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标题: LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b [打印本页]

作者: 2744557306    时间: 2023-12-31 17:03
标题: LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
这段代码实现了 LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b,其中 A 是一个方阵,b 是一个列向量。以下是代码的中文解释:7 z9 E8 B8 B1 i6 B& q
a = [1,2,3;2,5,2;3,1,5];
( T1 _( r9 A8 ~3 F- t8 Ab = [14,18,20];
8 L1 t" _3 j/ rn = size(a, 1);
& x1 K% ?9 ^: V/ Y! v2 s- Vu = zeros(size(a));
" J, T4 d1 K" c5 C: A" V4 Hl = zeros(size(a));
0 a+ ?% Z, |4 l, W( xu(1, = a(1, ;
- [  Y) p) R) V7 x" d- u
( f& y# z( t, @  D/ r5 D6 I( G% LU 分解' j! K! K* t* r4 e0 f8 I
for i = 2:n
5 c! X: r9 J: F4 P# p    l(i, 1) = a(i, 1) / u(1, 1);% c( t. E" T+ b
end) V4 z& g9 H! n  i) O
for r = 2:n
# U1 y1 @% t- l5 h    for i = r:1:n) F: @# Y. f6 N: z
        sum1 = 0;
& K$ ^" j" K, x+ n        for k = 1:r-18 |. T1 i5 Q5 `* \9 V# F- K) {
            sum1 = sum1 + l(r, k) * u(k, i);
4 I7 ~1 @3 A5 B        end
( i" Y: R5 Y- A9 g        u(r, i) = a(r, i) - sum1;# T0 F3 p" f$ k% x0 ~
    end
, Q  R4 D/ |9 D8 c7 n/ F4 X( m    for i = r+1:n7 _. ~  _& s' {+ {, X
        sum2 = 0;) g& Y( q% y7 M( Y5 k  e
        for k = 1:r-1
  Z4 y0 v: t3 ~) `6 t7 [9 G            sum2 = sum2 + l(i, k) * u(k, r);
* c, w; m& p* o$ i        end
1 b9 v: V0 t: i% }- I8 h        l(i, r) = (a(i, r) - sum2) / u(r, r);) S! M/ A- y2 c
    end" F% V% R8 g: E4 w" G8 @  r  T
end
8 ?1 q3 c2 h. B- w6 B$ B" H5 G1 T, B. C* R/ u
% 设置 L 的对角线为1- J  H* B* t' r; ?
for i = 1:n
! k0 u5 W( Y4 N1 M    l(i, i) = 1;
4 m& Q' k4 p% A7 Z' |* u0 Qend
9 g) s9 f- |8 }  ]! A" r5 Y: H8 E4 [$ }2 m- \  l
% 前向代入
; @% M5 U& j; y) L3 Wy(1) = b(1);
' p* b$ h# z" a! h" S( i; zfor i = 2:n
1 a0 u4 x7 c; Q5 w( K    sum3 = 0;3 k  k- k# P- e
    for k = 1:i-1
* g4 Y% _5 P: z) v. ?5 n$ f        sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
: v3 _# d5 z6 r8 f1 |    end
8 s3 n$ d: G& }    y(i) = b(i) - sum3;, A& E! s* V' z5 v, L) z: n0 R* _) s
end. V# M# O3 m8 C! ^* ]8 `: e

! t$ r! J& \) Y3 I! [" b% 后向代入% E& F# U) V% Q
x(n) = y(n) / u(n, n);
) G5 X- B3 F7 ]8 Sfor i = n-1:-1:1: h0 B, k2 t2 v
    sum4 = 0;* B+ V: ^) S; t- \$ |
    for k = i+1:n$ S  H3 l% A$ s. l: r) G$ d
        sum4 = sum4 + u(i, k) * x(k);' j% t( W  g9 J  L! A* J9 O
    end8 \/ h) u8 H$ I! S
    x(i) = (y(i) - sum4) / u(i, i);
. P; h+ p( m5 y1 |- A% a0 vend% c2 E. S9 F# R
0 f) M) l% {% {7 j/ ^
% 输出结果* B6 w; d9 ]  e! f/ @
disp('解 y:');
( s. E- B8 s7 _7 K( h3 J/ Gdisp(y');
$ g; N0 g7 N, ^" u  r3 z* c5 Udisp('解 x:');
6 j$ l3 |4 [$ z' N  h; l2 k: ^disp(x');# N& ]2 B9 V; I8 ~# \0 _1 ^0 \, f
; C  \9 z' w+ y5 r# ?. `
这段代码通过 LU 分解将矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U,然后使用前向代入和后向代入求解线性方程组 Ax = b。最后,输出解 y 和解 x。7 v' n& |7 i+ o, z# z* J

1 ]3 E' E6 q* n- J( E: u
3 {9 X4 H; F9 \, m+ q6 Q" u

LR.m

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