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标题: Floyd算法求两点间的最短路 [打印本页]

作者: 2744557306 时间: 2024-10-23 16:47
标题: Floyd算法求两点间的最短路
MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
5 [7 ]. Y( o3 d. e2 W* `
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 ! P8 \0 N$ e# c7 H- G1 {0 K7 L% e
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n
$ i$ m- ~* N% Y2 q
for i = 1:n
' V4 m' n" D J: f4 w5 y7 p
for j = 1:n $ J& b' l1 q7 a0 P8 K( X9 P
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) + t; u# ^# d6 d+ _
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j); 6 ?9 C' `) ?6 q& T
end & `& S) g# F% X$ f: V, ], p
end
1 n% e* E$ d0 e. C
end
, \& v- Q) @) [8 T( B0 ^
m = m + 1;
0 b6 t7 ]6 W% ]. `7 Z2 P8 w
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n);
6 e7 P" B& b! }2 |9 W
k = 1;
( |+ }% r, e6 w+ Z/ F
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 1 c0 i/ d/ X8 y' s* J
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
- p9 L( k$ E1 s" u% w# U: K- ^
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1 / c& ^+ V" O% k5 L2 k! K- M
for i = 1:n
7 \2 [5 P3 x( y( S( D" w Y' w) ~
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
; | M, _; T6 r; q- v
if V(1, i) == U(k1, i) * D( l$ C; Q0 J1 n# M1 `7 ]
P1(k + 1) = i; 5 [) H7 j( N5 j) ]5 A2 _
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 T/ t& z/ ^4 I2 Q
k = k + 1;
& W# A5 F* y6 U
end 4 {# `+ Q" A s# W, U2 X9 D# E
end
# L1 n( T, Q3 N5 I+ ~9 O
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。' `: j" n2 N( X% [- K4 H

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
* Y; p* n4 F. g: b+ ?* z4 ^# K
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 7 U, L! P2 B6 _$ l5 u6 f
for j = length(wrow):-1:1 ) [ m1 ^; \* Z E5 @# K1 ?/ U
P(k) = P1(wrow(j)); 6 X; D) s3 [6 S# n6 v- T; d# l
k = k + 1; / c! ]2 R2 n3 X0 f: m; G. Z
end , U9 @$ l5 B D* H, Z$ r
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。! q% H/ K) I6 i

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]

n2shorf.m

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