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标题: Kruskal算法生成最小生成树 实例 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-3-14 10:21
标题: Kruskal算法生成最小生成树 实例
Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。& Q1 K* z% e1 q$ E' z
以下是Kruskal算法的简要概述：
# R' `) F' U# G
9 W. J  x7 v! f# q* T) r; l1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。4 r  S& d' o% e: W! J& @4 \
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
1 H: `+ v0 H" L* C% h* r' [3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。& T8 X+ }4 t8 E% F  ^" }
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。. z' v- w5 v$ W: u$ w. v$ V
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。4 H. h2 j$ |) b4 A5 C- G

* ~# @9 Z; b& x( S以下是Kruskal算法的Python实现：
  1. class Graph:
    . x- t/ H3 g' }: f; j1 P# U( d9 j

  2. ! J: J) x2 @* D1 Z
  3.     def __init__(self, vertices):
    0 g4 N$ W' U  q! k9 U$ f7 N

  4. ! [5 O6 Q4 O5 Q% B5 E/ A4 S
  5.         self.V = vertices
    3 F! G' ?0 `, ], d0 v
  6. . a1 r; U  {. O: n/ h1 r
  7.         self.graph = []
    8 Q- @, m) S1 w" s7 a/ z
  8. ) f& P! I2 m! y+ l( ?! c$ i9 Z

  9. 1 A3 R! p( p7 ~
  10. " ?7 x& r0 q+ f
  11.     def add_edge(self, u, v, w):1 o/ D- w9 N" H( V3 h8 {; j' F; P2 V
  12. $ q- X5 d4 R. C* I4 c9 l2 z
  13.         self.graph.append([u, v, w])
    1 D# c8 {6 D( r# G7 k3 C
  14. # Z& c7 p2 H. H
  15. , N( a2 K9 j' i7 u4 ?/ G3 X

  16. 0 `( ^+ b8 u, f! B9 ~# A4 e5 p+ |. t; N
  17.     def find(self, parent, i):8 z# K4 b# ]2 ?" G4 Q
  18. $ V0 M  T* M+ E* z9 @: N
  19.         if parent[i] == i:2 W; ]2 L7 n7 U" P. M! p4 L. F
  20. ' v( r+ I" U) S1 T6 |
  21.             return i
    9 L& k3 a9 s$ q) e
  22. & C7 F/ ~: c3 O! \% N" \7 B) W6 n- x& i
  23.         return self.find(parent, parent[i])
    ' C  A* e; T1 {" g

  24. & N+ H" x3 n! ^

  25.   d/ e- a3 k" @6 G( t

  26. ; l% T  {2 U$ @
  27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    4 S) g  _7 F" B5 P- [  ]  }

  28. . n5 q9 g) L4 g, A3 v
  29.         x_root = self.find(parent, x)
      k- z0 a& v* Q' `* a# ~! f
  30. ( l9 \4 e# Q5 a# s. T/ t5 T
  31.         y_root = self.find(parent, y)0 K5 N" L3 o- q/ h& n: Q
  32. 6 W( K. M2 C4 _; \0 E9 C

  33. 9 i. g5 {, P, `0 c# ^
  34. 0 A3 O- G# D, F7 g
  35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:5 e' S' K5 V- w5 m1 F# m( p

  36. # J/ B' G, c& y* T5 d8 }4 S
  37.             parent[x_root] = y_root
    ( y- J0 P7 w- o/ |" A; v
  38. . H3 ?8 W+ J6 U" T- D+ q4 Q: K  ~
  39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:& `1 j8 g& [; f6 F+ X" b
  40. - y' ]; D6 u6 H, z1 g, O  p9 j
  41.             parent[y_root] = x_root: J. P9 X- m! K9 w( Q6 \
  42. 2 |  ^% q" j% W) ~- {& I5 \7 X
  43.         else:1 _' c; n" M' I3 h4 g4 N
  44. 7 S8 j7 u, ]8 T( k1 I- d
  45.             parent[y_root] = x_root7 u6 l, |% n2 H/ J2 Y) x

  46. + V+ {1 _+ f  U0 g8 M
  47.             rank[x_root] += 1) P0 l6 |0 K: j) E( L8 R
  48. " D$ z* E( X: ]/ M

  49. 3 W9 Y( n8 B1 Y" c

  50. & W5 W1 f+ T* X9 h  L8 B& Q9 R: K3 G
  51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    % N8 H: S( a, v: n

  52. : P; f& Z+ Q9 m, E7 d8 ?
  53.         result = []  C3 n0 F+ ^& w. q" `4 ^; m
  54. & J+ W3 ~* U! Z2 C
  55.         i, e = 0, 0. D" |" G% {+ F: f1 O
  56. 0 Q( R0 y" E" ~  L' u$ Q6 Z
  57. * E  p0 Y3 N" L" u9 K+ a
  58. & l/ i3 @5 j% x  @0 B
  59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])! }% D$ }, P# B: A, @
  60. & P5 q; i% S/ l/ A% ?5 h
  61.         parent = []5 {+ |: M  U! V

  62. 3 j2 B8 p+ d& o5 v! o
  63.         rank = []
    6 }$ p! ]0 Q. N

  64.   j( h. y; h% x4 B; C

  65. ) B: Z9 W+ V8 O6 Z8 [3 v7 Q  v

  66. " r3 b/ k: f6 S& t! Z4 [2 K
  67.         for node in range(self.V):
    5 b; ~' {, m5 o
  68. 9 s: Z6 \: b: j4 S8 \  v; u
  69.             parent.append(node)7 p6 d: f( k& m, c

  70. - U  S4 m- }4 U% }" K: O" m$ D: k
  71.             rank.append(0)
    2 q# L  b' @7 e( G* @' g. X6 i

  72. , r) ^$ k( R, u* L
  73. 9 ]* C9 I9 i& d& D1 k

  74. / M" h) K$ t6 o
  75.         while e < self.V - 1:
    % ?  I* e9 ]6 A6 Z" K, h0 f+ o

  76. 5 W. I/ T3 s: h5 C6 W  @) P
  77.             u, v, w = self.graph[i]
    4 X/ ~% X& c; }6 f1 o: ^0 g* y
  78. ! Z6 B6 L; e8 P8 o* L% Q
  79.             i += 1) c2 p9 H& ?5 i- i, H$ x4 H& {
  80. 6 @* `! F& p- c6 A! w, Y2 \0 [
  81.             x = self.find(parent, u)" d9 x. A9 q( m1 X8 Q  s

  82. . C$ B2 K7 T$ L5 l- \
  83.             y = self.find(parent, v)
    6 s% |: R, d% P- G7 }
  84. ! v) s  \4 t. e5 e) L9 B2 N
  85. 5 m+ B2 q1 `1 o8 o. O& b: f

  86. 7 z, r9 B+ y' C4 ~5 k: D; r
  87.             if x != y:2 [3 b; W' E8 j) C
  88. 3 u$ L+ Z4 X2 U3 h. }
  89.                 e += 1/ @9 `4 o6 u  S1 w5 H$ u* U
  90.   N; }2 B( W" I+ J* @) Q
  91.                 result.append([u, v, w])* E# Q5 k( w9 ?: o5 L& T
  92. 4 ^9 E; h  T9 o
  93.                 self.union(parent, rank, x, y)! n# k. G3 n% D8 m, |

  94. ( u& C+ W5 w5 H" E

  95. 3 @8 q: C& C+ ^. P1 ~) R

  96. ( R4 t9 p! H& t2 J) T' [
  97.         return result, d5 l& B1 o" C$ M5 R# D1 k% a1 F

  98. 9 W1 u( m6 e- Q; }' s8 y' `$ ]1 p

  99. $ ~  P% w) A7 u; _. G# x2 P* A9 q

  100. & T, w/ S" |3 {) v
  101. g = Graph(4)
    # v' s% ?, i& h1 N; t

  102. - M# G, b& \% X0 R" Q
  103. g.add_edge(0, 1, 10)
    / D, `3 r' i3 `) S

  104. 4 j/ d$ n5 s1 z4 o8 X$ G$ J
  105. g.add_edge(0, 2, 6)
    . \8 }- }7 E* k1 j! v
  106. # c! ]& }/ f3 `  k7 ?5 K
  107. g.add_edge(0, 3, 5)+ u! o) n* }, U. f. x' F
  108. 8 H8 }- t6 X' }9 Q- }
  109. g.add_edge(1, 3, 15)
    ( o  ?$ j% R" R- s0 D9 N: \
  110. - Y& A6 s7 [( u
  111. g.add_edge(2, 3, 4)
    4 ?4 w. R, ?; N7 O
  112. 6 L% F4 N- I. I: L' i" \. t  R
  113. 3 u" w3 j/ b/ i/ ~4 x& w( Z

  114. 9 }; _  b* p6 I2 _# r
  115. print("最小生成树的边:")
    4 `' o3 B" h/ k/ y) [
  116. 2 l3 ?8 C$ K3 S9 h6 j
  117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())
复制代码
这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
7 A3 w% r+ j9 a
, n2 a, V0 n3 u2 h0 C6 ^0 P
9 l9 g3 K' `* S3 u4 l$ u

05.networkx_kruskal_minimum_spinning_tree.py

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