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标题: 能否用一个恒等式证明 [打印本页]

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作者: ftg1029    时间: 2009-5-21 19:26
标题: 能否用一个恒等式证明
2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？

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作者: 王亚东    时间: 2009-8-13 17:05
不会啊，怎么搞啊

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作者: 数学1+1    时间: 2009-8-17 10:15
ftg1029:
& e" J2 H5 N1 ^( b. L3 y+ G        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
           求证   abc+1>3a
           证明   因为0<a≤b≤c
6 Z  z' S$ A. o                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
& ]  h3 E) _# a           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
           即      3a^2<9
1 J8 K. q  s* W% {6 B8 o: G5 n! X           所以   a<√3
           从而   b≥√3 ,c≥√3
( Q. y5 U% M/ Y0 Z8 G           所以   √3√3a≤abc
! z$ k3 C& I6 R           即      abc+1≥3a+1
           所以  abc+1>3a

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作者: jtdu007    时间: 2009-8-23 19:48
不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
楼上的方法是错的

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2009-8-23 19:48 上传

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作者: 20077066    时间: 2009-8-27 16:35
证明   因为  0<a≤b≤c
4 R* F+ u7 N; A) ]4 O3 ^; E                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
% \, G5 B4 [  l5 x                        即      3a^2<9
; F, t/ I, x/ I, K                      所以   a<√3
' u! f7 j) s, n. q* {$ o                      从而   b≥√3 ,c≥√3
; p/ ^+ ~1 y- K                      所以   √3√3a≤abc
                         即      abc+1≥3a+1
                     故结论成立：  abc+1>3a

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