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标题: 能否用一个恒等式证明 [打印本页]
作者: ftg1029    时间: 2009-5-21 19:26
标题: 能否用一个恒等式证明
2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？
作者: 王亚东    时间: 2009-8-13 17:05
不会啊，怎么搞啊
作者: 数学1+1    时间: 2009-8-17 10:15
ftg1029:
  k" e- ]+ w- e& x6 O8 ]) }        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,7 b  F  Z9 i: k
           求证   abc+1>3a
" g' Q7 `8 P6 B8 K$ i           证明   因为0<a≤b≤c" x8 _( m9 A. N6 K
                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c# Y2 D; X' {8 S3 `! n
           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
# S4 L& V5 r- e           即      3a^2<9
2 K! L: @$ e5 t           所以   a<√3
% o3 i! _5 e2 S' R           从而   b≥√3 ,c≥√32 b4 Q& c1 o6 M2 a5 ], i
           所以   √3√3a≤abc
- S9 N$ n/ Z# ?* x           即      abc+1≥3a+1
8 T7 u) F/ }$ u3 p           所以  abc+1>3a
作者: jtdu007    时间: 2009-8-23 19:48
不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
# I' Y( g& K- K, F( Z4 W7 r楼上的方法是错的

答案.rar

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作者: 20077066    时间: 2009-8-27 16:35
证明   因为  0<a≤b≤c
5 x9 @1 K" @. i: V                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c, s( c2 ]3 L; ~+ ^! u
                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=91 n8 @# f5 Y7 S2 b  D# A
                        即      3a^2<92 A# c6 Q+ `/ i8 N
                      所以   a<√3
0 S5 C0 l: O; P' I0 N( P) _                      从而   b≥√3 ,c≥√3  l3 J' G8 X" o- @5 q
                      所以   √3√3a≤abc- f( Y! l  ^' r# E) e( q: l7 w$ O
                         即      abc+1≥3a+18 r! t: W6 [' r% R2 c* _- F; A8 v# |
                     故结论成立：  abc+1>3a



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