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标题:
matlab脚本进行连续函数的最佳逼近
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 16:02
标题:
matlab脚本进行连续函数的最佳逼近
这是一个 MATLAB 脚本，用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近，用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释：
9 S" M& |" \7 X
function fe = fitfun()
* t4 M" P* K7 h, |6 Y9 p
% 连续函数的最佳逼近
4 R8 c" G8 S/ G* Z
% 取基{1, x, ...}
* s$ v& `( g( z1 S( V
A- P) ]5 K# c2 d; @( q
% 默认算例为课本：P60，例3.1
/ p) ]* x- K# h0 W
% 原函数f(x)=x^(1/2)，定义域 [1/4, 1]
% O$ o5 p1 c0 J" S5 A
% 结果：P(x) = 10/27 + 88/135x 平方误差=0.00010803
2 ~% c5 e0 @8 Q/ p' R9 f; G2 W
1 o4 P5 Z% z/ I3 \* q3 a
% 输入原函数
d% T0 H# u. {7 ?6 W% I6 k% [
fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x)：[直接回车表示：f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's');
7 d! v3 l! u$ R
if isempty(fs)
+ j7 o$ k+ V* J4 W6 k2 k% `" P
fs = 'x^(1/2)';
8 t9 q, n7 ?& z _3 D: c3 |- L
end
. f3 J- U7 X( @3 v
f = sym(fs);
/ U; }/ Q. O2 N N- |* a0 l* X
' y& a- E8 t0 W$ i8 F1 Q, g
% 输入定义域上下界
8 _$ p' M1 x. l
a = input('定义域([a, b]) 上界a:');
( u7 J" d. G5 f8 B) x% A/ x/ b
b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');
3 F# E/ K0 H5 G% K2 {1 Q
+ p; e- J. y- u. y
% 输入逼近的最大次数
% E7 G! E# G2 l; a$ ]
n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: ');
- \# G' ?8 y# v0 K9 N- J( A2 [
5 P( C- F% v0 ?: R2 P0 G
% 创建向量
9 C' d% N- u3 O5 t0 ?3 j. o1 }
v = vv(n);
$ F) i- }; h7 _4 e- ]* U" h
h = vh(n);
% ]4 G2 D0 f2 q; ^/ q3 k |
( [3 V3 o# ?* t( l" J
% 计算矩阵 G 和向量 B
/ L$ a( F6 P2 W, V" H0 K) @3 \
G = int(v * h, a, b);
9 Y" y5 M# g9 p3 N$ o
B = int(f * v, a, b);
+ o$ V/ y; S4 G7 L; G {
1 c7 ?! U8 ~: ]
% 计算系数矩阵 C
% {* n, }3 o; V
C = inv(G) * B;
. K [8 `/ L% N1 Q7 k4 Q
- L( W5 ^9 w8 b w0 g3 ]" ]
% 计算逼近多项式
' ?5 H; f: x$ D3 d" n7 {3 I" P
fe = h * C;
+ y' b9 P( e" x5 I. e5 F9 V7 q
( q+ z& {2 v) I- O- R: }
% 误差
/ a2 B" h- `$ n# s
SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6);
4 @6 E0 g0 c4 h6 y3 B" f3 I8 \
- h* ]3 F3 }8 ~
% 绘制原函数和逼近函数
, v4 l6 {' M/ G6 E3 ]
x = a
b-a)/100:b;
- A( j. o* a* F0 t9 l
y = subs(f, x);
2 }4 }# I3 y. ?8 H; ]& u' z2 k
plot(x, y, 'r');
5 {9 d/ |# w+ l+ s; [" M- U
hold on;
7 |9 D ?. u! ^" q. b5 o
y = subs(fe, x);
& x: m2 M. }- J( u8 D# g* T7 `
plot(x, y);
& K9 A6 g# D/ C8 P, T, ^
I" | R% I2 [
% 输出误差
7 G4 r( q; h7 ]- h( u0 p+ `
disp(['误差: ', char(SError)]);
0 P9 O: D: x# t r# B; @6 u
end
* m" O3 Q, _6 n4 |+ E
, }5 h$ n( y2 A0 a, F
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
/ L! n2 e" C ~
# C/ c/ l. i; d2 u/ M
function v = vv(n)
k& `. o) K) a# {2 p8 P# V, @
% 创建垂直向量，如
8 x8 Z7 X) G( Q" O6 \
% 1
' F0 p% }4 ^" B, M) m6 e: y
% x
1 s- T0 h: u- R e5 l$ Y
% x^2
$ t% i5 o8 b5 ]( ]8 u
% ...
: y* X e8 y* {8 j& N
% x^n
" u1 {! Q) e" D0 u6 P' T& B
) l* C3 Z1 f$ f+ @! ~
if (n < 0 || n > 9)
5 b- p s- K- ]) ^% X
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
" }: w: V% C+ F! z
end
) Q# w! G" }5 k: D9 r8 ]" k
5 ^+ ?' |2 c, Z/ \
s = '';
' ]; X# J: O6 C2 O( D! _1 M" X
for i = 0:n
- A* K$ N! u# U8 g; g' h3 {) a5 u
s = strcat(s, ';x^');
+ `+ Z% Q% P7 ^) j7 V
s = strcat(s, num2str(i));
( p; a- G6 F8 X1 ?5 O) O& v
end
1 M8 c% z8 l# V1 e: O0 Y
s(1) = '[';
3 i) d1 n/ s# m; S& ?& H; X
sz = size(s);
2 i; Q6 M. P' l6 f x8 U
s(sz(2) + 1) = ']';
3 S5 Q! y, R/ C1 Y
$ H2 i! a+ T- y, ]* a* y3 h
v = simplify(sym(s));
3 e: I3 B" b. v8 q
end
/ A4 U& ~. p. t; A+ q7 E
, z) k- ^8 P/ B* t1 D
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
9 n# ~7 g8 y/ C* x) i6 O6 r
) ?1 x, [: t+ k& ?, K( e* {5 \8 F
function v = vh(n)
& Z8 Y1 |1 n! ?1 G( z
% 创建水平向量，如
0 T- ?$ l6 A5 U; x
% [1, x, x^2, ..., x^n]
9 m) J6 Y8 n% [& o+ [0 I
2 ~6 Q$ g0 S( `1 p
if (n < 0 || n > 9)
& _. i$ n5 ]* y l# I/ a% [4 v. @
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
) R5 A( D2 u2 y s- a
end
7 I! x# ?- J: K" Y
5 A. b' w7 v% I0 c3 L% M
s = '';
; \6 q% C9 Q% W+ b* s
for i = 0:n
3 R! h% |$ v9 j
s = strcat(s, ',x^');
1 y6 l A. D% Q g- g
s = strcat(s, num2str(i));
# `) u5 ~, T5 q& \9 L4 l( R3 J
end
8 |. Y+ F& k% B8 h5 ~" u
s(1) = '[';
4 D0 S' Z0 D9 |" \+ o! N
sz = size(s);
; f2 q/ k, D" @" }9 x! b6 v) d. ]
s(sz(2) + 1) = ']';
/ N# _7 I: [) |9 B
6 Q) i" Y! f/ k: M4 a9 y+ k0 U
v = simplify(sym(s));
! p0 n# R5 e# J: K' z G) H' M
end
4 Q. R5 a7 c+ ~7 ?+ d' J8 _
1 ]* ^4 i5 o5 T* U! ]
这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后，它构建了基函数向量和水平向量，计算了系数矩阵 C，并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后，输出了逼近误差。
+ R3 n" f$ I- F1 m- a0 i
2 U0 f! O/ |3 G! ]$ C: k# W
, b1 U7 q9 C3 e1 \- X
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