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标题: 通过数值积分和符号积分计算函数的定积分 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-9-30 09:52
标题: 通过数值积分和符号积分计算函数的定积分
MATLAB代码展示了如何通过数值积分和符号积分计算函数的定积分，并对不同步长的数值积分结果进行比较。以下是逐步解析：- Z, v) _+ f0 ~0 {
. {0 |8 T) J* k
### 1. 创建自变量和函数
! i. G8 y2 Y2 l: G( O4 }```matlab
; U. ]1 |) z6 I8 ?8 w3 I* px = [0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % 包含 3π/2 这一点
5 T: Q! G  B+ @- l' x; I8 W& Gy = cos(15*x); ) A, g' f$ x3 }2 s6 C! W
plot(x, y)                     % 绘制 y = cos(15*x) 的图形
& s% k6 m6 T* B' A& h```: m- J) W3 c6 z2 w) I
- `x` 创建了一个从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的向量，并确保 \( \frac{3\pi}{2} \) 这个点被包含在内。
3 b7 c3 P% c6 ~1 v. ]! w$ C: h6 z- `y` 计算了在 `x` 每个点上的 `cos(15*x)` 值。
! p+ J# [% |% ^- 使用 `plot(x, y)` 绘制了函数 `y = cos(15*x)` 的图形。; p2 J, M3 e' L" Q. J# e6 f

- n& S; F/ s# M7 I4 f4 j### 2. 计算理论值& B, a* s; S$ O! J3 |0 t! d; H4 L" Z
```matlab% U, ?9 I9 D6 U9 Q
syms x, A = int(cos(15*x), 0, 3*pi/2);   % 使用符号积分求取定积分
# y3 P' J: k8 ~2 o```4 T4 g+ d) e: P* A& ~; j
- `syms x` 定义符号变量 `x`。
6 Y+ \% Q) C! b' x7 p3 S, S/ y9 S0 c- `int(cos(15*x), 0, 3*pi/2)` 计算 `cos(15*x)` 从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的定积分 `A`，这个结果为理论值。
: x$ t+ x5 Q2 a9 c7 ?5 S9 n. N; {/ F
### 3. 定义步长并进行数值积分& L" M/ M) `  f
```matlab
$ W+ l! I$ [( F; Q  ph0 = [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001];
  w0 w- l& b( P4 y1 K) [v = [];2 ?8 q; f3 H! `, ^5 R/ h6 ?% @% y
for h = h0,
3 K  j% J( o' ~    x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2]; 7 _; M/ U* n1 `+ s0 g/ [; N
    y = cos(15*x);
& T3 m9 o+ t/ z    I = trapz(x, y);            % 使用梯形法进行数值积分4 u  B% \1 M, i) K# h% @: g1 f2 ?
    v = [v; h, I, 1/15 - I];    % 将步长、数值积分结果和错误存储到 v 中8 G5 D8 m' H7 a% U
end
" @1 \- T/ P; Y* H```* N+ ]" I" e' ?
- `h0` 是一个数组，包含了不同的步长值，用于进行数值积分。
6 D2 J  \$ X& E$ Y8 L% S9 m- `v = []` 初始化一个空数组 `v`，用于存储每种步长的结果。7 h  ^% |6 n$ `5 i9 u: I
- 对于每个步长 `h`，代码：
) R0 M6 \  q0 h1 ]  - 创建新的 `x` 向量，从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \)，步长为 `h`，并确保包含 \( \frac{3\pi}{2} \)。
& F7 A( R  g+ f  w! J5 B  - 计算 `y = cos(15*x)`。
" Z& `' J3 @! w& h  - 使用 `trapz(x, y)` 进行数值积分，得到的结果存储在 `I` 中。
/ @, r- I) b/ P! f- G  - 将当前步长 `h`、计算得到的数值积分 `I` 和与理论值 \( \frac{1}{15} \) 的误差 \( 1/15 - I \) 存储到 `v` 中。/ @# v+ P% n- ]8 Y0 q% T; X% y& ~
5 k. P' G2 o) j$ }$ V1 }$ w
### 总结
7 p2 L0 r  S% w2 d这段代码通过图形显示、符号积分和数值积分来综合比较结果，展示了函数 `y = cos(15*x)` 的行为。通过不同的步长进行数值积分，并对结果与理论值进行比较，可以分析数值积分的精度随步长变化的情况。这是一种在数值分析中检验数值方法有效性的常见手段。
$ C, d1 \: y& B1 C" I# `% i
! W# c/ n4 ~' Q( k4 w2 Y8 ?1 B. U
, z. v; d( R; G
/ P' f, z9 ?6 f* w6 B0 ^- X

examp3_29.m

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