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标题: 选择排序 [打印本页]

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作者: 韩冰    时间: 2004-10-4 05:17
标题: 选择排序
<>对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。
3 X$ b5 D9 t  n
选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。
# N3 B: E% r: t2 N
! U! V, z4 T( u! [2 g9 L& y$ e4 Y/ E选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。

# t" D. E  p( X可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 &lt; k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
* V4 w+ l- b# n5 q: e/ F, i
程序14-7 寻找第k 个元素
& |& S, b* i: y
+ ^# Z4 a) b. i2 s/ utemplate<CLASS T>

T Select(T a[], int n, int k)

+ W' E. M. M+ ]+ j{// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素

, M0 e) H( p2 t6 N7 g" s// 假定a[n] 是一个伪最大元素

8 k1 X7 \# ?9 f4 ~  L2 q, kif (k &lt; 1 || k &gt; n) throw OutOfBounds();
! H% f, i' F) q: o. U6 B' U
return select(a, 0, n-1, k);
6 t% N5 d6 T8 U
  a3 ~9 q0 L* o1 ?+ @% f}

template<CLASS T>

T select(T a[], int l, int r, int k)

{// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素
4 Z4 v0 I& e  F7 V
2 Y" ~1 M- j$ Q* \4 V7 u! nif (l &gt;= r) return a[l];

+ v) J) \4 H0 J( lint i = l, // 从左至右的游标

j = r + 1; // 从右到左的游标

T pivot = a[l];

6 b# [/ E# b9 m& f7 l# E2 h// 把左侧&gt;= pivot的元素与右侧&lt;= pivot 的元素进行交换

3 U) I- x. k0 L! W, awhile (true) {

1 C' W8 }  R* A& B5 S; Ido {// 在左侧寻找&gt;= pivot 的元素
; L1 v) \0 T; G; T: F
i = i + 1;
- e& T" c9 A; S' a' N
! i* \4 \9 M( k' l} while (a &lt; pivot);

+ m$ x) q4 f+ a, Y) ]- f  qdo {// 在右侧寻找&lt;= pivot 的元素

3 P( o, J$ G6 q, X5 A5 r; _j = j - 1;
( J8 H# j2 [& G$ E+ W
3 X3 h  v3 u# m. J7 \0 z/ E} while (a[j] &gt; pivot);
4 o% h- [% \3 r9 @3 c
$ _, Y  W0 V: M" Sif (i &gt;= j) break; // 未发现交换对象
  B8 s* b1 z' U0 |+ n6 H1 H  Y" K+ o
: c( p8 e9 H5 q! }3 b5 U4 P- vSwap(a, a[j]);

$ x3 T) a. Q* T4 F}
8 G0 ^, m$ a" H& ~0 [" b
2 V( v9 x% E# P+ {if (j - l + 1 == k) return pivot;

1 L, R4 {2 u/ Z& W! [8 K// 设置p i v o t

! z. W* L3 W: f! q2 qa[l] = a[j];
& `7 e6 d  o5 a9 F7 n9 |
8 F% S3 O3 M& V  |9 Ia[j] = pivot;

// 对一个段进行递归调用
  A) t" n1 L& X0 j
if (j - l + 1 &lt; k)
+ q7 O$ R7 o- V# v& b3 x
, L: l& Z( k3 u( Q' {* t' c+ S- nreturn select(a, j+1, r, k-j+l-1);

0 j2 M& v8 o& `; W' W; A; ~else return select(a, l, j-1, k);
* A' t$ M2 \' q" o0 J
, G* u) a$ h7 h  y7 k}
" G8 [$ M# m- J; A+ ^1 n- [
程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是( n2 )，此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.

如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t (n) = (n)。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成(n)。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。

8 N2 F7 x4 p6 R  _: n$ d' i例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5, n=27, 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ]。这2 7个元素可以被分为6组[ 2 , 6 , 8 , 1 , 4 ]，[ 1 0 , 2 0 , 6 , 2 2 , 11 ]，[ 9 , 8 , 4 , 3 , 7 ]，[ 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 ]，[ 2 , 1 4 , 1 5 , 1 , 1 2 ]和[ 5 , 4 ]，每组的中间元素分别为4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2和4。[ 4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2 , 4 ]的中间元素为7。这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 , 6 , 1 , 4 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ,r i g h t= [ 8 , 1 0 , 2 0 , 2 2 , 11 , 9 , 8 , 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 , 1 4 , 1 5 , 1 2 ]。

如果要寻找第k个元素且k&lt; 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k&gt; 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第(k- 1 2 )个元素。

, e2 q$ e+ H) l: u) L定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：
4 y% ?' B/ h$ g) z. `
0 j- Q5 }# s! ]* X' j1) 若r=9, 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|, |r i g h t| }≤7n / 8。
" j- s# A# E' N% d1 p
1 x. n' D: r8 g- e. u2) 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |, | right | }≤3n/ 4。

- j8 ^" n8 a7 n* N* X! Q证明这个定理的证明留作练习2 3。
5 t- Z- c5 X# w$ v
根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t (n)可按如下递归公式来计算：
7 \7 X( G; r# u- Y. h! L
在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t (n)≤7 2cn (练习2 4 )。

当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。</P>

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