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标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:34
标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解
使用有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解。这种方法通常用于数值解微分方程。1 i5 T* J. e* Y% p) |
以下是代码的简要解释：
4 v9 r3 J0 c* D& \. Z& ~$ \, C$ n6 \6 Z( s. {- i# [
1.使用 inline 函数定义了三个函数 p(x)、q(x) 和 r(x)，它们表示微分方程的系数。
% Q8 {5 p9 v0 M) T2.设置了参数，如间隔数 N、初始和边界条件 a0、b0、af、bt 以及间隔大小 h。
' [7 r  p, @. d$ [3.基于微分方程的有限差分离散化，计算了系数 a、b、c 和 d。/ C5 g8 d. A) @# h
4.使用托马斯算法（或追赶法）解决了三对角方程组。
! N; h, P; t- [/ ^5.将结果与由数组 zj 表示的解析解进行了比较。* y2 f% J3 l  n( R& q
6.将数值解和解析解并排显示，以便比较。
  1. p=inline('-2/x');
    5 y( E/ m3 A8 V: q& ]  G6 D  K
  2.   q=inline('2/x^2');
    - J6 c/ y/ C. `9 r! Y; ^* X7 o  A
  3.   r=inline('sin(log10(x)/log10(exp(1)))/x^2');
    ! w# Y/ }5 N4 J8 X) B' g
  4.   N=9;
    3 K6 X4 d2 J/ O" T# z
  5.   a0=1;b0=2;9 z# n; N( {' X
  6.   af=1;bt=2;
    2 H- ?+ j. T0 Z+ o5 [& a+ Y
  7.   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%9 H: B5 N3 m7 b; O: O1 Y$ h
  8.   h=(b0-a0)/(N+1);1 N; X- x2 I* u6 n0 V
  9.   x=a0+h;! A6 o. v9 {5 D1 ^- [
  10.   a(1)=2+h*h*q(x);
    $ A! `& c& W0 j3 k
  11.   b(1)=-1+(h/2)*p(x);
    : A: b  O% B  Q! Q7 x4 B
  12.   d(1)=-h*h*r(x)+(1+(h/2)*p(x))*af;+ u, t9 K; J* i1 ~/ V/ E8 C
  13.     for i=2:N-1
    , ^$ U* [4 I$ z- l4 ]* ^4 P
  14.         x=a0+i*h;
    ! B% o. Q( i9 H% e- N3 E
  15.         a(i)=2+h*h*q(x);
    0 i% m" I* B  O  a6 W! O2 H. L! d5 G
  16.         b(i)=-1+(h/2)*p(x);& w2 x) M) \, ?, k. I2 ?; `4 {
  17.         c(i)=-1-(h/2)*p(x);
    / G0 E3 Z0 A) n
  18.         d(i)=-h*h*r(x);
    6 k' Y* ]0 a9 G, n
  19.      end
    8 R+ Y" `) }8 f
  20.      x=b0-h;
    % P, H. j+ z4 V! N/ h: ?
  21.      a(N)=2+h*h*q(x);
    " i9 n" |# |- ]$ c
  22.      c(N)=-1-(h/2)*p(x);
    ' B  D1 d$ l& I+ X5 A, z& l
  23.      d(N)=-h*h*r(x)+(1-(h/2)*p(x))*bt;
    # I% c; @2 B: @: e/ c9 H: C2 T$ m
  24.      %%%%%%%%%追赶法%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    + {) k* P+ N2 K2 F) @! A6 X, B
  25.      %y=trisys(c,a,b,d)
    ( h+ d! b" e" c
  26.      L(1)=a(1);  E" J4 K- ~/ z4 C8 [
  27.      u(1)=b(1)/a(1);2 k, G2 M# ^2 M3 s* V- }& U' [
  28.      for i=2:N-1
    ; k$ ^( x; z0 v" C& X! U, }. |
  29.          L(i)=a(i)-c(i)*u(i-1);
    ' U) F4 r  K5 S( M" k3 ^
  30.          u(i)=b(i)/L(i);% v3 [5 G. i! L/ @
  31.      end
    " I) ], K- B. z9 ~8 V- X# Q5 d
  32.      L(N)=a(N)-c(N)*u(N-1);
    4 K9 l) y8 s$ b4 A
  33.      z(1)=d(1)/L(1);
    4 C  m9 i  _4 R# H
  34.      for i=2:N
    # H* o5 I# X5 L
  35.          z(i)=(d(i)-c(i)*z(i-1))/L(i);
      d0 {! B& N$ u, f! u
  36.      end
    ( Y; E5 {) e$ ]% i# d! I5 W& e
  37.      y(N)=z(N);- ?8 S1 L1 P. N
  38.      for i=N-1:-1:10 z! W" S2 A1 v4 U: n9 U5 ]4 [
  39.          y(i)=z(i)-u(i)*y(i+1);8 Z/ F" N$ z8 w- c
  40.      end  N$ j' d/ R8 ]6 A. o
  41.      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    & Y; u6 H. |. d: y$ p) ^. y
  42.      Y=[af,y,bt];/ k. f* s& }/ Y1 C7 ]
  43. for i=1:N+27 f8 }3 F; z- H% o+ n9 t6 c( F
  44.       x=a0+(i-1)*h;& v* m- p7 y2 e/ k+ ^% c
  45.       zj(i)=1.1392070132*x-0.03920701320/x^2-3*sin(log10(x)/log10(exp(1)))/10-cos(log10(x)/log10(exp(1)))/10;
    ' M3 R' m; T* d- ~8 w( w
  46. end
    & i  G. H* A* f
  47. disp('下面两列分别是数值解和近似解');
    / M! x9 ^' c: p% @* C
  48. re=[Y'      zj']
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7 K6 `  Z: e! }7 r9 g

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