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标题: matlab 实现共轭梯度法 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-30 19:54
标题: matlab 实现共轭梯度法
这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
, S) I3 x" ^* T" F7 ?以下是代码的一些关键部分的解释：4 g7 [3 w. i9 |' V" {$ |

5 d8 ?0 A% R& q# S, [/ F1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。% K, A$ m4 i/ a# m# n
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
/ @8 v: c7 v) M- @# |) i5 \; a& F3.(D)：(A) 的对角矩阵。, }% G2 N5 ]* ?; B& x
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。$ ^. M: F9 ]0 L) h' e
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。/ W* f" Q! R( J" X8 u# H
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。9 i& T3 \4 Z+ R; h0 [+ ?2 u9 ?$ v
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
" [/ x3 u4 E( p+ F7 f" ^# g8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。; o7 ~6 Y/ ?6 M  Z
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
" y+ l7 n" B  j& t10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
2 j9 m9 p" w" c4 Q11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。
  1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
    0 j: h- g9 _; x
  2. b=[2,-1,-1,2]';
    ( s' L1 ~$ |) H8 [' n+ y  a
  3. n=length(b);$ D$ r1 q7 r% c% F, d% ]4 F% M
  4. w=10;
    . v/ [9 k( z/ B  W0 y  b
  5. D=diag(diag(A));9 _* ]2 h& }6 X( g
  6. CL=-triu(A,1);6 q1 v2 {  u7 ~( S9 j& _" Q
  7. CLZ=CL';
    : G* i8 S: K4 c: [. o2 g* I: b
  8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));5 P& @- U: @, j2 g4 L
  9. M=L*L';" y5 Z  N: c/ i, p9 f
  10. C=inv(D)*CL;9 L/ @. w' v0 }4 z6 @& E) M
  11. u=[2,3,4,5]';
    # X# U; k9 s3 @
  12. g=inv(L)*b;
    ' K$ g: S5 C3 t2 F) Q  D: a
  13. B=inv(L)*A*inv(L)';5 d0 n, j  y3 R# x' u8 y* b% Z
  14. v=L'*u;
    1 g6 w" ^" ^' K& s) W) t
  15. rw=g-B*v;
    * B5 ^1 [& o, U2 B  c, b
  16. r=L*rw;
    ' a, H/ `6 f! E: J/ s( I
  17. p=inv(M)*r;
    9 n: l! _. o; |3 O  v4 @
  18. z=p;
    / ?; q( `5 o, n1 W3 i& ?
  19. q=A*p;
    % Z: D" X+ F* I1 n) G* H
  20. for i=1:50( r: B2 j' P" q. o: u" j
  21.     af=r'*z/(p'*q);* w. i, i9 |4 |
  22.     u=u+af*p1 L: E; e/ g1 G% J
  23.     r1=r-af*q;4 I: k  {) x3 ?: R9 ~
  24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    # N0 @, r9 E9 f6 b8 t
  25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    ! u. R5 A) o3 N( I: j
  26.     bt=r1'*z1/(r'*z);* C  T# h9 C, ?" o# }+ }5 c! P7 l
  27.     p=z1+bt*p;
    " H8 d7 Q( `4 F' @  l  T
  28.     q=A*p;
    ; v: K5 ^% i' z! }( r
  29. end! U- K6 m. L7 s8 g
  30.   % Boundary condition.5 _2 e' k4 n4 A0 N- d4 x( {8 u1 {
  31. % zw(:,1) = 0;, a7 T/ J4 O% h/ g- h& D
  32.   %zw(:,n) = 0;# T1 \1 |7 s0 b, R
  33.   %z(:,1) = 0;
    9 x& J! l: i6 n
  34.   %z(:,n) = 0;. l7 W- G3 e- G. o) W
  35.   %for i=2:10
      f. V/ D  n$ n" i$ n  L
  36.    %   for j=2:10
    + u! j7 E4 J& y# w+ y
  37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*
复制代码
。. g7 Q0 ~0 A* x6 T; u6 P7 z

1 {/ Y0 d9 Z  g, c# b! H! Y8 _- B7 T, M6 |

cgls.m

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