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标题:
证明素数对称分布定理的五个引理（三）
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作者:
李彦修
时间:
2009-4-4 09:31
标题:
证明素数对称分布定理的五个引理（三）
引理
1.5
. d. x# z, p% q' V4 y
若
q1
、
q2
为奇素数，则以下同余方程组
$ U4 e$ _% k. C& x+ n3 W5 {
1
）
x ≡r1
* z D& E) q( I
* J7 u# g R$ \3 I! q! u
(mod q1)
9 S' k# q* o% q( _. a
x ≡ r2
. ~9 p( w. y: f* g
(mod q2)
: S, ~- b2 C- n- s7 q
2
）
x ≡ r1
7 |8 G2 W# V. _7 ~
(mod q1)
. o- [. w8 l' y0 R2 z8 g
x ≡q2-r2
9 g. Q4 M; w" [% M
(mod q2)
' w5 x7 S/ ~2 S: g [# T5 L
3
）
x ≡q1-r1
* x: N6 s3 r/ v% H
" e0 U' J8 N4 w4 M# V! x& r! O
(mod q1)
3 N2 g% N! c h
x ≡ r2
4 y7 F7 s# ~4 [- p' r# Q+ V# t/ r* E
(mod q2)
' `! M4 N Y$ W- r" B9 S' F# s
4
）
x ≡q1-r1
5 m4 B' F( I& A3 T& x
(mod q1)
7 U7 V; P% v/ k" _) D2 Z6 ^
x ≡q2-r2
: i% Y! g% T+ D- i5 E: D0 W: y
(mod q2)
# D; ~9 K6 \- O. ^, A6 E; ?
小于
q1q2
的
4
个解必然
2
个为奇数，
2
个为偶数。
$ q1 e" Z) B4 ~7 {" J" l5 E
证明：
' k) V$ R0 L, B3 Q8 u8 ?, Q
根据孙子定理，每个方程组都有小于
q1q2
的唯一解。
8 x; v/ A- q: G- [
令同余方程组
1
）、
2
）、
3
）、
4
）的小于
q1q2
的解分别为：
. W [, `+ B2 |, A; T6 |
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
; y! ?% U0 Z# K( U" v5 Q
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
' L6 i- J8 m" }4 j& ~# P
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
) \3 a' e2 Y; V# e7 z5 F& R! L. {
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
# N9 a# N4 y, P+ A
则
$ j! L+ o; \1 H* o5 h9 ]. w3 c
x1+x4=
（
a1+ a4+1
）
q1=
（
b1+b4+1
）
q2
# _8 h2 F- \ |
即
/ b* E( U* S8 B) G1 ?1 E% M
a1+ a4+1= q2
，
b1+b4+1= q1
! y" N* E/ t- J: p, [6 E
∴
/ J+ ?6 q+ V# \
a1
与
a4
、
b1
与
b4
只能同为奇数或偶数。因此可推出，
x1
若为奇数，
x4
便为偶数；
x1
若为偶数，
x4
便为奇数。即，
x1
与
x4
总是一奇一偶。
) }; u8 m; M' U* g& h- U8 _3 \
同理可证
x2
与
x3
也总是一奇一偶相对的。
4 k8 ]/ n' [0 i0 S& p( I
即是说，
x1
、
x2
、
x3
、
x4
这
4
个解中，总是
2
个为奇数，
2
个为偶数。
/ C% j- G! j& {. M/ K: t
定理得证。
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