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标题: Floyd算法求两点间的最短路 [打印本页]

作者: 2744557306 时间: 2024-10-23 16:47
标题: Floyd算法求两点间的最短路
MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
& G! A' w& \9 @
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度
# E6 W3 g7 y' }* g7 c1 I
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
0 p1 r, S+ _7 A% J2 n
for i = 1:n 0 A5 M, s% q& J! j: }1 a2 w
for j = 1:n
( b+ a, ~$ q+ U+ J
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) 4 K* t0 N2 s5 f h# E
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
* M* i E0 ]! x6 m$ n& Q2 ^
end " @- K3 j2 J3 b# C5 ]3 ^
end
. `% v1 n- [9 X# M
end 6 s% w: E6 k1 B( x
m = m + 1; 8 b( g/ M8 z% b$ X2 P# S
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
' S, |; i) T3 d$ q; H
k = 1;
# O# p/ P. i; l9 ]0 t
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
: i- H, g' [7 i$ D7 Z# d7 B
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组 , I, G0 o# S9 y! v4 A! S2 z
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
6 J% M A8 h N2 F
for i = 1:n
8 ^7 p1 H, h0 h# E" @1 O
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
* D" H' ~, D6 K" u. v
if V(1, i) == U(k1, i) 9 B; k" F# x# q! R' S. p
P1(k + 1) = i; 4 W; m. O8 }) B
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点
) ]/ O1 L0 c4 o2 Y: J
k = k + 1;
( ]! s# B8 ~: C3 \3 d& S9 O
end
) ?8 ^0 w! ]* [* C$ M- Z. x
end 3 f4 T' Y! v7 H) F; L: ?
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。6 Q* A F5 p9 z

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
, ?( C [2 e' T: E1 g. \
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 5 N' v2 j0 C" Z0 a, @
for j = length(wrow):-1:1
) y. D; Y1 [. B' N. |4 z+ Y
P(k) = P1(wrow(j)); , s- a# a. q, j }: w/ s
k = k + 1; 5 |5 v- y4 D/ q9 W6 D: T6 t, ]
end
' o' X# k1 R" ]3 t8 D
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
' |9 F% G, }0 f+ f- }! g& x" n$ m

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]

n2shorf.m

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