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标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:34
标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解
使用有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解。这种方法通常用于数值解微分方程。
( A$ u" }# n6 }  q, U8 o2 {- H: X以下是代码的简要解释：/ c; j% E) v' n/ N" T6 |/ s  B

$ S! t7 q9 C7 p; C" P1.使用 inline 函数定义了三个函数 p(x)、q(x) 和 r(x)，它们表示微分方程的系数。5 {& L$ J- e" i& O- `
2.设置了参数，如间隔数 N、初始和边界条件 a0、b0、af、bt 以及间隔大小 h。; @+ `, \+ T( x* B3 o" ?5 n
3.基于微分方程的有限差分离散化，计算了系数 a、b、c 和 d。- n& L0 q6 Q- F2 G  X
4.使用托马斯算法（或追赶法）解决了三对角方程组。
. X' H% H- k: E5.将结果与由数组 zj 表示的解析解进行了比较。) y% T9 D) K: G" N" H
6.将数值解和解析解并排显示，以便比较。
  1. p=inline('-2/x');
    " C, I( b& I" O  _
  2.   q=inline('2/x^2');
    9 u% Q9 }; F/ H9 ?/ z
  3.   r=inline('sin(log10(x)/log10(exp(1)))/x^2');$ X' y# ^2 w0 r4 _# {- ^' U' b
  4.   N=9;8 ]+ a; L- ?2 _* h5 B' D4 y* L, x
  5.   a0=1;b0=2;
      P) s7 p) M+ P# h5 j, O$ G* j
  6.   af=1;bt=2;
    $ V# i6 R# @, Y; F! L0 [! x
  7.   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%, e2 g7 S9 F3 i  d$ X$ t+ c* e
  8.   h=(b0-a0)/(N+1);5 d" B/ s. U5 t' Z4 a
  9.   x=a0+h;0 P) K) `% ?" K3 i
  10.   a(1)=2+h*h*q(x);  ~$ r! z4 W; i7 t" C4 [0 n& m
  11.   b(1)=-1+(h/2)*p(x);
    : d% U& V' Q! ~0 j# H0 L
  12.   d(1)=-h*h*r(x)+(1+(h/2)*p(x))*af;
    8 Y- \, O8 k& k8 S; A# E$ S, R  ^
  13.     for i=2:N-1
    $ B+ W5 a$ ?! S8 r) x' \
  14.         x=a0+i*h;
    / K3 F+ P: [0 v. w
  15.         a(i)=2+h*h*q(x);0 e- x5 s% j& u; b, c
  16.         b(i)=-1+(h/2)*p(x);$ m0 T: Y0 y( C0 H9 D( _  L  ~
  17.         c(i)=-1-(h/2)*p(x);
    & L" h  r( g( }! b3 z# b
  18.         d(i)=-h*h*r(x);) }1 _8 [8 H0 U( |: A
  19.      end
    7 _) x, T- ~  Q- g& c9 {$ g: e
  20.      x=b0-h;
    2 S# d+ x! ^0 S
  21.      a(N)=2+h*h*q(x);/ k1 A6 b' M! H
  22.      c(N)=-1-(h/2)*p(x);+ I- N4 t: E8 H8 c- v
  23.      d(N)=-h*h*r(x)+(1-(h/2)*p(x))*bt;% G6 r. U. r3 K7 N- V
  24.      %%%%%%%%%追赶法%%%%%%%%%%%%%%%%%%8 _' k7 z2 M  N# y  ^8 i
  25.      %y=trisys(c,a,b,d)
    ; g( s7 l9 ?4 F3 v5 @
  26.      L(1)=a(1);
    4 [* h& M0 ]; a4 P" \5 ~
  27.      u(1)=b(1)/a(1);' m7 D) K& z- v
  28.      for i=2:N-1
    6 X' f4 e- S$ V- u6 O0 f' a1 e
  29.          L(i)=a(i)-c(i)*u(i-1);4 [5 }4 g& X) h( ^
  30.          u(i)=b(i)/L(i);7 |6 L8 e9 E6 p9 u7 I1 M
  31.      end
    6 d# p- l1 p; `2 v; C; @/ Q
  32.      L(N)=a(N)-c(N)*u(N-1);
    & @( e& ?  C3 G' i1 z3 `: o; G, c: g
  33.      z(1)=d(1)/L(1);
    2 w& w2 \' u0 @% n! e/ z6 L% ]
  34.      for i=2:N/ B) {. ]3 V" r# Q2 J+ q5 d7 H
  35.          z(i)=(d(i)-c(i)*z(i-1))/L(i);' u7 z# v, D6 D0 U) _9 [! T
  36.      end4 y) b- p. q& N3 M$ N# F# J: T; b
  37.      y(N)=z(N);
    4 K5 P! q" k$ t4 t" T" I
  38.      for i=N-1:-1:11 q7 |% ^, c% {2 I2 e1 G
  39.          y(i)=z(i)-u(i)*y(i+1);
    ; m4 |$ w5 o3 L$ g3 T1 Q
  40.      end- A9 [6 h1 [6 A7 [
  41.      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%9 @' G) `1 k2 d5 |/ E# F
  42.      Y=[af,y,bt];2 D+ b- m" i, N2 J; K
  43. for i=1:N+2
    ! Z8 T% y' v7 a
  44.       x=a0+(i-1)*h;
    # I* J# x( \2 t0 l) D1 n1 `' c# d- {
  45.       zj(i)=1.1392070132*x-0.03920701320/x^2-3*sin(log10(x)/log10(exp(1)))/10-cos(log10(x)/log10(exp(1)))/10;' F  G+ D& G2 D6 r- r+ _
  46. end
    " X+ |) C% B+ W5 o
  47. disp('下面两列分别是数值解和近似解');3 Z# z% T" N  I6 J, N$ w
  48. re=[Y'      zj']
复制代码

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