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通过数值积分和符号积分计算函数的定积分
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作者:
2744557306
时间:
2024-9-30 09:52
标题:
通过数值积分和符号积分计算函数的定积分
MATLAB代码展示了如何通过数值积分和符号积分计算函数的定积分，并对不同步长的数值积分结果进行比较。以下是逐步解析：
: C$ r: _1 ?7 x) w
2 U6 g# T9 V' T/ q
### 1. 创建自变量和函数
/ F& }) }4 w0 i& r
```matlab
6 y$ E% w* M& d3 I
x = [0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2]; % 包含 3π/2 这一点
5 S0 |* L& A6 W& ^7 c
y = cos(15*x);
# Z& t5 V9 _0 t4 F j5 O
plot(x, y) % 绘制 y = cos(15*x) 的图形
$ S2 G, P# u5 K! `
```
5 d% P5 `6 h$ J+ _8 X
- `x` 创建了一个从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的向量，并确保 \( \frac{3\pi}{2} \) 这个点被包含在内。
* @) W! ^' t0 {. a
- `y` 计算了在 `x` 每个点上的 `cos(15*x)` 值。
" X6 ?$ x# n, O2 a
- 使用 `plot(x, y)` 绘制了函数 `y = cos(15*x)` 的图形。
" ` i9 j- h9 R* ^6 L* ?
, O8 \8 O! `; X' L1 S
### 2. 计算理论值
( |. W0 [/ r7 @$ b; e% [
```matlab
. p4 l, t0 A1 p8 y( Y$ j
syms x, A = int(cos(15*x), 0, 3*pi/2); % 使用符号积分求取定积分
$ B& C3 A$ T: z9 L: f( y% H" F
```
8 } k4 _, L* S9 m% L) }4 U1 ~
- `syms x` 定义符号变量 `x`。
3 v3 Z/ D9 Q$ o6 S1 i" }: D
- `int(cos(15*x), 0, 3*pi/2)` 计算 `cos(15*x)` 从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 的定积分 `A`，这个结果为理论值。
0 X8 I$ T) ? t0 _' t
. B: e! N) M: u- x
### 3. 定义步长并进行数值积分
2 y" I% X( {! b1 W9 E
```matlab
. ` [9 [ t8 E6 q' Q, d/ }
h0 = [0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001];
& {: x( Q' ]1 Q; d t6 e
v = [];
4 I" Q u2 A# q) m! A5 A
for h = h0,
0 C% ]' a; W/ O, O
x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];
+ u5 o& N: c4 [7 j4 l4 d+ s
y = cos(15*x);
/ B, g3 w+ F! `: N
I = trapz(x, y); % 使用梯形法进行数值积分
/ v. i- D; h$ K3 V# j' U
v = [v; h, I, 1/15 - I]; % 将步长、数值积分结果和错误存储到 v 中
+ Q+ R" K1 `9 [8 @
end
8 ~7 E' R: ^) {) D! l
```
1 v; ~, ]9 W8 q) y5 `2 d$ G
- `h0` 是一个数组，包含了不同的步长值，用于进行数值积分。
+ |' E. ~' W7 i V5 ^) A6 [$ C
- `v = []` 初始化一个空数组 `v`，用于存储每种步长的结果。
, U3 C }( k2 p% Z+ j8 o- l' A
- 对于每个步长 `h`，代码：
7 ^1 N% A# K3 L5 L
- 创建新的 `x` 向量，从 0 到 \( \frac{3\pi}{2} \)，步长为 `h`，并确保包含 \( \frac{3\pi}{2} \)。
" l3 u/ R9 C, S! g! J7 a4 ~
- 计算 `y = cos(15*x)`。
. i& Q& ]4 k6 V& X- N
- 使用 `trapz(x, y)` 进行数值积分，得到的结果存储在 `I` 中。
+ i: |/ |# C! Q
- 将当前步长 `h`、计算得到的数值积分 `I` 和与理论值 \( \frac{1}{15} \) 的误差 \( 1/15 - I \) 存储到 `v` 中。
% V# ]4 i5 T/ V
& N1 k& X4 ?. ~: ~
### 总结
7 g# e, T' [8 t8 s8 f6 o7 Z. Z0 W
这段代码通过图形显示、符号积分和数值积分来综合比较结果，展示了函数 `y = cos(15*x)` 的行为。通过不同的步长进行数值积分，并对结果与理论值进行比较，可以分析数值积分的精度随步长变化的情况。这是一种在数值分析中检验数值方法有效性的常见手段。
3 A' M) e1 T1 }+ K: F5 A8 W
/ O6 Z3 |3 T# ]0 U7 d0 L# G
% r# x l( S& Y
9 }: O0 T# p R8 m" m
examp3_29.m
2024-9-30 09:51 上传
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