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标题: 通过数值积分和符号积分计算函数的定积分 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-9-30 09:52
标题: 通过数值积分和符号积分计算函数的定积分
MATLAB代码展示了如何通过数值积分和符号积分计算函数的定积分，并对不同步长的数值积分结果进行比较。以下是逐步解析：
" ?3 r1 o6 Q+ i$ D0 P" C7 h+ q
9 c! G2 H2 P4 o: p. y2 M### 1. 创建自变量和函数
# x' q' o1 C  s$ b' d" N# `+ }```matlab
) Q/ s- r% E; E0 }* x9 A" D, Vx = [0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % 包含 3π/2 这一点/ v% J/ V: T/ W) [
y = cos(15*x);
/ {; p/ Q% j& Nplot(x, y)                     % 绘制 y = cos(15*x) 的图形
: H3 J8 j2 y8 U```  D8 O, I$ W( L* m! S8 E
- `x` 创建了一个从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的向量，并确保 \( \frac{3\pi}{2} \) 这个点被包含在内。( U( D3 S, }7 I+ k$ i! m( A
- `y` 计算了在 `x` 每个点上的 `cos(15*x)` 值。
% J9 |( v; c3 H1 w, P% b& ~2 M- 使用 `plot(x, y)` 绘制了函数 `y = cos(15*x)` 的图形。
; V! N' l  Z7 o- N4 T5 E! |8 P. W
2 L& ?/ H# b0 h/ R/ ^### 2. 计算理论值  A0 @  H0 \0 M. y. _
```matlab
! b6 h7 u8 H' f# [: usyms x, A = int(cos(15*x), 0, 3*pi/2);   % 使用符号积分求取定积分7 h, ^* D; D: ]: t4 u2 |, m
```( b; R9 F& s: @$ U- Q$ N4 x9 S. ~! ^
- `syms x` 定义符号变量 `x`。
" ?0 c6 W# M: u( u, _2 Q- `int(cos(15*x), 0, 3*pi/2)` 计算 `cos(15*x)` 从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的定积分 `A`，这个结果为理论值。9 s1 O$ L7 ]# y

3 d* l9 g6 h( k' X& W# T### 3. 定义步长并进行数值积分
. N' @9 }# K# f+ k% x8 l```matlab2 a9 G, |: w5 t0 |/ q* b7 G
h0 = [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001];
) k4 m+ y5 y/ X; xv = [];
0 g8 t$ E( A/ Lfor h = h0,
* H2 g: O8 p: `. N6 G    x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2]; / u5 F9 `0 ~7 K7 A& t' V; G
    y = cos(15*x); - `: j- C" E1 y% l' o3 h$ x% S0 F
    I = trapz(x, y);            % 使用梯形法进行数值积分' m  K* @  Q8 n5 ?  y
    v = [v; h, I, 1/15 - I];    % 将步长、数值积分结果和错误存储到 v 中/ u1 W% t& t# |& t: {
end
, J5 L. n2 e1 m3 i```
# {/ D" u! x# i; J; P: W- `h0` 是一个数组，包含了不同的步长值，用于进行数值积分。
1 e  A/ ~" x0 G0 Y0 B- `v = []` 初始化一个空数组 `v`，用于存储每种步长的结果。, m+ _& Z4 f& }( ?. e* |& E7 s
- 对于每个步长 `h`，代码：6 @' G0 \0 K- h+ q$ `  x3 v
  - 创建新的 `x` 向量，从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \)，步长为 `h`，并确保包含 \( \frac{3\pi}{2} \)。9 I9 F4 ]# A" ]
  - 计算 `y = cos(15*x)`。0 Q: ~% R( ~, k& g, ?# n
  - 使用 `trapz(x, y)` 进行数值积分，得到的结果存储在 `I` 中。
# s% _$ V4 i5 C* z1 Y) w1 i# B  - 将当前步长 `h`、计算得到的数值积分 `I` 和与理论值 \( \frac{1}{15} \) 的误差 \( 1/15 - I \) 存储到 `v` 中。
; n8 f' ~+ r4 T1 y, s/ ?' r7 c
( J) ^2 z% y  W, Z6 |, D" x### 总结
, B( A8 m0 T$ M' V# W7 T" g" `这段代码通过图形显示、符号积分和数值积分来综合比较结果，展示了函数 `y = cos(15*x)` 的行为。通过不同的步长进行数值积分，并对结果与理论值进行比较，可以分析数值积分的精度随步长变化的情况。这是一种在数值分析中检验数值方法有效性的常见手段。$ @9 u  t4 V! @: a3 I

4 Z! S: s. U& S' E) p1 y$ y
# v8 p4 ~; }7 C3 h& m4 v& M' s6 Y( c! s

examp3_29.m

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