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标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）... [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:57
标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...
这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：$ ^2 B6 z6 r! Q
  z+ [. V- g% ~; d0 a6 |
1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
  D/ m( C- f( U0 T0 ^4 z" ]! y, R$ x2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
    : G3 C- C$ K6 C: `( Y4 q

  2. ) }) }2 a6 A- a+ ?" N1 e8 f
  3.    for i = 2:n
    + {9 C0 f$ z' c# E+ u/ z

  4. # C, V8 Z6 N1 Z1 _# R
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);8 g  Y' @' h" w6 ]. j! G
  6. ( q' T" j/ M( p+ |
  7.    end
    8 m) b9 x/ ]9 \$ @2 K

  8. . R  U* R; ~1 @
  9. 6 `& r  h+ w% e1 ?4 Q5 w
  10. 0 x4 J6 M* J$ p- u0 t, w
  11.    for j = 2:n0 H. S3 w( L& R4 Y0 C* i5 B$ V* R
  12. / i1 p+ V0 x# y" y
  13.        sum1 = 0;
    9 g4 `( @) S0 o# x1 _7 j

  14. + z; U. A! W& A
  15.        for k = 1:j-1  `4 a1 K7 R2 i2 f! r7 u  m

  16. + ?7 b% J7 K3 d3 x
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    - y& F+ E; H3 |
  18. * R7 Z! h  Z6 H- O
  19.        end
    1 W2 ]( [3 g# ?" |6 e

  20. 3 d9 @$ |0 ~+ M5 Q8 V$ H8 d. X
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);3 C5 p% ?9 ^: f" H1 N6 S  V# }& n

  22. & i2 a. e8 r( [! e% m8 V+ v

  23. 4 b% U6 P. u1 R0 e) |. o  O$ ]8 e

  24. 9 i. Q4 G& z6 z' X. S
  25.        for i = j+1:n
    3 O+ s1 }, r- M* j! t; u3 a! j
  26. 0 J/ A1 ^  T/ ~5 z2 k1 Z& J0 m  u* _3 C
  27.            sum2 = 0;
    0 T% T$ H+ ~3 k. b0 r. \' k) z% L9 C

  28. ' ^9 P( M( k# m
  29.            for k = 1:j-16 b- i5 X+ N+ F2 O$ r- j0 Y4 ?

  30. ; \/ U8 S/ n! h- e7 z& ^
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);3 Q9 y3 l. _+ ?
  32.   P: I! C! i8 y2 q; c; Y
  33.            end
    1 E, F6 b' G9 Q0 a" ?( M

  34. " u; Q' D, V: f1 i/ z9 l- x- d: P' p
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    9 y8 H9 F1 l* K

  36. 4 n4 s3 j8 n( x: c3 p6 w# a* e& J, G
  37.        end) q3 w4 k# ~5 {& j
  38. + Y8 X# x+ X9 A( m0 E
  39.    end
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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。- ~* e" T, n+ |0 W

, L3 `1 I1 L3 |; r2 A3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。
  1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);( ~% ~; R+ s; |( p) O- `! E8 P' x

  2. $ Q* X- @: B: x; W
  3.    for i = 2:n
    , T4 {2 t- p9 y( G" ~5 E' y( G1 B

  4. 7 {4 h" r4 C& ?
  5.        sum3 = 0;8 u% \$ \4 J  }) }, O

  6. 9 K& ^5 p% R' ]. Y4 J+ a
  7.        for k = 1:i-1
    * [9 D" b& L+ Z

  8. / |0 V* t" q5 L& U5 f, V  d
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
    0 G5 J7 ^% X- J5 J

  10. 0 W, U* H6 C! {' i/ L3 g5 Q
  11.        end" a+ P2 s0 ]5 Q

  12. & ^- g; V; s  c1 ?6 B2 q% M
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);0 {! Z/ m$ n7 S! _
  14. , H* b8 w) y# W+ g' q& {
  15.    end
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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
    ( r5 z* [- w3 r. v* ^6 }2 P: p; p
  2. : z" `. P* M* @/ s/ `% P
  3.    for i = n-1:-1:17 r5 r6 l, J* M
  4. + @0 |6 Z/ c1 B2 Y2 E
  5.        sum4 = 0;
    & M# G, y  g# M4 n

  6. & [( Z$ H2 I7 A$ A; f' e( N
  7.        for k = i+1:n
    % r+ m# Q4 f* E! s
  8. 4 ^& E6 \, ^% I3 e1 `. Q* L4 E- i
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
    , y6 p9 m6 m: A5 m' A
  10. # m9 o0 `% A" Q0 v9 E6 t) t) g
  11.        end
    ( c, H+ i  ~' E5 B4 b8 u4 H' P4 a

  12. 8 n3 r! r9 f$ a+ r6 ~
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    5 i) r6 l9 P0 g! }, y5 X) `

  14. & r$ _6 Q" C; F( ]0 t& [
  15.    end
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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：" l/ c( e0 y( X! p, A: w
) \3 V3 o8 k6 |! b9 V* ]
5.Cholesky 分解：
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
    # t4 h) ^! j# Z4 C- D$ r( Z6 ^
  2.   s- I3 W2 k  d, I3 q. G
  3.    for i = 2:n
    7 i2 Z6 R+ R, p. R  f# f
  4. / `% |3 _$ F$ @9 ?8 p$ A' }
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);* ?$ ?6 m9 e% f  n$ ]) O1 u9 q
  6. , |3 Y& h0 ^9 s2 j) N! M
  7.    end
      m  E: N/ j0 h" Y) v2 r8 t
  8. 1 t' \4 J" u& _. o4 [
  9. 4 O% S- k1 W: ]2 ~; j& x1 `
  10. $ j$ l7 K* w( I' B
  11.    for j = 2:n
    9 E$ F5 o* }/ z& t2 C7 c, ?4 q
  12.   L. E, R% K4 z8 Z& Q1 l3 c
  13.        sum1 = 0;8 G' }& M3 Z. b! X. O6 k

  14.   ^1 I; |& K( C1 e. n
  15.        for k = 1:j-1/ J# k- N% E" j7 h

  16. * Z7 j5 x! L4 p  E( b& m
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);6 V) A# J$ }' Y% x5 U4 ]/ j6 g
  18. 7 C& ]! C; i( G
  19.        end' o5 ?) I7 D3 F( M  c! |
  20. 1 C2 }, N, c8 @
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);" ]; W- G9 K! u" T% Q/ x! m8 I# l

  22. ) z0 e$ G8 \' A9 R" F% p/ c
  23.   J1 p" @; R/ w) s# C: l
  24. 6 y" }) p( G6 |
  25.        for i = j+1:n6 M* U! b) ?6 T% ~; p: t3 ]) U
  26. 6 \! t# A% x( R8 m* C, h$ M) i
  27.            sum2 = 0;1 \) R( a) ~% D7 G/ A3 _
  28. 9 g- G3 U* n; w
  29.            for k = 1:j-1! I+ V9 ~. X4 Z0 @+ h- ~
  30. - c/ T" y& t# V
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);0 [4 r( [! L* j" v
  32. 3 T* @) I+ z8 G0 U2 @
  33.            end/ i5 B0 H4 }8 _
  34. . P4 `) T% V. O- M8 ^8 Z/ r
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);! m* m5 ^. W* j- H: i
  36. ' _/ U" z8 G# E
  37.        end' ^- e0 l  x* ]$ U6 i

  38. , E/ K- I/ }, W5 P  h
  39.    end
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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
' C: _: q: W( `+ n# Z: Z) C+ x, ^( g, h# g" e+ `; o
6.前代法：
  1. y(1) = b(1) / l(1, 1);2 J2 J( z9 {; x5 y" Z
  2. ( q+ s+ ?# t: N" A5 e5 U
  3.    for i = 2:n* _0 d8 c+ B9 b$ c% @/ g" I& j/ m

  4. 6 N3 ~3 m% m7 U( W& V  _
  5.        sum3 = 0;
      a, _+ B6 w  ?4 S8 C* H3 m5 p

  6. / G4 I/ z( I; s' ]4 p! u. H
  7.        for k = 1:i-1
    0 i! n2 y: n# {. d& x$ k

  8. 2 j( D) |' n, H2 }% p7 L
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
    6 @) s6 C2 w5 W
  10. 5 L! }; F. \$ C# C3 V- g
  11.        end
    ! A# t" [. Z2 R& i+ A  F# m  `2 n

  12. ; D4 B/ X" E0 r! W
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
      M% q+ R  }* U- J# ~- `
  14. ( h$ |; n2 [- R$ y, B( O% @' i9 P
  15.    end
复制代码
在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。! b& V, N8 K; V) Y" z" x  e7 ^
3 c8 ^6 S  Q% p% F& R: m
7.回代法：
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);0 A' ?4 l( u0 ?$ q4 e. c
  2. . J' B1 j9 d: ~+ s
  3.    for i = n-1:-1:1
    : ~0 J; g7 h; ]
  4. 2 i2 p) @8 a* J3 P7 _  Z8 ^
  5.        sum4 = 0;
    6 A1 X: b4 [, \, N8 |/ c
  6. # M) v' [4 v3 D( A
  7.        for k = i+1:n% O* g' ?  H2 B9 y8 ]. L, H
  8. / r3 e- ~; i1 p: `+ q
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
    6 O$ }4 P8 b4 i% R7 a  a8 [

  10. : k$ M" {' S! N9 n% T
  11.        end
    9 [. X$ J8 Q  r; n) k  a; ^
  12. 8 L! @! ^% U; H/ o( }  t8 `3 }0 E
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);9 a# O+ g# V6 D6 p3 ]9 E) V  m

  14. # r( Q3 y% m& z$ a
  15.    end9 J! R7 a$ N( b) p, ]6 s& \
  16. / Y' ~9 v3 }2 u! w9 L3 F
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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。) f: M8 I8 `9 D. f
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。7 }5 {+ n* i9 S2 z2 I
* |9 Y! w" t9 Z! p" D. a2 [

+ S9 n/ L& X4 s2 T7 s! p; l4 k3 F7 Q0 K0 V: T( f  E

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