$ U$ V |" {0 D" I! l8 T. G' z5 ]1.初始化： 9 S& y) Z2 m, P% o( n) T( D' u- N$ q+ l$ ?& h1 e
a = 0; ) V! u1 s( e O" u b = 1; }; {. z5 Z1 r) |% S
m = 10; % 空间划分: G. k+ y' ^! f7 T9 j" s0 |$ i( `8 _
T = 0.5; % 最终时间 2 Q F0 `( y4 f# t N = 50; % 时间划分 m: U$ b& R2 V2 d. n9 q; g: c
af = 1; % 松弛因子2 l3 r. k4 _ e) z
f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件- L' D2 Y5 u9 L* V8 u0 z1 b
h = (b - a) / m; 4 \1 ?9 V% z! _8 _% } k = T / N; - R" f- X9 J2 `8 B8 x lmd = af^2 * k / h^2;" L9 Y. A1 J; m* [% E; z. z( q
x = linspace(a, b, m+1);& M4 N* B' Y' p; z+ E( t* M
x = x(2:m);- J" p( |& B. _2 d# Q. I
i = 1:m-1; ) h' ~' o+ c, X6 B H4 P; H$ Z u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布' {' l6 G7 n! j& F! u. w- Z a
) F8 K; b) [/ ]. k8 c- V在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。4 i1 r9 l+ T7 B
4 p! m& W' _' m8 X2 v3 h6 p$ \2.隐式差分法求解： 7 \1 ^4 I! d0 [; W * @! H- D. K2 n$ ^9 B for j = 1:N) A0 h) X' f0 V) p) @
t = j * k; . G7 m( `( m4 b" z u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u); ( j1 @% j! U! l5 V% E" w end ' _" y0 k1 w% Z) Y! j& P2 F D& |$ P0 i$ O
这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。 - v; m7 | V* w Z2 K7 ^4 N. G* F0 A 0 I; C, a1 k* P+ o0 V3.计算精确解和误差： D8 o+ Y+ K! p6 m/ Z3 Z" k( s6 q9 U, W; |- w
true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x); & [1 K! [2 e% l2 O error = abs(u - true); ) s$ P# b( K/ H6 \5 ]$ U re = [x', u', true', error'];- w8 X& R- { b' a: Z
) b) A( R- }6 c: ^: ?在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。 * q' u3 v- [' V# D' U( i: { 9 U: X& p, z$ l! `4.输出结果： . U7 K- e, r8 _& t2 n+ W0 j0 V; m: T; F' V0 S
re ) A# Y- c" D6 t( Z+ s - n$ z; S* p3 M, ~2 z+ O+ W最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。 ; p. J( A% G5 I! M这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。- O s: U& H$ k
8 f8 p$ N$ L4 g
0 B" \4 N: J" Y0 ~