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标题: Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-10-23 15:59
标题: Dijkstra算法求c1点到其余各点的最短路径
该 MATLAB 代码实现了 Dijkstra 算法，用于求解单源最短路径问题。该算法用于计算从一个节点（通常是起始节点）到其他所有节点的最短路径。下面是对代码的逐行分析和对算法思想的解释：" }$ C. O& b) a( z3 j: j

0 P7 B9 Y( p* }- I% J! `" V### Dijkstra 算法的基本思想2 E" w; |: G" f) B
6 ^# |' K- ^) n; [7 K; X
Dijkstra 算法是一种贪心算法，核心思想是通过不断选择当前未访问节点中距离起点最近的节点，并更新相邻节点的最短路径估计值，最终找到所有节点的最短路径。% D3 ~* }1 f4 T4 S* ^1 l- k7 K& e

( }4 u- {! G/ E: l0 a/ A代码解析
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]函数定义:
  1. function [d, index1, index2] = dijkf(a)
复制代码
- `a` 为权值矩阵，表示图中节点之间的边的权重。; [7 A7 M! h7 i* e, g) U
- `d` 为最短路径权重的数组。- h  ]7 Q: l1 R1 o' o& L
- `index1` 表示节点访问顺序。$ f" G# |8 Z/ k5 i
- `index2` 表示节点的索引顺序。: x, q' H6 V& }  a. ^6 N8 }$ b% `

1 n' d5 r5 A, Q# Y( L+ X[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]初始化[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:
  1. M = max(max(a));  
    1 z( K9 d3 ^" _" O1 C
  2. pb(1:length(a)) = 0;     % 标记所有节点为未访问  6 @: q# W, v, A( s0 O. C2 n" P2 }
  3. pb(1) = 1;                % 将起点标记为已访问  
    ! _& D) _0 _! Q: Y& G
  4. index1 = 1;              % 记录访问顺序  ( L$ u6 P( k# W$ J1 i  |& J6 {! A
  5. index2 = ones(1, length(a)); % 初始化索引数组  3 X# ^7 @( X" S( s
  6. d(1:length(a)) = M;      % 初始化距离数组为最大值  
    2 a9 C7 e: I' B$ j: r
  7. d(1) = 0;                % 起点到自身的距离为0  
    " h( i& @' t2 o. r+ ~+ N
  8. temp = 1;                % 设定当前节点为起点
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- 通过提取权值矩阵的最大值来设置初始距离为一个很大的数（无穷大）。
' `, p9 R* f' e5 E% A- `pb` 数组用于标记哪些节点已被访问。
7 M) m; ]+ ]1 N7 K- `d` 数组用于存储从起点到其他节点的最短路径长度，初始时将所有值设为无穷大，起点到自身的距离设为0。
* S( c$ x7 Y% N
3 b/ f% ?: B3 ]3 E[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]更新最短路径[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]::
  1. while sum(pb) < length(a)  % ~( K1 A4 O  D' `8 ?" Q. m
  2.     tb = find(pb == 0);   % 找到所有未访问的节点  0 R3 q9 N0 V- |" [7 `
  3.     d(tb) = min(d(tb), d(temp) + a(temp, tb)); % 更新这些节点的距离  6 G5 P+ |4 G; G( ~0 G  W& F
  4.     tmpb = find(d(tb) == min(d(tb))); % 找到距离最小的未访问节点  
    . F/ S7 o- N2 k9 m, U
  5.     temp = tb(tmpb(1));   % 选择距离最小的那个节点  
    : I9 M' \$ j" k  u# O( j1 N
  6.     pb(temp) = 1;         % 将其标记为已访问  
    ; e8 J$ F% z0 c  m
  7.     index1 = [index1, temp]; % 记录访问顺序
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- 使用 `while` 循环遍历所有节点，直至所有节点都被访问。
; ~; s4 _3 c7 Z$ l" H: x- n! s- 找到当前未访问节点 `tb`，并更新这些节点的最短路径长度。* r3 ~) G5 `7 T# l- Y
- 选择距离最小的未访问节点来作为下一个要访问的节点。$ U0 u( g2 x9 r& m, N/ q2 u
- 将该节点标记为已访问，并记录访问顺序。* J% [" X& \1 h# g8 A
: w) r& l3 [7 C, o7 Z
[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]记录顺序和索引[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]:
  1. index = index1(find(d(index1) == d(temp) - a(temp, index1)));   
    # S- u- o( V( e
  2. if length(index) >= 2  
    4 J* T2 U# v# ?# L- S
  3.     index = index(1);  4 a. @) h4 P5 L4 N5 x1 R! M
  4. end  
    $ g- A, O6 E& Z  g! o' p9 `
  5. index2(temp) = index;  % 将更新后的索引存入 index2
复制代码
- 通过计算当前节点与已访问节点的关系来更新节点索引 `index2`，确保最短路径的方向正确。' z4 E' K' t% z( s
# D8 v2 k5 n6 \
总结最后，该算法实现了 Dijkstra 最短路径算法的基本逻辑：5 s; U1 |5 v, Q( K1 G3 o" F

- n0 t+ u$ j  y) C- j1. 初始化距离和访问标记。
7 f% \) y. @5 C8 a4 O2. 循环获取离起点最近的未访问节点，并更新其邻接节点的最短路径。
0 }+ m+ J  E3 P) ?2 N3. 重复这一过程，直到所有节点均被访问。
( U- J6 A, }. Q2 q, Q
. p6 y+ K$ c# w$ Z' a最终返回的 `d` 是从起点到其他节点的最短路径长度数组，`index1` 是访问顺序，`index2` 是节点的索引顺序。这个算法的时间复杂度为 \(O(V^2)\)，其中 \(V\) 是图中节点的数量。但在使用优先队列等数据结构优化时，可以将复杂度降低到 \(O((V + E) \log V)\)，\(E\) 是边的数量。( C/ F$ k$ R; Y
2 L, g3 _- Q, C

- `, ]+ I5 Q0 x/ O7 ^' ]- h! b6 v& c4 h

dijkf.m

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