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标题:
显示差分法解决热传导方程
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 16:51
标题:
显示差分法解决热传导方程
这段代码使用了显式差分法来解决热传导方程，然后与精确解进行比较。让我来解释一下：
0 }* u( r7 Y/ o* [. _% `
% q; R' F% @! w! ~& ] E8 e$ p
1.初始化：
6 s- R0 h) {; U3 R, s
" v e1 v. y& a( K9 h+ h' J1 ^8 m
a = 0;
/ P, K: V5 `4 _; m
b = 1;
7 f2 L; `8 ~, o: e* D# N
m = 10; % 空间划分
. U. q& i1 p( B+ f4 m
T = 0.5; % 最终时间
& g( }- l' {) ^8 R
N = 1000; % 时间划分
5 c* K7 n( W: t1 |# D( K
af = 1; % 松弛因子
/ Y" S8 |3 H0 `. i( X
f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
& i3 a5 O5 Z$ B# V/ K
h = (b - a) / m;
' V! _6 P6 d3 E
k = T / N;
* Z" P3 [6 r) ?3 g1 j4 r& x2 z
lmd = af^2 * k / h^2; % 注意，lmd必须小于0.5，以保证差分法的稳定性
# V2 t6 N0 x2 L: Q5 g( {" b" S
x = linspace(a, b, m+1);
0 `4 X c+ H$ K y- B6 r
u(1,1:N+1) = 0;
% D. u* p! q! a- K: X$ g
u(m+1,1:N+1) = 0;
' Y9 d: s. J8 o5 _, u' l
]7 B7 u- i# w) @$ A- @+ o
在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。
. w! K: u/ ?7 |5 H1 j. ~$ Q& J
6 z! [4 P6 e; E' {, B" V, `
2.显式差分法求解：
/ q6 ~7 d" N' P3 b( q3 G
2 u9 L) Q) n6 S$ x8 w C( n6 {
for i = 2:m
9 r, H- i8 `! ^+ a5 e8 c) e
u(i,1) = f(a + (i-1) * h);
* a Z! p$ S' L2 ~9 n
end
+ L. j7 O" H* y, g% D
' |! O) ~. v1 G3 E
for j = 1:N
4 X" l. c& \' K1 v
for i = 2:m
% x1 G' z4 \, B: X
u(i,j+1) = (1 - 2 * lmd) * u(i,j) + lmd * (u(i+1,j) + u(i-1,j));
2 [/ z8 A9 _# \' G: M% t, `- P
end
+ D' Y+ O' p$ l4 m8 @. v7 B! C
end
; w/ o4 B# U0 e/ M/ J
* t; U1 z: I; Q0 E; m) @( j
这一部分使用了显式差分法来更新温度分布 u。在每个时间步长 k 中，根据已知的时间层（j）来计算下一个时间层（j+1）的温度分布。
3 Q/ D# W7 \! U+ |9 L
" t6 Q/ F$ ? f' J% V( u
3.计算精确解和误差：
) D3 C8 O/ M7 e: T5 S& i
5 F7 J) w6 `9 S' e7 ?" ?1 w
true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
* b% V) H0 M; m: Z( M
error = abs(u(:,N+1) - true');
% T# A# Q# M6 b) s7 p
re = [x', u(:,N+1), true', error];
9 ?' ?; _$ ^. y+ V3 R- C E7 _
: N1 a+ D) w1 J. I. V d; K3 a8 _
这里计算了精确解 true，并计算了数值解 u 与精确解之间的误差。
: X, e8 [/ u# ^
) K8 Q+ T; N* B& T" y' x
4.输出结果：
( S# _4 D4 z) x9 I x
& o. ~: Q( }2 M0 u' \: \0 i
re
% L# R' ]* C' l/ }2 w* l9 z
5 D k. \6 F Z4 f0 y+ k
最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
+ E* t4 E/ A2 B2 g1 k* A/ p
需要注意的是，在使用显式差分法时，为了稳定性，需要确保所选取的时间步长 k 和空间步长 h 满足某些稳定性条件，其中 lmd 必须小于 0.5。
' L ^3 i1 g) z4 m; U# [4 D0 ]
* m3 N" w3 e3 N! \9 `
& ]& H! I/ l" v! b
hotqch.m
2023-12-31 16:51 上传
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