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标题: Floyd算法求两点间的最短路 [打印本页]

作者: 2744557306 时间: 2024-10-23 16:47
标题: Floyd算法求两点间的最短路
MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量 $ `, B0 S! _. ?
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 8 S3 Y" s9 ]! O* T5 Q W% b
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n . {. }/ z& @' j; x
for i = 1:n $ q( s6 k0 G7 J& Q8 V( p
for j = 1:n 7 N: g# f; @# L# I
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j) ; v+ C( X5 `9 @; {8 W- d
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
3 w0 b: r6 R2 p5 o! B7 P* k
end
; {1 H* d* ]" O+ C x
end
8 q! G }4 m% y7 v: k" B
end
$ R/ K( t) \) }' ^% C2 A: V
m = m + 1; $ I5 p0 M" V, n. i9 b2 M
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); 7 g" `* |9 X$ A, o: Z5 N% ]# ~8 q
k = 1;
) S( z$ w5 I# H+ V) o
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中 8 f* n7 X5 ^" d- I% {' L( E$ q
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
3 i3 @+ c6 L- W% z' K& g* e
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
3 O s4 J! i6 M8 g$ j1 ~* E7 N% j
for i = 1:n
/ w' `& q" F7 \9 _
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk); % a3 Y+ \+ r/ X( x& d1 k+ f
if V(1, i) == U(k1, i) $ z, `, C8 V3 f) v8 {
P1(k + 1) = i; 7 l6 Z, }7 i0 I: z$ `. n% E
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 % u/ {1 i$ d1 ]4 W7 }2 v8 V
k = k + 1;
i3 [; p, o1 P. l: i. H
end
& F3 e+ Z# U. J
end 6 P0 S' U* ]: M g
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。8 d; l' d3 M2 j( s

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
/ u* r( e+ d! A, ~7 R; v" t
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引
; z5 y) L# ]9 [3 e( X3 v' V( F
for j = length(wrow):-1:1 ( Q1 H( F' _+ N3 V. k2 r& ~3 N
P(k) = P1(wrow(j));
$ i, j6 m& R* V1 n
k = k + 1;
( V0 R+ N7 D, }
end 5 ^, H2 q* C3 c" c& c% o
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。
( a3 N3 D Q: d

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]

n2shorf.m

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