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标题: Kruskal算法生成最小生成树 实例 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-3-14 10:21
标题: Kruskal算法生成最小生成树 实例
Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
3 C% k: i  g1 K! Q) j- O+ d以下是Kruskal算法的简要概述：
8 G. W% Q' {0 W' R! Z4 @+ g. i$ ~" l- h% S1 J1 J2 s' a. l
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。* X/ l0 F4 [% g/ Z, k9 z) E
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
0 k7 L" \1 e" Z# P) F+ _' L! L. H3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
( L1 ]. ^3 z+ Q* H4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。6 [- H! `. ]+ h6 e+ D7 g
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
$ _* ?# B: ]2 k$ \4 r; \& \7 T2 L! _7 l! Y
以下是Kruskal算法的Python实现：
  1. class Graph:
    % E, z) {2 }& k& s) U# i+ m
  2. 5 }! d8 M0 Z, U1 q: q3 D
  3.     def __init__(self, vertices):8 x+ }( J( X+ V
  4. ; s" a5 ~% s8 ]/ I* A
  5.         self.V = vertices
    $ ?. n) r: g* t7 V
  6. # _+ K0 T) u$ S9 o/ U
  7.         self.graph = []
    * d5 S7 d0 p7 O  Q
  8. ) M6 A* l8 j# m- {# E3 ~3 F9 y
  9. 8 x4 x0 z  G8 D$ R
  10. & Z0 T) g: o5 B8 D5 i, O
  11.     def add_edge(self, u, v, w):3 A0 G" d$ k3 x) p, E9 ~
  12. : v6 ?& p; `. k5 [. ]5 y
  13.         self.graph.append([u, v, w])- V& ?: Z: d3 X: v' j) H5 k
  14. 3 y  Q) T0 |# _2 V1 |
  15. * C* r! @) k- O5 a

  16. . U: {1 {: P3 k& H4 o
  17.     def find(self, parent, i):. O* I9 M! E$ z7 C

  18. 8 _( j3 f0 I! |% A2 s' R9 Z( t& }, @5 w' ]
  19.         if parent[i] == i:
    + s+ O0 E" e/ I( y) u' a1 q% \
  20. + J! U# ?! I4 s% z  W# g* M
  21.             return i
    * L. v$ w1 g! B* X( n1 v, o% c$ f: [0 y

  22. ; ~  ~& \) ]' J5 B8 f, V
  23.         return self.find(parent, parent[i])
    ) H% G; L, F& L! c3 ]

  24. 9 e0 T: Z' ~% c$ s
  25. 2 J, b/ y% s  f+ S: f

  26. 0 a+ {2 m- C: l  y  ~/ T( F5 _. T7 V
  27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    4 b9 K8 B: X+ [1 k5 a' r* Z

  28. , p, ]  e3 k/ z4 |8 H& s2 r6 B. K
  29.         x_root = self.find(parent, x)
    - c5 M) K( A4 u$ \/ B! |: N+ }. U
  30. + e! F, [/ F/ f8 S; k1 x" X1 r
  31.         y_root = self.find(parent, y)
    3 b# w- D+ p$ M0 W+ m5 K" O
  32. : }/ c$ v0 j% d  r

  33. ! L- H- f0 E7 n7 M; A" q

  34. 9 d) ^  ], {  ?9 z
  35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:4 O1 o4 F- J. [) l- ^
  36. 0 b% ^5 o' P7 s% L: a% t5 C
  37.             parent[x_root] = y_root
    ) h; Z8 y" W: t# R# O+ Z* Q; m
  38. 2 R1 @2 A) b& Q5 Y! ^: F
  39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:2 X4 M4 c7 v3 `+ U( S* F+ K5 P
  40. - T, ~/ _8 z: V6 k, ]! J! }8 A
  41.             parent[y_root] = x_root" c" X- g) }9 H; i

  42. 1 N4 M* n$ y% g0 P& k. i3 L& O
  43.         else:; Y8 g$ }1 \" Y3 w3 P5 Y1 y* j1 ]

  44. , _  e# e, H- R4 {+ t* o
  45.             parent[y_root] = x_root  N* N5 b0 ?  ]3 m
  46. $ M4 N" T" X1 u7 r3 w+ ^
  47.             rank[x_root] += 1
    9 P' i! C5 V% _6 ~4 {

  48. # W3 Z" c8 j0 ~

  49. # q+ A3 o* p6 u0 U
  50. 2 H/ K, B7 j! w8 A
  51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):- C! }) S8 ^6 v( \9 g$ l

  52. # A" ]2 s) M4 }0 k- f8 n
  53.         result = []' V3 c* F. e$ q3 W3 [0 c6 d  R

  54. ' }; o. [6 k0 C  {; X! X
  55.         i, e = 0, 0- @6 m8 N& z+ d+ l8 V& f

  56. ( p' t! _) ]& G  T/ f- P8 g9 w
  57. 7 X# }5 V4 Z7 C+ |, Z- r0 ^1 {4 P
  58. / C+ V* u* e* _+ l, q; T
  59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])0 g  k, W" Y) t* d) q! g

  60. + B* g1 f8 Q! R( \& R1 p2 L* v  g
  61.         parent = []
    . g  a+ w* V2 f4 P2 d

  62. + O9 g2 j: c2 ^# h4 W4 f6 _* k
  63.         rank = []5 m. [! `& m+ J6 m7 T

  64. & n9 ]! X2 O0 e8 {! q% [, M

  65. # d( q$ [  N$ @( t% E
  66. 6 d& K$ O* ^+ v
  67.         for node in range(self.V):0 b# K' w. j  L1 {: ~% ?9 Q. R& p

  68. 9 r2 ^7 g1 y. n+ {5 w
  69.             parent.append(node)5 k* Z" p$ n. y5 w( b: \
  70. / o4 U+ {7 _6 a. ~' T: B
  71.             rank.append(0)
    1 e4 S% A: b& f# m( o( I4 F
  72. 5 y! i* x- \$ ?* D: O

  73. ; b& b' S) ^  x; W* W
  74. + M9 j# V: R  L9 z
  75.         while e < self.V - 1:2 h+ A& O8 C4 W2 n

  76. 2 P1 p/ Q- N" \' m
  77.             u, v, w = self.graph[i]3 V2 m! y% c2 t9 P

  78. ( J2 D# B& Z" J$ Q; i$ ]0 T
  79.             i += 18 }2 h/ P  n" \1 K; X! R$ m

  80. ( P& x4 B3 I, c# Q& J
  81.             x = self.find(parent, u)  B0 v) v6 ^: [% p! _

  82. ' `: L! I0 i, M  H' b& o
  83.             y = self.find(parent, v)
    1 h' t, |6 K+ h. Q
  84. 0 \  a; A% X- b# R1 [; R1 `
  85. * o, O& h$ H7 t" C* q5 l8 S2 O

  86. . q% d& ~( B2 O
  87.             if x != y:1 p3 P1 |: J- M+ h7 g) f
  88. 1 Q( p( `( g$ O& B0 G
  89.                 e += 12 g& s2 g+ A0 E; k" M
  90. ( ]4 `: |& G0 b
  91.                 result.append([u, v, w])+ n6 C9 R$ B$ U0 i; \& r6 M

  92. 9 K9 N: [- K: j* I# V$ z# D- ^
  93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    1 u3 w4 u2 C" @

  94. & a) P6 y7 |) U

  95. 2 }4 z1 ]2 y) v

  96. . K  X* X8 w8 p
  97.         return result
    & I' a7 a5 t8 C. K; Z9 Z
  98. 4 U$ n0 U5 f) x1 o) y

  99. . N" r' a& ^: l" v3 z0 L$ r

  100. 7 ]& Q- Y( P  a1 f
  101. g = Graph(4)0 H) z! W) f( d' v1 t$ Y! X. V

  102. ' q3 y- ~; O" v) z, m& w/ x
  103. g.add_edge(0, 1, 10)
    5 S! z) ~4 J! h. s5 W

  104. * h7 c+ U* W2 }6 a% y. c) n
  105. g.add_edge(0, 2, 6)
    , E' r) H/ X* B6 H" m# B
  106. # U4 x* w& j8 J! `0 f4 L$ q# B$ {
  107. g.add_edge(0, 3, 5)# [; C% }* A. x  u0 v8 y( v. X% j) P

  108. ( K! N1 z6 o0 S3 N3 Y. \
  109. g.add_edge(1, 3, 15)! g7 E" o4 `' l- d
  110. 6 i3 E8 c7 w; _, \  y
  111. g.add_edge(2, 3, 4)
    . @3 j' b, @  A' U2 U! y

  112. . Q: N, r- {9 P) h/ X3 l2 `
  113. 0 U& S  A$ |$ U) l) @+ H0 E0 c4 C: p

  114. & E3 z8 K1 v. A
  115. print("最小生成树的边:")
    8 A. p' V' o  q, r( p+ Y5 a! o

  116. ; P2 c2 p. Z" A) C8 V! d
  117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())
复制代码
这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
& r6 K# |0 n. i- b& u9 P- C$ N9 z. C$ J+ K% \

5 B6 t) A' l9 J2 X

05.networkx_kruskal_minimum_spinning_tree.py

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