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标题:
matlab脚本进行连续函数的最佳逼近
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 16:02
标题:
matlab脚本进行连续函数的最佳逼近
这是一个 MATLAB 脚本，用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近，用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释：
: h" i, E; i& R! n1 ~/ w
function fe = fitfun()
2 ~7 b4 r$ H5 r$ C3 }. C
% 连续函数的最佳逼近
0 d* }' F5 `9 N8 k( i. Q, Q+ G, Q. e
% 取基{1, x, ...}
; _8 R# W5 L- G, z- e+ ]
O4 @; M \9 E
% 默认算例为课本：P60，例3.1
; F9 c. m' O* n1 N- \9 _* a
% 原函数f(x)=x^(1/2)，定义域 [1/4, 1]
0 e% h! n) A. ^) l
% 结果：P(x) = 10/27 + 88/135x 平方误差=0.00010803
$ j% b: Y+ j- ^: e4 S7 S: ?7 P
: I3 U2 p3 x- X) p2 O. P
% 输入原函数
3 t: r6 C# u ~0 C; ~- z
fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x)：[直接回车表示：f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's');
2 ?) ~2 A/ M/ @8 ?8 C* d- B6 ]
if isempty(fs)
) L: b' z! ^2 D- \
fs = 'x^(1/2)';
- D( k; u) b M
end
' B3 Z @( Z. K# X
f = sym(fs);
5 a% V; N% w$ F3 S% U/ B. @ t2 W
9 D* |# E7 A% e2 t/ U
% 输入定义域上下界
* u3 T: G7 S7 t% [3 ]
a = input('定义域([a, b]) 上界a:');
8 K# E5 W4 w- M) p% E
b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');
1 u3 c2 n3 s( U7 a' V' t" }( G
6 ~2 ~6 n6 c4 [# b* ?1 K
% 输入逼近的最大次数
# C' b5 o9 N% W" p! x
n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: ');
! R' L9 b! m3 P/ |2 w; b u2 s
+ G9 e2 h/ i$ F! T/ ?, P; }& D
% 创建向量
0 m/ c- Y6 {3 {
v = vv(n);
* q+ ^4 \0 a+ X6 L. H+ F
h = vh(n);
: o2 |- c8 X0 ?
3 X( Z9 a1 I% P# ~" k" w
% 计算矩阵 G 和向量 B
- S) B# E Q" e
G = int(v * h, a, b);
5 L! }6 C$ S8 Y. w
B = int(f * v, a, b);
9 M% F, G6 H! o/ [& @2 C9 L! X
, ?* I; T, `, T$ o* V
% 计算系数矩阵 C
6 i) ~+ t* a: F% u5 q
C = inv(G) * B;
7 I5 n6 f% z7 C, \) Y( u
* E# x- |6 s5 @$ r4 ^/ W) [; {
% 计算逼近多项式
0 m H* Y ?8 R0 {1 w! R
fe = h * C;
% Z: l0 I+ _$ D" s8 T% p; `
( p5 J1 ~! h- u. b
% 误差
9 u) e* E: b4 A; H: W
SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6);
4 {( p& }* c; _* l1 B& h
`& ~# K, v. ], J2 \. F# k
% 绘制原函数和逼近函数
r7 P% N/ ~3 R2 P4 u
x = a
b-a)/100:b;
* h9 | {# c- o- z3 R- k# Q
y = subs(f, x);
: w$ n4 u+ d7 m6 m
plot(x, y, 'r');
5 k% m5 d# \% [& Q
hold on;
: N8 Z" x; q6 g( d: L- M
y = subs(fe, x);
: y0 @7 s3 A P4 z! o
plot(x, y);
" a/ {/ b* z( @' `
7 `( l6 x- n' X3 G9 ]! ~2 E
% 输出误差
. P% u' a/ i* k* N$ |
disp(['误差: ', char(SError)]);
8 L& }1 P$ Z3 |+ P
end
7 e; H! l6 D7 K% \+ Q
7 g- m: c2 w* J' T. }4 p$ c
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
* H- y9 [" n& V+ }
5 |: c" a8 z% u( m* C
function v = vv(n)
; a8 x7 o1 A7 R: \7 c) K1 M
% 创建垂直向量，如
8 N) R6 P2 o9 s# I E/ C, k) K
% 1
, U" S$ _: p5 l' N" y
% x
C# Z- i3 I' U* m. h' N4 |
% x^2
. I; u c. W% d% x/ a* r! j
% ...
2 X+ P- |% P) z3 v& G" \# s
% x^n
6 \) y+ y8 S9 g! m- G, ~
' D+ j. H# O9 @ i8 @
if (n < 0 || n > 9)
9 [& w L: k1 V( j, L/ S2 H3 U9 }
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
4 q4 O8 Y% ]* i: B) u0 _
end
4 I; y0 s. {2 ^+ F* R5 z
4 S7 c) |# t9 \; F9 m7 v9 n: ?1 @
s = '';
/ f* v3 i0 t q- O8 V
for i = 0:n
1 a" N) L* @; i
s = strcat(s, ';x^');
, l. a, o3 {$ k3 q# N. w
s = strcat(s, num2str(i));
# ^, l0 Q, P0 `6 m, u
end
( \3 w' W L9 @$ }" I- s. Y8 c, e& w
s(1) = '[';
3 Z- B, I0 T8 Y ?
sz = size(s);
( N. C& B( y: U0 C8 D
s(sz(2) + 1) = ']';
4 R- p% A. e: z2 U( |5 Y
: l$ \9 O0 N6 C) [9 n# c$ A S% ~
v = simplify(sym(s));
1 c& g# s& j6 @+ P" T2 ?1 _. F
end
" F) C6 t) T6 z* y5 @5 _! O2 o
1 u7 Q3 M3 o0 u8 B
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
7 c" `5 M1 e6 S. q) o a, o* f+ \& Q
& Y7 e0 v/ Z* M8 a4 s4 z+ c
function v = vh(n)
! N3 d7 u5 X+ m' T" [
% 创建水平向量，如
: l* g7 r" l% _: }3 K
% [1, x, x^2, ..., x^n]
1 E6 ~ c' o! q
" |* \ V/ l( ?0 W2 f0 K; u# }. N
if (n < 0 || n > 9)
- x! ?8 B1 p7 n& n& L) P: K" M
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
( C# k' o( n# i8 f: S2 c
end
$ y( r Y0 H2 C
' T" G' v e* g5 W3 D8 l
s = '';
: L! f0 E: z$ R& M4 @
for i = 0:n
" ?$ I. l. q! ]: N4 x$ z: ^4 k
s = strcat(s, ',x^');
0 n* F. R1 V2 V
s = strcat(s, num2str(i));
/ E" k' l; x' h6 G3 i5 G( }0 C
end
- n+ a9 O7 U" C# x
s(1) = '[';
, l' x/ P4 Y. ~0 g! @0 C
sz = size(s);
) X A* b( E6 @9 V
s(sz(2) + 1) = ']';
8 {7 C% V: N6 b
6 N9 {& t3 B& j5 O
v = simplify(sym(s));
& b, f0 H0 ?8 N0 |0 \$ I- ]% X4 R8 U
end
( |! }+ a3 V9 c
. _3 U% D6 i1 a5 v- k" Q
这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后，它构建了基函数向量和水平向量，计算了系数矩阵 C，并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后，输出了逼近误差。
) O* U, D3 h# l( T3 e
# l; X# F1 D! j- d; H5 B
+ T2 I% }, g& v( c# B
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