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标题:
二维波动方程的差分解法
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作者:
2744557306
时间:
2023-12-31 18:06
标题:
二维波动方程的差分解法
这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
+ g1 Z+ w8 H8 ^
close all;
0 P h3 V) ]2 {: `: v3 z# O2 W
clear all;
& S" X$ E. L# A) K3 f
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
- |4 E0 y; f: O, o$ q. f
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
1 V8 x4 i, W0 r% A
ITMAX = 100;
l" K8 ?% I! s1 G3 S7 z3 B2 Y
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
1 t/ H9 C9 v' ~2 q! \3 n0 |! E
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
+ C% w% C" w0 X! \3 P
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
6 `; R# t T: d9 x% g
h = (b - a) / n;
# N, [) ~1 h" ^" F
k = (d - c) / m;
. |+ c' W" J! N/ I! t( W5 _7 T
x = linspace(a, b, n + 1);
3 E6 ]$ n C9 ^' g5 q! v- }
x = x(2:n);
4 d( m3 q- `2 Q L
y = linspace(c, d, m + 1);
& [$ N+ {% w* [2 ]2 _
y = y(2:m);
. E! ~+ B$ G9 Y% q9 x
u = zeros(n - 1, m - 1);
" c$ m. V* Z$ p- H
lmd = h^2 / k^2;
$ S& {1 @ `* l2 v b( l( R, H
mu = 2 * (1 + lmd);
- i6 Z" b) q9 o3 u! y) @
: V1 s3 F& F3 F% r: n6 A% Z3 F' `* k
for k = 1:ITMAX
0 I" p- `7 f0 T( k/ C
z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
* F+ |: \9 D# I$ @& j O9 `
lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
) D% ?$ Q; v3 J0 D' l0 Z$ E- V
u(1, m - 1) = z;
: _7 B7 d' P5 o+ ]* |
+ O/ T% q: W/ w
for i = 2:n - 2
2 f- A* o( o X# }. p& |' _. T
z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
% A! _8 F3 ^& |
u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
% _8 E) U5 e' Q, d" R
u(i, m - 1) = z;
9 o+ y B# e( N8 t8 s2 n3 x
end
* {: j* w9 N1 E; p/ B
$ ^0 a! N) f/ y# A* c
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
0 l1 X6 O q3 ?
lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
# C K+ p" d5 O; P( w- d) R
u(n - 1, m - 1) = z;
0 k, B1 j! p- B, q d$ Q1 J& a( G! b8 [
" A/ a2 L+ u% j1 F
for j = m - 2:-1:2
2 O/ e) c# p/ \, r
z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
, Z: x# K: o: I% F5 Y
lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
- n" W8 E+ `+ `/ K* c' W
u(1, j) = z;
" k& J7 s: E) @- S9 s
6 |+ a6 K2 O3 D
for i = 2:n - 2
" x! B$ _8 Y$ H V' y
z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
5 e8 O- m$ u4 i0 u. a5 G4 J5 V
u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
# ?% C* a: }- E5 W0 Y
u(i, j) = z;
& A: T- T8 ]! Y) i
end
, P) ^7 ^2 L6 p) F- y: N
i+ g* T D# v$ J
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
2 ~4 O" P2 h$ b( ^/ f
lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
$ a" |# H7 ]: \/ z6 P' _
u(n - 1, j) = z;
* w5 z' |/ r3 c- T1 h! v9 \
end
+ B* b# v! G. k$ A- x* `3 \4 Q, L
* l# S2 e0 Z* f" _# w" C, w
z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
4 U4 m, M" ]6 d6 G' d
lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
+ o$ v: K7 y1 o ?
u(1, 1) = z;
- i# f: c7 x1 W" i4 ^
5 h5 M7 N) l2 m$ d3 t% F1 H
for i = 2:n - 2
3 J. p# J! w% O$ O& b
z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
$ E G6 V! B7 y; ~! f( A# ]) q
u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
% o0 N7 e, a# G# J8 }3 X$ `0 I
u(i, 1) = z;
9 l2 W( H4 N! r; e: c
end
1 a# q5 g6 k" w! w0 _
- N! k8 k, c5 p& y8 v5 F. _' t
z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
5 {+ ?4 A2 B* F' r6 `: o4 {+ Z
u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
! P$ n, [' {# e+ O( K- h! ?! c0 Z
u(n - 1, 1) = z;
* x2 {) P8 J, n
. v. F; t& k# U! C; N2 L, t
x';
* p/ A- M+ @/ a3 T2 y7 X# t
y';
, x1 Y& ~; g+ u7 s
u';
1 `) H& S1 H: w# J3 U; y
end
9 ] C# I' u; |) u1 M
9 ~% k2 D- _3 \8 u* e1 k9 j$ X
该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
$ m" P ?0 \& [2 N( U: m4 y/ l
- |4 Q6 ^' ?7 g6 Z2 s
# Z; P, J; r( P: H
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