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标题:
matlab脚本进行连续函数的最佳逼近
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 16:02
标题:
matlab脚本进行连续函数的最佳逼近
这是一个 MATLAB 脚本，用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近，用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释：
8 Q2 h0 S4 } @9 a( O
function fe = fitfun()
' d& y! L |% X( Z2 K' h
% 连续函数的最佳逼近
9 }9 o. j% A1 M U: q% Q
% 取基{1, x, ...}
# N2 E4 `9 o) U# H1 m- r3 d
) ]! A& W$ Y' q0 y1 [
% 默认算例为课本：P60，例3.1
: b, h" b% u- `, A+ N3 a+ g
% 原函数f(x)=x^(1/2)，定义域 [1/4, 1]
9 }) `; T. I: ^- s/ L1 N# W+ u
% 结果：P(x) = 10/27 + 88/135x 平方误差=0.00010803
k9 @5 m, m1 R- n* f9 T) d1 V
: s9 O; m5 h3 w# }! F, m
% 输入原函数
8 Y" B9 G4 `& d) F9 u- b
fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x)：[直接回车表示：f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's');
% Z# l. [) G7 g9 F+ x/ ~
if isempty(fs)
8 F! Q# u6 F0 b' M3 b
fs = 'x^(1/2)';
* W3 a: R5 i+ ]; j
end
% e5 z i6 }" j
f = sym(fs);
8 Z1 }, X6 N# G1 i
" n9 ~" T$ a/ }0 Y
% 输入定义域上下界
" a: A5 X2 x) B" l" U
a = input('定义域([a, b]) 上界a:');
. B, k4 W, B1 X- l* r9 Z
b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');
/ L4 X" D" w7 M+ t+ N8 S
4 U8 |6 e7 z6 P# k, d
% 输入逼近的最大次数
, F' e- e+ R: S. a
n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: ');
& H- d0 B0 {8 p4 `. i7 Z& l/ R
f4 k/ R/ T- x, Q
% 创建向量
: S' I% s' _$ v2 Q+ m5 ~ p
v = vv(n);
5 f! R, Z# x7 R. k- \' b0 c
h = vh(n);
5 s, m; ?8 Q6 ^, z5 E0 v
3 H% a8 f3 \0 D
% 计算矩阵 G 和向量 B
$ [7 y9 a1 H, I$ f# ]
G = int(v * h, a, b);
- w2 c( z5 c) N8 L( B3 ~. a ~
B = int(f * v, a, b);
8 C' w7 s9 j4 Q8 S
$ a8 Z6 A$ c9 K3 V) e
% 计算系数矩阵 C
3 ^! c0 N" \5 A, i
C = inv(G) * B;
# L& W( P# b4 f- T- b/ l8 T
! O' q% h2 ~& V9 s: K6 \
% 计算逼近多项式
! V) P6 E9 p) ` u$ ?
fe = h * C;
7 F, m% O2 X% L! @7 k+ G* D
" f9 B+ \: S6 b/ i; A
% 误差
3 \% D; u; y- b; U0 h: f
SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6);
9 t9 k4 G" d- z5 g/ O
/ ~% m& W9 S4 t* ~$ |
% 绘制原函数和逼近函数
2 a* _$ y8 C# g& f8 @' a% T& ]
x = a
b-a)/100:b;
! t4 H8 x8 f- q6 O. s1 L4 V. w
y = subs(f, x);
% ]; u# N0 s, e. }; K7 Z2 j9 h
plot(x, y, 'r');
1 o% \- _$ V$ O+ s
hold on;
; p$ I+ i0 v# b: k
y = subs(fe, x);
( k7 ~8 _! T" C
plot(x, y);
& Z, k, e" K! V+ F t
& _3 N% v- b' I" ?
% 输出误差
! h' ^3 K+ S: J* {# I1 H I" r6 i
disp(['误差: ', char(SError)]);
# |4 P4 i1 q, }
end
: m$ Z, K. ^6 A% ~# Y% a
# r5 Z3 U* {0 c4 A6 C) I, u# i
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
, v: j0 O6 w* S
$ `: d: t2 s1 T7 y8 L9 K
function v = vv(n)
8 S9 t. C8 n4 V* v. P' J1 M
% 创建垂直向量，如
- v) O& d* d0 j0 A/ w; I( U6 q
% 1
. v( E4 O% D; O9 B- F. q
% x
, x( t0 V9 D& m- s0 G2 O; F
% x^2
; `. R2 i, V' k& s$ B
% ...
. N! n: g* o5 r$ B7 I+ k
% x^n
; g3 I7 k; N2 R2 C
8 H6 U a2 {0 ?- I* L1 g; T
if (n < 0 || n > 9)
$ @$ C4 e/ k! Q6 X0 ~6 ?$ m
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
! k2 Y2 d" l' g- l* g& P/ V
end
1 Q9 v+ u$ }- D1 L! ^" [( q
% V5 u v1 w1 |; _ }- H/ F
s = '';
8 R+ N" b4 h# G6 W9 U+ K. h
for i = 0:n
' x; E0 V- }' ^' d
s = strcat(s, ';x^');
3 U' Q' B% K) t/ y: H) C
s = strcat(s, num2str(i));
, a' p$ Q7 J* v
end
* H w# t$ e# B1 J) w0 D2 M
s(1) = '[';
) `8 m. H+ t# a8 S! k k# K) E# W
sz = size(s);
/ w/ E# @6 |! }8 p
s(sz(2) + 1) = ']';
0 r5 N1 }& F, F ?3 L
2 U$ e6 n/ y8 I, M+ W" p- v
v = simplify(sym(s));
, X* U' B/ v' ?7 x& G
end
- m- } L+ E# E: K
' r+ {9 p3 H0 g+ g. D# y
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
- F M! r) e a% D$ }* \
( R( e' I+ m0 F
function v = vh(n)
7 F" d6 n& e5 Y! }
% 创建水平向量，如
9 j" u3 E) Y5 x+ l( h
% [1, x, x^2, ..., x^n]
6 K6 ^( U" @+ U. }$ j' t; [ B
2 `! O9 d G; G1 A# _5 D
if (n < 0 || n > 9)
7 x+ ~0 O) I* w0 C8 H" }
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
) e- a: H4 X1 \/ _5 d: E
end
! j3 I$ w$ e5 k. L
. L: G3 A4 L, u( p" V
s = '';
/ K1 b+ _2 ~: `+ o$ k; J
for i = 0:n
9 S2 n3 q4 y E: i
s = strcat(s, ',x^');
. u$ L% q" l1 Y- y% H8 u
s = strcat(s, num2str(i));
% L4 G+ S w2 M' P& |: w
end
% R e; g. l5 A; @) b' Z& W& z
s(1) = '[';
. Y' f% S6 |6 z5 c( v. C
sz = size(s);
+ n: ?6 ^) y; v, T' [8 Y/ w
s(sz(2) + 1) = ']';
3 B3 j0 a! W8 r% [1 Q( L
Z" X- w N# y' {& _& S
v = simplify(sym(s));
$ h+ X5 q* C" H+ O6 S+ ]8 J
end
: v! U2 v) D+ M O
4 m6 I, o1 j" ^+ h1 U
这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后，它构建了基函数向量和水平向量，计算了系数矩阵 C，并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后，输出了逼近误差。
' c7 F+ M6 e2 B
q7 Y+ X: y: c- S& E# E0 Z j
; G6 o. q% n% G8 R. n
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