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标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）... [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:57
标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...
这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：  U7 \! }$ U. z, e

0 J, `' [+ U4 f7 G$ @1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。
  [6 g6 H( J: r0 n1 _; A3 x+ f2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
    ' e  s- i- P8 M' i  l# o( e
  2. 3 q; ^/ K% N' Y$ z( J9 f
  3.    for i = 2:n
    / B; a8 r! ^* J) u6 c* Y' o: @* u

  4. 8 C7 O: U, `7 u0 u8 B3 W5 z
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);" x$ J* c6 x; k# Q7 Q( |
  6.   l4 B0 A" i1 ~& L2 {+ ~0 u
  7.    end7 e4 y6 C& P/ f3 I
  8.   N( o# a, K5 ]. a+ {. @" ~; n/ L! @

  9. $ v# b& J& H# X0 `7 G  r
  10. 3 C* A2 R/ Y: c: o) f1 R
  11.    for j = 2:n
    ) j( |/ T' C9 h; Z& L3 Q

  12. 6 \" ]7 I, j+ i' s% A
  13.        sum1 = 0;2 U; h4 B# Q/ ?7 r* E

  14. $ X/ q6 x9 h4 M) W$ F
  15.        for k = 1:j-1; ]! C2 B) p' a: j
  16. : ]1 x( g! Z* n3 }8 O" B( J
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    9 F1 J9 g3 s0 J) t
  18. % I. i! G0 s/ h3 B! j, m
  19.        end* j, Z3 K; M% F( C$ a, S, V/ {

  20. + r8 ~' `/ Z$ T/ m, R
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);8 b. x: E" q' a. n! E
  22. 1 ]* W9 {/ o+ P1 F7 j

  23.   r* Z) |5 d- G% k1 S  O
  24. / ]- x: V/ W3 E) O# ~  f
  25.        for i = j+1:n3 `6 n! _. @, I1 q
  26. , o" U$ l* H) a( w7 \$ w) i
  27.            sum2 = 0;
    7 B" l; A6 n: ]

  28. . {0 e* P9 Y" `6 y; m  A  L
  29.            for k = 1:j-1
    7 w$ H0 C: q) r) x1 L, M7 l
  30. ! ?: G8 P: n9 @; M/ l4 w5 _; S
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    5 A4 d& J. Y3 J0 B. X
  32. # @' x1 a/ F! @0 R
  33.            end
    3 _0 R) s! i# }

  34. 9 Y# J3 o" _3 x: b) m$ |
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    5 [" E3 d1 h8 _: T6 j! i
  36. : r0 u& ?' Y# a4 m: c( O" ~
  37.        end
    , K! A. G/ Y  [# l1 b  w7 P
  38. ! {9 Y7 f# L# V8 @, F1 g2 l8 ?9 Z
  39.    end
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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
2 H$ E" w( Q" g& k( N9 }3 \
3 V5 G" D5 \# u' ]' X3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。
  1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
    & p8 |( h1 S" l* l) _% \( H
  2. 5 B% |: r# B% U. P
  3.    for i = 2:n
    4 K0 l, S$ O: D

  4. $ i2 t+ S2 Q" Y) x1 P9 G5 \
  5.        sum3 = 0;
    $ P+ T: ]# k" {7 i0 G) t

  6. & y+ n6 i5 s: x- B0 u2 p
  7.        for k = 1:i-1
      n8 v  e8 B% m, ]5 y1 q

  8. $ b; M( x- M$ B: K
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
    % j9 j  X, L  G5 w" p( A' P
  10. 7 x; e! a" S0 T% M: w
  11.        end3 u6 k- a  j' T" |% M% ^5 V  H
  12. / E, J3 S, ]1 t$ l/ K4 I: y3 g
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);; _/ q3 h. c: t9 b( O. J7 v

  14. ! @; t1 C( _% O8 ]
  15.    end
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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);9 l$ t9 t0 U5 T9 Q' {

  2. ; x4 z9 J$ [" t  X
  3.    for i = n-1:-1:1/ `. J  T' j; L1 K3 T

  4. : n. E8 F! P" S; ^1 I( Q
  5.        sum4 = 0;
    , X% X8 J- O& H* u7 `# n( U

  6. ! Y* ]4 i9 q. Q9 B! p6 T2 S: E+ r- I
  7.        for k = i+1:n
    $ a6 c9 V$ w0 e8 O4 o8 x$ Y

  8. & A' i8 `' H; g1 {' |4 U; C! h7 G
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);% @. i0 P) t: F
  10. $ \  l5 b$ [4 B; r6 {
  11.        end
    ( x/ t" s0 C) Y/ B! j

  12. % ]0 a( i$ f) R2 k; K& o
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);& w" O  U6 G: D1 C6 q
  14. * R; w' |9 V  a* k
  15.    end
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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
3 I- s' F+ f* h! I* z5 V. n' f8 X9 c, H; k2 Z. l
5.Cholesky 分解：
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));- D+ C; u6 S- H6 n: I7 W$ {

  2. ' Y3 K# \9 o+ F) P( F
  3.    for i = 2:n' r! ~9 c. D$ l+ H! a2 _* _+ r
  4. 3 Q1 v1 ?' {( \' a' z
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);! N4 b$ D) c( a7 I! r9 M6 ]
  6. , Y, G: C$ H% {8 x9 S
  7.    end# h# c* ^" \5 m
  8. 1 K* O, o* S5 r  K
  9. . g0 x1 J; ?( H
  10. . U  N3 Y6 ~# C6 ~: K" i5 }% {
  11.    for j = 2:n  Z6 f1 K$ ?0 ]* ]

  12. : a+ u. Q# y8 V# J4 d, M  c  C3 ?
  13.        sum1 = 0;
    6 C# P# \% ~1 M- r* C2 X1 S

  14. $ q/ R- M+ i, {
  15.        for k = 1:j-1
    / f  J: ~$ H# U# ^
  16. ) n/ c  s/ F+ K3 b: j3 j  |5 c
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    & ^+ v- D2 Y( N- L, |1 f, T9 ?

  18. 7 i. {1 `  J# u" L. y
  19.        end
    # y1 [: i9 C) a) M8 O
  20.   B2 S: b. L' W
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);% J6 f: O. Y+ L9 k
  22. : ?( @1 I  O6 p6 Z( Y4 Q' Z3 a
  23. ! b  G# Q. e1 u! E
  24. 8 a0 b5 n+ n, Z! h2 j# G! {6 k6 f* n
  25.        for i = j+1:n
    ! O! Y$ j" R& D9 R+ i

  26. - x" S" H8 R1 Z* g2 u) {
  27.            sum2 = 0;
    + K, y0 ?/ _! F! L
  28. # Y: U& d* B: y0 Q$ a+ \2 j" e) ?
  29.            for k = 1:j-1
      H9 A( I' E) i7 z7 D+ K& d

  30. : H" d4 T- v# J/ ^2 G5 H  a
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);( X" V) Z$ Z4 I( U& X
  32. * l! U5 E% E8 x8 `  ~' x
  33.            end- g0 g( X, q* k5 j* G/ a3 _
  34. 9 @' F/ G% b! _9 \3 g( G
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    & c; D! z  u3 h7 ?
  36. 3 I' G! b+ ?) G/ m, W# L0 H
  37.        end
    0 U8 n) v7 S; G/ F: \

  38. & {1 k8 n) ?5 H& Z
  39.    end
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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。
; z! c8 f# K9 i2 @- _3 i& X
; K& I6 e' R/ }- d6.前代法：
  1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
    9 J( }$ b6 Q- h7 U+ j; P; K
  2. ) w& ]) T% f6 w+ X, p$ ]; d, W" o
  3.    for i = 2:n5 [  F6 k! d# X4 T
  4. $ q2 G. j8 \1 D5 Y. R+ [( P. B
  5.        sum3 = 0;: v* G  l- n% w& u% U

  6. 3 K" [! ?8 p  E% X( _4 S
  7.        for k = 1:i-19 d' u% D3 a& ]/ Z3 T1 n6 v

  8. 1 T2 c6 k  V& v* H# S. g: Y
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
    4 N5 A5 ~# d8 d+ y
  10. / ?5 q6 O& P& f; ]; k, c/ K
  11.        end
    8 G) O$ N! f) f# H5 m3 i

  12. ( }# ?) A; H& g
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);; o1 c$ b+ |! ]1 s* |+ v
  14. : h' c, F. V6 g# L. _0 _+ m
  15.    end
复制代码
在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
3 f5 j6 |2 ]) x5 B; E# @
$ R; V7 f9 s6 I6 L3 f, d7.回代法：
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);5 }% Q& R1 i+ j: ~2 q, H
  2. + y4 q& M6 \& F! E7 q! {" E: Y3 w
  3.    for i = n-1:-1:1: K+ A, p1 M7 r

  4. , s$ I" {1 t. U+ k( p# u% a' w
  5.        sum4 = 0;( _  l4 [3 d4 U3 g6 a( ^
  6. + K/ A" P4 W" n; l
  7.        for k = i+1:n
    0 H0 L8 U, l7 h; U

  8. & c& K9 z& Y" n% C3 Q: M. z7 p
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
      ]2 j4 d) h& p* x  v3 L
  10. . G$ `- H6 g9 W2 |+ f- J; t
  11.        end8 B% M$ R1 m4 j1 G# p  v. J1 \
  12. 7 [1 |4 o: b+ d# U
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);* L; f! i/ |0 K8 b

  14. : r: I- ^& U/ o5 q4 ~
  15.    end7 G( ~" D; Y9 F8 A) [3 y
  16.   C+ S; s1 C4 u
复制代码
在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
- O- f. X1 X+ Y& N总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。
) {  K8 h9 t+ V0 Y; u5 f/ z1 J4 {1 G1 U0 I' U* A' L
9 Z. T5 L& Y' o: B' E) k6 B! ]( p

  h8 w( C/ ^0 o- e

t1.m

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