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二次剩余值的关联计算(上)
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作者:
songls
时间:
2023-11-15 20:10
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二次剩余值的关联计算(上)
二次剩余值的关联计算(上)
+ t9 U1 W! w2 B& ^
( g+ b) K1 m4 F, D* H3 N
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算:
" P1 A' `: t6 B: m2 X5 i3 C# c" p* y* J
对于完全平方公式:
) h& d/ W9 A2 _' u4 D. `' A
(1/2 -m)^2 = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1) (m≥1) (1-1)
& ]" d5 j) i6 R) {7 X$ Q
) a! D: M1 F( ?; D! l
在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
3 j; w1 Q, ]; z: z ?1 W
① 当n=4k-1时,对(1-1)求同余得:
. p) v( I- z4 }5 m2 |3 ]6 Q/ l
(1/2-m)^2 ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n) (1-2)
! Y" \3 F; G* R5 t: T# P' N( t
② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
1 X# z+ l; ^, G) Z# {4 ?3 c
(1/2 -m)^2 ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n) (1-3)
, b3 ]# ~( m* { Z7 g4 |
5 R& J: S6 x, J' G; ^
为以后叙述方便,我们对 1/2-1 1/2-2 ... 1/2-m (m >=1) 这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2 减小的方向的数列.
+ T6 D8 J! q+ f/ s
- p Q9 D V6 h6 @
二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和,与k值同奇同偶。
, H. l# O) B. E9 b2 v% `4 s
如n=299=4*75-1 k=75 2k=150 , 二次剩余后序序列为:
. d ~# p5 n4 f" O+ O3 R7 |8 L
(150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299) => 149^2 ≡ 75 (mod 299)
; _+ d! v0 Q' z- i# Y
(150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299) => 148^2 ≡ 77 (mod 299)
: |) k/ {2 R% \& G- T6 E5 X
(150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299) => 147^2 ≡ 81 (mod 299)
. O4 D; |: [% Y) U2 g4 E8 J- U
6 j9 a) ]- [( v- x$ Q M* B
.
5 |; ~) X4 L. r3 P9 V
.
( s' s/ j4 F; c/ n q0 z; ~
根据后序序列,可以得到一个分解整数的方法:
) o( {2 p4 b' t. Y/ Y
设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1) m>0 => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n) , 或者
4 l% K" f' A4 i/ h. L5 V: b% {
c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)
6 p( y6 l; Z' r4 `8 h
上述等式,由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
v' l7 ?, |( `
例1: n=299-4*75-1 , k=75
* R. N4 r0 A. _, q% {! p
根据后序序列,大于75且与75同奇同偶的完全平方:9^2-81
+ X4 B- j. @4 H) f
81-75=6=2*3 为连续两个整数积,在后序序列上
* N3 r( f: B7 a8 m" o
∴ (150-3)^2≡81 (mod 299) => 147^2≡81 (mod 299)
6 S. a9 |7 |& k, ^
或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
2 G/ G Z0 @/ J9 W) @1 ?: b) s
7 i4 ^; h/ @9 |9 X, P
二、连续两个整数积的分解方法
+ Z* _- \! O& l7 N% H- j% V3 f
1、分解方法介绍
]5 O X9 Y8 a' V3 m$ ]$ M
例2: n=299=4*75-1
- G4 o# ^* g5 Y+ f9 U! O6 Q
25^2 ≡ 27 (mod 299) =>
4 q, X- W1 }2 M! J8 Y, d; \- O
25^2 ≡ 25+2 (mod 299) =>
" A R4 V$ G5 L' `# ^
25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>
! z) c& d, y. i: R+ C$ d
(25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
4 e/ w; w* ^, _4 ?4 S, y
23*26 ≡ 0 (mod 299)
6 h$ v T+ v3 X, F& @
(23,299)=23 (26,299)=13 299=13*23
- w' q4 U4 c" g8 k* L
3 {% r5 f% H5 d( Y) U# h
分解方法: 设n为奇合数, a^2 ≡ b (mod n) , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 ) , 则可得到:
3 j( W* M3 \! k( I1 i6 e
a^2 ≡ b (mod n) =>
, i& P7 x+ [+ F, \: O9 Q
a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n) =>
" P# P: n" Q8 B8 Q
(a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
/ G0 {3 n& z: r" |- |% \- l5 }
(a-(i+1),n)>1 (a+i , n)>1 即可分解n
/ x, `4 ]$ ~+ }9 ~
' z) ?. t% ]' y3 z0 w% _
2、分解方法的另一个解释
7 J. ?6 h# L- B4 {; D: V: E
设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n), 如果m=a, 则由(1-1)公式得:
3 [* E- a2 N6 i# @# a
(1/2 -a)^2 ≡ 1/4 +a^2-a (mod n) =>
1 w5 b8 c, \+ T% \3 U* p2 T
(1/2 -a)^2 ≡ 1/4 +b-a (mod n) (2-1)
- R* e2 R7 e; U* G
9 B; n7 g2 A5 H5 ~* P
① n=4k-1 , 2-1式得:
+ o# c, x* Z4 X4 A& E8 b) ~9 D; k' }
(2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n) (2-2)
: s: b$ [$ g4 E' p2 Z+ T1 `
① n=4k+1 , 2-1式得:
* \$ ~3 R" \$ m$ x. ~
(2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n) (2-3)
- G( q- H( j! P
) h) W. I: ^1 k* }2 {
从(2-1(式, 可知二次剩余的计算, 在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
0 T# U6 N0 B1 h) N0 l+ [
在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
4 `+ R! k( c" L& S* i0 f- c1 b
(150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) => 125^2 ≡ 77 (mod 299)
. x! Z% L* @1 ~, z
所以, a^2 ≡ b (mod n) ,如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
* f) E; m# a5 g
4 d6 D3 F. _- n1 i% C+ W) E
三、1/j (j >=3)的计算方法
( o9 Y( y& ^7 Q+ R, k( x6 g `3 H! V
上面的是计算 1/2, 即j=2, 如果j>2时, 有如下的1/j计算方法:
3 Q2 r2 K" H+ T! Q
(1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3) (3-1)
5 P3 s7 _9 v5 L; Q0 r
: l; y7 c9 Q6 r7 ?- f& K7 n1 _$ r
而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
( b( A2 W; Q4 ^' l' V9 f, m! m
1) 1/j 1+1/j 2+1/j ... t+1/j (t<j)
B1 p0 T2 J0 T% G. ?* `. S. @6 {
2) t-1/j ... 1-1/j 1/j 1+1/j ... t+1/j (t < j/2)
+ a: X6 y3 d; `, k( T B P
t+1/j= (1+tj)/j = m/j , m=1+tj
) T3 _" i/ y$ s' K/ B& z, `
4 R7 L0 G# H7 r, M1 ^( s. I, g% _
按m/j , (3-1)式变成:
7 u$ d4 _4 \8 g$ ]" t- ~
(m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2 (i≥ 1 ) (j ≥ 3) (3-2)
3 \. j$ _' {' v' h4 F
X# O# I6 Z1 l! J2 u5 e0 O
例3: n=299 \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299) 100^2 ≡ 133 (mod 299)
( f; A; ~& f3 m8 y4 g
(100-3)^2 ≡ 3^2-2+133 (mod 299) => 97^2 ≡ 140 (mod 299)
?# |2 M9 S e* [! M. H
(100+3)^2 ≡ 3^2+2+133 (mod 299) => 103^2 ≡ 144 (mod 299)
( d- x$ L8 m% e6 x6 v
1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299) 101^2 ≡ 35 (mod 299)
3 d# _ f5 b3 U5 l7 I4 O
(101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35 (mod 299) => 98^2 ≡ 36 (mod 299)
' g# f7 l- y# S6 p
(101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35 (mod 299) => 104^2 ≡ 52 (mod 299)
. X M, m, T7 w* L- \* A
1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299) 99^2 ≡ 233 (mod 299)
+ h' o0 v$ F! s' |$ Q
(99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233 (mod 299) => 96^2 ≡ 246 (mod 299)
4 o0 A# w: \! C) w
(101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233 (mod 299) => 102^2 ≡ 238 (mod 299)
0 j9 q# S- W1 u+ _( @* i5 R
按2+1/3也能得到相同结果,这里不在验证.
8 }5 n) `# n$ l" P
$ @$ ~0 Y/ q& w0 L( L3 s7 |: f0 ~
当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得 :
3 x: G1 o: n) N |
(m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2 (i ≥ 1) (j ≥ 3) (3-3)
- |0 w; w, Y. b) m+ Y/ y6 C" q2 j
更一般的公式: 当为 g/j g <j/2 , (g, j)=1, 这里就不再给出.
+ V$ k( I! f! k, O" ^$ K `( F2 I
& o, Z1 H' Y0 S B! A4 N/ `
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