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标题: matlab实现解决空间上的温度分布 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-30 19:57
标题: matlab实现解决空间上的温度分布
这段 MATLAB 代码实现了一个求解一维热传导方程的显式差分方法。该方程描述了空间上的温度分布随时间的演变。  s" g9 N3 d# J! n
以下是代码的主要部分解释：& g1 }; O8 f6 g3 k: D* E
# {0 x9 n- g2 P4 q$ c! N% }
1.a 和 b：空间区域的起始和结束点。
2 _0 \& a% I8 t& j9 P0 L+ V2.m：空间网格的数量。
: Z# {  z$ I, X  d1 w3.T：模拟的总时间。
% x" h- x( x, x+ v4.N：时间步数。
& Y# d. H9 `* v! w% h5.af：空间步长和时间步长的比率。; S, N7 v, Y2 v: ^/ \: [' N, {
6.f：表示初始条件的匿名函数，这里是 (f(x) = \sin(\pi x))。
6 g5 C0 V" X/ b" {7.h 和 k：空间和时间步长。
( W' q1 q: G2 _6 h8.lmd：数值参数，与差分方程中的空间和时间步长有关。
& S$ p  z8 J/ b9 z7 j+ g+ Y" x2 n9.x：在区间 ([a, b]) 上生成的空间网格点。' _/ Q1 s+ |& k
10.初始化向量 u，用于存储每个空间点在不同时间步的温度。3 f9 r; t) ~# ]* S
11.使用初始条件 (f(x)) 给 u 赋初值。
( U& Z2 _: A3 j8 n2 s: w8 _) ?12.空间差分的系数 l 和 v 的初始化。
* k+ [: ^2 r# ?& ^( p13.时间步进循环，其中使用显式差分方法更新空间网格上的温度分布。
2 _  N5 V7 ?2 `" }* b5 _14.计算真实解 true，这是通过解析解公式 (e^{-\pi^2 T} \sin(\pi x)) 计算得到的。
/ ?/ E8 N; a5 B  Y5 y15.计算数值解与真实解之间的误差，并将结果打印输出。
. w7 `! D9 M8 E0 `4 W8 V+ v) w6 P( d4 l2 E9 ]7 X1 a' V
这段代码的目的是模拟热传导问题，并比较数值解与解析解之间的差异。输出包含每个空间点的位置 (x)，数值解 u，真实解 true 以及它们之间的误差。
  1. close all;1 K- F, K/ M- S+ d# b2 `) w0 D
  2. clear all;# e! l/ I; Z9 z6 q+ Q* V( M7 |
  3. a=0;b=1;m=10;T=0.5;N=50;af=1;3 d0 p- W4 f5 j+ k! N, ~# _, w
  4. f=inline('sin(pi*x)','x');/ h4 Q8 c* ^- B& V! _  S
  5. h=(b-a)/m;6 Z' `/ L1 m0 H' z$ H# m' W1 i7 T
  6. k=T/N;
    9 o) g( C. u: {2 d- m- o
  7. lmd=af^2*k/h^2;$ r% K& |7 {* N3 I+ g
  8. x=linspace(a,b,m+1);5 o4 R6 M6 ]) j# V% E
  9. x=x(2:m+1);. j/ U" t$ y+ ]/ J
  10. u(m)=0;
    5 x/ T, R+ u# O; M, K* w1 a" l
  11. for i=1:m-1
    ' M+ Y$ D# u1 Y
  12.     u(i)=f(i*h);+ i0 ^0 f& E( Q/ o' h( k
  13. end# R. h9 Z; _  [* v% ~" q0 e
  14. l(1)=1+lmd;1 a  X4 ^. |$ s8 k, \$ E, |
  15. v(1)=-lmd/(2*l(1));
    5 U) k4 R: ]. s8 A- ^
  16. for i=2:m-2
    ' u9 d2 R* Y' N: w5 J
  17.     l(i)=1+lmd+lmd*v(i-1)/2;
      C4 I9 ~4 a, N) P( M+ w7 ]
  18.     v(i)=-lmd/(2*l(i));
    - k, r; C" I3 j7 w! T6 A% [
  19. end
    ' j9 J! P' x( w$ S% K6 x, ?
  20. l(m-1)=1+lmd+lmd*v(m-2)/2;
    4 G  c1 Y$ V! R0 b/ W4 X6 t! N
  21. for j=1:N( k4 V, \2 P' d! V' b4 x
  22.     t=j*k;
    # l/ h4 y( U% J) `2 _
  23.     z(1)=[(1-lmd)*u(1)+lmd*u(2)/2]/l(1);& y+ z* G% }: M3 V5 K" ]; Q
  24.     for i=2:m-1& F. d8 M' X9 d0 e* O
  25.         z(i)=((1-lmd)*u(i)+lmd*(u(i+1)+u(i-1)+z(i-1))/2)/l(i);/ }. g7 V  Q% n* }/ G8 y4 Y. c
  26.     end& @& a' @; r9 G" R$ g
  27.     u(m-1)=z(m-1);/ H/ t& @: V! C2 B7 h
  28.     for i=m-2:-1:1/ D; P/ j# L' q' B% q
  29.         u(i)=z(i)-v(i)*u(i+1);3 @  F$ B2 R) e- t  f
  30.     end
    6 t% W& k& S( a2 _
  31. end
    , m% H+ F0 E$ v6 C: e
  32. true=exp(-pi^2*T).*sin(pi*x);
    & h2 }5 N& c& Q# S4 C  ^
  33. error=abs(u'-true');; M/ O; V% S$ r( i5 H! }
  34. re=[x'     u'      true'        error]
    . `) W1 Y% u) Z  B6 }/ _6 n2 V9 W
  35. 5 P, u. G6 y+ u0 w* p  E
  36.         
      K) G& `% Z0 i
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! K2 z( P' Q2 v' T2 e3 _" B/ h1 f- _

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