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标题: matlab脚本进行连续函数的最佳逼近 [打印本页]

作者: 2744557306    时间: 2023-12-31 16:02
标题: matlab脚本进行连续函数的最佳逼近
这是一个 MATLAB 脚本,用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近,用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释:9 S" M& |" \7 X
function fe = fitfun()* t4 M" P* K7 h, |6 Y9 p
    % 连续函数的最佳逼近
4 R8 c" G8 S/ G* Z    % 取基{1, x, ...}* s$ v& `( g( z1 S( V
  A- P) ]5 K# c2 d; @( q
    % 默认算例为课本:P60,例3.1
/ p) ]* x- K# h0 W    % 原函数f(x)=x^(1/2),定义域 [1/4, 1]% O$ o5 p1 c0 J" S5 A
    % 结果:P(x) = 10/27 + 88/135x  平方误差=0.00010803
2 ~% c5 e0 @8 Q/ p' R9 f; G2 W1 o4 P5 Z% z/ I3 \* q3 a
    % 输入原函数  d% T0 H# u. {7 ?6 W% I6 k% [
    fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x):[直接回车表示:f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's');
7 d! v3 l! u$ R    if isempty(fs)+ j7 o$ k+ V* J4 W6 k2 k% `" P
        fs = 'x^(1/2)';8 t9 q, n7 ?& z  _3 D: c3 |- L
    end. f3 J- U7 X( @3 v
    f = sym(fs);/ U; }/ Q. O2 N  N- |* a0 l* X
' y& a- E8 t0 W$ i8 F1 Q, g
    % 输入定义域上下界8 _$ p' M1 x. l
    a = input('定义域([a, b]) 上界a:');
( u7 J" d. G5 f8 B) x% A/ x/ b    b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');3 F# E/ K0 H5 G% K2 {1 Q

+ p; e- J. y- u. y    % 输入逼近的最大次数
% E7 G! E# G2 l; a$ ]    n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: ');- \# G' ?8 y# v0 K9 N- J( A2 [
5 P( C- F% v0 ?: R2 P0 G
    % 创建向量
9 C' d% N- u3 O5 t0 ?3 j. o1 }    v = vv(n);
$ F) i- }; h7 _4 e- ]* U" h    h = vh(n);% ]4 G2 D0 f2 q; ^/ q3 k  |

( [3 V3 o# ?* t( l" J    % 计算矩阵 G 和向量 B/ L$ a( F6 P2 W, V" H0 K) @3 \
    G = int(v * h, a, b);9 Y" y5 M# g9 p3 N$ o
    B = int(f * v, a, b);+ o$ V/ y; S4 G7 L; G  {
1 c7 ?! U8 ~: ]
    % 计算系数矩阵 C
% {* n, }3 o; V    C = inv(G) * B;
. K  [8 `/ L% N1 Q7 k4 Q- L( W5 ^9 w8 b  w0 g3 ]" ]
    % 计算逼近多项式' ?5 H; f: x$ D3 d" n7 {3 I" P
    fe = h * C;+ y' b9 P( e" x5 I. e5 F9 V7 q
( q+ z& {2 v) I- O- R: }
    % 误差/ a2 B" h- `$ n# s
    SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6);
4 @6 E0 g0 c4 h6 y3 B" f3 I8 \
- h* ]3 F3 }8 ~    % 绘制原函数和逼近函数
, v4 l6 {' M/ G6 E3 ]    x = ab-a)/100:b;
- A( j. o* a* F0 t9 l    y = subs(f, x);
2 }4 }# I3 y. ?8 H; ]& u' z2 k    plot(x, y, 'r');5 {9 d/ |# w+ l+ s; [" M- U
    hold on;
7 |9 D  ?. u! ^" q. b5 o    y = subs(fe, x);& x: m2 M. }- J( u8 D# g* T7 `
    plot(x, y);& K9 A6 g# D/ C8 P, T, ^
  I" |  R% I2 [
    % 输出误差
7 G4 r( q; h7 ]- h( u0 p+ `    disp(['误差: ', char(SError)]);
0 P9 O: D: x# t  r# B; @6 uend* m" O3 Q, _6 n4 |+ E
, }5 h$ n( y2 A0 a, F
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
/ L! n2 e" C  ~# C/ c/ l. i; d2 u/ M
function v = vv(n)
  k& `. o) K) a# {2 p8 P# V, @    % 创建垂直向量,如 8 x8 Z7 X) G( Q" O6 \
    % 1' F0 p% }4 ^" B, M) m6 e: y
    % x1 s- T0 h: u- R  e5 l$ Y
    % x^2$ t% i5 o8 b5 ]( ]8 u
    % ...
: y* X  e8 y* {8 j& N    % x^n" u1 {! Q) e" D0 u6 P' T& B
) l* C3 Z1 f$ f+ @! ~
    if (n < 0 || n > 9)
5 b- p  s- K- ]) ^% X        error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');" }: w: V% C+ F! z
    end
) Q# w! G" }5 k: D9 r8 ]" k
5 ^+ ?' |2 c, Z/ \    s = '';
' ]; X# J: O6 C2 O( D! _1 M" X    for i = 0:n
- A* K$ N! u# U8 g; g' h3 {) a5 u        s = strcat(s, ';x^');
+ `+ Z% Q% P7 ^) j7 V        s = strcat(s, num2str(i));( p; a- G6 F8 X1 ?5 O) O& v
    end
1 M8 c% z8 l# V1 e: O0 Y    s(1) = '[';
3 i) d1 n/ s# m; S& ?& H; X    sz = size(s);
2 i; Q6 M. P' l6 f  x8 U    s(sz(2) + 1) = ']';3 S5 Q! y, R/ C1 Y
$ H2 i! a+ T- y, ]* a* y3 h
    v = simplify(sym(s));3 e: I3 B" b. v8 q
end/ A4 U& ~. p. t; A+ q7 E

, z) k- ^8 P/ B* t1 D%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
9 n# ~7 g8 y/ C* x) i6 O6 r) ?1 x, [: t+ k& ?, K( e* {5 \8 F
function v = vh(n)
& Z8 Y1 |1 n! ?1 G( z    % 创建水平向量,如 0 T- ?$ l6 A5 U; x
    % [1, x, x^2, ..., x^n]9 m) J6 Y8 n% [& o+ [0 I
2 ~6 Q$ g0 S( `1 p
    if (n < 0 || n > 9)
& _. i$ n5 ]* y  l# I/ a% [4 v. @        error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');) R5 A( D2 u2 y  s- a
    end7 I! x# ?- J: K" Y
5 A. b' w7 v% I0 c3 L% M
    s = '';
; \6 q% C9 Q% W+ b* s    for i = 0:n
3 R! h% |$ v9 j        s = strcat(s, ',x^');1 y6 l  A. D% Q  g- g
        s = strcat(s, num2str(i));
# `) u5 ~, T5 q& \9 L4 l( R3 J    end8 |. Y+ F& k% B8 h5 ~" u
    s(1) = '[';4 D0 S' Z0 D9 |" \+ o! N
    sz = size(s);; f2 q/ k, D" @" }9 x! b6 v) d. ]
    s(sz(2) + 1) = ']';/ N# _7 I: [) |9 B

6 Q) i" Y! f/ k: M4 a9 y+ k0 U    v = simplify(sym(s));
! p0 n# R5 e# J: K' z  G) H' Mend4 Q. R5 a7 c+ ~7 ?+ d' J8 _

1 ]* ^4 i5 o5 T* U! ]这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后,它构建了基函数向量和水平向量,计算了系数矩阵 C,并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后,输出了逼近误差。+ R3 n" f$ I- F1 m- a0 i

2 U0 f! O/ |3 G! ]$ C: k# W
, b1 U7 q9 C3 e1 \- X




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