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自适应步长的龙格库塔算法
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-23 19:50
标题:
自适应步长的龙格库塔算法
这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
O% L# i9 R" U% k9 x' X% M
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
" v( L7 m0 U8 n. P0 H
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
. o p* }8 e2 x: x
函数的主要步骤如下：
+ D4 j/ m: l( R, M: t+ E
& j( h3 Q: Y. s$ L" M+ |0 n, n, z- Z6 T$ o
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
9 V/ v9 C! U5 f; O1 n4 H( r9 M
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
' d- K. `4 ?) Y
3.将步长 h 更新为 h/2。
0 c' y8 c* D8 ?8 X/ s2 h
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
% g1 q% B: M. ?& _; T8 W' |
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
$ H3 u* v% I3 c7 M% G- a- [7 L
! G# f& {9 w W, ?. N
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。
%half.m 该函数用来调整自适应
# J9 `- ^, I8 u# p8 x7 i
function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
' N' X+ u# Y- {" j
u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
) ^. t7 }( e8 ?. r$ s/ {6 k
v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
% N. z' ]* V0 l! Y9 S$ S n3 m
4 U7 y$ \; m% |5 |- |
%用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
3 F+ I+ ]0 Z$ J
k1=f(x1,y1);
7 ?, h- t# l7 b6 D% x q
k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
4 k+ D! a/ I K* Q. ^
k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
. O" p% U3 n. m3 C& J
k4=f(x1+h,y1+h*k3);
. ^6 G) {: Z# M% W" _
y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
, D7 ^3 [$ x h+ X* e) @. I
" D, R9 o2 K! A
%四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
5 z1 s, |% r; F! }
h=h/2;
. ]3 Z) d1 b B! l
; t/ G8 J: j) \; T
for i=1:2
/ H" p1 n; O) ^ s
k1=f(u1,v1);
5 \$ r9 R) M# n9 c9 h
k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
5 z2 T6 |, ^/ S: y- L' u7 c0 ]
k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
) s1 [( ?( [# U0 e/ q8 [
k4=f(u1+h,v1+h*k3);
2 r$ O4 [' k0 c( a0 Q5 s
v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
* e8 N. Q" k; |( O+ o' v' l5 `3 n
u2=u1+h;
9 @! F2 F# q4 i' q
u1=u2;
: W2 H: M0 F. U$ ^' D; ]* z3 J
v1=v2;
9 ~7 u$ z0 c/ d" n3 g7 p* ~! a. e
end
1 {/ s! Q% \3 a$ a2 g% v5 s. D: f. d
7 n& C/ j7 A$ R8 ]: [
err=abs(y2-v2)
+ e7 T4 j1 ^- \$ I. @# R
4 q J/ R# e4 J% U, ~2 w! f) ?
复制代码
, n& ]4 ~( N3 l" F. E
自适应变步长的龙格库塔法.rar
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