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自适应步长的龙格库塔算法
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-23 19:50
标题:
自适应步长的龙格库塔算法
这是一个 MATLAB 函数，名为 half，用于执行自适应步长的四阶Runge-Kutta方法。
7 ^9 D C/ U; z) C( U
函数的输入参数为：起始点 (x1, y1)，当前步长 h。
+ ?0 g. F& L$ a! Z1 n
函数的输出参数为：更新后的节点 (u2, v2)，新的步长 h，以及误差 err。
4 x/ c% Z Y8 H
函数的主要步骤如下：
+ J. G& t1 @: S' n2 F+ V
. S6 ?& c$ C! r- m, }; g
1.将 (x1, y1) 备份到 (u1, v1)，以便在计算步长为 h/2 时使用。
. R6 s5 O) A2 M7 q
2.使用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h 时的数值解 y2。
2 N% }. M* ? C6 S+ N
3.将步长 h 更新为 h/2。
0 X6 _# t: r2 o4 N
4.利用四阶Runge-Kutta方法计算步长为 h/2 时的数值解，进行两步迭代，得到新的节点 (u2, v2)。
* e5 P k% f- b% F
5.计算当前步长 h 时的数值解与步长为 h/2 时的数值解之间的误差 err。
- K- o {' w% X6 ^. \
0 |; j5 w/ A G# O' ~1 }
这个函数似乎被设计用于一个自适应步长的数值积分，通过不断调整步长以保持数值解的精度。函数使用四阶Runge-Kutta方法，其中步长 h 随着迭代逐渐减小，以提高数值解的精度。
%half.m 该函数用来调整自适应
$ S) g4 H7 i8 o' }& ~% T
function [u2,v2,h,err]=half(x1,y1,h)
( {& @8 G R/ @) C6 b# \6 W4 r
u1=x1;%u1为x1的备份，供步长为h/2时计算下一个节点时使用
0 D2 x# D# v. L& g' Q- Z
v1=y1;%v1为y1的备份，供步长为h/2时计算下一节点数值解时使用
7 n% c d0 a- x4 O7 Q: t
" u% w2 Z/ z+ J
%用四阶经典公式计算步长为h时第1个节点处的数值解
2 J) b& L6 z, Y& g
k1=f(x1,y1);
% V# Q, k- j4 O4 W1 I/ U' ^
k2=f(x1+h/2,y1+h*k1/2);
) J9 Q$ d0 O$ ]0 o( T
k3=f(x1+h/2,y1+h*k2/2);
: C3 C$ v" y9 t+ H, k6 T( P
k4=f(x1+h,y1+h*k3);
/ W8 ^2 L9 P1 T+ z
y2=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
- Q* ~5 \1 U" O5 u# n( m
: C' }* ]4 T: K; O# b* N3 S
%四阶经典公式计算步长为h/2时的第一个节点处的数值解
7 a: p9 {# g' v. O
h=h/2;
) Q1 ]; A3 @/ k4 Q/ _6 i4 c& R
! n: `8 d$ J4 ?# u( V* ]
for i=1:2
4 C6 q/ @2 J& S3 G( ]6 I' m4 U% `+ U
k1=f(u1,v1);
W9 t0 L# v0 c h' K, y; O, V, u
k2=f(u1+h/2,v1+h*k1/2);
' f& V2 O5 r4 t0 |2 I4 S
k3=f(u1+h/2,v1+h*k2/2);
: y9 ]0 }0 a8 [
k4=f(u1+h,v1+h*k3);
' I1 E5 c7 D$ p
v2=v1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
2 p) t8 S2 J; c( o
u2=u1+h;
* m1 e. S+ e. L: s6 e6 D
u1=u2;
" x9 H. C; C* I) O
v1=v2;
$ }6 K$ {7 c) Q
end
) m% E+ j% k& Y! u0 D
9 ^* z. l) |' S# P
err=abs(y2-v2)
: k- {/ |! Q B4 _! z- `, `6 f
5 h5 @ M' ]# p
复制代码
4 W9 ~* e; p! {% U) ^& c& L) k
自适应变步长的龙格库塔法.rar
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