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标题: matlab 实现共轭梯度法 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-30 19:54
标题: matlab 实现共轭梯度法
这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。$ C; l9 G" p% y" K
以下是代码的一些关键部分的解释：
) v) j$ N2 T4 U4 t+ D, ?
5 v8 D  b" s4 n" R5 a) b6 i, I1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
' D; g, Y$ s  Y1 Z! D# z8 g2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
* T, A; @! V; W8 G  P0 K3.(D)：(A) 的对角矩阵。( E( k; C: ^; ?/ p2 q' `- @
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
" z3 i6 |( l- O2 ?7 `6 C5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。) P/ Q% J% @: H
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
5 k* A/ [% q+ V! I1 C7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
: I+ ^- H- B2 z7 r; I/ }8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。: k! V8 T* T! Q
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
9 D  ?5 q! I7 B10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
1 R/ q, Z5 f8 A11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。
  1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
    ! S5 h8 [7 f. F5 r
  2. b=[2,-1,-1,2]';& S  U( N- ~6 G& j, G  M
  3. n=length(b);
    2 s( U3 U# D" V0 v
  4. w=10;
    2 |' I7 i7 ]$ {# k. T4 e& U
  5. D=diag(diag(A));- o) q- x2 L! J$ N% S$ Y. w  ], g
  6. CL=-triu(A,1);
    3 s+ j! R; W' W8 c2 P# h0 j
  7. CLZ=CL';
    4 ~+ l8 h6 u; n
  8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
    5 h+ ~. U: R) D# O
  9. M=L*L';7 ]2 J5 J! T+ H' L! e
  10. C=inv(D)*CL;
    6 ?( Q- l4 n2 h$ {* r9 h4 l" M
  11. u=[2,3,4,5]';
    ' d! q* q) I% r0 S6 u
  12. g=inv(L)*b;9 b$ ~9 E% ?# {. x5 N4 Y% Y3 F5 H7 W
  13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    5 j; @5 [9 A5 K( b  G  l; |; V
  14. v=L'*u;/ A" l1 b; C2 E( p, }+ H* r; [
  15. rw=g-B*v;
    9 Q, r; @4 }8 e
  16. r=L*rw;
    % O% X/ e$ q) r! W
  17. p=inv(M)*r;
    ( s: r7 C( g2 _; q' b  y
  18. z=p;
    % l) L6 s2 I/ l) W: s% ^
  19. q=A*p;2 O2 v" B; a4 N( l$ x2 A- k' R
  20. for i=1:50. u; \6 @2 H5 h8 ]& Y$ J1 j) J
  21.     af=r'*z/(p'*q);
    7 i9 f3 P$ a" p) G
  22.     u=u+af*p
    - }" c0 X1 {( j  y9 b+ R
  23.     r1=r-af*q;5 Z4 c6 P2 M; g
  24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    ; q3 U! e+ Q. n+ B/ y' {% X2 K
  25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;0 k! k0 p) r2 R9 }) X
  26.     bt=r1'*z1/(r'*z);  @# {+ g! R6 ^) t* H6 q
  27.     p=z1+bt*p;6 t8 A. x. o9 ]  n& C
  28.     q=A*p;
    ( I( f1 `) U* N' _. n! b
  29. end
    - ?" I& r- p/ t) R8 @, G
  30.   % Boundary condition.' s& o2 C/ i- \2 L6 z) l: e8 t
  31. % zw(:,1) = 0;
    9 B/ Z; @. @9 M/ u4 A7 ^% k4 s
  32.   %zw(:,n) = 0;
    2 i. f. X8 Z' l8 B) ^$ o  `
  33.   %z(:,1) = 0;
    * b/ E7 }' r( u4 i1 |& c! ~
  34.   %z(:,n) = 0;" ^  F0 ~% f- u  ]% M. }- ]
  35.   %for i=2:105 j* I9 @$ ]) K8 p( _
  36.    %   for j=2:10& r+ `$ Y; f. \) g$ H6 N& S. G
  37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*
复制代码
。+ A' `, W" K" `' M% M9 ]$ ?7 v

8 z; X' z4 P1 @
  D) R- _( s+ o6 ^4 d1 g

cgls.m

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