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MATLAB 求和与对数之间的关系
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作者:
2744557306
时间:
2024-9-26 17:19
标题:
MATLAB 求和与对数之间的关系
这段MATLAB代码用于计算一个极限，具体是涉及到求和与对数之间的关系。以下是对这段代码的详细解释：
! ?4 k! R4 b( F. \. S& G; [5 V
) m% n6 s$ D3 D0 {
### 1. 定义符号变量
5 Y9 t4 A J0 Z0 V% F6 [ P6 y1 y
```matlab
* R" {8 V# K3 ^% c) x8 H1 ]
syms m n;
. A$ t% |- S, N& n) B
```
0 t2 H; \" @* O3 } Z' m
- 使用 `syms m n` 定义了两个符号变量 `m` 和 `n`，这两个变量将用于后续的符号运算。
6 a' Z+ ?- n. V' C
5 g3 ^; l5 _5 o! e W
### 2. 计算求和和对数的差
- `7 d$ W$ q! d- ?
```matlab
limit(symsum(1/m, m, 1, n) - log(n), n, inf)
复制代码
```
" w8 W/ f3 g0 I9 B9 e+ [; l% c
- `symsum(1/m, m, 1, n)`:
! p' ?5 e) B! L6 |2 N! W
- `symsum` 函数计算从 `m=1` 到 `m=n` 的级数和，这里具体是求 `1/m` 的和。
& q* V- \- Y7 B) Y1 h
- 结果是哈默尼克级数，表示为 \( H_n = \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m} \)。
' }/ i3 t7 A1 _1 ]! `
4 n, w. H0 J( q, Q( k& i
- `log(n)`:
) y- O1 m; r, x$ P
- 这是以自然对数为底的对数函数，表达 `n` 的对数。
N2 \9 Z- ? j+ ~+ G
$ o9 T& I' J* r3 F7 y* i
- `limit(..., n, inf)`:
+ F- \* E5 w, }% f' `( Z; ?
- `limit` 函数用于计算当 `n` 趋近于无穷大时，`(H_n - \log(n))` 的极限。
% R, M& ]3 b- o
- 根据调和级数的性质，我们知道 \( H_n \) 的增长速率与 \( \log(n) \) 相关，且 \( H_n \) 与 \( \log(n) \) 的差收敛于一个常数。
* s6 M3 p& M6 w8 n4 K J
- D4 M! }( I7 x" l
### 3. 显示结果
vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字
复制代码
- `vpa(ans, 70)`:
5 i; j( V8 O) }5 G+ R: _. v
- `vpa` 表示“可变精度算术”，用于以高精度显示计算结果。
( [* r( c+ P8 O0 E2 X
- `ans` 是 MATLAB 中的默认变量，它保存上一个计算的结果。
5 @) z- q2 D* G& z; I% R) V7 l s1 Y
- 该函数将结果显示为70位有效数字。
m9 y( b3 l0 |8 k0 q& n" g( A
, I/ m' u# n7 I- s
### 总结
. S6 E1 t- K& R0 m7 C! r! {0 m
这段代码首先计算出哈默尼克级数的和与自然对数之间的差，当 `n` 趋于无穷时的极限。然后，结果将以70位有效数字的形式输出。这个极限的值实际上是著名的常数——欧拉–马歇罗尼常数（Euler–Mascheroni constant），通常记作 \( \gamma \)，即：
" U0 C$ i$ ]1 C1 C3 L: \) z( D& C* l/ T
\[
( n& [ t4 j+ B; t+ T8 J
\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( H_n - \log(n) \right)
* q' f( R! o# ~( U1 @
\]
% d7 Z/ o, G5 i
此常数的值大约为 0.577215664901532。但是，通过 `vpa` 能够提供更多的有效位数，使结果更为精确。
: e7 O. v/ s# P. P0 W( L J
( H- W6 U; w/ q* P
, _$ v! D }, x% q$ Q- B* v
. C' _1 g, X( i% T: b6 E2 s4 c
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