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标题:
二维波动方程的差分解法
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 18:06
标题:
二维波动方程的差分解法
这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
% Z3 k: d3 B* _
close all;
F0 `/ L2 o3 d
clear all;
% B; D; R; x6 K; p; i% N
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
$ F& h5 Q9 R$ e9 N% U' J( c8 ]
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
: Q1 S! L5 `. O0 E! h a. _" O+ [
ITMAX = 100;
6 w; b) v$ j) _& t
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
- N7 l9 k2 O8 \, Z7 |1 k6 y
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
0 t0 b8 Z+ S" l" N7 {& [
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
' p& F3 i. z. Z
h = (b - a) / n;
3 s6 }8 j6 A7 ^ i
k = (d - c) / m;
6 I! c: z& p. \6 B
x = linspace(a, b, n + 1);
$ z# w. u6 w6 }2 x
x = x(2:n);
# C/ I0 x2 [% _( @( l& n: M
y = linspace(c, d, m + 1);
; b7 d) X2 I! z" X5 [# p
y = y(2:m);
# x4 F1 ~2 X7 g! s4 Z: m
u = zeros(n - 1, m - 1);
5 ~. Q' Z" P. l7 Z0 _3 I
lmd = h^2 / k^2;
2 b# Y1 R$ o/ Y% f+ J5 B
mu = 2 * (1 + lmd);
4 t3 a$ {1 B) N! J9 B0 U% g
# V$ k+ T; a/ C- @% Q- F
for k = 1:ITMAX
5 @# ^- A4 s+ m) G8 U" {: q
z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
4 ~/ u( D |; ^ J
lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
1 u$ Q, \8 ~5 W _) i7 ?1 X
u(1, m - 1) = z;
4 j% M7 Z7 g5 \; d1 E8 y
, a9 O0 U- g) z: S* ]8 q J9 v m2 K
for i = 2:n - 2
# v# v5 e8 }& y/ v3 K w
z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
2 w9 ]1 c% K, ?$ L9 z
u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
. `" T7 G' u) L6 w% u$ f7 J
u(i, m - 1) = z;
8 i7 M; A* j( z0 ?7 L7 [1 V) ]
end
% q! M7 V- G) m8 r& W4 m9 Z& i2 `
- {, {4 ~, {4 z
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
$ V; M& @4 S/ M
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
0 J. V* E6 h2 M: P' A
u(n - 1, m - 1) = z;
7 N8 a! \5 E# P) b- t' Q
: x; H7 m; P- `# f; w
for j = m - 2:-1:2
7 n' K, R; A! j" G1 f" B! ~9 s
z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
" F. T! e9 c* S% n- S( i
lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
2 w5 p+ P1 R8 }3 c, ?$ L3 n, A
u(1, j) = z;
) q1 n8 m7 ^% @- o' D
- q: V& Q5 H) C2 k: S
for i = 2:n - 2
+ S, F5 r, b4 h- V( ^8 {4 ^* `
z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
+ |! a4 M# ], F- \. x6 S
u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
|6 s g! i/ @7 x! M
u(i, j) = z;
# |. Q) G$ `/ b! m# a7 G4 H
end
$ t- e4 O y u% J! t
/ V0 x0 ~3 Q* A
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
$ w% {4 n0 _9 }. ]9 J/ {
lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
( m& b! P: @$ s0 Y- p' h/ P! ]7 W
u(n - 1, j) = z;
4 [6 l# W2 h& K) I
end
. j2 b8 N* @* y, Z6 ^7 y
* ?5 { H3 X# _- y; I
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
/ s1 U7 `3 b: N4 _5 ?
lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
3 M4 z+ E; p! j4 C
u(1, 1) = z;
. ?9 O5 A% F+ j% J2 T& K& e: L9 D$ v
/ @' l4 f H3 J6 a
for i = 2:n - 2
; C# [) m* O, ]% E
z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
$ A- w2 \% }! {; c3 L) ^
u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
8 T) q; @; s) @: o
u(i, 1) = z;
0 |7 c% u8 P% n' [
end
6 j$ I" V1 D2 [* F
8 |' N0 K2 v v( W% y \
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
+ r3 A! I- I8 U2 r) _ m
u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
7 T/ G- \6 C2 L: ^/ j) E
u(n - 1, 1) = z;
( \1 l0 i7 f1 H \
2 Q' X. B1 @, r) z1 c
x';
& W- ~0 d& d8 }# f, R) B0 V
y';
0 O+ }& e. O. h) W3 D
u';
; m, L6 `! z8 [7 D% \
end
# {# |/ o9 t7 R
0 q; G. r" @& k; Z/ z5 O0 @6 v
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
' ?' c2 R) g1 D7 G
* Y& l/ h" r2 H) W% q4 m; [2 f
+ J$ D$ A" x( N6 v
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