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标题: 二维波动方程的差分解法 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2023-12-31 18:06
标题: 二维波动方程的差分解法
这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
+ I7 `6 v) ]! l/ Kclose all;
0 Y) {0 u( n2 w0 n9 Y( gclear all;& n, }5 {' |0 p
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;, n5 x' }& L2 k8 w9 w, ?
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
  U3 z3 Z: e  j; r" [5 p5 FITMAX = 100;  _3 E  o" H$ w8 @
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');. _% s# m2 @2 i$ ^2 e5 l
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');/ o% f/ \9 r3 p5 u1 G
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
( A' p" |5 _# E& D) sh = (b - a) / n;9 |& \& B  t, n6 \1 i4 I
k = (d - c) / m;
- S" x* |; f) w5 Rx = linspace(a, b, n + 1);
. D- |5 {/ ^& n- A1 j9 G' o0 n" vx = x(2:n);" F0 C& {' }% v. _
y = linspace(c, d, m + 1);
0 A0 |0 E$ q, _/ K8 l- e4 K: e% Ry = y(2:m);
/ \6 d3 J9 Q% g  Ku = zeros(n - 1, m - 1);3 q: o. L5 k1 F
lmd = h^2 / k^2;$ s; \2 ~, @9 u8 e1 B9 Z
mu = 2 * (1 + lmd);
) n* }: w9 G9 U( G# n* k
) e, |& G) d. s! V' p6 ufor k = 1:ITMAX
& c9 C# b5 V* i* L7 a% t4 H    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ..." K' b1 M, _/ Y& Q
        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
! y" T) `; ^0 O, w5 |    u(1, m - 1) = z;
7 n! \1 _) H$ S; ^3 b$ q5 g
( T4 ?1 H1 ^% x' x4 \* z9 J; i    for i = 2:n - 2" f% E0 ?* |  B0 Q" D+ C
        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...2 K8 g- D' E7 r+ r" I, |
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
5 o! c: b* r& q7 ^, l        u(i, m - 1) = z;
' A; R! o/ G# u6 {! u    end: y" R' U8 a, N$ o
7 l9 P2 b) ~+ e% i7 D+ }8 w
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
+ c" h/ @0 o5 T% K7 C- W$ n        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
# l7 k( v1 P! g    u(n - 1, m - 1) = z;
- Q+ l5 o. M7 J! Y8 B0 H* @6 Y' [( Z9 b9 M3 n8 Z0 {: i
    for j = m - 2:-1:2; `* G! P* P$ _2 M
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ..., h# o! p( T& K8 }) A# W  n
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;7 b1 q3 u# \0 Y7 ]
        u(1, j) = z;
, ]: i- v8 h: h/ s! P
2 e" h& F' X* a* J' j# U/ Y; r        for i = 2:n - 2* ~9 X! J6 |4 Z
            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...# R. E  t' Z1 V" z( `1 U1 [, \! {
                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
! ?' c) ?& z$ D            u(i, j) = z;
8 M; ]6 @6 `  b1 `; ^+ ]        end5 h* O% Q" r, B+ ~
" ~" `- [6 f* {1 x" l
        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
' f; |! i4 K8 t6 l2 p$ r            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;8 p( n9 U2 [  W
        u(n - 1, j) = z;# |  `( T/ j, l0 D
    end9 l. q+ I4 C: s) k: i9 @

! c2 ^# Q8 e9 _6 Q' c/ u    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ..., d3 `5 U  j) F- Y+ u
        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;8 h5 {! x5 |4 V6 N, r6 i6 T
    u(1, 1) = z;
3 |" i) D7 j' D
$ Q; G. u. e) p! ?) {    for i = 2:n - 2+ p! Y' h4 Y2 K" P8 _: ~% M" w: ^
        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...2 s1 {* J7 n6 S9 X7 S
            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;4 O5 u1 b4 B( Q. ~! }! i
        u(i, 1) = z;3 T- P) h3 |% c* W; `# m1 @2 A
    end
7 y8 }+ H+ `! D1 c" O; M. L& e# x$ ]% K& a
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...3 ]% r) e' m; H3 K8 L! {
        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
  r3 C9 q. z$ G5 }    u(n - 1, 1) = z;
2 X! g& Z; x, i; g
! h( y4 w9 C( z3 {, Y. X    x';
/ r9 e9 T8 a+ n6 i$ l5 d    y';
6 A. J& _- Y2 v2 ~; |! k( G' O    u';
+ W" O, T) ]% R2 x" G* S; h6 ]end
5 v; r( e! [; G& g! c( @
4 l3 X. o- y8 f! S8 K6 @6 p该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
2 J( E/ O% ?$ k+ c* ]6 @  z3 g- U* Q6 i5 r) Q7 V1 g' t; U
; I6 n+ O( ?- h( Y. P% [/ o+ t7 K




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