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标题: Vandermonde 矩阵中各个元素的多项式形式 [打印本页]
作者: 2744557306    时间: 2024-12-31 17:16
标题: Vandermonde 矩阵中各个元素的多项式形式
这段 MATLAB 代码使用符号计算的功能，主要涉及生成 Vandermonde 矩阵并进行多项式操作。让我们逐行分析这段代码的作用。
3 H( s' @8 o4 V+ K
& _) E3 p7 u1 r' w3 D### 代码分解与说明1 l3 X( f% z- B8 A8 O1 v

* T9 [# t# i& A1 s1. **`syms x a1 a2 a3 a4 a5;`**：" W9 R9 I. j) Z1 Q+ r
   - `syms` 是 MATLAB 中用于定义符号变量的命令。在这里，`x`、`a1`、`a2`、`a3`、`a4` 和 `a5` 都被定义为符号变量。- U& m: H/ Z' m2 S9 q
   - 这些变量可以在后续的计算中用于符号表达式和符号计算。
8 d  N' y, T0 O! f. |% i0 u
* g; B+ H" p' E2. **`A = vander([a1 a2 a3 a4 a5]);`**：9 C% {3 i# i5 l# i
   - `vander()` 函数用于生成 **Vandermonde 矩阵**，这是一个广泛应用于多项式插值和数值分析中的矩阵。给定一个向量 \(c = [c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n]\)，Vandermonde 矩阵的形式是：
$ ]6 [0 t0 [- \  l0 N7 ^     \[6 B6 o: r% T8 b# Y/ @8 x6 h' V" h
     V = \begin{pmatrix}3 f! h/ ^- E! W+ W
     1 & c_1 & c_1^2 & \ldots & c_1^{n-1} \\4 x  m3 w# \5 q# c8 e1 k
     1 & c_2 & c_2^2 & \ldots & c_2^{n-1} \\; l% G; z4 [/ D; D1 }# q9 ]
     \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
) Q5 j% a6 S- p6 S/ H     1 & c_n & c_n^2 & \ldots & c_n^{n-1}4 w, r; k3 S) I( f. S, m
     \end{pmatrix}8 V1 n4 c) j: ^, O
     \]) M$ P$ t8 B9 y! X- B( X
   - 在这里，`[a1 a2 a3 a4 a5]` 是一个包含五个符号变量的行向量，因此 `A` 是一个 \(5 \times 5\) 的 Vandermonde 矩阵。
0 {$ T, W2 D  r) `2 k* o" W1 [
! q& z. e' j1 r0 Q* s: E9 z3. **`collect(poly(A), x)`**：
& \$ H. k4 L6 `3 W7 x) R   - `poly(A)` 将矩阵 \(A\) 转换为一个多项式系数矩阵。具体来说，它将Vandermonde矩阵的形式转换为针对符号变量 \(x\) 的多项式。
# `6 V0 p) g8 E+ b8 u1 K) V   - `collect(..., x)` 函数用于收集或整理多项式中的项，按照符号变量 \(x\) 的次数进行归类。即将多项式中的同类项加在一起，输出一个非冗余的多项式表达式。" f8 h$ ?! J4 s4 ?) \% T4 y/ @

) h' V9 |7 Z! [; i  f9 ^2 P### 总体功能
/ d; ?0 D( E6 Z) Q综上所述，这段代码实现了以下功能：
# B* ~. C# Z- ]! H$ A; d5 V- 定义五个符号变量和一个额外的符号变量 \(x\)。& q- t3 y( }, i' W0 z' m% u, X
- 创建一个基于这五个变量的 Vandermonde 矩阵。+ U& \! k; V/ c
- 将这个 Vandermonde 矩阵视为一个多项式，收集并整理对应于符号变量 \(x\) 的多项式项。- m+ V8 q/ Y' l, u6 |) C
; o  u& j" o' w
最终的输出是一个整理后的多项式，反映了生成的 Vandermonde 矩阵中各个元素的多项式形式。这在处理多项式插值、符号计算及数学分析中非常有用。
7 k9 n* K# S' ^" T3 v3 L+ e( l0 [$ ~% {! R% w
! J/ j' l8 R) r4 n5 r

( H) D; L+ }  F4 R

examp4_12.m

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