>例1-7 假设n =8, [w1 , ... w8 ]=[100,200,50,90,150,50,20,80], c= 4 0 0。利用贪婪算法时，所考察货箱的顺序为7 , 3 , 6 , 8 , 4 , 1 , 5 , 2。货箱7 , 3 , 6 , 8 , 4 , 1的总重量为3 9 0个单位且已被装载，剩下的装载能力为1 0个单位，小于剩下的任何一个货箱。在这种贪婪解决算法中得到[x1 , ..., x8 ] = [ 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 ]且?xi = 6。</P>>定理1-1 利用贪婪算法能产生最佳装载。</P>1 P2 l& ]5 T! i/ v7 I' e>证明可以采用如下方式来证明贪婪算法的最优性：令x = [x1 , ..., xn ]为用贪婪算法获得的解，令y =[ y1 , ..., yn ]为任意一个可行解，只需证明n ?i= 1xi ≥n ?i= 1yi 。不失一般性，可以假设货箱都排好了序：即wi≤wi + 1（1≤i≤n）。然后分几步将y 转化为x，转换过程中每一步都产生一个可行的新y，且n ?i = 1yi 大于等于未转化前的值，最后便可证明n ?i = 1xi ≥n ?j = 1yi 。</P>. M# }; `6 _8 h& I' t1 u7 J>根据贪婪算法的工作过程，可知在[0, n] 的范围内有一个k，使得xi =1, i≤k且xi =0, i>k。寻找[ 1 ,n]范围内最小的整数j，使得xj≠yj 。若没有这样的j 存在，则n ?i= 1xi =n ?i = 1yi 。如果有这样的j 存在，则j≤k，否则y 就不是一个可行解，因为xj≠yj ，xj = 1且yj = 0。令yj = 1，若结果得到的y 不是可行解，则在[ j+ 1 ,n]范围内必有一个l 使得yl = 1。令yl = 0，由于wj≤wl ，则得到的y 是可行的。而且，得到的新y 至少与原来的y 具有相同数目的1。</P>>经过数次这种转化，可将y 转化为x。由于每次转化产生的新y 至少与前一个y 具有相同数目的1，因此x 至少与初始的y 具有相同的数目1。货箱装载算法的C + +代码实现见程序1 3 - 1。由于贪婪算法按货箱重量递增的顺序装载，程序1 3 - 1首先利用间接寻址排序函数I n d i r e c t S o r t对货箱重量进行排序（见3 . 5节间接寻址的定义），随后货箱便可按重量递增的顺序装载。由于间接寻址排序所需的时间为O (nl o gn)（也可利用9 . 5 . 1节的堆排序及第2章的归并排序），算法其余部分所需时间为O (n)，因此程序1 3 - 1的总的复杂性为O (nl o gn)。</P>* m T! n" ~/ n, \; X. \>程序13-1 货箱装船</P>>template<CLASS T></P>* x0 C/ w! ~; u' u+ [; p6 W>void ContainerLoading(int x[], T w[], T c, int n)</P>>{// 货箱装船问题的贪婪算法</P>>// x = 1 当且仅当货箱i被装载， 1<=i<=n</P>; U( g4 w8 I( h. C9 [2 V>// c是船的容量, w 是货箱的重量</P>>// 对重量按间接寻址方式排序</P>7 v6 n: e9 l/ x>// t 是间接寻址表</P>& ]& t7 \% N' @4 @2 d1 K' |>int *t = new int [n+1];</P>9 s' ^0 C6 d8 p# q>I n d i r e c t S o r t ( w, t, n);</P>>// 此时, w[t] <= w[t[i+1]], 1<=i<N< p> >// 初始化x</P>>for (int i = 1; i <= n; i++)</P>>x = 0;</P>>// 按重量次序选择物品</P>2 e1 P( l4 `9 g& A0 u>for (i = 1; i <= n && w[t] <= c; i++) {</P>>x[t] = 1;</P>>c -= w[t];} // 剩余容量</P>& O* t3 c, G, W: E; Y A$ a7 t. Q>delete [] t;</P>>}</P>
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