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标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）... [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-1-3 09:57
标题: Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）...
这段 MATLAB 代码实现了 Cholesky 分解和用前代法（forward substitution）和回代法（back substitution）求解线性方程组的过程。Cholesky 分解适用于对称正定矩阵，可以将其分解为下三角矩阵和其转置的乘积。以下是代码的主要步骤和功能：% ~8 b$ y" a' R5 B! m

# F% c$ a* g' n+ P2 r  R" R4 \1.定义了输入的矩阵 a 和向量 b。8 {+ \5 O' X6 [+ Z4 F8 F# ^
2.初始化了一个下三角矩阵 l，并进行 Cholesky 分解的计算。
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
    ( {, l0 @' ^9 d& D" N( K

  2. ' N  c  s- c* R8 G, ?7 H( Q% E5 p
  3.    for i = 2:n
    0 M) z2 e8 b/ G2 \- V$ I1 V

  4. % G5 ]! c$ l" v# x
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);
    * @! G- q' ^8 j; v% S+ R
  6. 8 `4 w4 u0 ~+ a/ I5 \- y
  7.    end- S% g! a! q) s) |+ k  o4 S

  8. + k+ F- ~, z6 s0 K  d
  9. 0 @; z) O) O( l$ R) a' A4 o
  10. / v: T& j% n/ ^# f( H3 S
  11.    for j = 2:n
    4 Z, i7 `! T& }! U2 n% |1 E

  12. ! F# `  g( t( c5 J7 v4 @7 ^3 C- T* i
  13.        sum1 = 0;
    9 r- i, A' E5 G1 t. Q. M9 c

  14. , S  |  d; T* Q2 I
  15.        for k = 1:j-16 E* e% [7 Q; U5 s; E+ k% A
  16. & K; ^4 M1 o* U( u! u+ A0 u& u
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);
    % A  A' u$ W0 Z, X! x; E

  18. & _6 a  o6 K" _7 L- {
  19.        end
    0 L0 o. q- y) O- g

  20. 3 @7 ]' U$ t& V5 L& B
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);6 x% j1 S! H6 f. B
  22. ( P, D: I$ f$ V$ W
  23. + R+ c  i; b; M8 U  r# R' _
  24. - U' d) d! b' Y5 J  q* x3 [& p) y( {) g
  25.        for i = j+1:n: M# u* ?* {6 w% a# d

  26. ' {# F/ m, j& c0 q
  27.            sum2 = 0;3 q: V3 S" \) v8 |0 ?+ N* x3 I( t
  28. / H9 M& |( }% X- y
  29.            for k = 1:j-11 w$ i* T6 K) y( A1 m
  30. . o9 k4 u2 a; V
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);2 M/ d: E1 {/ {! ?7 m) u

  32.   C/ y  y8 v  q/ v# F# N
  33.            end
    2 C6 ^" W) o' ~: N
  34. 9 G- E; o% d$ o
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);
    9 k! w/ Q8 H" ?* j9 ?7 @
  36. , I1 r4 l1 i6 D1 |' ^4 I2 Q
  37.        end
    ; q3 K; \' m- _; p

  38. , \- D* Y/ B4 M7 p" p
  39.    end
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在这个过程中，通过迭代计算 Cholesky 分解的过程，最终得到下三角矩阵 l。
* z6 E2 T4 Q% x* z0 U1 B
- k; V. D) e$ [8 d+ S4 V2 }' C3.执行前代法，求解下三角线性方程组 Ly=b，并存储结果在向量 y 中。
  1.    y(1) = b(1) / l(1, 1);
    6 Y0 v* ^5 ^  Y

  2. 6 H" A1 q( j2 `& z* X5 f7 u; ]
  3.    for i = 2:n+ X" F1 \- ?0 Q6 K
  4. ( D! ]. y% d8 o% o6 k4 }* j. b0 x+ Q
  5.        sum3 = 0;
      G1 N, D% x0 u; C7 }! Z6 m

  6. 8 t0 `; k9 u& f0 |/ X/ C
  7.        for k = 1:i-1( I6 }& y6 A& ^8 I- Z' j

  8. 2 `5 Y. V, P/ j1 j/ f* W8 L8 `
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);. r- t& h1 v8 H3 B

  10. 3 H% `# w3 i, t- I1 X3 m, U3 y/ W
  11.        end
    * w1 a5 a1 D, X: b2 E

  12. & f1 H8 y9 h+ R( G/ r
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);* B3 y, @' f' n( X1 {* Y+ `
  14. 4 w7 t6 `" D) f( Z
  15.    end
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4.最后，进行回代法，求解上三角线性方程组 L^T x = y，并存储结果在向量 x 中。
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);" K! H5 ~! u  n5 K; I; |

  2. 8 u* k# x7 h' e6 X, w' r9 _# }
  3.    for i = n-1:-1:1
    # C7 F9 ]. ]: D$ L* D; N  d) J+ l

  4. 8 R% r" Y4 f. h- @
  5.        sum4 = 0;
    6 G% w! u9 I0 j/ o; D: }1 S( s* ?

  6. $ E) ]2 |* D; ~/ e; l* U' i
  7.        for k = i+1:n
    7 f: D8 c" x% [5 O# W, n1 m) T
  8. ! x: r) N7 |  x2 s" ]  p
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);* q: q. L; [1 j
  10. : i' a! g3 o4 D8 W
  11.        end
    # M1 ^, _) C! o* Q3 @
  12. . n1 _9 t# L9 ]8 w% u' G
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    - n7 A0 s9 b, B  b
  14. 3 y* w8 z" B$ H9 b
  15.    end
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这段代码的最终目的是求解线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解将其分解为下三角矩阵 L 和其转置 L^T 的乘积，然后利用前代法和回代法求解出向量 x。在此 MATLAB 代码中，执行了 Cholesky 分解和用前代法和回代法求解线性方程组的步骤。以下是对代码的解释：
2 q; q& O7 x" {( ^' @
( D6 F; D) s( Q5.Cholesky 分解：
  1.    l(1, 1) = sqrt(a(1, 1));
    / s/ E# V6 I( B: D* R" ~

  2. 6 I7 F. v2 O4 z
  3.    for i = 2:n
    5 C; ]( N, R3 Z9 a

  4. " n$ C- ^+ o- Z; O1 t: X9 y
  5.        l(i, 1) = a(i, 1) / l(1, 1);5 @2 b% q- y+ k; a  y0 e

  6. $ q4 B. N! U0 |5 q! d
  7.    end) G/ }4 S$ I' [: S2 G' K$ k  W

  8. * R/ E, h7 N0 l* V% I
  9. / @4 e9 C% N2 G' v7 x; s0 P

  10. 1 `* a5 o' ~% W) i: a+ j$ F1 S2 \1 c
  11.    for j = 2:n
    % N. |' y6 H; @' Q" C0 q0 F

  12.   ]7 K% [/ i' K9 K' K0 N
  13.        sum1 = 0;" k& n( P. X! i9 S' Z6 f4 v

  14. 5 t! G, L2 G1 G. d/ d4 I2 L
  15.        for k = 1:j-12 L3 {" \6 C2 @
  16. 4 ]- j# o; {7 q
  17.            sum1 = sum1 + l(j, k) * l(j, k);# F0 x/ W/ b  ~# {+ G* W* ^
  18. - i0 t4 Z$ q+ A) M* _
  19.        end
    $ W9 R6 @: D- ^" G, X! R7 D
  20. & D' ?  `' d' o9 S3 ]
  21.        l(j, j) = sqrt(a(j, j) - sum1);
    " M& w' C: ~4 E1 O9 ]6 `% _( L2 r
  22. 3 f2 j/ l& `3 I5 z

  23. , `0 S4 Z# |& y
  24. 2 c) n) F8 G' ]
  25.        for i = j+1:n  K- W/ a1 h6 R, k7 e( f3 O
  26. 5 u8 Q- ~6 p4 I" n* s; D" O" T5 t9 S
  27.            sum2 = 0;
    , C* v7 s+ q! F! m/ _
  28. : U$ I1 X- k' {! ^: g/ p
  29.            for k = 1:j-1& a. H4 G& v3 E6 V! f2 {
  30. 7 k. a7 f5 [) M5 m
  31.                sum2 = sum2 + l(i, k) * l(j, k);; n* Y9 _1 b  K* P6 c* p

  32. " y0 U1 C0 Y+ q/ ?! L0 k0 n. h
  33.            end3 x+ w3 N( c7 l" ^/ y6 c6 ?6 }. s: P

  34.   t4 D/ c8 K; b- {
  35.            l(i, j) = (a(i, j) - sum2) / l(j, j);) J/ ?% v( X8 Z* F+ Q5 e& S0 p1 i

  36. $ w6 o: r8 `" i* c. n
  37.        end: r/ t7 W! e9 X+ x. [! ^

  38. 3 Z7 Y6 n; |" S5 m2 \( n
  39.    end
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在这一部分，计算了 Cholesky 分解，得到下三角矩阵 l，使得 a = l * l'。0 e$ P" H9 o& B% {9 A
  z6 l4 Z/ ~: q
6.前代法：
  1. y(1) = b(1) / l(1, 1);
    1 R# [& j' J$ r; C/ I
  2. 2 S( s" l( C) N+ g; I
  3.    for i = 2:n
    # p7 G# h+ v/ z) v8 I

  4. ( N' @( _  r- N' F* y
  5.        sum3 = 0;4 s9 h9 @* z) V9 r: e6 r
  6. ) P% e5 w* x" _/ M
  7.        for k = 1:i-1' d6 h/ w8 @8 U, E' N. _+ n* a" X% I' T

  8. + h) V! P1 B  S2 d$ R( \( Q
  9.            sum3 = sum3 + l(i, k) * y(k);
    , v$ \+ z/ Y& Z8 R2 }3 k/ i  i

  10. # N: j6 N: }6 ^' u' W
  11.        end1 D5 o* p- \* a7 W

  12. 0 x, w& k) R' ]" \
  13.        y(i) = (b(i) - sum3) / l(i, i);9 `! J' t# J8 x; c: k6 n1 C; \' v
  14. / v1 v3 V# f* U7 c: Z
  15.    end
复制代码
在这一部分，使用前代法求解下三角线性方程组 Ly = b，得到向量 y。
5 O0 z. _# s9 c+ _8 A$ }* `& v3 o' O: H* S/ d
7.回代法：
  1.    x(n) = y(n) / l(n, n);
    : r4 v' S# L, R& U( g7 C

  2. " d1 i, g5 i4 Z7 v
  3.    for i = n-1:-1:1
    & T$ ]" W9 ]) C) }/ A
  4. 6 u: D: Q0 a9 x
  5.        sum4 = 0;
    ; N0 c+ o& J7 j/ t$ ^/ T8 Y

  6. 5 U# t) [$ J# a  @
  7.        for k = i+1:n
    * d$ v4 R. d3 `* [# u# U2 G
  8. " n, [& ]3 P0 u3 ~
  9.            sum4 = sum4 + l(k, i) * x(k);
    4 w& q( b0 a" L& H

  10. . c* A8 i8 Y7 `) o2 S! r! z
  11.        end( c3 e8 E' `7 q+ D4 y
  12. 8 e8 F, z: }- p+ p  t! a
  13.        x(i) = (y(i) - sum4) / l(i, i);
    1 _4 r9 Y3 r: J$ x* v, X
  14. 5 b4 }9 C. A- C
  15.    end
    * d6 K2 z) f3 `6 u; s0 }

  16. / p! c' F6 q1 e. J
复制代码
在这一部分，使用回代法求解上三角线性方程组 L'x = y，得到最终的解向量 x。
1 C9 v/ b- g* {# \8 S( d总体而言，这段代码解决了形如 Ax = b 的线性方程组，其中 A 是对称正定矩阵，通过 Cholesky 分解和前代法、回代法的组合，求解出未知向量 x。7 k5 t' P9 M- c- _3 U: L. d
* m8 o& A) h  ~5 T  A/ S

6 G/ C/ w6 Y2 [/ K- Y3 H9 U
* A8 W7 j* P  J* }

t1.m

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