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标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）... [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:57
标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...
这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：5 K  D) Y$ h/ o& z0 W9 R6 h

( b% I2 E2 h* C1 A4 t1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
2 H/ i/ a# o# u3 d, e0 x+ |( E2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));. A  `+ c2 J7 _' q( G9 e6 B' ?
  2. ) [8 \; S5 f0 @1 q
  3.    for i = 2:n; Q' x1 }) V7 D0 p  r# @# w
  4. * R* B4 V: j$ G% S4 O: D
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
    ) x/ @4 f4 K9 |1 e+ g  {

  6. ; r0 B5 ^( v' u0 }% M3 \' P( t
  7.    end
    : o* I- X  V! d# {2 d  ?% i; Z
  8. $ V/ n2 K- b# ~7 k- }9 E- R
  9. : ~  M( N" e$ |9 q6 F( B7 r

  10. : V* F$ Z; R1 o! Z0 x8 l- |
  11.    for j = 2:n
    4 H* O* D0 _1 ~) y7 {& }

  12. ' k& b5 \# y1 o
  13.        sum1 = 0;
    ( u' M( }% ?% h

  14. 8 v0 T" W4 _( e$ t+ l9 P
  15.        for k = 1:j-1
    3 @' Y- f9 L7 C0 w! M7 U

  16. ( E) H) l/ d& N) h5 |! i. I  D
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    * A. M5 ]8 C; R! Z5 j

  18. ( \* v' g2 W  ]! E: m/ a1 G
  19.        end4 K* R. |  r5 E' D5 @

  20. 8 X( R- [! h( [- r! o: T/ w
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    0 ]  C# o7 ~  [) K
  22. : [" f& V! L' _) v. `
  23. / T- b* `, d0 }: p! s" F6 q7 i: w
  24. : o* Z9 T; q" T
  25.        for i = j+1:n
    : E+ L1 e8 J% u2 W) r
  26. * V7 V6 L0 J5 _0 A7 H' `$ R
  27.            sum2 = 0;# A4 H' J; A2 u2 L. I1 a

  28. ( d+ r, M& e$ [
  29.            for k = 1:j-1, K$ ~  ~8 f1 `* U8 ?! |

  30. # i2 \( X3 V& p( k; b% F* j
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    ' ]/ B, Y9 B6 S9 Y# V% A
  32. " y0 Q0 V. E: Q" ]7 N1 N% b7 V
  33.            end# z& H6 m! c+ X7 x4 u0 \, i& f

  34. - E: m* e) k- O* {
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    # |  n( w% `1 ?+ e4 m  K

  36. : q8 D: [$ X$ h% Y* g
  37.        end
    , X7 m2 x$ f/ P7 I; T

  38. 4 h6 T2 a( I. Y% X2 L! \3 g
  39.    end
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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
- {6 q" i4 i0 U! A
0 F7 e( ^8 ~# R( A0 f$ J# [1 B  a' E( B3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。
  1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);2 `  T( u9 p) Z: I1 E5 u
  2. 5 V' _/ V' y4 X5 w& o) P! f5 }1 o
  3.    for i = 2:n" w/ f8 Q, M' M- O! W  e
  4. + h( o; x" a+ m0 [( }. t% v2 d
  5.        sum3 = 0;
    4 A; f1 l0 j* e, W; Z9 K

  6. " q" d3 A9 Q, B7 S" W
  7.        for k = 1:i-19 D. |6 |0 N5 @! V# X2 O

  8. 8 M2 {0 o3 x& Y! R( {
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);7 @8 s0 m+ G# ^8 C' r2 X
  10. * q- X5 |1 z: K  F- Z" P
  11.        end
    9 E4 F7 P3 E3 ?" S) `' F

  12. 1 D) M+ X9 }/ M# I' [5 z
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);1 M5 `8 ~0 w; t' h
  14. " w+ N! b" [! |% Y
  15.    end
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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
    ! u. ^2 c) b( K; j6 h  L

  2. : m  D0 Q# i/ A
  3.    for i = n-1:-1:1% |& I; {% N8 S

  4. % F* l$ {6 J2 `' z8 G# B
  5.        sum4 = 0;
    4 N+ H- B6 A! p7 g2 x* _; U! Z
  6. 8 _% S! K+ \1 j; P
  7.        for k = i+1:n
    3 u' ?. h. I+ b# G  G0 }
  8. % M+ l2 P- q% k1 F: b0 y
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
    2 S, ]: l+ x2 [& w. r, a- b
  10. # a' M) q5 b1 S6 W8 i9 A
  11.        end
    - H8 W$ W. h& p7 p
  12. * ]$ L2 |  D: F, q5 g& B. H; S8 V
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);) H9 B0 o" A3 K

  14. 4 X! n  K1 j. k
  15.    end
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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
6 G+ S% @5 a/ l1 K1 G, F' ]2 J: m
% P& p* q4 C$ r. z' h: i5.Cholesky 分解：
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
    3 g) n* i/ Y% {7 h2 E% B1 @! o

  2.   n$ b# y+ m$ D0 G
  3.    for i = 2:n* x. W( {2 ^: S. Z/ ~
  4. 5 v- @4 y* b9 Y+ N" a* K
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
    0 ?6 k3 u  X0 x$ Z4 k/ {$ o. T

  6. 8 N1 m) Z2 Z5 Y1 g# q
  7.    end
    : g8 z$ ~$ a- Z2 _

  8. ; d+ |9 [* {! f; E

  9. $ L! E" A5 a7 ~8 i+ N
  10. 4 K2 r$ m7 e6 ]/ T& I" G
  11.    for j = 2:n9 y  x3 `: M- V. b* T6 s) M( ^
  12. # X0 q  I% t9 M: U6 W5 q. r
  13.        sum1 = 0;( H5 W, G. w; ]8 p* f9 D

  14. & {( N2 j8 |. w$ c% j( Q
  15.        for k = 1:j-12 e1 W0 }& t  s# i# o. u
  16. , ~! s) ^: Y; f5 C
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);# a7 ~5 |4 E" R/ r0 j6 w# n. e: ^

  18. 0 M. V& m) J* p; c! D2 i$ V
  19.        end
    8 Z& E) u& ^5 H
  20. 7 C5 b% L" p' z: ^- y+ Q
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);7 y% H5 ?% N+ Z7 A2 D: [: u
  22. / l" N+ l: U1 `- a- t9 a
  23. 2 t% s3 w1 o7 ?
  24. : s2 }' s: a5 j% t6 z- _( N
  25.        for i = j+1:n
    & x; ~, O) X. {6 t, f
  26. 5 c+ G2 s1 }5 v  g4 g# s0 n; {
  27.            sum2 = 0;
    ( X" ~2 ?! R1 L/ e1 c4 a

  28. 3 }# Y: K# Y3 o: u! M
  29.            for k = 1:j-1% H, o: w* X/ z9 R3 x* m

  30. 0 [# Q  t5 C" }: Y2 I& o
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    0 B  k% A) E2 t: x+ l: ^( h( m

  32. " i, f' n0 J  v
  33.            end
    5 z3 u; l1 W- n3 u3 X6 n: l* w

  34. : I) q- O" B1 P* a! h9 R
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    ! K) ?* l* o  }! V% G0 E
  36. $ F* u4 p: Y4 ~
  37.        end
    / C6 k$ i' S4 ]( I- o6 c8 m

  38. 3 i1 ~0 C: O' v- N& z6 U1 r/ M
  39.    end
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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。4 L1 F' _1 h1 Z

7 G$ V6 x  w$ F9 N" X( Q7 {6.前代法：
  1. y(1) = b(1) / l(1, 1);2 [) l  E# l1 x8 i* ]9 J4 {
  2. ) m& I5 |  D! G
  3.    for i = 2:n
    % w: S' \0 n7 ^* N; V2 N; h
  4. ! S7 t. Q4 p( k$ u
  5.        sum3 = 0;
    / f! Q7 L; [/ D& I5 z- I
  6. 9 K2 j- Y( _5 [) K6 l% p+ v
  7.        for k = 1:i-1
    1 b1 O9 e; ^  K# c! l
  8. $ j5 ~* U0 u: b& w4 o* u6 o
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);% Z) `5 R% x- W8 U
  10. " f6 `7 O0 Q. R1 M+ z$ m/ h
  11.        end9 W1 T+ f* H8 n! g8 Z

  12. . f4 O. c2 z4 ~3 A$ ^
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);2 M6 M! j. U1 _. Q  k
  14. : \9 a1 ]' C/ z1 C, d( O8 r
  15.    end
复制代码
在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。% z. E7 |0 f4 O

: q+ u# @* Q4 m+ M! N7.回代法：
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);7 M" v% T2 v1 S* D8 E

  2. 8 F7 j8 J* N6 ^" M0 d
  3.    for i = n-1:-1:1: e6 |; Z; h8 @* b
  4. ; E% O+ H% M3 G5 u; J
  5.        sum4 = 0;
    ' P1 X2 T5 d1 b$ h" f7 ~1 b

  6. " M' e" {3 H1 s+ ?# _% ^; i
  7.        for k = i+1:n9 @2 K% C; J( Z( ^# z: T$ E

  8. % V" G- m. z1 Q0 K. t; B9 y( f
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
    7 Y5 g0 r/ r* f9 _

  10. / O* {6 e/ n7 z6 n6 L1 n- [
  11.        end
    5 k3 d- e& `# v4 j; V
  12. " i; {6 N6 \& y2 E- g
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    ! N- H+ ~; x* j

  14. 1 _1 }0 a) F' B2 _3 f0 h$ E
  15.    end+ w& k/ M2 v1 O7 d) Z# x

  16. ; s# [* U/ m! j! Z
复制代码
在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。+ r) \# w; y1 o4 c- }
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。+ j+ E5 I" n, _  u" p  d
- E+ T! T, s5 P3 y) d
- ?# {1 ]6 |# \! T! u
& M7 O$ l+ `. g$ ^: Y

t1.m

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