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标题:
证明素数对称分布定理的五个引理（三）
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作者:
李彦修
时间:
2009-4-4 09:31
标题:
证明素数对称分布定理的五个引理（三）
引理
1.5
. u% X/ Y# } h1 S; \
若
q1
、
q2
为奇素数，则以下同余方程组
8 g6 C0 n" A" V; l
1
）
x ≡r1
! i) Y! X6 p- d
2 J8 J# u, x0 c+ X9 b- w
(mod q1)
! K$ c6 t6 w1 a) C2 M1 N' v& H
x ≡ r2
3 Q5 s6 J0 @2 l: a- S& \
(mod q2)
- t. z# V; c" d$ }- F" Z
2
）
x ≡ r1
: \. e1 U1 d, k ^9 y4 ?6 z
(mod q1)
+ q# \' ]1 e4 g! H
x ≡q2-r2
( F% q! S' a# u9 a5 Y5 s
(mod q2)
. j, Z7 _+ F. B2 R% j
3
）
x ≡q1-r1
6 u) V, ]+ m& _4 T2 U; W. \
- M6 q/ E) n6 j
(mod q1)
$ l3 b! m( e: Q* I9 J( ^$ K4 X% u1 D1 Z9 K
x ≡ r2
" w+ B0 X3 F+ N% k- D, b5 W1 ] u
(mod q2)
" N6 K4 `% E ]$ W
4
）
x ≡q1-r1
; r7 k, P+ o7 U: `3 n
(mod q1)
8 a/ r. |" K) ]" _
x ≡q2-r2
$ p1 M+ x/ A% K& }1 F
(mod q2)
$ M; M% \# R) b* [* ~
小于
q1q2
的
4
个解必然
2
个为奇数，
2
个为偶数。
2 ]! G6 s; B$ N+ |# \8 c' u1 F
证明：
9 d% E5 V, F+ c6 A6 M c5 ]- k2 j4 y
根据孙子定理，每个方程组都有小于
q1q2
的唯一解。
4 ], `* C; k) m2 ?: z5 J$ h
令同余方程组
1
）、
2
）、
3
）、
4
）的小于
q1q2
的解分别为：
- a9 N) d# u# f# o8 y( i
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
, p2 `1 K' M" l! T
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
! ^- i7 w0 I" h' n
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
8 i! j( v1 Z# r* e7 @1 X
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
# @% F) Y( D+ d3 `
则
3 W& n, l7 j! O$ ~8 L
x1+x4=
（
a1+ a4+1
）
q1=
（
b1+b4+1
）
q2
" B a9 g$ y: Z8 L7 S z7 q
即
9 _, }6 M% D) e6 }" }: l; z
a1+ a4+1= q2
，
b1+b4+1= q1
7 ?/ [& E6 V* Y: j' b9 M
∴
5 ?2 }& P! O! G& W
a1
与
a4
、
b1
与
b4
只能同为奇数或偶数。因此可推出，
x1
若为奇数，
x4
便为偶数；
x1
若为偶数，
x4
便为奇数。即，
x1
与
x4
总是一奇一偶。
1 q* r5 D% U! ^
同理可证
x2
与
x3
也总是一奇一偶相对的。
! V) u5 d( O9 D# P* Y- y
即是说，
x1
、
x2
、
x3
、
x4
这
4
个解中，总是
2
个为奇数，
2
个为偶数。
3 j2 `) P6 ]+ K: a' k+ V
定理得证。
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