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标题:
割平面法
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作者:
2744557306
时间:
2024-7-16 12:04
标题:
割平面法
## 割平面法
% `! @$ Z2 y0 X3 I
* r0 Z; d2 T% D8 y4 J
割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。它通过不断地添加新的约束条件（割平面）来逐步逼近整数最优解。
- G4 ]5 h& j6 g( ?! h ?9 s
$ }, P, W/ g& v+ Q. G
**步骤:**
" G3 N% j) u3 A0 V4 a) v
+ L9 }! D R9 k- \% m* F
1. **求解线性松弛问题:** 将整数规划问题中的整数约束条件放松，得到一个线性规划问题，并求解其最优解。
6 o0 l ^$ h' t7 u! @; S7 V* C% [
2. **判断整数解:** 如果线性松弛问题的最优解已经是整数解，则该解也是整数规划问题的最优解。
, C& L6 W# n7 A! |- ~
3. **添加割平面:** 如果线性松弛问题的最优解不是整数解，则需要添加一个割平面，将当前最优解排除，并迫使算法寻找新的整数解。
s1 E% u R5 Y: H+ m( B6 _, ~) d
4. **更新线性松弛问题:** 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
" w; H) I+ h& S( @
5. **重复步骤 2-4:** 直到找到整数最优解。
* Y# e9 J: x6 a4 O( ^2 F
. W/ v) r3 A9 U7 e! c' A
**割平面的构造:**
$ r) O! g$ C; l0 H! x7 q0 [
' D: b, Y/ U0 C2 z% [
割平面的构造方法有很多，常用的方法包括：
1 E0 K! \* s( i) r2 t# A0 [
+ }+ b& Y" T2 ?" B& {5 U0 W
- **Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的最优解的非整数分量，构造一个割平面，将当前最优解排除。
) p2 l1 Y9 @, v0 a/ f2 }4 R
- **Chvátal-Gomory 割平面:** 基于线性松弛问题的约束条件，构造一个割平面，将当前最优解排除。
$ \8 N! b1 G3 m- m) v; R) f5 r
$ R# t" w- t. o. i
**示例:**
+ ~- [1 K$ ?4 s; Z
8 Z; f+ |8 G$ k1 z- Y! @, ?7 q# O4 }
**问题:**
+ i4 B3 ^/ F! A/ m' T0 G2 @
" u% o4 i; R3 q- `& z1 z! k; Y8 W
```
7 [0 ^. {2 R n6 e8 w
最大化 Z = 3x1 + 2x2
& o7 S# b$ p3 A4 {" x X6 n( p
约束条件:
! V& L3 q% Y' H, c4 B
x1 + x2 <= 4
& e; E- c, J: D# Y5 a: {
2x1 + x2 <= 6
1 o) B' S* {( O
x1, x2 >= 0
( s$ Y& [5 ^( T# o: \
x1, x2 为整数
+ y* k" V8 J: w8 v$ j
```
' |- k4 o/ `% o, z' O, t
T/ H* F& j) }( Q3 J
**步骤:**
. Y' R/ H8 D- t' X p1 y
- [, T6 Q3 ?$ d# H: j6 P* Y. J
1. **求解线性松弛问题:**
* ?. i( v1 N( z: D2 Q' J2 z7 l! t
- 线性松弛问题的最优解为 x1 = 2, x2 = 2, Z = 10。
- q* k& c' k. f3 I* {7 F
/ L' C( f) P" g* ]" c) J
2. **判断整数解:**
& w8 x. {6 _9 {% k1 o6 T) O
- 最优解不是整数解。
; V8 g& C; Z( a7 E2 [6 u4 l/ i9 I3 e
, C; C( _4 C7 `: g
3. **添加割平面:**
5 C6 K0 a9 T3 t# s
- 使用 Gomory 割平面方法，构造割平面: x1 + x2 <= 3。
5 f O3 f6 j( g0 N2 B2 b$ O! x0 |
0 C2 B6 n3 Q5 L+ u# S
4. **更新线性松弛问题:**
F0 ]3 E& Y5 i2 Z( S" g% M
- 将新添加的割平面加入到线性松弛问题中，并重新求解。
6 x! I9 H& ~3 \
- 新的线性松弛问题的最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
% I, ~" t3 @1 H! b* i& g
& w" \ c3 f7 J$ z2 X7 r0 N; v
5. **重复步骤 2-4:**
' m j# ]+ j4 `" _. o7 S. F
- 最优解仍然不是整数解，需要继续添加割平面。
0 y. {8 E1 u; N8 r1 j
- 最终找到整数最优解为 x1 = 1, x2 = 3, Z = 9。
' c/ o% W2 ?6 m D0 B1 i2 V: p4 m
8 \1 d p+ u% ?! z: l
**总结:**
u" a8 V6 t6 s
3 `+ f, ^; V8 Q9 V" |1 T
割平面法是一种有效求解整数规划问题的算法，它通过不断地添加割平面来逼近整数最优解。但是，割平面法的计算量可能很大，尤其对于大型问题，需要使用计算机程序来进行求解。
% j) `9 x, ^: {4 b, P
9 F3 R" c' L7 ~! R' r- S
2 _1 K& A" S# E! J! }1 T1 I
M G! L/ }* Q: v9 ]7 G
" Y6 n t; f: |1 y
1 |. G" T# t- L5 N& u8 D
DividePlane.m
2024-7-16 12:04 上传
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