) ?; _
.
2 I5 {$ B* z$ z
.
9 }# \! T% a) x
根据后序序列,可以得到一个分解整数的方法:
- i0 N6 a& `$ p* v
设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1) m>0 => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n) , 或者
7 |6 ^( q" p" A3 D1 ~
c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)
- I- H/ E) F) ?; y6 e4 e6 h
上述等式,由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
7 d/ F* s5 A" ~
例1: n=299-4*75-1 , k=75
, z) `" B% l* O1 p) U# W
根据后序序列,大于75且与75同奇同偶的完全平方:9^2-81
- s" a, x- G- ?3 w
81-75=6=2*3 为连续两个整数积,在后序序列上
7 v2 E$ \+ T5 L( L. ~
∴ (150-3)^2≡81 (mod 299) => 147^2≡81 (mod 299)
; E2 K" X; A% T" u5 U+ x$ i
或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
2 {2 T; P: Z" l D) O
5 T+ B/ J/ i5 `# N( D* m$ y
二、连续两个整数积的分解方法
; s# s+ [* ^# ~1 e. {- F7 m1 H. [
1、分解方法介绍
2 T0 R2 x' L$ ]
例2: n=299=4*75-1
# q" n8 ?: r" b) |: B
25^2 ≡ 27 (mod 299) =>
" A, }4 G/ b' ~$ o' y4 p, a
25^2 ≡ 25+2 (mod 299) =>
9 N: B, t7 M6 }: b! Z
25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>
. \, U1 ?2 F8 D! f0 Q' d
(25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
9 D. F7 I! i7 [2 x& d8 @9 z
23*26 ≡ 0 (mod 299)
/ X% i! z& [+ @
(23,299)=23 (26,299)=13 299=13*23
0 s7 v$ J8 o* R" z# e8 u
. g6 o6 J" D- F& p' i9 a) X
分解方法: 设n为奇合数, a^2 ≡ b (mod n) , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 ) , 则可得到:
# q2 I$ A$ x7 v: x5 I/ _* a. g
a^2 ≡ b (mod n) =>
7 Q* R8 u" f0 j
a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n) =>
0 s( e0 _0 i6 C
(a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
1 b3 N" f1 G- L) c4 k
(a-(i+1),n)>1 (a+i , n)>1 即可分解n
( a. T8 O8 k6 ?, o
: a* ^' H% d! u: ]3 O; A
2、分解方法的另一个解释
, _& Q( C' L% ?& E! W' X6 ^
设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n), 如果m=a, 则由(1-1)公式得:
3 o2 n) i% _5 v
(1/2 -a)^2 ≡ 1/4 +a^2-a (mod n) =>
]. r6 L, T" f6 e4 V& w
(1/2 -a)^2 ≡ 1/4 +b-a (mod n) (2-1)
% m1 H& g2 u* T4 F, j
- w! ]& g! l- K3 E9 a
① n=4k-1 , 2-1式得:
* `7 J- N9 {2 o) F% U
(2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n) (2-2)
7 g; `: v, K) F4 |( ?+ l& l A3 w
① n=4k+1 , 2-1式得:
/ k5 z9 g1 S9 ?! E
(2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n) (2-3)
8 S, k D' s/ @- t F; h2 S8 W9 m
, F6 s) c2 X& u4 W
从(2-1(式, 可知二次剩余的计算, 在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
* b- ` p9 K, N4 X1 e5 T! X
在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
$ o8 g* M7 E4 ^8 V$ m( X' \9 _
(150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) => 125^2 ≡ 77 (mod 299)
. R, ]9 p0 M6 Y! D% L& L5 t
所以, a^2 ≡ b (mod n) ,如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
" e0 b% J+ N6 Q- p) F/ i
$ _5 u6 R' r1 x7 K% ^
三、1/j (j >=3)的计算方法
. i+ O4 a% h; f/ F/ Y
上面的是计算 1/2, 即j=2, 如果j>2时, 有如下的1/j计算方法:
7 ?; Y- N! x5 J t& V0 e, c: x9 _' M8 E
(1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3) (3-1)
* P2 j, f6 I8 \+ N& O
( o) z8 Q# s/ Y6 m p2 c
而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
$ y$ S$ z. o+ D
1) 1/j 1+1/j 2+1/j ... t+1/j (t<j)
1 y3 W$ n9 A+ I4 A
2) t-1/j ... 1-1/j 1/j 1+1/j ... t+1/j (t < j/2)
( Y+ X3 l" E7 L/ j+ F
t+1/j= (1+tj)/j = m/j , m=1+tj
8 U* |1 J0 y/ v: Z
! L& M5 m2 ^. J0 }- f, N/ H
按m/j , (3-1)式变成:
5 u# @/ T Q, I# C6 D% h
(m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2 (i≥ 1 ) (j ≥ 3) (3-2)
, ^; X) ^+ H& Y3 i* N" G
# S, ~! U) s) S5 L8 V8 `
例3: n=299 \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299) 100^2 ≡ 133 (mod 299)
5 b7 o2 N) p, w! y) K. Y( w6 J
(100-3)^2 ≡ 3^2-2+133 (mod 299) => 97^2 ≡ 140 (mod 299)
7 J/ X& K" P! J+ z
(100+3)^2 ≡ 3^2+2+133 (mod 299) => 103^2 ≡ 144 (mod 299)
7 R4 w" @$ C' |( x+ Y1 h
1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299) 101^2 ≡ 35 (mod 299)
7 M7 E! p2 U+ l4 s/ m2 L4 g
(101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35 (mod 299) => 98^2 ≡ 36 (mod 299)
% j" h. M: M: ]( M6 f( v/ h
(101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35 (mod 299) => 104^2 ≡ 52 (mod 299)
; P- i B/ h, ?7 Z: V/ ]
1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299) 99^2 ≡ 233 (mod 299)
2 _ ^) R+ t* o) A, }
(99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233 (mod 299) => 96^2 ≡ 246 (mod 299)
* [2 y1 T9 N7 R8 B S' n4 {
(101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233 (mod 299) => 102^2 ≡ 238 (mod 299)
; j4 W, K) m, w, D$ t
按2+1/3也能得到相同结果,这里不在验证.
$ e! D7 m1 k- P4 F2 y
; J' A6 }+ c9 u. V+ c
当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得 :
; P$ q M+ a. c- z+ _ `: s
(m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2 (i ≥ 1) (j ≥ 3) (3-3)
- i: [! K& d7 g4 o3 L9 x1 \( i
更一般的公式: 当为 g/j g <j/2 , (g, j)=1, 这里就不再给出.
3 P; W2 n2 l5 m; p3 L
4 \3 C, f1 x+ Y2 b, }5 H
二次剩余值的关联计算(上).pdf
2023-11-15 20:09 上传
点击文件名下载附件
下载积分: 体力 -2 点
52.4 KB, 下载次数: 0, 下载积分: 体力 -2 点
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5