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标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:34
标题: 有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解
使用有限差分法和托马斯算法（或追赶法）对一个二阶线性边值问题进行数值求解。这种方法通常用于数值解微分方程。0 Z( {' ?% e9 i1 W2 `: Q
以下是代码的简要解释：
& ^! |% G6 g0 Z, K' j7 z' n$ }0 f
8 ?  R3 F  P& }0 N1.使用 inline 函数定义了三个函数 p(x)、q(x) 和 r(x)，它们表示微分方程的系数。
8 G% Z8 W0 `- B1 P0 }8 }( s2.设置了参数，如间隔数 N、初始和边界条件 a0、b0、af、bt 以及间隔大小 h。( E3 g9 q: R, |7 U+ g
3.基于微分方程的有限差分离散化，计算了系数 a、b、c 和 d。
: q; w  T% r& A% d8 t6 Y  j# \4.使用托马斯算法（或追赶法）解决了三对角方程组。7 J5 u+ f  t! o# ?, ?
5.将结果与由数组 zj 表示的解析解进行了比较。
9 ~* {6 R5 z2 d1 d' \9 L) M+ X6.将数值解和解析解并排显示，以便比较。
  1. p=inline('-2/x');# \, q& P* k" [# w6 [
  2.   q=inline('2/x^2');
    % S6 y1 d  r  n# |  W# p
  3.   r=inline('sin(log10(x)/log10(exp(1)))/x^2');1 z* t: u3 t/ P9 J9 S1 }
  4.   N=9;
    6 G( _3 j$ x6 a$ Y
  5.   a0=1;b0=2;
    1 B1 p( z+ Y$ m! d- q
  6.   af=1;bt=2;
    9 t/ @: H& U* F* Q  y2 b4 E
  7.   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
    9 q3 q5 }' b# t2 E
  8.   h=(b0-a0)/(N+1);
    " O/ P# d/ u/ R
  9.   x=a0+h;
    4 M. C8 T/ N. S
  10.   a(1)=2+h*h*q(x);1 i& U7 I; `  u& E9 P. w- G
  11.   b(1)=-1+(h/2)*p(x);
    & u: [0 \/ |) ^: N
  12.   d(1)=-h*h*r(x)+(1+(h/2)*p(x))*af;
    $ N: T! F5 R' Q6 X! d- |; ?( @
  13.     for i=2:N-1: g  u- u& w" \, A6 H6 T, \4 ^2 a. F
  14.         x=a0+i*h;
    2 G2 k, P2 z5 }6 x, P1 c
  15.         a(i)=2+h*h*q(x);
    # }$ ?/ |9 P, N$ B
  16.         b(i)=-1+(h/2)*p(x);% [8 V, y6 o, G
  17.         c(i)=-1-(h/2)*p(x);
    1 \  r9 i4 r, h- w
  18.         d(i)=-h*h*r(x);7 H* k0 ~6 U/ S5 u% D$ ^) `
  19.      end( K0 r, e& ?8 C: Y
  20.      x=b0-h;
      \6 t: B/ y/ g. \# P
  21.      a(N)=2+h*h*q(x);6 N+ U5 O9 Y( c' d
  22.      c(N)=-1-(h/2)*p(x);
    1 x; a; B% I  Q
  23.      d(N)=-h*h*r(x)+(1-(h/2)*p(x))*bt;/ R( W: ?# M4 f$ n* W( ^
  24.      %%%%%%%%%追赶法%%%%%%%%%%%%%%%%%%$ X( N$ k4 h: }+ d* F
  25.      %y=trisys(c,a,b,d)1 ~' ]- R* o: g" Q/ J  }/ B
  26.      L(1)=a(1);$ W8 T0 u7 `# K/ ?6 x
  27.      u(1)=b(1)/a(1);' n, U7 o# g8 f; a- o) A
  28.      for i=2:N-1
    5 f  L( d: u0 }
  29.          L(i)=a(i)-c(i)*u(i-1);
    . X1 v% Q9 [" \# E" S1 D
  30.          u(i)=b(i)/L(i);
    + j4 N4 Z: J. x  {' R, u% A
  31.      end2 s6 D5 j/ g' M- z7 D6 |3 s; W
  32.      L(N)=a(N)-c(N)*u(N-1);
    % c" Z2 h2 H% n# X2 F
  33.      z(1)=d(1)/L(1);' ]) c( j0 d4 |# f
  34.      for i=2:N
    & K* h+ b* ^: `4 c! w  Y' }6 L
  35.          z(i)=(d(i)-c(i)*z(i-1))/L(i);
    ! v, g4 V: |- d5 T7 D' m
  36.      end: [% T4 C! \2 \6 y' m. g7 R7 X
  37.      y(N)=z(N);0 }" I5 l- ?; ?4 E  E+ Q
  38.      for i=N-1:-1:1
    . g# a$ M7 r8 G: ?+ H9 ~
  39.          y(i)=z(i)-u(i)*y(i+1);
    8 W" n* r, I: y2 D2 x
  40.      end6 A' u3 `* D6 m
  41.      %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%+ O+ p, T3 s/ p. `! j* P' l- G2 l
  42.      Y=[af,y,bt];9 g9 J/ Q/ h  T# i: h
  43. for i=1:N+2" O2 E# j' V! [! m$ e6 S
  44.       x=a0+(i-1)*h;0 J& N0 r$ y% m
  45.       zj(i)=1.1392070132*x-0.03920701320/x^2-3*sin(log10(x)/log10(exp(1)))/10-cos(log10(x)/log10(exp(1)))/10;
    / Q2 F/ o: ^% L% D8 Y
  46. end
      Z$ [0 t: @: t. ?% V
  47. disp('下面两列分别是数值解和近似解');7 o) u# C# \3 {9 e4 F& U4 ]
  48. re=[Y'      zj']
复制代码

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