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标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 17:03
标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
这段代码实现了 LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个方阵，b 是一个列向量。以下是代码的中文解释：
8 Y, q' |+ O% x0 i0 t) X& r
a = [1,2,3;2,5,2;3,1,5];
3 H+ }. y% f. M; W
b = [14,18,20];
. Y1 x' V: ~9 |5 c0 J& f$ Q! u" \7 y
n = size(a, 1);
; S) ?4 G* W1 ?+ f, i
u = zeros(size(a));
+ o- h3 }3 p+ S K* B
l = zeros(size(a));
0 B$ F& N' S3 `0 U
u(1,
= a(1,
;
8 b2 A* R$ b2 E
5 h8 g- z) u% h" |, \) L# J6 D) ~
% LU 分解
1 K$ z( z* L4 ^0 ]
for i = 2:n
- y; h; b" x* G/ l4 c
l(i, 1) = a(i, 1) / u(1, 1);
& o1 k3 R4 v( T2 ~- l
end
4 H x/ E4 j6 k, s* h
for r = 2:n
1 z8 s# U2 N, K, _* S2 _
for i = r:1:n
" R% m2 F! c/ e' l! W/ J' G) R
sum1 = 0;
# k; U# W" u, O& z2 G6 @& w
for k = 1:r-1
: m6 `( Y4 w% ~1 R P0 b0 n
sum1 = sum1 + l(r, k) * u(k, i);
. f5 z! ^* r- I2 s
end
+ {5 ?3 R9 N( f- l9 y
u(r, i) = a(r, i) - sum1;
T A0 B' K. H' a( |- p9 ^
end
6 Q- n- x) Z" O, U6 r9 K# k6 q
for i = r+1:n
/ C3 h A0 q! m/ E1 y1 n* i
sum2 = 0;
6 @# \1 @3 ]1 S# n; A0 w8 C, K
for k = 1:r-1
8 W K) I5 W( D) P2 H
sum2 = sum2 + l(i, k) * u(k, r);
$ O/ N v1 F+ O* B# A k F
end
( z) I" _: x' ?" T
l(i, r) = (a(i, r) - sum2) / u(r, r);
8 _: @7 ?7 d* M) x
end
! G" B! T0 @. v: x& D' o3 r
end
3 M5 d3 Z3 C2 J& m b. O: L4 e
8 a( O8 y9 G! K$ P) T& ^
% 设置 L 的对角线为1
/ \ l* G" j& w" O
for i = 1:n
$ v$ h) q& g, F0 E
l(i, i) = 1;
; ]: n0 n& Z9 t3 o: J$ Q& ^% l
end
7 ?1 Z2 O e, x! m
) v* j' a: E, b1 J" c
% 前向代入
% u- v" _. {4 f- c7 q. E
y(1) = b(1);
! d/ b6 f9 L* M B) g" @- d
for i = 2:n
$ m3 H1 p, _3 u- k6 y
sum3 = 0;
# @ \/ n% X7 f+ P
for k = 1:i-1
, ^$ n' M6 Q; H% I
sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
+ f6 n2 P! e1 P
end
- [1 m, _0 R% y# W E6 G; T
y(i) = b(i) - sum3;
+ u. F; @' G; ~7 R1 J* S
end
0 G2 Q# ?. }5 s! }+ F
& B* q' ?2 S! o! K B" G6 y
% 后向代入
`# R: j* r+ p* v- B& E- G, w
x(n) = y(n) / u(n, n);
8 Z3 X+ P- f' K) H g# c! C3 K3 N. [
for i = n-1:-1:1
2 M6 c- X0 W4 _, O: a
sum4 = 0;
! P, g: k2 Q9 L* x
for k = i+1:n
* V% c( H7 o. ]/ B
sum4 = sum4 + u(i, k) * x(k);
. d3 T7 {6 l# E
end
- p8 W% d: M9 ^# X4 ]
x(i) = (y(i) - sum4) / u(i, i);
* }9 {2 N, v5 S. Y) f, R' M- u; K
end
+ {6 @, L5 Y- L( O/ X+ f
! R) Z. n; ]9 T5 l
% 输出结果
3 M& S6 f9 o# g' D' {% ^
disp('解 y：');
- f& L1 z+ O& k" e
disp(y');
! m9 w! Z/ |. ]
disp('解 x：');
6 @5 H" w$ K% ^
disp(x');
" l# {' l3 p- k. F! H/ k
- l: T8 o7 _' ^$ k/ b
这段代码通过 LU 分解将矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后使用前向代入和后向代入求解线性方程组 Ax = b。最后，输出解 y 和解 x。
7 p3 {' f& k I5 `4 G( F# E
% g) N3 m, J- `. D) V7 y
% C# |9 ]! q+ ?6 T7 Y
LR.m
2023-12-31 17:03 上传
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= a(1, ;8 b2 A* R$ b2 E