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标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）... [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:57
标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...
这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：2 U/ ^- m/ A+ ~2 y! v' ], c8 s5 u

. w! g# {4 ~  a/ l! G1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。  P! B* u& S5 M# T: J
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));1 p: |  c7 g0 m; j) a

  2. 3 {2 |8 s0 N3 S' E/ E
  3.    for i = 2:n' X% A  a0 R- e4 W6 [
  4. / t7 J6 a0 k5 g9 e; N
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
    1 e* t+ L5 z3 o$ \* ~6 a
  6. $ c. U1 b4 s% ~4 |& V7 v5 J( e* ?2 m
  7.    end; m! G+ p* ^5 Q+ ]3 q
  8. ' W+ @$ O9 I2 c+ ^, @
  9. 0 J( e7 }, Q  z( M+ o# p( O
  10. " G5 ?- h1 L! t0 f
  11.    for j = 2:n, A& _: N  o" e' F4 I" R, c0 W

  12. ! k3 Q7 V& I$ k/ L
  13.        sum1 = 0;7 k, U2 x  u9 Z8 V% y! b
  14. ; [7 p, V+ P) t7 B& Q
  15.        for k = 1:j-1
    ' J1 {9 y+ _7 @# \& @. W

  16. - i4 R. E& p3 {+ Z
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);: T* j9 ?9 d2 |4 q1 B) T. X

  18. / ]+ {% z! b& P* n3 b9 s9 X/ Z
  19.        end
    ( Z* s; I! F! f6 r) j# r; D

  20. . Y# X& X2 R# L0 ^
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    ' l! c* `) j. m- j# @# f" A) U! Z8 Q
  22. & X+ T$ K/ Q. `
  23. . b4 G! t$ s$ q+ ~& v

  24. - e) o! ?0 v* K3 U. c
  25.        for i = j+1:n
    & B& g& o0 H* a  F
  26. $ r5 X' v% o* f# R! \( a; t
  27.            sum2 = 0;
    8 x+ |8 N8 |* m, B: e9 o) ?; i

  28. ! l% `1 Z( ?7 L7 Q0 b' Y
  29.            for k = 1:j-1
    + a* J0 @) L0 ^+ R9 R+ Q. X7 h3 F! n

  30. & ~$ |# Q" Y9 }
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);* h$ ~& p6 `; z, j
  32. ( Q8 P4 p2 ^# r; c) J4 m
  33.            end
    ' N$ }& _, q9 l+ f/ E
  34. * x0 C* l' A2 ?/ E$ [" K8 Q) u; U" s
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);) Y4 P& q* p- R# B9 s6 d" M

  36. 9 S& q. {5 c; J6 [
  37.        end( A/ B! R; v" Y) {
  38. ) |) H2 [! J0 a, l% V
  39.    end
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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。" c  @( \- V- B6 w4 [, L6 U

6 d3 b* k! b; K7 v: Z1 @# y3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。
  1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
    ( E6 [: v' c2 ^( ?# U
  2. 6 ~& a. h1 Z& H# r* Y
  3.    for i = 2:n3 T& Y$ {2 k# X) p' y
  4. & ~7 ^3 ^+ B) E( a! e4 e" y. k
  5.        sum3 = 0;
    0 G1 K, _+ z1 G; N/ b" ^
  6. 5 s# w4 \4 u- V' W! ?! [
  7.        for k = 1:i-1
    : r' N" w" [3 ]$ q2 ?# J) \
  8. 4 F) x0 {* Z. Z) p6 L. p, N
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);* N* X6 @9 b  V% u
  10. 0 v1 d4 l4 V2 D
  11.        end: m3 \/ S$ j  |0 E3 J

  12. 7 r6 [$ |) v) D' p6 a
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    " a5 z1 F0 h1 ~& n1 s$ B+ Y& t

  14. 7 F9 H% ?; L6 f1 J& p* g
  15.    end
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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
    9 D9 i% v/ B8 h( ^/ c8 ^' d
  2. " c# h$ H" V2 z! D9 B4 M
  3.    for i = n-1:-1:15 O+ p) s1 ?# h9 v/ \# U# a' ~

  4. % W" k$ k( W6 \" c
  5.        sum4 = 0;
    2 Z8 i' M1 w2 W5 \
  6. * w0 R& |* Z9 f) b3 l2 H9 _
  7.        for k = i+1:n3 e  \' W2 a' ]% u
  8. $ \! d# l; V  E6 g& ]+ N% Y
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);: V1 O; R& n0 R
  10. 8 J# Z, l1 [0 b- U- M& e
  11.        end# o& w7 {% `* J$ f

  12. $ _- D# d- I0 D
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);( J1 Q. W9 e; ~$ U0 F$ Y
  14. . |0 i- @( f) |, k5 {  F
  15.    end
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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
9 @# a  `8 [1 m/ @* C
& @5 q! ^, \; I' ?; S( ]+ R2 j) X8 B5.Cholesky 分解：
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));" h3 |) u* f+ i6 s( v- L
  2. 0 U, j  P9 N% c' c  N: z1 o- l
  3.    for i = 2:n7 j) c9 b. U$ t9 z( c
  4. # F# Q% [9 B: f/ B7 V: u5 o
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
    ) u0 j) |2 Z8 }1 j# M1 y1 k- Z

  6. 7 o* x. X& W, i: ]$ C
  7.    end1 I7 t9 ?) y; v1 Q1 k" i& Q
  8. 9 P$ J+ c  |' J! |. |# }
  9. 1 Y3 r3 w2 q3 C, a) H+ J

  10. # E* t' C8 T/ d, q
  11.    for j = 2:n/ P! I" i7 `: B4 P% |; O4 S

  12. ' a0 i- V8 J+ X. U
  13.        sum1 = 0;+ a" S! }7 W" {  f
  14. 7 W/ l$ v# B/ ?( d# |/ S
  15.        for k = 1:j-1
    8 x' u3 A! W, U4 ?9 ?0 y& J

  16. * u: D+ r9 J7 F6 N5 h
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    # s7 q, C- D) P& W2 w( c+ x

  18.   j; u. w0 j4 Y  U
  19.        end
    6 y& t8 D) Z. z) i1 X8 \

  20. $ B/ c, g6 d; b# a  {
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    5 Q, e% X! T* |

  22. # U( k; @0 L1 V  t
  23. 4 @# [  y# }# G7 k7 Y" v7 K

  24. * s% \3 k. W! g- k0 t% f. u& R. ~
  25.        for i = j+1:n
    8 p5 y. f; q3 q+ y0 p0 i

  26. : p+ E5 j9 Y; q3 l- m
  27.            sum2 = 0;; [& _0 h9 {6 H( N& z& r
  28. # B2 F5 Y$ S* w8 g
  29.            for k = 1:j-1, c' f6 |# S2 |! J; [6 R

  30. ) R8 W) }. ^5 p9 @" S+ E4 N3 l
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);
    3 ^" L( ~1 l5 ]
  32. . b5 Y: G9 [7 o( Q
  33.            end
    - V7 A+ j4 I3 ]  X! x( m
  34. " p0 z3 w; M) i1 B
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    4 Y; \: q: e/ z
  36. ( |8 G7 c  B. o9 o
  37.        end4 j: w# U& A* {' ~7 a; |. y

  38.   N9 _( O' i6 z7 n/ _
  39.    end
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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。/ m" m8 h. j4 G- U2 X- L6 R

) a3 @1 `8 U1 _, n6.前代法：
  1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
    8 R1 K1 y: P* K2 y* z, I

  2. ! Z; R' j9 v8 C
  3.    for i = 2:n
    4 m0 d- |: [( r% ~+ X! b4 M8 l
  4. # F1 O4 f) [5 e" g1 z* I' F
  5.        sum3 = 0;
    # R; o& }2 A* ^9 U4 w

  6. ! T3 }6 U; |& }5 P/ M5 p  `; j
  7.        for k = 1:i-13 D  H: ~9 S' O

  8. , s/ ~. L3 }4 w& N' X( u2 G
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
    / S# F3 n' [3 a8 a/ v: I' ]

  10. 2 f! z5 u! X# J
  11.        end4 X( l3 k# d# |8 Y3 [+ [; z

  12. 9 O+ M! N; A0 V8 w
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);
    # n/ r* {! Y* c  o4 S0 _  {
  14. - g1 `2 e0 X7 j7 C6 l2 q( g& V
  15.    end
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在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。/ y0 q5 G+ h# s$ ~+ ]5 d

/ B  P3 Z& `; W/ j/ o7.回代法：
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
      `8 D# f  F% y  w+ ?. V9 b! S
  2. * J8 u2 N6 H* {
  3.    for i = n-1:-1:1( C: n8 @1 S+ g/ _& _

  4. - Y5 i& v( ?% e$ J4 C, ~
  5.        sum4 = 0;% X7 r( j7 E$ W+ M' Y6 Y
  6. ; j1 E( X4 a" x
  7.        for k = i+1:n
    1 b/ ~2 u: J- g4 k
  8. 9 t5 q* i3 k9 l( u3 q
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);0 |' F% T/ e3 I* g6 g5 n4 Q$ @

  10. ; x; N/ ~& {& K) S  F- H
  11.        end3 [4 \$ X- s9 X

  12. : H2 r* g: j: p0 u3 o, e
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    , X8 _, ~# `0 C2 q  u- j
  14. 2 y& W! e7 X2 }
  15.    end# y5 S9 x" F% S& ^8 t7 i/ L: P
  16. / B4 D- ~) _4 p
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在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。4 @, X: _: c" I2 c. P; O2 ?
总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。3 l: e0 [' `- @
" E! F! |2 m2 i, i  n" ]; n# g
# w/ k* N, K& W" {8 V7 I/ S

- \& d+ o! J* x6 Q' b

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