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标题: 巴比伦 [打印本页]

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作者: 丫丫爱数模    时间: 2009-9-8 00:04
标题: 巴比伦
[quote]燦爛的古巴比侖文化

! ]. q6 k& g( h* m5 ^8 X" @" w% c- g　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
- `: m$ A: h  _河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
. N5 ?& N* N. L% F亞和伊拉克。
1 E/ K1 B/ t7 Y) n- z
. c2 ~: z0 ]5 {9 s: X& P　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
( z/ H2 W9 g6 I& Q  K  K" M人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
( y, Q: a. x% z8 ~9 B
1 G  L+ S/ {* n0 N7 o　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
0 s$ J8 x' S# {% \的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。
1 g! K: {8 e; X# w; n2 t5 C. |$ Z
　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
, {& Y, }$ D( C# k& s，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
- o: \' U2 ~7 w8 Q* [工程的研究，這是當時其他國家少有的。
5 D+ b7 E* |& p* a* w+ N9 r2 ^
' T8 ?3 e8 u0 o3 v4 h　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
. b" p6 Y' [  v8 |$ P土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
8 k) l" H. ~, Y6 u  ^這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
" o7 \7 L9 w# Q# j) p
　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
6 a* P: X2 {# I  f) E+ ]/ H" S) R了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
' F/ m! h' l3 s8 b$ U3 p% p1 E板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
: V; K6 K+ P. e6 W! n8 L載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
0 q; J( u! T. Y/ j* U, `# v除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
) l" G( i  s8 S高。
0 y6 L# ~7 q4 J5 U: N9 |
( b6 o/ }$ j( ], k6 N　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
! v8 l: ?1 q4 h! C5 G# i: _- ~9 {裡就談談他們這方面的貢獻。

　

巴比侖人的記數法
2 E4 |4 ]9 J1 A" C
　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。

　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。

( Q6 B5 @4 O* m1 [　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
, ^' H1 m6 }9 I) s* X
1 r$ V) l7 `  F: y& C. a0 m　　　　　　
3 Z7 J8 L- C+ @0 V% S0 g: [) |4 V$ ^
. _+ @0 j2 K) m, M, Z　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
3 a2 n4 u2 B+ c" O8 w稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
0 r" Y  o1 p" A! w' ~" e$ H是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
% D  b% q1 x. O: N9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
. b# s/ g$ v2 g1 V7 ^: u- H上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 個小球。
1 V2 f  P7 O- a* V9 J
　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
( s. q% A. c2 ~- J  ?4 J1 q個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
, G; V. H4 }3 W+ w* O% t# a5 R; F
　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
+ u  |0 r& e  [法。

" K' v3 ~- G0 g9 Z3 F　
! G$ z7 d5 {/ X' w+ _4 V
　
# D5 H3 j0 v4 w$ Y% @! o8 m
　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
- @" ]4 j5 F/ t時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
% r/ J9 p# m9 }
6 ~( u. {+ Y: O% D1 D　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
' B9 w# K" M6 T4 C! Z9 G  s0 E5 Z五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
* d6 _  L6 V: O  q星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。
! U9 O$ ?1 ]' e
  d( h1 l" A' N$ f( w4 f　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　

　
( K) K1 H( i6 Q$ E- Q
& i+ j7 B( h7 X5 J　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
8 ~3 \% B! T- k3 I" j% O) X
　

, G3 g6 m9 O; |1 N4 [9 m　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
0 q8 V& F( d6 F. k6 \! y前五行是形如：
% X: m  f- i8 O; U6 X) I7 M
　
2 a% f6 m* _& T& y$ ]$ \
9 @  @9 |0 B0 W% M7 s% k5 x$ L( _/ l很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
+ y* I& |# ?8 `# q& [, U
　　可是接下來的卻是這樣的符號：

0 U3 G( I9 Y( Q　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
7 G- a5 G* C" {. k" a3 b
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

" T. c: ?$ p' @8 r& Z& g　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
% U# Q; t* ^7 a7 S  K5 x就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
5 W; y. S. @9 H' W
　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

% @" V% l$ @, _3 o: ~　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

- U* P5 w: Z7 ^4 v8 D' y　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
: V, Z3 d* f! P! `9 g) k
　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

% |. C) ]" k- L* \" }1 o! J　

巴比侖人怎樣進行除法運算？

1 m  c8 G/ f' h8 a1 i) n: g- C+ r8 h　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
. p5 f0 X/ J# y* h* m
  ~. l" O7 @" s* f, _, t2 30 16 3,45 45 1 ,20
  B* Y8 W* h$ |  Z7 G3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
( z2 c. {+ S! W- |" p7 Y, X5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
4 Q5 k6 W+ g  e4 o3 z6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
+ }6 ]0 X# L# \# Y7 F% K9 6,40 30 2
. `. Y3 d% L) J9 y( F10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
* i4 a2 u: _( N1 r# N7 q$ x15 4 40 1,30
4 j" X8 e+ c& H- `$ S
　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
' D2 c- e1 k" p: e, T現在把以上的表改寫：
) j3 K: H1 ]) P. }- E! z9 ^
　　　　　　　
4 [6 p! n# ^1 ]
9 M0 l( d3 H# O! b! g　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：

4 @; F4 R# R( I! j　　　　　　 　

　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
這是什麼原因呢？
6 Z) ?" \3 m$ X; J+ O5 m
　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
7 v8 a  z. v6 C: t. J數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

& V" y$ C: R1 s1 ]. q　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
  y$ N9 q/ Y* N1 P7 C8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

1 L, k7 w5 R; B! j　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
* e; C: n! w2 J4 |8 ]: Ta ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
8 Y' q# l) i8 `1 X$ s$ ]化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
8 R+ M" O3 i' m" B
# ~. p1 ]2 I: |% G, T　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
8 v% S! Q+ X8 @5 q、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
5 |' I( j) p, I% P7 `+ H4 W2 \決，這時候「倒數表」就很有用了。

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