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标题:
巴比伦
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作者:
丫丫爱数模
时间:
2009-9-8 00:04
标题:
巴比伦
[quote]燦爛的古巴比侖文化
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發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
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河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
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亞和伊拉克。
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現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
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人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
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一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
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現在的禮拜日。
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我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
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秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
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十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
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的貢獻。
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古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
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的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
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磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
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板書。
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希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
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，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
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，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
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工程的研究，這是當時其他國家少有的。
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可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
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土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
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這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
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土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
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到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
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及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
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了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
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微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
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板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
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比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
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載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
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除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
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高。
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有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
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裡就談談他們這方面的貢獻。
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巴比侖人的記數法
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巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
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進位。
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十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
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「逢十進一」就是基於這種原理。
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巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
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助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
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糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
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比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
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稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
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了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
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是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
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9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
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上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
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3 個小球。
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現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
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個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。
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最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
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（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
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法。
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六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
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時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
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可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
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五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
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星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
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等等，我們現代還是繼續採用。
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考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
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吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
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這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
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出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。
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這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
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前五行是形如：
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% C1 {' k9 n5 x
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很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
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可是接下來的卻是這樣的符號：
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如果我們前面知道的符號是寫成：
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1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
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這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
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40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
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是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
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就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
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將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
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這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
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他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
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沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
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看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
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到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
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因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
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從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。
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巴比侖人怎樣進行除法運算？
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從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
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" d: T. P9 p0 r/ \
2 30 16 3,45 45 1 ,20
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3 20 18 3,20 48 1 ,15
" d$ @ g, b. e: s3 V
4 15 20 3 50 1 ,12
; {, d/ B5 w8 I5 _+ u( a% S- D- _
5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
/ S# x: s1 e/ ^9 V- B- X
6 10 25 2,24
/ n: L" D, v" ~/ x
8 7,30 27 2,13,20
; @/ ~& @9 n& A d0 ^& |7 S
9 6,40 30 2
5 Q. x$ ?4 X9 x
10 6 32 1,52,30
% h; @4 M% ^4 }! B& p! o
12 5 36 1,40
" c1 L4 }8 W% G4 d0 s: R/ B
15 4 40 1,30
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3 \, N; S7 X m/ k9 W4 o2 E/ K
如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
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意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
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現在把以上的表改寫：
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你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
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對應 2,13,20意思就是：
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! T/ b6 l9 D1 Q4 J, q
, Z; t) |* x6 R: x
, `4 S: H7 T' `- F! S9 T5 }
你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
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這是什麼原因呢？
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原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
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數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
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對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
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8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
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式以至無窮。
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為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
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我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
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a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
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化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
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古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
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、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
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決，這時候「倒數表」就很有用了。
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