>例1-7 假设n =8, [w1 , ... w8 ]=[100,200,50,90,150,50,20,80], c= 4 0 0。利用贪婪算法时，所考察货箱的顺序为7 , 3 , 6 , 8 , 4 , 1 , 5 , 2。货箱7 , 3 , 6 , 8 , 4 , 1的总重量为3 9 0个单位且已被装载，剩下的装载能力为1 0个单位，小于剩下的任何一个货箱。在这种贪婪解决算法中得到[x1 , ..., x8 ] = [ 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 ]且?xi = 6。</P>>定理1-1 利用贪婪算法能产生最佳装载。</P>! F( T" s" i' \: G>证明可以采用如下方式来证明贪婪算法的最优性：令x = [x1 , ..., xn ]为用贪婪算法获得的解，令y =[ y1 , ..., yn ]为任意一个可行解，只需证明n ?i= 1xi ≥n ?i= 1yi 。不失一般性，可以假设货箱都排好了序：即wi≤wi + 1（1≤i≤n）。然后分几步将y 转化为x，转换过程中每一步都产生一个可行的新y，且n ?i = 1yi 大于等于未转化前的值，最后便可证明n ?i = 1xi ≥n ?j = 1yi 。</P>: ]. \, \6 [5 H1 I R>根据贪婪算法的工作过程，可知在[0, n] 的范围内有一个k，使得xi =1, i≤k且xi =0, i>k。寻找[ 1 ,n]范围内最小的整数j，使得xj≠yj 。若没有这样的j 存在，则n ?i= 1xi =n ?i = 1yi 。如果有这样的j 存在，则j≤k，否则y 就不是一个可行解，因为xj≠yj ，xj = 1且yj = 0。令yj = 1，若结果得到的y 不是可行解，则在[ j+ 1 ,n]范围内必有一个l 使得yl = 1。令yl = 0，由于wj≤wl ，则得到的y 是可行的。而且，得到的新y 至少与原来的y 具有相同数目的1。</P>>经过数次这种转化，可将y 转化为x。由于每次转化产生的新y 至少与前一个y 具有相同数目的1，因此x 至少与初始的y 具有相同的数目1。货箱装载算法的C + +代码实现见程序1 3 - 1。由于贪婪算法按货箱重量递增的顺序装载，程序1 3 - 1首先利用间接寻址排序函数I n d i r e c t S o r t对货箱重量进行排序（见3 . 5节间接寻址的定义），随后货箱便可按重量递增的顺序装载。由于间接寻址排序所需的时间为O (nl o gn)（也可利用9 . 5 . 1节的堆排序及第2章的归并排序），算法其余部分所需时间为O (n)，因此程序1 3 - 1的总的复杂性为O (nl o gn)。</P>8 C z. v& G# q& |; _9 o>程序13-1 货箱装船</P>>template<CLASS T></P>) d, c& d8 D. E>void ContainerLoading(int x[], T w[], T c, int n)</P>>{// 货箱装船问题的贪婪算法</P>: C8 }0 R$ y9 T, ^>// x = 1 当且仅当货箱i被装载， 1<=i<=n</P>>// c是船的容量, w 是货箱的重量</P>9 t, L- n' O5 t1 A4 r# j>// 对重量按间接寻址方式排序</P>>// t 是间接寻址表</P>>int *t = new int [n+1];</P>>I n d i r e c t S o r t ( w, t, n);</P>; H! s% [; \$ C0 ^>// 此时, w[t] <= w[t[i+1]], 1<=i<N< p> % C' E; A$ t5 W( D>// 初始化x</P>>for (int i = 1; i <= n; i++)</P>1 b" A+ @$ Y5 V+ q7 Z>x = 0;</P>>// 按重量次序选择物品</P>0 v& z# Q: P* D; T>for (i = 1; i <= n && w[t] <= c; i++) {</P>>x[t] = 1;</P>: Z2 X8 Y8 _6 m6 H2 v4 m, z>c -= w[t];} // 剩余容量</P>0 h4 N" ?- U2 R( K, q( B/ {; ?- l>delete [] t;</P>>}</P>
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