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二阶和四阶的泰勒展开法（Taylor's method）来数值求解常微分方程初值问题
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 17:55
标题:
二阶和四阶的泰勒展开法（Taylor's method）来数值求解常微分方程初值问题
这段 MATLAB 代码实现了使用二阶和四阶的泰勒展开法（Taylor's method）来数值求解常微分方程初值问题，并将结果与精确解进行比较。以下是代码的主要解释：
: k* o4 x, K G( b: ^2 ~
function y = Taylor(a, b, N, af)
# T+ T* i- J c6 k; |
h = (b - a) / N;
) Y/ z+ m: A, a. B Q! K
x(1) = a;
) E: M+ s) P" t5 u" U7 x3 S
y2(1) = af;
5 v3 o% r" K K4 F
y4(1) = af;
: j, Q1 {. D) R5 M* ^
jqj(1) = af;
9 x- r6 n( [4 @: o: R
, m5 A9 \5 L# Q4 [
for i = 2:N
6 }# C8 d* W. [% O. p; w7 H" s
% 二阶Taylor法
/ S/ X7 r/ f+ r* \
y2(i) = y2(i-1) + h * ((1 - h/2) * (x(i-1) - y2(i-1)) + 1);
4 J/ c5 D( ?' ~* G- l( q( E
3 b. D- p/ H5 v+ d7 D6 ]
% 四阶Taylor法
! q/ U1 K# @( {* Z) c4 ^% h- z2 m( @' O' T
y4(i) = y4(i-1) + h * ((1 - h/2 + h^2/6 - h^3/24) * (x(i-1) - y4(i-1)) + 1);
1 U, ~: C" b, x/ O) j& O
" n+ E% c/ E; Z! }' f
x(i) = a + (i-1) * h;
9 o1 R; w" O$ p/ W- d5 L
jqj(i) = x(i) + exp(-x(i));
$ P1 K% Q7 g9 C
end
, s8 s, H0 d1 i/ q Z4 i
8 j5 q3 F( M1 H- t
% 将结果输出为矩阵形式
, A a3 C/ {( j
result = [x', y2', y4', jqj'];
) m9 Q' I: d i9 N4 W# I
3 b7 M2 t! o) {3 N+ r0 a2 z8 z3 \ g5 o- X
% 绘制曲线
9 o Z& h+ ]8 o s! w# l, M
plot(x, y2, 'r', x, y4, 'b', x, jqj, 'g');
! y& ^9 }8 O" [! [3 v( n
legend('Taylor2法', 'Taylor4法', '精确解');
q* K% ?1 _! r/ E
end
* p' I/ r0 Q) V( j4 h9 y
8 g7 I7 }0 a* z$ o* O0 A
该函数的输入参数包括求解区间 [a, b]、步数 N 以及初始条件 af。函数使用二阶和四阶的泰勒展开法来逐步求解微分方程。最后，结果以矩阵形式输出，并绘制了二阶Taylor法、四阶Taylor法和精确解的曲线。
2 k6 n( r' y0 {( f# T9 f4 G* O) [
你可以调用这个函数，例如 Taylor(0, 1, 100, 1)，其中参数表示解在区间 [0, 1] 上，步数为 100，初始条件为 1。
$ S5 x3 S: O8 h- T/ a c: u+ h6 U
2 G- v0 N" C5 o5 [# n1 _" V
. `4 P6 ]3 B) e) q
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