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标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 17:03
标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
这段代码实现了 LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个方阵，b 是一个列向量。以下是代码的中文解释：
! Q$ P( x5 N2 u+ F) a7 x. {+ R
a = [1,2,3;2,5,2;3,1,5];
( {( i3 j! B4 J: |- Z c5 P5 ?% K; f
b = [14,18,20];
! u7 r' o4 M6 I) ~
n = size(a, 1);
x1 q$ A) b! U$ r: c ]
u = zeros(size(a));
. |0 v2 D' { _0 G# ^
l = zeros(size(a));
! r4 ]' J/ e t. R0 \
u(1,
= a(1,
;
) e$ U" c z4 v5 N0 t
" \6 Q* F. P5 y
% LU 分解
' L& k* r' H2 { w, _8 L( o
for i = 2:n
+ x; W$ R) {+ w/ v; w$ {& g
l(i, 1) = a(i, 1) / u(1, 1);
I* n x$ K. P
end
; h, P/ M9 B' m3 j
for r = 2:n
3 R; J! I' c/ `- Z" y
for i = r:1:n
; f0 g% o( J: s) G$ S. |( ]
sum1 = 0;
5 v/ v( T" p( {+ H, x
for k = 1:r-1
( K2 u8 N2 k& I' K* i( r' e
sum1 = sum1 + l(r, k) * u(k, i);
- Z5 _+ x' o v6 v) [# U$ I! L) |
end
3 V4 d" Z0 I T, a+ K
u(r, i) = a(r, i) - sum1;
3 t6 r% s" l4 |3 e; C. N
end
$ V8 Q; L! r# }3 p
for i = r+1:n
' w# h( y2 C- G: J( B
sum2 = 0;
' T/ y' b3 A# A
for k = 1:r-1
. G; J L A8 n3 F5 K2 R
sum2 = sum2 + l(i, k) * u(k, r);
+ y/ y$ ?9 r$ J% l' v
end
- _& M8 _* \6 C6 {0 ~
l(i, r) = (a(i, r) - sum2) / u(r, r);
" N1 i' f) h" L6 f
end
% v' {! k) r- z) A9 X
end
- c7 |3 q+ F9 N# c7 y
O3 _8 W# G; f9 g, @
% 设置 L 的对角线为1
& O+ Y9 i' A9 Q! k- S& @
for i = 1:n
% _, D$ |* h# T7 y
l(i, i) = 1;
# U% z" {1 [, f. a/ l3 t
end
9 l& O4 x3 N* v( Z
% R% d5 L+ S3 c
% 前向代入
" g* h' u' Y9 \3 i7 `- ]: ]
y(1) = b(1);
1 g3 T D0 e1 a
for i = 2:n
# V2 p% D4 u' F& f' X
sum3 = 0;
0 J# L& R1 Q0 K1 S1 i4 K, j
for k = 1:i-1
4 {3 l' p( z! q+ W: S
sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
0 ^' E, d" Q! d+ i) q, i
end
& O3 p6 U: Y9 _* {* s* ]% ^
y(i) = b(i) - sum3;
. E) Y; N+ `& _: K4 {. l' W
end
8 } M4 B. E( ]6 {
2 [5 f6 s3 z; F. n( V% y1 }2 X4 }
% 后向代入
# E9 @" S8 j9 N; b/ p# [4 M
x(n) = y(n) / u(n, n);
% {8 ?9 ]* N- n: C
for i = n-1:-1:1
, O8 J% R1 H! W) Z
sum4 = 0;
6 Y* J; C6 S6 Z+ }
for k = i+1:n
. L: r% [# o9 |: r
sum4 = sum4 + u(i, k) * x(k);
, R% o8 ~! g6 v* A5 g% L4 d. h' |) o
end
0 p; j ?1 v1 T0 v3 }2 N
x(i) = (y(i) - sum4) / u(i, i);
, _, v7 ^ N& j
end
" V5 Q3 H9 \2 B2 G$ r
$ V. Z3 G* ?7 \& K* F* m6 }8 D
% 输出结果
* n0 w6 r4 x O) i2 S: _2 K# K
disp('解 y：');
4 s9 a; r- |. o0 B
disp(y');
$ Q! n( L/ e# y& c2 _
disp('解 x：');
N4 I( P# l- r+ n$ U
disp(x');
7 g. g' C( ~/ v% ~5 Z& J4 G
( j0 A. `( x) t* o+ Z. W
这段代码通过 LU 分解将矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后使用前向代入和后向代入求解线性方程组 Ax = b。最后，输出解 y 和解 x。
; [* u5 X) V3 M3 b: | g0 `
/ H( ^( Z/ s0 e) ]; S m
: e! M5 k, A4 i, H; y
LR.m
2023-12-31 17:03 上传
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= a(1, ;) e$ U" c z4 v5 N0 t