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标题:
二维波动方程的差分解法
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 18:06
标题:
二维波动方程的差分解法
这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
9 J0 v6 k: {% \9 j' y; Q
close all;
' Z7 ?6 V$ ^; q6 C j
clear all;
* k! @$ B; `2 B, Q& ~& K
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
3 s% O' s E( V' X
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
3 Y) e, J0 u: m0 T# M. j
ITMAX = 100;
; ` o4 k, A p
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
?2 X, b% N( A2 X% k: |( E$ Y
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
, Z9 P3 V0 ^9 h- p& w. }3 \
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
# z# ^( s2 G' R9 v9 S
h = (b - a) / n;
8 A- x `$ z1 p( f$ o; |5 M
k = (d - c) / m;
2 I- q1 |& y% E6 y) B6 W1 w
x = linspace(a, b, n + 1);
2 e7 f# a9 @6 U+ I' m
x = x(2:n);
- z8 S. c& ?* G4 |: o# j. o% X
y = linspace(c, d, m + 1);
* z1 f7 ]5 d# h' |
y = y(2:m);
. P8 C0 J- j2 A$ C$ C" \
u = zeros(n - 1, m - 1);
0 F/ ]# Q: {/ c" m9 B( ~
lmd = h^2 / k^2;
* | o- _5 v7 d7 y7 Z
mu = 2 * (1 + lmd);
1 u2 k% L0 F$ k+ g& K" ]
, Y$ [% C$ U* N6 Z9 o
for k = 1:ITMAX
0 }) x8 a/ ]) I2 @9 P
z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
+ F: z# R( t: Q1 A! b; P( \
lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
& o; N9 K# q1 i8 u) ?
u(1, m - 1) = z;
4 B9 O6 s q0 [& w$ o$ G
1 M, Y+ S1 d6 D" h5 [
for i = 2:n - 2
; N+ R) f- g- W8 v8 b& [5 y" `
z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
, t: p/ f0 p# K( I+ Q0 Z ?8 v, x
u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
% M! r1 N+ U: V/ y
u(i, m - 1) = z;
$ n) U: i- |# u9 Y" X
end
2 F. O/ K3 B# {; P
6 b4 X) b( U, X# H. g
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
) B V, I7 o% R
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
3 J* }; K$ L1 x# }" O- e3 H
u(n - 1, m - 1) = z;
1 }+ C6 ~# k, C- W& _$ ]! A
7 G1 L; C$ D N& V4 e* N
for j = m - 2:-1:2
3 i4 R4 U& B \
z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
; ]4 `" B: j# Q5 K. M1 v$ ^6 v
lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
' A! ]4 F: _' K% }+ f4 v
u(1, j) = z;
# Y$ k* u1 J6 d% r7 e
2 ^% C! X0 P/ H/ y o
for i = 2:n - 2
$ @# ]% O- U8 I* O7 y2 O0 X
z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
3 T/ M3 U- E# y) A
u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
! w6 E3 l3 B5 U* ?! F7 m8 [
u(i, j) = z;
# B7 N4 t6 h- a9 g I
end
( I# e, k& e: `% W3 A2 n8 G- l
* ~( _4 }" j* Y' o
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
. k& e6 N2 r& c- V7 P
lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
6 G% F o8 [- M1 @
u(n - 1, j) = z;
: A7 e1 I# s0 t2 _
end
4 F! i8 t, ?9 _0 h+ U. z
2 y" f+ u# m; V8 [
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
9 R9 Y6 i1 j9 l- y. m
lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
" X, C' w" m9 c F6 n# k+ ?
u(1, 1) = z;
+ v) i. f: o6 w/ v* l9 o+ u6 Q: S
8 l/ i* n+ W8 M; Y) L% g, F
for i = 2:n - 2
0 W0 t. }% W6 H" z- `0 [/ r
z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
# M" P7 o: Z# Q2 X P9 g. M# ^" I: W
u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
: B: m) m/ d: P* z# \# Y; ?
u(i, 1) = z;
+ w) f, }9 L9 O, q! e
end
. U, d& |$ C& d
/ B4 f) K3 U: [: u: g" k9 J9 h: k
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
9 ~; k; w; D; d6 ^& g" ^2 Z
u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
7 Y4 c- a7 H% @
u(n - 1, 1) = z;
' y, \* W- W6 O& U+ M) a6 B* ^
1 l3 B% c6 D" B6 Z
x';
: e, R9 z. u, M: c) e
y';
( A0 S9 x' F6 |7 z5 [* p
u';
5 N+ X9 O$ w8 b9 J9 O
end
* | P, R% |/ v& L2 a
% c6 j" ] M0 l6 m
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
1 d: N# U6 B5 g8 S8 Y' V
, M, W9 ]0 n* |$ \3 a
7 C( I8 p; \" j" O2 b2 }
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