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标题:
动态规划算法解决投资组合问题
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-22 11:11
标题:
动态规划算法解决投资组合问题
这段Matlab代码解决了一个投资组合问题,其中目标是在给定总金额的情况下,选择投资方案以最大化总收益。以下是对代码的详细解释:
7 w# N2 Q9 i4 n8 e; Q4 O
clear all
* }8 B( d7 E h6 T& l: \
clc
: i' ?! n; O- o; |$ f$ A
%max z=g1(x1)+g2(x2)+g3(x3)
6 w# l4 t, t6 v( ?" T$ u+ }# X4 `
%x1+x2+x3=n;0<=xi<=n
$ U: L! c, q2 y& o: Y
8 Q4 \ w7 q) l& V, ~" ^: |
%算法:突出阶段的动态规划
^4 x9 P3 b2 {0 p0 C; e( a9 u
%f1(x)=g1(x) 0<=x<=n
( r2 u0 Z8 @7 u9 L' D& A, t
%fi(x)=max{gi(y)+fi-1(x-y)} 0<=x<=n,0<=y<=n
$ I4 K$ [: [! X) `( N& }6 ]- F
* M1 p) V; N# q! }
%数据结构
: `+ P4 l* ^; I& A+ U3 |' D+ c: t2 D
n = 7; % 总金额(目标)
L: Q9 n4 U W8 [7 ]/ c$ [+ P% Q
m = 3; % 阶段数(年数)
* j- v S5 F T% Z& o5 n* _) k2 h
income = [0,0.11,0.13,0.15,0.21,0.24,0.30,0.35;
: t4 [. o2 z4 A% p8 m$ Q1 q
0,0.12,0.16,0.21,0.23,0.25,0.24,0.34;
9 a% p/ R P4 B/ `
0,0.08,0.12,0.20,0.24,0.26,0.30,0.35]; % 三个项目的收益 income(k, i) k阶段投资i-1的收益,每年的投资
+ h/ ]& c, a2 Z% C5 q q4 B# ]0 O
f = zeros(3, 8); % f(k, i) 当前投资i-1最大收益
/ T, b8 T# }0 j. a. k
a = zeros(3, 8); % a(i, j) 前i个工程投资j-1所获得最大利润时,给i项目的投资
5 i+ j6 A6 q( l: z5 T7 i1 T
f(1,
= income(1,
;
1 Q) c. c5 G+ j1 C8 h) R
a(1,
= [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];
6 T1 f# N$ t" U# z! I8 O Q0 w" _
/ Q# e+ K% \$ d2 k, h. H
% 动态规划
, ]8 C& }0 F: @5 z, b/ i
for k = 2:m % 阶段
+ c% `; S" ]& d8 P. v
for j = 0:n % 到本阶段为止总投资量
7 s- Q' b0 m+ x8 w* ~
for i = 0:j % 前一阶段投资量
7 }, ~* N9 |$ h) ?/ O
if f(k-1, i+1) + income(k, j-i+1) >= f(k, j+1)
, o' n' F" J( C
f(k, j+1) = f(k-1, i+1) + income(k, j-i+1);
2 P; p* F% ^! ^+ P; d, a
a(k, j+1) = j - i; % 本阶段投资量
5 K& x, p- _) x) G
end
% w0 o6 G8 x( E" F0 N0 N
end
; K4 o( o$ \# e
end
# w& D4 N/ \, s
end
8 s3 R6 X1 o' m: q
. r5 u! C% @$ Z% x& v5 A) S. O
% 输出结果
$ s0 B! n8 d- I8 b4 i4 o
f(m, n+1)
/ [ X9 a7 Z' } b
out = n+1;
' F# S [2 v3 S( M7 q0 Q
for i = m:-1:1
' W5 U; N) Q8 E& ^6 B
a(i, out)
6 I/ w. d8 [1 u5 A1 P
out = out - a(i, out);
; Y: k: v" W! }
end
$ Q! B# s0 S8 k8 {5 v U! Z& }# K
! \3 [' T% G5 u. c: a8 l" r
解释:
. \5 R9 l5 }9 {$ u
$ e. o+ s0 l6 N8 ^, Z) d2 A
1.数据结构:
& u' ?& w9 A' d. ~/ A
2.n 是总金额,表示问题中的目标。
, L: c" q# e5 F9 }; E( w9 k
3.m 是阶段数,表示投资的年数。
& [% h8 G* g& M& g. x
4.income 是一个矩阵,其中 income(k, i) 表示在第 k 阶段投资 i-1 的项目时的收益。例如,income(2, 3) 表示在第二年投资第三个项目时的收益。
" z$ x7 ?: G0 }7 [' z9 B7 \
5.初始化:
: e* T* n( Z/ v
6.f 是一个矩阵,其中 f(k, i) 表示在第 k 阶段中,总投资量为 i-1 时的最大收益。
" N) _; L2 T9 J. n6 {6 _. a1 o
7.a 是一个矩阵,其中 a(i, j) 表示在给定前 i 个项目的最大利润时,给第 i 个项目的投资。
; c( _7 v) ?% z2 v4 D
8.动态规划:
: t. ~$ m* h: C! j; E, ~! Q% {
9.使用三重循环,从第二个阶段开始(k = 2)逐步计算每个阶段和总投资量下的最大收益,并记录最佳投资组合。
% _" Y- I0 } e$ ~9 w
10.外循环 for k 遍历阶段。
: n+ x/ b: D" e+ X9 m3 F; v
11.中循环 for j 遍历到本阶段为止的总投资量。
+ ]+ W, j o9 k, h$ k' ]8 G
12.内循环 for i 遍历前一阶段的投资量。
8 G% x% j2 N: e
13.根据状态转移方程 fi(x) = max{gi(y) + fi-1(x-y)} 更新 f 和 a。
8 j3 _9 f" O; \: t7 |4 _
14.输出结果:
$ r8 J! [7 Z; |2 b) t
15.打印最终的最大收益 f(m, n+1),即在所有阶段结束时的最大总收益。
2 i* i6 v2 ?( u* i1 O1 Y, N
16.逆序追溯每个阶段的投资量,打印每个项目的投资量。这段代码是一个动态规划算法,解决了一个投资组合问题。问题的目标是在给定总金额的情况下,选择投资方案以最大化总收益。以下是代码的详细解释:
$ {8 g l- J) x% z5 k% \3 F5 Q
17.数据结构和初始化:
# T+ ^2 F' w6 z' g; \' N
18.n 表示总金额,m 表示阶段数,income 是一个矩阵,表示每个阶段投资每个项目所得的收益。
0 ^5 P( c% }7 r3 [+ Y7 Y
19.f 是一个矩阵,f(k, i) 表示在第 k 阶段中,总投资量为 i-1 时的最大收益。
% V `/ F9 H( r5 Z Z: P: _ a
20.a 是一个矩阵,a(i, j) 表示在给定前 i 个项目的最大利润时,给第 i 个项目的投资。
) Z+ R0 q4 y ^ ]9 |( G
21.初始条件设置为第一阶段的投资和收益。
2 ]' `; O9 W" `' D# A- y
22.动态规划过程:
# j2 X3 d S: o- g; `. F: ]) P
23.使用三层嵌套循环,从第二个阶段开始逐步计算每个阶段和总投资量下的最大收益,并记录最佳投资组合。
* D1 Q& ~$ b* I, O
24.外层循环 for k 遍历阶段。
# [1 v" r( U* D: U* A7 W, Q
25.中层循环 for j 遍历到本阶段为止的总投资量。
. y# _* ?$ M, I% s) f
26.内层循环 for i 遍历前一阶段的投资量。
5 e( v9 {9 W1 O1 @( z7 S
27.根据状态转移方程 fi(x) = max{gi(y) + fi-1(x-y)} 更新 f 和 a。
1 e3 I. h( W7 }/ o t
28.输出结果:
9 l' V" y S9 Z. b! H- k i
29.打印最终的最大收益 f(m, n+1),即在所有阶段结束时的最大总收益。
) E) z1 H4 o. T0 Q4 e7 w5 t
30.通过逆序追溯每个阶段的投资量,找到最佳的投资组合。
+ \3 w2 g! @5 o; z, a
31.输出每个阶段选择的投资量。
1 l# c- z8 N6 D% B" O0 ~
1 k$ m# A' H9 S' m
这个算法通过动态规划的思想,在每个阶段选择最优的投资方案,逐步更新状态,最终得到全局最优解。
; l0 D8 F9 R$ L, E+ l3 o& ?
5 n! V/ k. z; M( N0 s- x$ e
4 m* \) { m }; P, b1 i9 W
( {* r8 q$ I+ u: a4 c6 U
& V) Z9 C/ p9 ]/ L1 v5 B2 Q
6 N, L" `- ~* d+ J. x2 f X0 ~
phase.m
2023-12-22 11:11 上传
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