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标题:
最小费用最大流问题
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-20 12:04
标题:
最小费用最大流问题
最小费用最大流问题是网络流问题的一种扩展，旨在在网络中找到一条从源点到汇点的流，使得最大流量的同时总费用最小。这个问题在实际应用中有许多场景，例如在网络设计、流量优化、运输规划等方面。
_) I: w5 k+ P8 g, n
问题可以形式化为一个带权有向图，其中每条边上有一个容量表示最大流量，还有一个费用表示单位流量通过该边所需的成本。目标是找到一条从源点到汇点的路径，使得流量最大化的同时总费用最小。
0 \9 J% j3 b! L: o( p! e% |
一种常见的解决方法是使用最短增广路径算法，其中 Dijkstra 算法或 Bellman-Ford 算法用于寻找最短路径。以下是一个简单的 MATLAB 代码示例，演示了最小费用最大流问题的解决：
& i& M, c2 f6 A, o# M: v
function [maxFlow, minCost] = minCostMaxFlow(capacity, cost, source, sink)
9 m2 O! g& W6 ?: L( h
n = size(capacity, 1);
5 E7 @& g3 t, O
7 S9 }" T t Z# [' h$ O' b
% 使用最短增广路径算法
1 o4 a6 E5 D) B% ^2 O
[path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
n7 E6 m/ ^0 O
& E( y- J; Z$ M! E* _' w
% 初始化流矩阵
6 C4 o: m3 M) @/ R" _5 m
flow = zeros(n, n);
! @. h/ R! N# J' Q! w3 z7 y3 _
' E' k9 r) y `
% 增广路径循环
% m9 x W- R% I" @4 ]# s( I# w
while ~isempty(path)
( C" b; b+ v- ?; u
% 寻找路径上的最小剩余容量
$ T5 @1 m0 X4 P- K
minCapacity = min(capacity(path(1:end-1), path(2:end)));
q# y' d1 z8 S' K9 a7 G
b6 S7 E* Q# a, _5 d
% 更新流矩阵和剩余容量
$ S }# \8 P. D% P
flow(path(1:end-1), path(2:end)) = flow(path(1:end-1), path(2:end)) + minCapacity;
2 L Z; o$ R5 c4 v: _9 F
capacity(path(1:end-1), path(2:end)) = capacity(path(1:end-1), path(2:end)) - minCapacity;
2 K+ [. ?2 q5 c( Q1 z
capacity(path(2:end), path(1:end-1)) = capacity(path(2:end), path(1:end-1)) + minCapacity;
6 @( j5 w- d& a; G8 v: s
+ i, @" @7 ~/ |1 l
% 重新寻找增广路径
% @) A, x+ d3 A/ B8 I2 ?
[path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink);
& h4 T& Z3 f+ ?* K! t% s9 \+ F8 F
end
3 ]* A; b7 t- o+ F2 m
! Q. m0 f1 M8 x; U# B; X; [6 y
% 计算总流量
; s5 j5 W1 K9 }7 l* @9 v
maxFlow = sum(flow(source,
);
- Y% Z0 b+ a& j: H
end
7 k F: a7 k! J- f
" R* ]6 ~ O1 w% L& [. [
function [path, minCost] = shortestAugmentingPath(capacity, cost, source, sink)
B$ i+ j! i: I" k
n = size(capacity, 1);
1 U2 R/ r, H, j' U
distance = inf(1, n);
+ m# v! |) J8 z+ ^0 Y& D" K2 |
parent = zeros(1, n);
$ j) s. Y# @2 u% N4 p6 T+ k
distance(source) = 0;
' L! `! s8 x+ B) }: }/ B
* B' H& ^& j* ^* s# T: }" ~
% 使用 Bellman-Ford 算法找到最短路径
b( n% e/ K. Q% g
for k = 1:n-1
- r% r& L6 C! r2 {8 `2 X2 N& E
for i = 1:n
I( N+ n% U5 [/ l$ z
for j = 1:n
2 V( G$ y$ O7 h+ _; S
if capacity(i, j) > 0 && distance(i) + cost(i, j) < distance(j)
' M' A2 `4 ^1 S4 ^: R! `0 Q
distance(j) = distance(i) + cost(i, j);
" @! D7 `+ l% c1 w3 g2 E
parent(j) = i;
3 t9 r2 [1 ?: T. o5 J: h1 K: M& w
end
$ ^. u2 h: J. d7 u/ P
end
7 ~, Z1 Q- p8 u7 J% l. P7 } j! Q
end
5 |5 \4 }1 R: Y5 r+ M& ?2 N
end
2 |; C' m/ j6 Y% M$ l( ~0 D
1 c8 ^, M% ]) A' Z$ c
% 通过 parent 数组构建增广路径
6 W' B9 s" }: H6 m- V3 l# Q
path = [];
4 i5 z! d* t( V0 @! y
current = sink;
3 K' [2 c3 m! `0 U% E0 ?$ {
while current ~= source
c" `8 M6 S1 o+ n* A; x
path = [parent(current), path];
( E; c/ K' O3 s& p/ A
current = parent(current);
1 K2 r6 N( J- L/ p# w
end
6 k1 G( T& P+ G: K' E/ h
& T- _4 B0 S3 }3 n" d3 H
if isempty(path)
( F8 J( h6 p9 I6 q! R4 {
minCost = inf;
, q k2 [2 i) L" f2 P
else
# H% Y! @4 O$ @! n; ~ m9 y8 X
% 计算增广路径上的最小费用
6 O. q: Y3 I5 S
minCost = min(cost(path(1:end-1), path(2:end)));
# }% |7 E6 Z( f7 ^3 K
end
7 o" K, z' E+ s5 Y; Q) U9 H {0 o t: k
end
' @/ ]0 a( @: X& E) H3 k
$ `# i' |. {, {- L" X
这个示例代码使用了 Bellman-Ford 算法找到最短路径，然后通过最小费用的边不断更新路径，直到找不到增广路径为止。请注意，这只是一个简单的示例，实际上，网络流问题中的最小费用最大流问题可能需要更复杂的算法，如 Zkw 算法或 Successive Shortest Path 算法。
* z2 Z; Y) d3 m. A2 e, D" k8 N; v
: I0 ?) f" d' k" b+ O9 S* e
# m$ w2 p6 d6 b) |( x3 K' }
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