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标题: matlab 实现共轭梯度法 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-30 19:54
标题: matlab 实现共轭梯度法
这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。. f$ f5 V# [# o& Y
以下是代码的一些关键部分的解释：5 Q$ I8 p- f# a$ [
" @1 W0 j+ }5 W$ [& ?& m6 [
1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
' D7 A% s- g* T  e9 g7 o2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
4 a3 U1 E* Z" x; l/ Y" C% k3.(D)：(A) 的对角矩阵。
2 ~; L" b( k0 V4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。$ F$ i" g( [; T' }  y* i' w
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。3 r* y1 D( {1 W3 j: h' F. T
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。5 i& ]5 i; r8 y: R+ t6 b# N- E1 Z
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。$ a5 h% z) e2 @
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。) H- i  e9 @: i8 P! b
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
3 }* X! u6 w; f% ~10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。" f3 ?+ _. G) y
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。
  1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
    : v. k, b; z# R' Z& \7 Y, q
  2. b=[2,-1,-1,2]';6 {, G4 m, W0 R- q2 J
  3. n=length(b);/ y, X1 v) J" x% d5 Y
  4. w=10;1 m) [1 b. Y* i) C2 ^, g
  5. D=diag(diag(A));/ g' p8 [1 c' Y1 c
  6. CL=-triu(A,1);4 z  J2 K  b0 K, d
  7. CLZ=CL';
    ( y2 m9 ]6 G/ i4 H0 m
  8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
    & m1 B  p! p5 \7 ]/ x% X' E8 G
  9. M=L*L';" O) j5 A; B4 T4 w' U6 ]
  10. C=inv(D)*CL;9 v# _" q, w* x1 B
  11. u=[2,3,4,5]';
    6 K6 Q1 N  O9 f: s9 L" T" f# x
  12. g=inv(L)*b;
    . C( H( r) z: h$ S3 z) a
  13. B=inv(L)*A*inv(L)';  d8 [/ h& S: l4 w3 M
  14. v=L'*u;
    * W) L. @8 S4 x- C
  15. rw=g-B*v;
    , F; s( ]3 P  S  w
  16. r=L*rw;4 R3 y" p; A/ `: l
  17. p=inv(M)*r;
    8 b$ k- W( m# q1 C, v' h
  18. z=p;+ b. s- q; n# g5 A, u
  19. q=A*p;0 F! X5 |  g' f7 C
  20. for i=1:50
    * H1 c; _7 s* m6 o, g! p' p
  21.     af=r'*z/(p'*q);5 i/ [3 W: A7 R( Q5 L" g
  22.     u=u+af*p* m' [2 z% U/ q' }
  23.     r1=r-af*q;
    , {- V  O1 s/ Z6 W' R4 _4 i
  24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);% I9 a: ], J  ^4 F; ^
  25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    / X4 O( W- J/ x. m) t6 D4 Y* ~
  26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
      M' v5 b, w- v9 C9 f6 e
  27.     p=z1+bt*p;
    / G- W4 v- C2 b+ p/ e4 O0 {/ i5 {
  28.     q=A*p;
    3 q  C; X  i! @! x, Y2 d
  29. end
    7 e# t0 W# g% E9 @
  30.   % Boundary condition.
    ; v2 P) |# A5 ^# Q$ K! j8 t
  31. % zw(:,1) = 0;# J4 Y1 a5 b3 _$ Y2 y0 j  D
  32.   %zw(:,n) = 0;& M2 u1 S. \& A2 G7 V
  33.   %z(:,1) = 0;
    - O9 G9 i/ q- x4 Q) y: v
  34.   %z(:,n) = 0;5 w& o6 E# a( K* Q
  35.   %for i=2:104 ^) r% O: J6 `( w
  36.    %   for j=2:10& N2 \$ l( d# r5 i) D0 Z
  37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*
复制代码
。, n8 ?' A# z7 M, @) m7 \
) {; n) t) B$ Q) S- h" S1 B
% e) U8 {  \4 I: o( a( K, K7 K

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