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标题: 一个乘法逆元的计算方法 [打印本页]

作者: songls    时间: 2023-12-10 20:02
标题: 一个乘法逆元的计算方法
以下给出一个求乘法逆元的方法,主要是使用除数的积来求逆,供大家参考,如有不足,欢迎大家批评指正。
( Q) t- X0 t+ x, _设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m5 A. N" G9 X3 L* t& ?
  a*r1≡q1 (mod n)
$ G2 h! w9 _- r/ c  ~+ f  q1*r2≡q2 (mod n)
+ t0 Q$ d+ Y1 V  q2*r3≡q3 (mod n)
6 ?; n/ B# i' I  z# L. A: U( e7 z4 b   .
* ?+ q$ D, E( A! j1 e& Z) q   .' V* V9 [! j9 B; ~- M
  .8 K# w. C& ^1 o9 Q
  qm-1*rm≡qm (mod n)
5 A0 w7 L  x" S1 J3 c3 t 上述等式相乘,得:# G9 G4 M2 x3 X6 i- C7 `4 {
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
6 I. r+ D  ]5 ^4 X. T( _- A  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n) 8 A( R5 }! Y* P) b9 |' R
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:  ^( C! A( ?- P5 C
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|3 {) s1 H* ^8 _! b) O  r
   则 qm=±10 b! _4 C! m% D, R  t' D, j# E# C
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
2 i1 R& d. Y9 Q3 \# Q  例 求28在299的逆
" ~( n/ E/ f% x$ z1 o     28*11≡9 (mod 299)% N# |, c0 w& ~* [* p) d
     9*33≡-2  (mod 299)) c6 x( F1 p: ^6 s2 ^. q9 B/ P
     -2*-150≡1 (mod 299)
9 J* J4 {/ q* {0 R! ?/ K3 P0 c- V  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
8 M. \2 D" \7 T+ m0 ~# s     28*-22≡-1 (mod 299)
1 [5 [  \* N' B) B" h- T  但该方法有个最大的问题,当(qi,n)>1时,该方法将无法继续往下计算逆。
) m7 q# V7 p# z- e 下面给出其中一个算法:- c3 C1 B  n( B% G, ]6 D: P
  1    输入a,n  3 M7 q. ^# \8 o2 C3 \* `
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
# N$ P& m, `' G  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
( ]( _9 ^$ R2 O+ s  4  q=r*a-n       ; 得到余数,该余数小于a/ _( {- ^! F4 y$ Q3 _9 A2 r
  5  resulte=(resulte*r)%n   6 b6 ^0 l8 o7 P# q: w1 ]
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte0 U9 X$ ~7 R. f
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;8 C8 |0 B. C$ T; [( [% W
  8  a=q" W: `* j$ z: C& \
  9  goto 3
4 d5 P! M: o4 @  ~% B
2 h: Q) z5 @; F  T

一个求乘法逆元的方法.pdf

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