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标题: 自适应求积分的算法，通过对给定函数进行数值积分 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:43
标题: 自适应求积分的算法，通过对给定函数进行数值积分
这段代码实现了自适应求积分的算法，通过对给定函数进行数值积分。以下是代码的主要步骤和功能：
; j5 v0 p1 `& z3 Q/ Z" V
+ `+ I/ h) Y" ~3 T1.定义了函数 f，表示被积函数。在代码中，f 的定义是 f=inline('4./(1+x^2)','x');，这代表被积函数为 4/(1+x^2)。/ D; w5 m0 d8 d9 F* ?% y3 w
2.初始化了一些变量，如积分区间的起点 a 和终点 b，所需的精度 TOL，以及最大迭代次数 N。+ ^6 F% a: D! L  H; E4 ^
3.定义了初始的积分近似值 APP，并进行了一些初始化操作，如计算初始的步长 h，以及区间两端点处的函数值 FA、FC、FB。8 B7 A3 `4 r$ h3 D' d' T
4.进入了一个主要的循环，该循环根据自适应求积分法逐步逼近积分值。
0 ]( M1 M& X; [0 n9 v5.在循环中，计算了两个子区间上的 Simpson 积分值 S1 和 S2，同时记录了相关的变量和信息。
: P2 q1 v% g6 ^3 Y6.通过比较两个子区间的积分值之和与当前积分值的差的绝对值与所需的精度 TOL 的关系，来判断是否需要对子区间进行进一步细分或者将其结果加到最终积分值 APP 中。
; Y  P/ B& K7 ]7 ~: d$ Z# i7.如果细分后的子区间数超过了预设的最大迭代次数 N，则给出超出范围的提示信息并退出循环。7 o/ t! c. i3 Q% f. P3 F
8.最终，输出变量 APP，即表示根据自适应求积分法得到的函数 f 在区间 [a, b] 上的数值积分结果。- `. \9 K& E) ~$ P* I2 ?* f
9 b* P' I+ h1 O# u
这段代码使用自适应 Simpson 积分法，通过逐步细分区间并计算积分值来逼近函数的积分结果，直到达到所需的精度或最大迭代次数。
  1. a=0;
    6 e5 g+ _9 k+ q/ F* ?, ^6 w% P' i
  2. b=1;4 ~) d/ l; }; @8 E/ I9 e
  3. TOL=10^(-4);; R# Z' [; Q. y8 B- a% a* i
  4. N=200;# Q7 N, o6 y+ u4 I; n. Z
  5. %自适应求积法! `- h! n( ^. P2 f
  6. % f=inline('(100*sin(10/x))/x^2','x');
    5 _, s' z4 o6 F7 }, t4 l9 y9 h5 o
  7. f=inline('4./(1+x^2)','x');
    + Q! u% ~4 z7 T5 x. h
  8. APP=0;' D* z4 x+ p+ ^( M" x$ @
  9. i=1;' [# J2 G0 f' E' C
  10. TOL(i)=10*TOL;
    ; \6 p: J1 H: I3 W4 |
  11. a(i)=a;6 v% I5 _) P  {9 T+ ^* d
  12. h(i)=(b-a)/2;( C* X. m' \6 Y) R8 Z0 X% G
  13. FA(i)=feval(f,a);
    5 h# w; ?! _: w4 o7 @) T& W
  14. FC(i)=feval(f,a+h(i));8 G' `* @; A) M$ j5 V6 f
  15. FB(i)=feval(f,b);
    9 q8 |# d2 L: V$ ^7 _% l
  16. S(i)=h(i)*(FA(i)+4*FC(i)+FB(i))/3;
    5 {* s, H' u/ {
  17. L(i)=1;
    ' e8 L0 l/ x  Y4 ^: M) L
  18. while(i>0)
    9 k% |* c8 M2 ~# z
  19.      FD=feval(f,a(i)+h(i)/2);6 F6 C6 o3 d/ M. ~. `
  20.      FE=feval(f,a(i)+3*h(i)/2);4 d6 }2 W( z; r, \6 u
  21.      S1=h(i)*(FA(i)+4*FD+FC(i))/6;
    ( `: F! d: I5 E$ B2 n! h$ ]. o: `
  22.      S2=h(i)*(FC(i)+4*FE+FB(i))/6;
    1 q. q4 R7 W) s; u# ?
  23.      v1=a(i);3 V. v3 N2 f; ~8 ~$ d: y
  24.      v2=FA(i);
    + u  p* p+ Z- D7 m  J& v
  25.      v3=FC(i);$ J6 n( P$ m9 c2 ~
  26.      v4=FB(i);
    5 w: p9 R/ p  M8 {7 F. \! L( E2 Z2 H
  27.      v5=h(i);. S- S% s9 |. V3 f- h  M" c
  28.      v6=TOL(i);; ^7 Q9 r; N5 ]: P9 [
  29.      v7=S(i);
    3 `1 h+ E$ R" H7 n. e0 I  [
  30.      v8=L(i);% I; {/ P1 B% q" G  E
  31.      i=i-1;: `" D; S9 V. q6 Z
  32.      if(abs(S1+S2-v7)<v6)' q% m9 g% @; |- D+ Y
  33.        APP=APP+(S1+S2);4 v! S# S! {  F# X
  34.      elseif(v8>=N)' U3 p* }3 M7 _+ p7 T
  35.        fprintf('超出范围');
    2 G- q3 ?# N- i4 _6 y: K: Z5 U
  36.        break;+ e, |- X! ^% p" R
  37.      else
    - c. ]) g7 c. P1 m6 X
  38.        i=i+1;
    # M# E! i% y# M" l
  39.        a(i)=v1+v5;3 g! N# v# L5 N/ z
  40.        FA(i)=v3;
    3 I) j/ y6 j1 h9 S9 P
  41.        FC(i)=FE;
    , F3 ?5 s/ A! C+ ?
  42.        FB(i)=v4;1 @! X, T' k3 I; v0 v; b6 t5 e" D
  43.        h(i)=v5/2;. {, s( @! ~. w% a* F
  44.        TOL(i)=v6/2;
    5 a- _( h) S/ O7 _4 \0 L
  45.        S(i)=S2;6 J  J+ ?7 |% d! R5 q: o( l$ D2 O
  46.        L(i)=v8+1;6 @. j. ~4 }1 Q1 ?$ m  y
  47.        i=i+1;) b2 Z0 [$ T) E3 r3 F
  48.        a(i)=v1;
    4 `( I. F6 H" J( ?7 B% c3 V
  49.        FA(i)=v2;
    ! e1 n4 b# R0 u8 a3 O
  50.        FC(i)=FD;
    ( e+ s  P6 r5 y4 q' X$ R' v: y
  51.        FB(i)=v3;
    & |, p1 d1 r8 D. x$ _9 V
  52.        h(i)=h(i-1);5 x% f  k! ]& v6 V# V2 N
  53.        TOL(i)=TOL(i-1);
    1 b- \% \: I: B5 f3 m0 O( `3 S
  54.        S(i)=S1;
    8 ]8 f" _$ [1 o* }# r, p
  55.        L(i)=L(i-1);3 I, k# ?. }: r8 a& u
  56. end) S' f! z$ n% Z
  57. end0 H& [# _; s. X7 F7 o
  58. APP1 ^& z: J, q" N- |$ Z
  59. 9 C; @* G+ n1 i) K% o) m/ ?
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