数学建模社区-数学中国

标题: MATLAB 求和与对数之间的关系 [打印本页]

---

作者: 2744557306    时间: 2024-9-26 17:19
标题: MATLAB 求和与对数之间的关系
这段MATLAB代码用于计算一个极限，具体是涉及到求和与对数之间的关系。以下是对这段代码的详细解释：
2 t% x' e1 e( z( d
1 b* w0 S8 C% T### 1. 定义符号变量
```matlab
8 p* Y0 e- v  ~9 q$ t" ksyms m n;
```
8 v9 z( N* d: W  r5 l- 使用 `syms m n` 定义了两个符号变量 `m` 和 `n`，这两个变量将用于后续的符号运算。
6 ]0 `& G/ C6 K  x* y9 s' k1 P
# d* {! j$ r7 U2 r### 2. 计算求和和对数的差
6 F" C$ u, Q1 Y" u$ Z  w4 [+ X```matlab

1. limit(symsum(1/m, m, 1, n) - log(n), n, inf)

复制代码

```
3 R' L" K" q, a- `symsum(1/m, m, 1, n)`:
  - `symsum` 函数计算从 `m=1` 到 `m=n` 的级数和，这里具体是求 `1/m` 的和。
  - 结果是哈默尼克级数，表示为 \( H_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m} \)。
& X& T% _8 X1 d2 t
- L/ I$ h6 y8 f- `log(n)`:
  - 这是以自然对数为底的对数函数，表达 `n` 的对数。

- `limit(..., n, inf)`:
  - `limit` 函数用于计算当 `n` 趋近于无穷大时，`(H_n - \log(n))` 的极限。
  - 根据调和级数的性质，我们知道 \( H_n \) 的增长速率与 \( \log(n) \) 相关，且 \( H_n \) 与 \( \log(n) \) 的差收敛于一个常数。

& `1 n1 o, O) S### 3. 显示结果

1. vpa(ans, 70)  % 显示 70 位有效数字

复制代码

- `vpa(ans, 70)`:
  - `vpa` 表示“可变精度算术”，用于以高精度显示计算结果。
+ U! g  Y# }) Y! J9 I; J2 `  - `ans` 是 MATLAB 中的默认变量，它保存上一个计算的结果。
  - 该函数将结果显示为70位有效数字。

6 F7 g2 T* Q# e& E. ~### 总结
1 }8 Y# C$ c* `, d4 L' ^8 q这段代码首先计算出哈默尼克级数的和与自然对数之间的差，当 `n` 趋于无穷时的极限。然后，结果将以70位有效数字的形式输出。这个极限的值实际上是著名的常数——欧拉–马歇罗尼常数（Euler–Mascheroni constant），通常记作 \( \gamma \)，即：
\[
\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( H_n - \log(n) \right)
7 L! }; J+ l6 d; Z\]
此常数的值大约为 0.577215664901532。但是，通过 `vpa` 能够提供更多的有效位数，使结果更为精确。
" g+ g) b3 C+ I/ p( c- M7 u1 G

# ~' f0 K) t5 k, ^6 }* S1 C7 T7 @

---

欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)

Powered by Discuz! X2.5