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标题: 定步长四阶经典公式 解决数值积分 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-23 16:43
标题: 定步长四阶经典公式 解决数值积分
"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。& v- }4 {4 c3 u. g: C
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
7 E) [+ g* i' g/ s0 W0 j[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]: D  p% R6 X/ |  u4 `9 U
这个方法的迭代公式如下：5 u- {6 C: o# W4 X9 n) L5 h
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
) y7 z/ y  d! c  X/ n! Q: k/ h" {, ?[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
& a# \* E0 s- T2 I+ t* q& p[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]6 U7 R2 i! X# i7 t7 G
[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]* k, @  J1 q/ s/ W4 j
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
; Y7 y) o& D& J$ E其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。9 l6 W9 c1 W/ H, b/ `: S; G
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。
  1. %四阶经典公式,微分方程为f.m) ~, W8 W2 S7 G

  2. 5 Q2 f$ b/ T4 S- |5 `
  3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)( J. ?- ?  J6 w. N2 ?7 o2 F
  4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');
    # m! r5 e2 s1 c+ V  o$ |
  5.    disp('function z=f(x,y)');0 y  G" e1 l& ?3 q9 m( B) N
  6.    disp('z=y-2*x/y;');
    9 R1 j3 e, w+ g
  7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');
    $ N0 c4 i. F2 N" W
  8. end
    ) d( n5 f9 @2 A2 l/ l$ U
  9. * K  h6 l0 T3 M6 _& o. T
  10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    / I# m6 Y" m, l) u
  11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');# _: E" X, H! E6 ^
  12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');% V! O) [" C. m  z% j
  13. h=input('请输入求解步长h=');
    2 C5 {* M0 V* s
  14. , R" {3 ~% A  o: B/ w& ~* z
  15. X=X1;
    5 k, \3 ^2 c" F- ^( `% q
  16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    " t8 G$ N8 ^2 N8 V
  17. n=0;                                                         %节点序号变量置零8 k  R- u" H0 M6 D

  18. 4 i- _1 L5 e* i' I
  19. while X<=Xn-h
    7 c5 f& j+ ]8 _& y- K' O: a: k! E
  20.     K1=f(X,Y);- {: w8 I. q3 R9 v
  21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);
    * F% q  w2 Z3 A( A
  22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    + O+ {. ]- Z4 B& }6 r
  23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);
    5 R* ^4 C, ]" t8 U) A
  24.     X=X+h;0 c& o' V$ ~7 B, p7 q3 e2 c
  25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式; X+ U  Z0 E9 o
  26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
      S) p$ o) X7 L4 f* y
  27.   G- `2 Z% X. q
  28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);& b2 j8 c7 S9 v' `4 T3 f# W
  29.     plot(X,Y,'o')& e9 w# c3 Q3 L+ F( R! Q3 L
  30.     hold on
    7 ~: |: }) l! M' B# t* E
  31. end
复制代码
  1. function z=f(x,y)
    2 e; J* `- z) H" G6 i# p
  2. z=y-2*x/y;
复制代码

% L7 ~; V' M( U

定步长四阶经典公式.rar

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