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标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:34
标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解
使用有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解。这种方法通常用于数值解微分方程。
1 ^, l4 o+ `+ \) t4 a以下是代码的简要解释：
+ ~* G6 V5 \# J8 M0 C3 R! }% p# E. z1 L5 Y! H2 D/ M
1.使用 inline 函数定义了三个函数 p(x)、q(x) 和 r(x)，它们表示微分方程的系数。
  y- X' D' M- D+ t- C2.设置了参数，如间隔数 N、初始和边界条件 a0、b0、af、bt 以及间隔大小 h。) n% Q9 }# z7 g# M$ y$ M
3.基于微分方程的有限差分离散化，计算了系数 a、b、c 和 d。/ v! U  x- I  X
4.使用托马斯算法（或追赶法）解决了三对角方程组。* _* p$ B; b- @; r
5.将结果与由数组 zj 表示的解析解进行了比较。' L4 [4 c& U" R1 V2 L1 l% U
6.将数值解和解析解并排显示，以便比较。
  1. p=inline('-2/x');
    5 Y4 i( r# U2 K* [$ s$ _" N
  2.   q=inline('2/x^2');
    5 p! g; E3 z9 ?5 T( K6 ~, l
  3.   r=inline('sin(log10(x)/log10(exp(1)))/x^2');
    ) E/ l; x" o: V% B. {
  4.   N=9;
    9 S" k; S2 T# |' S
  5.   a0=1;b0=2;# u  Z: o" \2 e" T
  6.   af=1;bt=2;
    ; e/ c" C$ T2 |- [. J: M/ c
  7.   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 B; G: p0 q1 m+ e: y
  8.   h=(b0-a0)/(N+1);
    ! Z7 `' p$ S0 [) f$ D; l
  9.   x=a0+h;1 @+ T' Y2 @/ B  h! }
  10.   a(1)=2+h*h*q(x);
      q4 V5 ~( I$ c
  11.   b(1)=-1+(h/2)*p(x);
    * k7 r8 F2 G5 L% ~- ?1 g
  12.   d(1)=-h*h*r(x)+(1+(h/2)*p(x))*af;$ ?/ b1 a* b$ `5 J+ D6 x
  13.     for i=2:N-13 N8 V4 ^! v+ x5 B5 t1 k
  14.         x=a0+i*h;
    5 D( g9 ^1 K3 V7 A4 T6 L
  15.         a(i)=2+h*h*q(x);  @* V) F2 d7 o4 E3 W1 f/ j
  16.         b(i)=-1+(h/2)*p(x);" [' i$ ^, {0 P( p* s
  17.         c(i)=-1-(h/2)*p(x);
    7 G; F  s7 P  Q% d
  18.         d(i)=-h*h*r(x);: {9 T* y* @; C) r, S% |% P) y
  19.      end7 F, e- m& j$ H
  20.      x=b0-h;! @( n/ @! `! o: N
  21.      a(N)=2+h*h*q(x);
    5 F) O; H* u5 a! H0 w
  22.      c(N)=-1-(h/2)*p(x);
      `/ h% {7 x9 r$ q# H
  23.      d(N)=-h*h*r(x)+(1-(h/2)*p(x))*bt;+ D* S: ]% Y, x1 g
  24.      %%%%%%%%%追赶法%%%%%%%%%%%%%%%%%%* o  Q; V2 [; o/ j) j$ Z
  25.      %y=trisys(c,a,b,d)* M$ d" S& J" s+ O
  26.      L(1)=a(1);
    9 N5 V% x" ?; @, w# K
  27.      u(1)=b(1)/a(1);. o* |; {. u  r, J! m
  28.      for i=2:N-14 w# l. P9 ?: }  O- Z
  29.          L(i)=a(i)-c(i)*u(i-1);
    % N; |% J) j. C0 P1 \" A
  30.          u(i)=b(i)/L(i);! H9 G; i" U- d  y
  31.      end
    0 s1 |* C& _8 O' B! s6 m
  32.      L(N)=a(N)-c(N)*u(N-1);+ S3 j! Y# G. ]5 W0 H1 ~
  33.      z(1)=d(1)/L(1);* Z. {& ?$ R( I9 J
  34.      for i=2:N
    ( V6 q# O# w6 B2 `' P$ k- ^2 |
  35.          z(i)=(d(i)-c(i)*z(i-1))/L(i);% l% C: N5 X1 J7 V
  36.      end
    - F- o" `4 J4 T( @1 q; l. v
  37.      y(N)=z(N);7 n; d/ I/ X( \! L9 D! F" v( f
  38.      for i=N-1:-1:1, k  d' D. t; Z4 P# e. h  D4 s
  39.          y(i)=z(i)-u(i)*y(i+1);
    ( o: t& q3 }  t# k5 N# m+ j
  40.      end
    ! S5 h4 f/ V  h0 a1 ^& q1 [
  41.      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    9 V# x" ?: z6 R. o
  42.      Y=[af,y,bt];
    " b5 P, p1 g% C) d* q% j1 J8 i
  43. for i=1:N+2/ f, e" k. P' ]# T# b1 O' r
  44.       x=a0+(i-1)*h;' ?& x, x/ }- |0 Z) i4 O& {4 L
  45.       zj(i)=1.1392070132*x-0.03920701320/x^2-3*sin(log10(x)/log10(exp(1)))/10-cos(log10(x)/log10(exp(1)))/10;6 u/ R" e1 e- n+ C/ g4 ~( B
  46. end% k/ I4 j8 h8 J1 `9 i8 a- D
  47. disp('下面两列分别是数值解和近似解');
    $ E  q2 j- I, ?
  48. re=[Y'      zj']
复制代码

* S& ~- {, D( W

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