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标题: 定步长四阶经典公式 解决数值积分 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-23 16:43
标题: 定步长四阶经典公式 解决数值积分
"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
3 q, l7 t2 T% o* J' P定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程1 l' `  D6 P) i2 d/ {+ c
[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
' K' d* K. z$ B  r, Z这个方法的迭代公式如下：- W9 }2 d( b9 k
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]2 A8 f3 `& D/ D( A" S
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]% n8 ?: {6 G& `/ @6 M
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]/ F" F+ I7 @. W& }& T* v
[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
6 f- r+ o3 }! k+ ~- m. b[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
/ Z( ~, H& O! `: v4 }/ O/ x其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。; W, Q7 l6 C: ?
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。
  1. %四阶经典公式,微分方程为f.m, Q0 U5 x3 c9 v' \( Y" Z

  2. 9 H- p5 {4 q2 {
  3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)$ v: x! |5 K: s
  4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');4 N  |6 q% u& m" c  s7 |2 [
  5.    disp('function z=f(x,y)');
    ; Q! U4 L1 k/ N$ S9 x2 D% \  K( z3 M
  6.    disp('z=y-2*x/y;');! \8 O/ y+ `# y! H- c+ u5 `+ K5 T
  7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');% V; H# e0 X) B! N. S! @* Q0 G1 Y
  8. end
    5 a* u8 R* y4 j6 v  {1 C

  9. 6 W& _% U/ m' P7 m
  10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');3 J9 e7 A& u7 p
  11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');/ k9 |1 f3 h/ c' G4 {. v& g! @
  12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
      S5 ~0 P2 x# x# c% y
  13. h=input('请输入求解步长h=');& b1 M) Z0 ~4 i

  14. ; g. [; j1 u9 s% B$ x( s* B
  15. X=X1;
    ' P% J9 d! M; [
  16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    3 x. h$ j& ?: E3 \; e: ~
  17. n=0;                                                         %节点序号变量置零: h8 |3 c6 k, u

  18. 2 E) N) Z3 U) y* |. v
  19. while X<=Xn-h8 V) `  g3 i6 z2 d( s6 V' R
  20.     K1=f(X,Y);
    0 a8 j$ C* n3 M0 l/ T* P
  21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);1 d3 @2 g+ g; l) x7 r  X' w
  22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    & z+ }( u3 ^: U0 N& q
  23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);
    / [) e& b* }6 j
  24.     X=X+h;
    / B4 z5 M. B( o. s; D4 D
  25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
    ' p! I+ X" b( g4 M% _& a
  26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
    6 p- I8 m# \6 }5 n) q- ?7 H
  27. 2 _3 u7 q7 h  v8 Y* H' B/ g
  28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);$ ?1 K4 P* I, N  J/ M/ X
  29.     plot(X,Y,'o')% T9 s( k4 x8 ^( I
  30.     hold on$ F# r9 R$ y! |
  31. end
复制代码
  1. function z=f(x,y); x( X* d5 t- S6 O0 n! E( B
  2. z=y-2*x/y;
复制代码
, D6 w' E; ~7 }, q1 c

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