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标题: 自适应步长的龙格库塔算法 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-23 19:50
标题: 自适应步长的龙格库塔算法
这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。3 Q6 @4 Q3 y) p1 d0 e) L
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
0 F; w3 ]" @/ G0 w; R. i+ q函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
' V  s/ M% W1 L% T2 [- \函数的主要步骤如下：
6 L; K& L, D3 T7 y; j" T% ]& D% x) a0 e% o) P4 p6 B
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。+ R: N# `3 U. R" P0 m4 M
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。0 s: S7 \* ~! {- r6 [/ l1 G+ }3 ~5 L
3.将步长 h 更新为 h/2。
' p6 E$ U7 ]& j! z" Q- k4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。, O  ]/ j+ x% Z# @* r  i
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
* I4 z4 }8 U& ?$ h% C) M% m' d1 k, R* f
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。
  1. %half.m 该函数用来调整自适应$ E# C3 |" t( p, W2 E/ R( s  }
  2. function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h) : i7 d" ]: E/ ~1 T6 x4 _
  3. u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
    1 @( c/ C8 @" y2 H$ C, l  T% T' X
  4. v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用) B- n3 t3 z* w3 L  b# O

  5. 4 ?% f/ }( U1 u% k5 a
  6. %用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
    3 K- d8 b$ g8 M4 O/ b9 @
  7. k1=f(x1,y1);' i$ g2 k2 Y# f! |  X& L' _
  8. k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);6 C* E4 e  ?* \! U$ f
  9. k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
    ; [$ h' ^  t6 ~+ m7 A$ u7 w6 _
  10. k4=f(x1+h,y1+h*k3);9 j' O; `) \  ^9 `0 B
  11. y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;, a6 D% H9 U1 I6 Y1 [9 \

  12. " u8 [5 }# |; ^$ G0 Q8 g( }7 ~
  13. %四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
    3 N# N5 r  n6 J  ]% a5 P
  14. h=h/2;! q8 u: h2 C4 ?+ I

  15. 3 D  }- Y% r3 q+ F4 V7 G7 I6 P
  16. for i=1:2
    ' T' A; [$ o: k# d* E
  17. k1=f(u1,v1);
    - ?' y9 J% W# g& a! t4 p
  18. k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);: Q7 a, Z% g4 i$ r3 D! U
  19. k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
    0 u- V6 t# ^8 a5 p- L
  20. k4=f(u1+h,v1+h*k3);
    ; V+ o& t+ T0 ]. V# N4 N0 f
  21. v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;. D* I7 m* r9 q
  22. u2=u1+h;
    ; B, @+ h; b( p; I# f" R
  23. u1=u2;
    5 M" N" s9 L  `6 f  q- ^- a0 @4 @
  24. v1=v2;- |3 Y4 h4 Y; k% s) T5 Q- H3 m% d
  25. end4 q' M+ }6 q7 ~6 G" d1 A8 j' d& ]

  26. 6 [8 w9 i$ d% c# [
  27. err=abs(y2-v2)
    0 V  b8 g3 U9 z. e" \
  28. / U  s! F$ u6 a
复制代码

" P0 W/ `5 U3 U, W0 N

自适应变步长的龙格库塔法.rar

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