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标题:
割平面法
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作者:
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时间:
2024-7-16 12:04
标题:
割平面法
## 割平面法
) t* m n ^7 \ b8 R) g
7 h3 H' P6 ^! h' m( k
割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
: J, ^+ y/ N1 Q f" W4 q5 Q
; O' N1 O% I5 M" E3 _8 W( z4 W
**步骤:**
7 e* R* q& a( q! x4 M" @) D" B3 n
% t& f9 a: S* S
1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
9 Y# @" Q: U- b& a! w
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
6 Y9 ?; S3 X3 D: ^& J
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
9 s& u+ H! ?% o* t
4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
: y! q9 V, \ g6 o& h! H
5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。
+ Q" ]/ a; m& w) n
8 J- R% |, u: `
**割平面的构造:**
! y X+ l/ P2 m; w2 ]) l+ e7 Y1 r
/ k) z7 `! D7 y
割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：
# A6 A! z6 ]. |1 h* ^. B6 K! |
; h# C0 M; Z. f! G
- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
1 \7 d7 B7 ^8 D0 m" F
- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。
5 L5 r6 I. S. M8 I" [0 ~: u, h _9 h
1 |. _! k. ~ P9 i; X0 t
**示例:**
) ?) _* W6 `2 p# r3 U- ?% J# K
" X4 R! \ E% q, x9 C
**问题:**
% p5 J' U! }1 [/ j
: p$ R- a; _8 g% e3 w
```
: r: {9 t d( \
最大化 Z = 3x1 + 2x2
* j0 h0 O5 N: A& r
约束条件:
1 T1 L# \3 C" o2 \. k
x1 + x2 <= 4
0 B8 C ?5 Y/ E* V, v
2x1 + x2 <= 6
5 d, K7 i( [2 ?0 C: f) b# m
x1, x2 >= 0
2 s- t0 W- Q; m" x" P7 q
x1, x2 为整数
) T. v8 ?3 B1 C+ v. h: s. V
```
i5 ?' E* c4 k) J S5 q4 M* `
- ?7 p% E/ [9 n, V0 C
**步骤:**
; [ [! r/ z) r; e
! k9 D2 R; _8 j0 f3 ^7 p7 {
1. **求解线性松弛问题:**
. G# w$ ~$ U& ?5 `
- 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。
$ W7 b1 G, Y8 |
% b. P' T' P$ @- B6 z3 a
2. **判断整数解:**
, N: Z, x Y, r, o, k
- 最优解不是整数解。
. T3 R9 @4 `9 Y% v
) O( _3 E. N9 j- n& y% W
3. **添加割平面:**
, l$ C9 O# c6 \3 l5 m5 d
- 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。
# l G. {1 ^. @6 C- A" Z+ j0 f
n% j3 F6 u; K0 K3 A4 A5 |/ t
4. **更新线性松弛问题:**
* m3 |: H. c L: H( s- Q0 W) s* x
- 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
& S9 M. t j; S. c: L
- 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
2 l: m/ {. c: p
. |! k6 V `+ a! W7 s! N
5. **重复步骤 2-4:**
# W! {; u3 Q5 v/ P
- 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
" F& k; R9 Z d- B/ R% s$ k6 F. |
- 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
( m# l% L6 u4 N5 k6 @$ z' @: h
$ W0 g; w' l) N; n# L
**总结:**
% @- Y4 L; `" y! Y+ w) |
5 R) i- U* L5 u0 X1 a$ ^, s: T7 b
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。
& @5 _) x9 X! p- s* Y# X: c) \
h; {$ |) B1 s& L4 N
' O$ e o& n. K: ]/ J
; q: m) g" x: y5 h; V Q
5 _ B: i S! V9 f# `% {
9 ^' }9 q E* c3 L' E# {6 H& I& W8 q
DividePlane.m
2024-7-16 12:04 上传
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