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标题: Floyd算法求两点间的最短路 [打印本页]

作者: 2744557306 时间: 2024-10-23 16:47
标题: Floyd算法求两点间的最短路
MATLAB 代码实现了一种计算图中两个节点之间最短路径的算法。它利用了 Floyd-Warshall 算法的思想来逐步更新路径长度，并在此基础上求解最短路径。下面逐步分析其功能和实现细节。
函数定义

function [P, u] = n2shorf(W, k1, k2)

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- `W` 是输入的邻接矩阵，表示图中节点间的权重（距离）。
- `k1` 和 `k2` 分别表示起始节点和目标节点的索引。
- 输出 `P` 为从 `k1` 到 `k2` 的最短路径，`u` 为最短路径长度。
初始化

n = length(W); % 获取图中节点的数量
/ E2 P& B) z( E6 u* e- }6 c
U = W; % 用 U 保存当前的路径长度 # C3 h5 i, B) m: F7 d
m = 1; % 初始化步数

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- `n` 是节点总数。
- `U` 初始化为邻接矩阵 `W`，用于存储更新后的最短路径长度。
- `m` 控制外层循环的索引。
主程序

while m <= n ; A* `, {% Q* n
for i = 1:n 3 N3 J" a# ]" G4 B6 _
for j = 1:n $ {+ ^' [ D% W+ |1 x+ f" d
if U(i,j) > U(i,m) + U(m,j)
% n6 k3 n& j( t
U(i,j) = U(i,m) + U(m,j);
' D N/ @$ y# V7 M2 a' G
end . X8 w% ?) z% A5 n V
end 6 k' I# G* ~ G3 o' ], M
end ; o& X8 C% k) p* d) Q' Y
m = m + 1; 0 z2 |' G0 a H( @& s
end

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- 外层 `while` 循环运行 `n` 次（节点数量），内层嵌套的 `for` 循环遍历所有节点对 `(i, j)`。
- 如果通过节点 `m` 的路径长度比当前已知的 `U(i, j)` 更短，则更新 `U(i, j)`。
- 这段代码的作用正是计算任意两个节点之间的最短路径，最终更新的 `U` 矩阵将保存所有节点之间的最短距离。
获取最短路径长度

u = U(k1, k2);

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- 通过访问 `U(k1, k2)` 获取从 `k1` 到 `k2` 的最短路径长度。
求解最短路径

P1 = zeros(1, n); ) q3 i, D6 M! X
k = 1; 3 Y( e9 i" Z0 u, Z1 c
P1(k) = k2; % 将目标节点放入路径中
. N0 g* r. b2 ]4 ^ Y Z* r/ A: F
V = ones(1, n) * inf; % 初始化路径计算辅助数组
& ?+ r: _& ?* D6 s0 s
kk = k2; % 当前节点设置为目标节点

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- `P1` 用于存储从 `k2` 回溯到 `k1` 的路径，初始化为全零数组。
- `V` 用于保存路径长度的一种中间表示。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]
回溯路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

while kk ~= k1
0 X9 y/ I J8 t: e; P
for i = 1:n
- Z, v$ f: p7 n& G, e
V(1, i) = U(k1, kk) - W(i, kk);
7 d5 K! I# g4 U( f! [' f1 P
if V(1, i) == U(k1, i) 2 s6 \) ~$ Z9 W0 g
P1(k + 1) = i; : J( X( h4 |% ?' k) I, c. _! U
kk = i; % 更新当前节点为前驱节点 ; H. o0 o9 n [& X: o
k = k + 1;
8 ~6 O( L, e3 V
end
2 n3 M2 P3 X4 Q2 t$ T
end
: _) T( B0 i, \* ^! F$ v. m0 t* A
end

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通过回溯来确定路径。根据当前节点 kk 的前驱节点逐步回溯，直到找到起点 k1。
在内循环中计算 V 数组，能否从 k1 经过某一节点 i 到达 kk。
2 ^. z4 d X' `% [

完成路径[backcolor=rgb(36 38 52 / var(--tw-bg-opacity))]

k = 1;
) P( W0 ~( [8 w% r3 r+ z
wrow = find(P1 ~= 0); % 获取所有非零节点的索引 8 l6 Y$ Y( `5 g% U
for j = length(wrow):-1:1
+ ^7 n( |8 Y* J& X
P(k) = P1(wrow(j)); 2 @& f9 {. f/ C
k = k + 1;
( G; `6 n( g3 U
end 9 }- T. g- N: z' e
P;

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提取路径 P，通过从 P1 中回溯找到从 k1 到 k2 的顺序。
注意这里是从后往前填充路径，确保路径顺序是正确的。, }. |- o0 F! e6 ?0 O9 p0 H3 V' b2 w

总结

[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]整体而言，n2shorf 函数实现了计算从节点 k1 到节点 k2 间的最短路径及其长度的功能，使用了 Floyd-Warshall 算法来更新路径长度，并通过回溯确定具体的路径。这种方法适用于计算任意两个节点之间的最短路径，但可能在时间复杂度 �(�3)O(n3) 的图中对于较大的图处理时效率较低。

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)]

[color=rgba(0, 0, 0, 0.96)][backcolor=var(--sds-color-grey-layer3-normal, #ffffff)]

n2shorf.m

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