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标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 17:03
标题:
LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b
这段代码实现了 LU 分解和前向/后向代入法来解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个方阵，b 是一个列向量。以下是代码的中文解释：
7 z9 E8 B8 B1 i6 B& q
a = [1,2,3;2,5,2;3,1,5];
( T1 _( r9 A8 ~3 F- t8 A
b = [14,18,20];
8 L1 t" _3 j/ r
n = size(a, 1);
& x1 K% ?9 ^: V/ Y! v2 s- V
u = zeros(size(a));
" J, T4 d1 K" c5 C: A" V4 H
l = zeros(size(a));
0 a+ ?% Z, |4 l, W( x
u(1,
= a(1,
;
- [ Y) p) R) V7 x" d- u
( f& y# z( t, @ D/ r5 D6 I( G
% LU 分解
' j! K! K* t* r4 e0 f8 I
for i = 2:n
5 c! X: r9 J: F4 P# p
l(i, 1) = a(i, 1) / u(1, 1);
% c( t. E" T+ b
end
) V4 z& g9 H! n i) O
for r = 2:n
# U1 y1 @% t- l5 h
for i = r:1:n
) F: @# Y. f6 N: z
sum1 = 0;
& K$ ^" j" K, x+ n
for k = 1:r-1
8 |. T1 i5 Q5 `* \9 V# F- K) {
sum1 = sum1 + l(r, k) * u(k, i);
4 I7 ~1 @3 A5 B
end
( i" Y: R5 Y- A9 g
u(r, i) = a(r, i) - sum1;
# T0 F3 p" f$ k% x0 ~
end
, Q R4 D/ |9 D8 c7 n/ F4 X( m
for i = r+1:n
7 _. ~ _& s' {+ {, X
sum2 = 0;
) g& Y( q% y7 M( Y5 k e
for k = 1:r-1
Z4 y0 v: t3 ~) `6 t7 [9 G
sum2 = sum2 + l(i, k) * u(k, r);
* c, w; m& p* o$ i
end
1 b9 v: V0 t: i% }- I8 h
l(i, r) = (a(i, r) - sum2) / u(r, r);
) S! M/ A- y2 c
end
" F% V% R8 g: E4 w" G8 @ r T
end
8 ?1 q3 c2 h. B- w6 B$ B
" H5 G1 T, B. C* R/ u
% 设置 L 的对角线为1
- J H* B* t' r; ?
for i = 1:n
! k0 u5 W( Y4 N1 M
l(i, i) = 1;
4 m& Q' k4 p% A7 Z' |* u0 Q
end
9 g) s9 f- |8 } ]! A" r5 Y
: H8 E4 [$ }2 m- \ l
% 前向代入
; @% M5 U& j; y) L3 W
y(1) = b(1);
' p* b$ h# z" a! h" S( i; z
for i = 2:n
1 a0 u4 x7 c; Q5 w( K
sum3 = 0;
3 k k- k# P- e
for k = 1:i-1
* g4 Y% _5 P: z) v. ?5 n$ f
sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
: v3 _# d5 z6 r8 f1 |
end
8 s3 n$ d: G& }
y(i) = b(i) - sum3;
, A& E! s* V' z5 v, L) z: n0 R* _) s
end
. V# M# O3 m8 C! ^* ]8 `: e
! t$ r! J& \) Y3 I! [" b
% 后向代入
% E& F# U) V% Q
x(n) = y(n) / u(n, n);
) G5 X- B3 F7 ]8 S
for i = n-1:-1:1
: h0 B, k2 t2 v
sum4 = 0;
* B+ V: ^) S; t- \$ |
for k = i+1:n
$ S H3 l% A$ s. l: r) G$ d
sum4 = sum4 + u(i, k) * x(k);
' j% t( W g9 J L! A* J9 O
end
8 \/ h) u8 H$ I! S
x(i) = (y(i) - sum4) / u(i, i);
. P; h+ p( m5 y1 |- A% a0 v
end
% c2 E. S9 F# R
0 f) M) l% {% {7 j/ ^
% 输出结果
* B6 w; d9 ] e! f/ @
disp('解 y：');
( s. E- B8 s7 _7 K( h3 J/ G
disp(y');
$ g; N0 g7 N, ^" u r3 z* c5 U
disp('解 x：');
6 j$ l3 |4 [$ z' N h; l2 k: ^
disp(x');
# N& ]2 B9 V; I8 ~# \0 _1 ^0 \, f
; C \9 z' w+ y5 r# ?. `
这段代码通过 LU 分解将矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，然后使用前向代入和后向代入求解线性方程组 Ax = b。最后，输出解 y 和解 x。
7 v' n& |7 i+ o, z# z* J
1 ]3 E' E6 q* n- J( E: u
3 {9 X4 H; F9 \, m+ q6 Q" u
LR.m
2023-12-31 17:03 上传
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