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标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 17:03
标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
这段代码实现了 LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个方阵，b 是一个列向量。以下是代码的中文解释：
! y7 ]( Y8 F8 j- U% f
a = [1,2,3;2,5,2;3,1,5];
! J5 h% [# K H& p; n: N# C
b = [14,18,20];
3 q* x4 u$ D% x3 P! Z: _9 ?7 ^
n = size(a, 1);
. \' b8 m `. L
u = zeros(size(a));
0 ]6 q, e$ n4 B5 h/ t, {$ j
l = zeros(size(a));
/ C+ W _9 P( [- }$ T0 n) r4 W
u(1,
= a(1,
;
, r. i+ h% F( F+ h0 ~2 p% \- Q1 u9 O
( M* {5 Z1 k" L+ d! J b: D0 ^
% LU 分解
8 L$ C& \. L5 M
for i = 2:n
# ~/ {, ]9 z; U! d% m
l(i, 1) = a(i, 1) / u(1, 1);
% T) p: J' ~9 M1 m9 z6 C
end
5 F6 ]7 Y" R' l: _" K
for r = 2:n
' ^ @; X3 W/ o' r2 |, n
for i = r:1:n
: D( ?# P3 u) Z+ H! w
sum1 = 0;
8 o" o! b0 r' E. L8 p+ [
for k = 1:r-1
: f Q# n% N! y3 P
sum1 = sum1 + l(r, k) * u(k, i);
) R3 p# R+ S) y% `( D
end
) S* H% ~2 W$ \
u(r, i) = a(r, i) - sum1;
( K5 |) l2 d2 t, }$ ~/ E
end
% a9 V' V, w( k6 A9 K
for i = r+1:n
; W0 j& r. V5 \9 H# g$ w, P
sum2 = 0;
2 N9 D; d$ Y+ y* V" ~2 i( ?
for k = 1:r-1
8 o: S' L- ?8 P. ]3 }' A0 I9 H
sum2 = sum2 + l(i, k) * u(k, r);
8 }4 x6 I G5 \1 ?7 k% Q' v
end
' A8 l( D) \( b. U9 B0 z" z {
l(i, r) = (a(i, r) - sum2) / u(r, r);
/ H/ v' E& e7 M5 c. g- |; @" V1 r
end
* f: L/ ^& Y# x8 x! e
end
( Z+ Y& ~9 c; c. \ e
: {$ ]8 I L& }2 T% U
% 设置 L 的对角线为1
0 n- z$ r8 j! C) G0 Y
for i = 1:n
( q) V. V0 x1 M+ [, O
l(i, i) = 1;
! `+ u# x: Y+ S+ j0 Q+ Y# n' d
end
) f1 n! O0 Z8 ]. {+ I6 k5 _
" g! e' R7 b7 @2 |) l5 K# B8 ^
% 前向代入
9 ~4 g2 j$ Y& n, J5 B7 @& ~
y(1) = b(1);
1 |8 z5 o* Y7 u1 W6 Y9 E6 s
for i = 2:n
7 u, R6 p4 {6 [
sum3 = 0;
9 b( H, f- W& i: t& u* k
for k = 1:i-1
# w5 C- Q; v: Z
sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
! Y8 x6 ]8 X; I; n
end
9 o0 k9 R v* R0 U; o
y(i) = b(i) - sum3;
2 B# c/ n' u( H
end
8 E8 _& O8 l4 ~% q1 M
+ ~- X( L9 D$ L1 B; d
% 后向代入
% ?' N( E! x( `$ p
x(n) = y(n) / u(n, n);
. w9 ]$ o v+ l
for i = n-1:-1:1
( B: X. O- i L2 j# a+ H r8 K, n
sum4 = 0;
, \" _& c" S/ J4 V' b
for k = i+1:n
8 `" @; x) ?8 K( a: {
sum4 = sum4 + u(i, k) * x(k);
. P4 a5 x( D- e# P6 I6 _0 I
end
6 t0 [- [" S! [ p6 |$ d
x(i) = (y(i) - sum4) / u(i, i);
- f! I. Z1 m; \1 h. Z# Q
end
, H6 v/ N, K. d) i, C" Q) L
2 L) x! u5 A8 ~/ ~( Q
% 输出结果
3 A5 S( a8 j4 I$ H$ {2 n- c
disp('解 y：');
/ }. Y3 F. A0 f
disp(y');
+ W: e& k( m" O; P, ]
disp('解 x：');
& E7 k, t9 h- K. S0 I
disp(x');
6 L7 ~' A) {/ l- q* c
- T( o+ E. R/ L
这段代码通过 LU 分解将矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后使用前向代入和后向代入求解线性方程组 Ax = b。最后，输出解 y 和解 x。
. U# h/ i! U, k
: W' H$ t+ i; z( o( w6 g5 C
. D# ?6 _4 e s7 A0 `
LR.m
2023-12-31 17:03 上传
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