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标题: 能否用一个恒等式证明 [打印本页]
作者: ftg1029    时间: 2009-5-21 19:26
标题: 能否用一个恒等式证明
2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？
作者: 王亚东    时间: 2009-8-13 17:05
不会啊，怎么搞啊
作者: 数学1+1    时间: 2009-8-17 10:15
ftg1029:
: D, u: w; L8 {2 x+ E* l' ^        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,; X4 k& d* U, \' @( c2 @
           求证   abc+1>3a7 ^7 w& S* j4 V: Z* x
           证明   因为0<a≤b≤c
$ B8 l3 D# b% P' u                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c) k1 E% M0 O  A" ^6 o
           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9. ]' e/ @. W, ]6 l" K$ {0 P
           即      3a^2<93 [- C8 M4 S# Z2 v2 B
           所以   a<√3
, h/ I0 B" m) a/ H0 o# ~# Y/ C9 g           从而   b≥√3 ,c≥√33 A" u" ^) l% u7 i+ X% k! w" Q
           所以   √3√3a≤abc0 o/ {$ X6 P, S7 N* J- Y
           即      abc+1≥3a+1: a8 l. |5 E: p# f) |/ Q
           所以  abc+1>3a
作者: jtdu007    时间: 2009-8-23 19:48
不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
7 N4 }( j; i, w3 _8 I7 e2 \. x楼上的方法是错的

答案.rar

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作者: 20077066    时间: 2009-8-27 16:35
证明   因为  0<a≤b≤c. Z/ u6 f5 o. O% j
                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
! P! r7 \0 S8 u$ T4 l" w+ l                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
* [% _" C" [) S! p  M5 F% w0 A                        即      3a^2<95 X. v2 j9 I+ _- l% h) ~
                      所以   a<√3
# `# W8 K8 Z' h( s! ]                      从而   b≥√3 ,c≥√3
2 k1 Y& Y6 o% ?1 M" P- c                      所以   √3√3a≤abc' S) b, {3 C4 ]3 [$ E
                         即      abc+1≥3a+1
6 E" z  x8 n- \! `* ?  o. @                     故结论成立：  abc+1>3a



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