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标题: 定步长四阶经典公式 解决数值积分 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-23 16:43
标题: 定步长四阶经典公式 解决数值积分
"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。# Z9 n' T7 F1 I
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
% d% q. y9 Q: m( ^$ b5 |[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]' J% n3 Q: c5 c8 `3 n9 m
这个方法的迭代公式如下：
, j/ c: ]; r9 |* u8 o7 X1 x[k1 = h \cdot f(tn, yn)]. k: j: r% Q# A+ s3 o% c* E. C
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]$ g0 S4 G; u! y+ m7 n  ~
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]1 D- f0 s0 M  G! m( O' N7 I
[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]( X+ C' C9 I, k; q, {& o3 h
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]9 C5 m# o4 u) a- r6 @# v2 I
其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
( k  y) v# m0 t( b4 M* a这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。
  1. %四阶经典公式,微分方程为f.m/ }/ t/ U0 T$ r6 W( J3 c# a/ q
  2. 8 e! @$ z0 ?7 F. j
  3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)  X9 }* R2 ^2 w
  4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');
    , L  s* y2 r5 E7 J- L
  5.    disp('function z=f(x,y)');8 }5 b% b! g  J8 n( C$ H9 O
  6.    disp('z=y-2*x/y;');
    8 f8 [+ y/ k7 U( O
  7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');
    3 o2 E* v( f5 {$ a6 l
  8. end 2 A# l/ w; ~5 W1 o) J8 ]1 d/ P  o

  9. : b% L! Z! P! T5 ]9 N2 G
  10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    , y% M! C7 Y) @' ?
  11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');
    $ |1 T) p# a9 N+ I
  12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
    % `* x$ A& W- k* O0 M
  13. h=input('请输入求解步长h=');
    $ E+ n" I% i! x6 m+ x# U, z
  14. 2 P0 ~  E$ W: h9 t: T  U
  15. X=X1;
    0 \* Y! S( T" U# X) o
  16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    # e: ?( h8 T) r3 E6 }
  17. n=0;                                                         %节点序号变量置零" F) _! p# @% D4 U! a

  18. 5 O/ n2 d9 C- Q% M* E. d
  19. while X<=Xn-h
    ' z4 g8 w- U; y9 Q0 H! m
  20.     K1=f(X,Y);
    8 n; G7 ]. Z5 \7 m& A
  21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);# K0 `9 d8 o( n& [8 u, C1 n
  22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    ; P* X/ \# [4 I% r2 C
  23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);
    " H" M* ?1 k  s' @$ u* x
  24.     X=X+h;" O# ~! T7 v+ F  F- I, w
  25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式% @% g9 N: y; o' [! j. ^3 p: D
  26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1: ^7 {1 D. c# {5 _1 O: m

  27. + y* S2 |/ D. L, f2 w5 j$ `; N
  28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);* R! K: n% e5 t
  29.     plot(X,Y,'o')
    ! B! i6 M" l7 H
  30.     hold on
    9 W/ k& R# J4 x8 }! H
  31. end
复制代码
  1. function z=f(x,y)
    : p" P- O* R2 X5 ]5 l* b2 w8 q4 E9 n
  2. z=y-2*x/y;
复制代码

5 M+ N& c- ?1 I" K" H

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