数学建模社区-数学中国

标题: Floyd算法求两点间的最短路 [打印本页]

作者: 2744557306 时间: 2024-10-23 16:47
标题: Floyd算法求两点间的最短路
MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

复制代码

- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
6 S7 h5 S9 W2 ?2 S
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 3 M4 m. \" j& x [: q% ]
m = 1; % 初始化步数

复制代码

- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
' b( H3 b d% T% f/ l2 {
for i = 1:n
; k+ a- b! k2 F/ v8 {) W- |- z
for j = 1:n # q. d9 }9 H) D8 u# I
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) $ i# A$ {; E+ E/ T" r9 x7 T, R
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
# s& j) ~/ A, w+ Q9 Q+ F+ w& h
end * N# u" r5 A" ?
end , j6 |' S" Q) c
end + |+ D; M* U/ l- ?
m = m + 1; 2 R2 G0 r J) ^
end

复制代码

- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

复制代码

- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
9 M* w. K/ S5 R
k = 1;
$ R- W7 n2 ?& a9 r0 C- x
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 2 p$ E4 S+ g; Z' J% H( E
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 . n8 O6 j" [/ C% `, r' ~
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

复制代码

- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 ) y/ w9 \# U9 U F- ]
for i = 1:n
3 R; Y! s8 z3 c5 u4 x
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
$ |" Q7 S! l2 n' m6 t4 b( `
if V(1, i) == U(k1, i) ( u( ^; |* o% B) F1 c9 e
P1(k + 1) = i;
' ~8 F' u/ K# `0 U7 s3 G* t+ g; b
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 * W* F$ ~0 n9 O5 S
k = k + 1; ' U X$ a/ F, D4 g- V; P
end
) r' c5 S0 s- D4 ^0 @$ ?. [
end 7 R+ K* ?" D; N6 e2 W* J
end

复制代码

通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
( K8 D# V& h" w- k) t, V

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1; 5 T, Q$ m( G0 p0 ^
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
7 W, h* r9 T' c3 Z
for j = length(wrow):-1:1
7 J7 e$ d2 ?6 l5 Y# `
P(k) = P1(wrow(j)); 6 z k# l9 ?3 E. ~+ r7 X
k = k + 1; ( m+ g, o' h# T( ~4 p
end
) z5 c; s, [% r+ F' w2 N. ]
P;

复制代码

提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
. j% K1 d4 H+ z. {- E) b% |3 ~

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]

n2shorf.m

828 Bytes, 下载次数: 0, 下载积分: 体力 -2 点

售价: 2 点体力 [记录] [购买]

欢迎光临数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)