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标题:
二维波动方程的差分解法
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 18:06
标题:
二维波动方程的差分解法
这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
( I0 u H2 c# h( k$ j6 r
close all;
9 x4 J9 F0 ~0 }
clear all;
8 d4 ~) R' [0 F5 [
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
# @& E2 n$ {' s9 \9 R
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
0 l( C9 p$ o; ^. }" S
ITMAX = 100;
$ d4 c& @/ o& T, r& ^
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
' s' C% B, S1 d1 f* }
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
: d, ]% g2 z/ g" |3 e$ E) _
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
5 w; `' l( e) c8 a8 H& B# z
h = (b - a) / n;
' j' c3 B$ n) H
k = (d - c) / m;
' N3 w9 A- ?0 ~
x = linspace(a, b, n + 1);
' Q5 A2 G" f+ s5 V: d, G
x = x(2:n);
1 E$ D1 c5 `3 Z! H0 a/ v. {- K8 i
y = linspace(c, d, m + 1);
) V2 ~; Q, ~1 F, P! X
y = y(2:m);
* k4 Q/ w+ S, t. d7 w2 F; O
u = zeros(n - 1, m - 1);
- z$ T% P% J- b2 J8 ?! _
lmd = h^2 / k^2;
) v0 O; T. h5 ~- p( c! A* u% P
mu = 2 * (1 + lmd);
W# M: c" u% \# U5 }* c, v
& \/ s5 [! ]9 R% Y G5 h
for k = 1:ITMAX
6 h, S- u- w$ z6 R v, i
z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
$ |0 [( O/ O9 q+ ?; h. o8 ]
lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
N1 @7 ~ n ?- c: Q3 b
u(1, m - 1) = z;
, _8 T" `5 Y0 m, s, M) d
' P9 W. |! s% }1 G9 {( e4 M2 m" J. }& A; a
for i = 2:n - 2
/ C+ d4 H6 _9 \4 b& e
z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
- M2 U+ C* Q4 X
u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
6 U) i! z' U! [, @/ U8 o; j
u(i, m - 1) = z;
0 [, b4 u2 K; L6 y q2 K9 k
end
- D3 z/ h( w& T7 D7 u/ X
9 O' X$ W- J$ R, c; p
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
4 l/ G4 @& s0 _# j" K& E$ a
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
4 ~+ x* Y2 X; K: ^' j3 d
u(n - 1, m - 1) = z;
p) j9 T! s. p4 q
' {# i2 D) s5 e9 Q
for j = m - 2:-1:2
8 f% M# i2 n1 _2 z9 Y
z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
3 [7 S* a% R5 W+ \9 O& k
lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
2 X/ Q/ W! ^4 X) z
u(1, j) = z;
9 G$ v1 t. q, a8 s+ E* \1 I
. Z; O& B3 x& a( p |( T
for i = 2:n - 2
1 O; o/ y# d8 m7 } k) A
z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
/ ?) i @ N/ Z% I z3 b
u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
$ V+ u8 L4 q) p/ m4 a7 K" ?6 f
u(i, j) = z;
w- P& W& V4 y9 B
end
, G* G) S; p- Q1 C3 m6 F
: j1 G1 ^" a* C5 A) z5 `7 u# s
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
+ B' h4 }5 D7 T
lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
, T% u+ Z8 N6 `+ z
u(n - 1, j) = z;
. Z8 |2 p$ z! m" Y3 N
end
- u. v( k, L8 e8 C+ U# h
( X8 p( O) ]1 x& n0 I
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
, N* T$ U! ?4 ~' ? i. H
lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
. p$ w) K9 F% N6 e8 {* s% A
u(1, 1) = z;
5 G, j- e; V7 X# b$ f3 ~
8 V* }) |+ Z0 {$ P7 B
for i = 2:n - 2
. I/ Q' i4 Z! B4 V) d0 N, O# C
z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
! Z; F. T. ^1 b1 i3 F3 I
u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
* j$ A% f8 t4 x
u(i, 1) = z;
! G- @# K' I' u! G3 L4 O& f
end
; \8 d6 L2 u: t
, |; f9 C& V- V& ~) p8 P
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
0 }. l6 I) L* a* u9 s6 Y
u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
+ ], A8 e: X: Y9 W3 ~1 g8 g
u(n - 1, 1) = z;
- C$ j$ |( U, ~8 L. B
" ]: ]7 `. B$ m+ L. O* z
x';
/ a. {" K# }$ {3 S
y';
+ x9 `5 w4 q+ F$ |& Y* _: |# c8 o
u';
/ O# S( e6 O: V+ K, ~% z4 u+ ]+ ]
end
Q7 q+ }! ~- E! u( B) M2 o
+ }6 g6 c7 ^5 r7 U' P2 ?6 n' ~
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
/ @7 J6 T" _9 p8 R+ h
- [1 G& T5 s) h) R
6 Q9 n2 i( s u8 { m6 Z
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