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标题:
隐式差分法来解热传导方程
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 16:44
标题:
隐式差分法来解热传导方程
这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：
! o* {0 D! b( J8 q! F/ s t9 Z4 Z
/ C) N p" ] H! A2 [1 I
1.初始化：
# q5 D5 b& u* ] a) Q
& P, S$ L) G O- d. X
a = 0;
9 n" f9 C5 D& b5 j9 V7 Q
b = 1;
, v7 i( v) I4 J) R2 Z1 m! u( i
m = 10; % 空间划分
+ U# N! u; _( j% J
T = 0.5; % 最终时间
% b# ]. _! c$ ^2 d% K7 _* I
N = 50; % 时间划分
5 j2 @2 N8 ^: [6 N. t: ]
af = 1; % 松弛因子
V7 |; g& }/ z' z8 O
f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
) \1 u0 {! O" c, N& {) _* Q6 T
h = (b - a) / m;
. K) W4 ^. l p8 F }4 N
k = T / N;
( p5 X6 S7 l$ ^0 F
lmd = af^2 * k / h^2;
+ j9 c, a! X& I1 j3 }' f6 q
x = linspace(a, b, m+1);
p# t- b W4 r9 Q( ~& c7 e, l8 Q
x = x(2:m);
2 g* P+ Q: T# T* k5 I
i = 1:m-1;
( S! T7 @. m# f/ U
u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布
3 B. F$ [& N4 w
% {- i) b/ }# V7 z) n- ]( E
在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。
( B) e. D6 o7 y( \ ~9 }
# s2 o: [. ]% @& c; d; o4 K
2.隐式差分法求解：
# O; |4 j* E9 N* J
& N- r4 m5 A# J
for j = 1:N
. I G! m4 p7 s0 p7 n- A, j
t = j * k;
: r; a) V6 b, G" n
u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
2 M* [9 x; ~" a
end
9 z# T. Y- i9 S, H/ _
, v4 E4 A2 T7 W: S
这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。
$ a% k+ x5 e" x2 T# y
- `. T+ f9 k: H8 m `% {
3.计算精确解和误差：
' _" l, v6 d `$ k
: i8 g4 W( q# K8 B9 w
true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
+ v/ `' U# _- m! C% m
error = abs(u - true);
; \# \4 E9 o" d3 G% E. A
re = [x', u', true', error'];
; {! K" W( P! O2 |6 P0 {5 a: h
6 x* b/ Q% S' f
在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。
1 y. F7 c, q& h! A( b
+ C/ U8 H H4 E0 L
4.输出结果：
* [% P" D& B) @* M# \$ g) q
, g& v7 z7 G/ O0 X
re
/ H1 _* M3 B4 z& k/ G! F
5 i6 g" W' O' Z, V7 S8 b
最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
. N) d7 z9 d6 Z. u
这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。
$ b4 k: T) e8 E/ h& @
. I( Y$ B V: n2 A5 \- J
% Q$ k' {9 z4 }, w& N# Q( c
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