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标题:
解析概率论的一个悖论
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作者:
风雪共舞
时间:
2009-8-28 00:10
标题:
解析概率论的一个悖论
解析概率论的一个悖论
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$ T& E4 s: X/ }
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（
全方见附件
）
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问题来自美（南加放大学）著《概率论基础教程》——原书第
6
版
33
页例
6A
。
- c: E8 j& h! R) {. B, D5 S" ~
8 n+ b, d6 H& X( ?8 \7 _" I
8 Q- h# a! M7 g ?) T, J6 i# B
原题：
0 B$ X+ H- H0 z+ n: ?. G" b
假定我们有一个无限大的罐和标号分别为1，2，3，……的球的集合。考虑如下试验，在下午差1分12点到12点将1~10号球放入罐中，并将10号球抽出（假定抽球不花时间）。在下午差1/2分12点到12点将11~20号球放入罐中，并将20号球抽出。在下午差1/4分
12点
到12点将21~30号球放入罐中，并将30号球抽出。在下午差1/8分12点到12点将31~40号球放入罐中，并将40号球抽出，如此继续下去，我们感兴趣的问题是，12点时罐中共有多少个球？
Y- h& J1 b8 J* G/ h3 N: y
问题的答案是很清楚的，在12点时罐中有无穷多个，因为标号不是10n(n=1,2,3…)的任意一个球在12点前被放入罐中没有被抽出，因此，当试验按上述方式进行时问题得到解决。
# z+ ?9 S H/ @7 p% |
然而我们现在改变试验方式，在下午差一分12点到12点时将1~10号球放入罐中，并将1号球抽出；在下午差1/2分12点到12点将11~20号球放入罐中，并将2号球抽出。在下午差1/4分到12点将21~30号球放入罐中，并将3号球抽出。在下午差1/8分12点到12点将31~40号球放入罐中，并将4号球抽出，如此继续下去，对这个新的试验，12点时罐中共有多少个球？
( }6 I% c/ U. u E* i0 a
我们十分惊奇的发现，答案是12点时罐中是空的！因为考虑任意一个球比如说标号为N的球在到12点某一时间段，这个球已经被从罐中取出。因此，对每个N，标号为N的球在12点不在罐中，所以12点时罐必为空。
! z. M5 ~; ]5 }+ W7 i }: t: `
通过前面的讨论我们看到，不同的抽球方式得到不同的结论。在第一种情况下，只有标号为10n(n≥1)的球被抽出，而在第二种情况下，最终所有球都被抽出，现在我们假定从这些球中随机地选一个球，并将其抽出。即假定在差1分12点到12点之间将标号为1~10的球放入罐中，并从中随机的选一个球将其抽出来，如此继续下去，在这种情况下，问12点时罐中有多少个球？
4 ?* y* X( W3 X% v
: |) Y1 ]0 p' c: X9 A! m
作者证明到12点时罐子里为空的概率为1
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作者:
baofuguang
时间:
2009-8-28 22:26
作者证明到12点时罐子里为空的概率为1
作者:
wangwenwu
时间:
2009-8-28 22:51
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作者:
kfc315
时间:
2009-8-29 12:51
看一看，貌似很有趣。
作者:
skybirdabc
时间:
2009-8-29 17:21
no idea......
作者:
余江平
时间:
2009-8-30 09:15
我感觉第二种试验中抽出的球与放进的球虽然都是无穷，但两种无穷不是等价的。无穷减无穷不一定等于零！
作者:
artin
时间:
2009-9-2 07:36
只是一个理论上的游戏，没有实际操作可能。对于第二种情况，可以证明对任何一个球，在12点前已被取出。
$ g' P% m+ e: m
对于第三种情况，可以证明概率上12点时罐子里为空的概率为1。但其不能成为悖论。因为第一种情况虽然是其中一种取法，但其概率为0。
" I: ^0 b7 O0 i0 D2 d a8 W
概率为1，不证明是全部，概率是0，不证明不出现。
0 a( v8 W2 N" W% R* B# J# p
如在[0，1]均匀分布，随机选一个数，挑出无理数的概率就是1，但不证明【0，1】间没有有理数。
5 ?: q# k* {/ b8 b$ W- g' R: r2 ^3 k/ v
更简单的，随机选一个数，挑出数小于1的概率就是1，但不证明1不会被选出。
作者:
amanda_001
时间:
2009-9-5 20:57
。。。路过
作者:
wolfabc
时间:
2009-9-5 23:13
其实，大家不要生气，概率论其实很多时候都是错误的，对于真实的世界来说！我们是混沌的，跳跃变化的
- U, b! N6 T6 h1 H# U
上面那种情况有可能存在的！
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。。。路过