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标题:
高斯消元法解线性方程组
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 17:28
标题:
高斯消元法解线性方程组
这段代码是用于解线性方程组的高斯消元法（Gaussian elimination）。以下是代码的主要步骤：
! A; H' X; n6 C, j+ Z, v0 \
& H6 m6 G+ C" ]. s9 }3 \3 T
1.初始化： 定义系数矩阵 a 和常数向量 b，以及一个排列矩阵 L，用于记录行的交换顺序。
4 i' A! G( l" s) s6 U3 S
}# d) m) \) E h8 E
a=[1,-1,2,-1;2,-2,3,-3;1,1,1,0;1,-1,4,3]; % 系数矩阵 a
( \! o5 K& H" g' [6 D4 _8 |
b=[-8,-20,-2,4]'; % 常数向量 b
) E( D9 ^; p- g' [4 ^
L=[1,2,3,4]; % 排列矩阵 L
: d0 M8 n( q) O5 r' u j0 y
n=length(b);
8 g' r' s6 o3 S( Z
7 j$ v4 Z5 g: ^2 z' Z6 j+ ?
+ ^ }" A4 x C% f3 H: Z
2.高斯消元： 通过一系列行变换将系数矩阵转化为上三角矩阵，并相应地更新常数向量。这里使用了列主元素法，即每次选取绝对值最大的元素所在的行与当前行进行交换。
* ]2 ]$ c8 s# E# z3 c. [8 ^( P6 M: F
0 v7 l, S3 K% m E, e/ t
for k=1:n-1
3 P# L6 W2 O0 X$ M& a
[p,q]=find(abs(a)==max(max(abs(a(k:n,k:n)))));
6 e* l2 a) G& T( a
/ f5 D$ Q1 ~6 o9 u, I6 E
if(p~=k | q~=k)
) G5 K$ J" A. p! A
t=a(k,
;
) l! k" I# I( s- t; W) l' y0 W9 b
a(k,
=a(p,
;
: a( [/ \! I) I6 ~$ w& E
a(p,
=t;
; ~+ d7 f, P! V4 A, c
r=a(:,k);
) K, J+ C1 r, e
a(:,k)=a(:,q);
* x$ Z( U4 t2 x8 {4 J
a(:,q)=r;
$ Y2 V7 @( V* _
t=L(k);
$ T* T9 H2 _- {# j, q6 X/ ^
L(k)=L(q);
+ f. V3 _. P5 u7 d/ E2 I. w5 f3 B% S
L(q)=t;
0 \ c- d# B* a$ i+ B: w
u=b(k);
4 A$ b; _) ?, M! {2 y0 `: W4 {* C$ T
b(k)=b(p);
& h K5 G C4 B. i/ e4 R
b(p)=u;
g8 d* z8 M3 h" k w1 E" T; c2 ^( ~3 f$ |
end
' b- d0 o$ `" I8 Y- b. ?& O
m(k+1:n,k)=a(k+1:n,k)./a(k,k);
2 g; J) D3 C ] f+ D
a(k+1:n,k:n)=a(k+1:n,k:n)-m(k+1:n,k)*a(k,k:n);
8 o- z2 C; {0 d( D2 i
b(k+1:n)=b(k+1:n)-m(k+1:n,k)*b(k);
# W5 R0 j/ V! h2 S
end
1 e1 M7 U& O- I# ]& ]
3 @% @; @' M6 W6 u
. r4 }+ ]5 a& w$ r
3.回代： 通过回代过程求解方程组。从最后一行开始，逐步计算未知数的值。
& x5 u* D; t, ~6 X; Z
4 H( w8 m. E; O' |* T6 L0 e
y(n)=b(n)/a(n,n);
/ D* U4 K& l0 s, L
for i=n-1:-1:1
; T, V: {4 e/ l' G$ @1 z7 C, K. D
sum=0;
" S* H4 { p" T0 L
for j=i+1:n
1 }/ O7 C/ b% r! ^3 S" n4 \! T* z
sum=sum+a(i,j)*y(j);
! V3 G4 j# Y" F# M: p% |7 _) s
end
" k g; j8 H$ K/ ^0 q
y(i)=(b(i)-sum)/a(i,i);
1 X \. k7 ^& I8 ?
end
1 w, p8 |% A1 O6 R, A+ }/ G9 n
$ D& C" B4 B3 T$ g4 ]& I( i
3 c3 U& n7 H; v$ j
4.输出结果： 将解存储在 x 中，并输出结果。
# ^% L/ G) D# v5 X1 V9 G2 H5 F
& @3 H9 n, Z$ K; ?, W' L2 U
x(L(n))=y(n);
8 x- {; T4 [- u" g
x(L(1:n-1))=y(1:n-1);
7 @3 R, `5 f w3 N" ]& o7 n
jie=x'
7 i* Q' w5 @2 S
) d' s* u9 l7 [8 L) R ~
最后，解向量 jie 包含了线性方程组的解。请注意，这段代码在求解之前进行了列主元素的行交换，以提高数值稳定性。
3 Z1 P0 k: a2 |" @
9 k5 c# v# S/ w; N' j
6 a8 \( a$ s% J/ G8 l' b
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