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标题:
证明素数对称分布定理的五个引理（三）
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作者:
李彦修
时间:
2009-4-4 09:31
标题:
证明素数对称分布定理的五个引理（三）
引理
1.5
* t7 t7 b; D& [/ a
若
q1
、
q2
为奇素数，则以下同余方程组
/ j; Y# L& w1 F0 u/ M+ p* r/ U" f" E) m
1
）
x ≡r1
1 H, t( X. k5 J- A) s
: u$ _: e! ^$ ?$ ~+ G
(mod q1)
6 {* x# D+ T4 W) K7 L6 o1 r% P
x ≡ r2
+ h9 i6 j- _+ b" W" k9 v# B: x9 f
(mod q2)
# W7 N- N, N- z) A) R1 f8 d) n
2
）
x ≡ r1
4 z' F- V' Q1 s. u( P' s6 h) @. `; ]( N
(mod q1)
% L# n* W ?- O6 p
x ≡q2-r2
`& o/ f3 G6 r) ?" u w' a
(mod q2)
0 Q5 @ f' ]2 l" q2 k% |" W
3
）
x ≡q1-r1
% _. q/ {8 m+ [# `' S
& F9 o+ `' k* I+ A; X
(mod q1)
+ { O' C8 z" `$ `* i. Z6 W: {; v" u
x ≡ r2
1 D. f' O3 C! A/ h2 `" z
(mod q2)
% ^6 y6 z7 {# {- p% D
4
）
x ≡q1-r1
9 j+ m9 H- T4 u: A
(mod q1)
& h3 I/ f% @! v/ t
x ≡q2-r2
6 J9 K* T+ X% \; w! @8 Q
(mod q2)
5 m# `- B4 F5 D a2 w) C+ m' x
小于
q1q2
的
4
个解必然
2
个为奇数，
2
个为偶数。
# T! p& F9 F9 A' v2 h
证明：
- e$ _0 }" m/ ~. j6 b# j
根据孙子定理，每个方程组都有小于
q1q2
的唯一解。
6 [2 y' T2 C Y' N3 q7 S
令同余方程组
1
）、
2
）、
3
）、
4
）的小于
q1q2
的解分别为：
+ y: x7 N0 k5 Q& Q. R* k
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
1 t5 ]% B2 w6 @) z! O
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
6 g) S7 g/ g5 D) S) J1 I# y: ^
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
' e( x c8 O. ~7 s
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
5 `7 H) d! S2 ~9 p; N1 C
则
: F+ I. i. s: {& d7 X
x1+x4=
（
a1+ a4+1
）
q1=
（
b1+b4+1
）
q2
$ y% D+ b* o' X( ^4 \& t* k3 A
即
! [$ }" Z i" H2 @; E. _+ s! G
a1+ a4+1= q2
，
b1+b4+1= q1
- W+ H3 @( O; f+ i% e0 c
∴
9 h8 M3 h1 ?; [; M0 u
a1
与
a4
、
b1
与
b4
只能同为奇数或偶数。因此可推出，
x1
若为奇数，
x4
便为偶数；
x1
若为偶数，
x4
便为奇数。即，
x1
与
x4
总是一奇一偶。
9 d( Z% S6 {: Q/ p+ ?
同理可证
x2
与
x3
也总是一奇一偶相对的。
3 p9 D- J O' a: s. J6 V
即是说，
x1
、
x2
、
x3
、
x4
这
4
个解中，总是
2
个为奇数，
2
个为偶数。
. h W% M( s, {" f! a! S
定理得证。
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