数学建模社区-数学中国
标题:
隐式差分法来解热传导方程
[打印本页]
作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 16:44
标题:
隐式差分法来解热传导方程
这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：
: _3 M9 T& ^, E$ J3 Y! n# p- r
" m4 V# @# u, J1 [
1.初始化：
7 [8 F) O$ [8 `/ V, W
& F5 B% q' b( O: p
a = 0;
2 I$ ~) G$ I2 H! O' K
b = 1;
! U a$ @" H: Z5 V
m = 10; % 空间划分
* q. i1 {! U4 V$ i0 K
T = 0.5; % 最终时间
1 c! W1 L7 N5 S: o9 k
N = 50; % 时间划分
, a3 S! ?6 q* c1 ]( i
af = 1; % 松弛因子
1 l# F+ V) I3 p- F
f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
r, {. V& d C' p( {- J2 a
h = (b - a) / m;
5 Q7 U7 x, P* c
k = T / N;
, e( d0 |' _2 ]* e0 a. ~6 f x, r. }
lmd = af^2 * k / h^2;
+ n2 ^7 g' N. F. Z* a9 c
x = linspace(a, b, m+1);
, `7 O/ T7 j0 _( _, B, I+ V: I2 F
x = x(2:m);
6 Y, a2 _1 \$ W& G- v. y4 S9 B
i = 1:m-1;
, q8 X/ m- x( k& I/ M
u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布
" K& `. W4 w0 s" U+ X% B" l2 w5 c
& j+ A& `4 Z. B/ e: O# G- K; b, @
在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。
& h, X+ D$ Z9 r( H( _
7 Q4 y. j' ]6 T& Z
2.隐式差分法求解：
% K- B" A# P9 z
" B+ |5 I5 a2 Q, |2 ]
for j = 1:N
0 P5 y1 F* v8 y( {$ p( _% @% {/ ~" _
t = j * k;
5 g% N- ^6 |* u, k7 H5 V7 u; k
u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
`9 `) B/ y" H; C( g* O* j: I( G
end
! G, ^/ [0 S% |# }( U1 q
3 X+ i! J- Y0 |! J! ~, ~
这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。
0 I" d/ l3 k) d4 o+ Y
) k7 [$ g% t+ s" ]3 {( x
3.计算精确解和误差：
) j& t) \- u+ \$ h
' a- P' `6 C2 J& I+ u
true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
) r/ M2 x6 p8 U4 Q
error = abs(u - true);
5 s) ?/ z* ], b" i! c
re = [x', u', true', error'];
8 o2 A# |& g1 J. `8 c9 [+ W' v. h; }
' n4 A- E- W" X" a) [
在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。
: Z- T+ D! l! E; V* L* G
8 H- E% f: E; P' H# N
4.输出结果：
. e+ t B% S, l. W# e* P
% j5 [( ?; s8 c( k' P# i0 `
re
! u L+ C% u$ F- Z9 x
% H# @+ ^( f; H$ m5 G
最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
) B" N3 ~" b5 C( V0 K% z! O
这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。
u) F3 H3 }$ ^/ S1 e/ m
7 J# W; {/ l2 a; D) S \
0 F- f3 D! D" e( K5 v. b: b* s
欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)
Powered by Discuz! X2.5