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标题: 二次剩余值的关联计算(上) [打印本页]

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作者: songls    时间: 2023-11-15 20:10
标题: 二次剩余值的关联计算(上)
        二次剩余值的关联计算(上)

一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
: j9 [7 _9 a  T. J3 K   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

& _9 P- `. v9 p! Q    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
2 p+ _9 z  N8 {8 d" P" Z; u  I    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
7 a; P+ U/ L1 E1 _; u    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
, k  y8 s4 [& ^# `9 C    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
6 O: M5 X2 f! Z# l2 q$ _
  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.
/ e5 ]7 u5 i1 C
3 b, `9 C& u6 w+ m3 C  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
$ O( X% N. y8 y) a$ [   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
4 k1 v9 v4 @  ?: j$ ~   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
7 ~2 Y( K1 q7 {5 ]  .
) H# J1 u# k9 ?" k0 H! s   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
7 q% z4 l% [, B. L  I9 J% f( A5 w   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
! q) ]" H9 \3 d, e0 f    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
5 Q+ C' Z- Q, }( x    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
2 p8 Q* r. L! ^      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
% }7 u$ z% ]6 B: ~& h  Y      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
; z8 f# _' J. B" U& I' C5 z
- R0 u; g$ a8 t$ A! i( K1 }9 K 二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
+ B3 y0 H: a) k+ V0 f     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
$ b% r9 k6 W9 _1 R     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
9 k( l& W) E, V( i     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
$ w, ]8 k( m2 Z7 Y) K$ W     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
' `& f* D$ O# J5 l      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

   2、分解方法的另一个解释
6 T5 R! v- E* X/ p+ `    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
4 ]& l, x) S. [7 e6 ^     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
/ E0 h; h6 l, s; q( r2 [     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
) k9 I3 N4 M0 Q3 ]5 f' a/ x9 Y4 l     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

6 x  K* ]7 W/ E" `" m; H# j   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
8 ^2 b3 Y& R8 P3 Y( M( M   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
& c$ Q+ A$ R, ~; O. g    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
4 }' W) t: c( Z1 Z5 [
三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
% R; V; s* J( H! T( D* D. H' m  O4 {    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
; r! i+ q1 ?8 F, d$ J! Y  {6 X- O1 z3 ^) ]/ T
    按m/j , (3-1)式变成:
' \7 H9 H6 {: p% M/ y7 S    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)
1 X+ x% S/ J/ ?4 t6 Z& j
   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
2 u/ r1 M- J" ~1 ?* i7 S- t% a) R   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
% V' K% K& Z. Y- k# w   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
, Q( ?$ T  [5 Z  q   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
1 n4 q& M6 }+ f% b1 V   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
/ e1 A* v* |; A, |   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

6 f) J) ~0 S1 U: R   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
) K( V  b5 j$ `; ?* x/ D! w' ]5 v+ M  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
2 B0 k+ e5 T$ M) k- S# L& I( F

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