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标题: 拓扑排序 [打印本页]
作者: 韩冰    时间: 2004-10-4 05:23
标题: 拓扑排序

一个复杂的工程通常可以分解成一组小任务的集合，完成这些小任务意味着整个工程的完成。例如，汽车装配工程可分解为以下任务：将底盘放上装配线，装轴，将座位装在底盘上，上漆，装刹车，装门等等。任务之间具有先后关系，例如在装轴之前必须先将底板放上装配线。任务的先后顺序可用有向图表示——称为顶点活动（ Activity On Vertex, AOV）网络。有向图的顶点代表任务，有向边(i, j) 表示先后关系：任务j 开始前任务i 必须完成。图1 - 4显示了六个任务的工程，边（ 1 , 4）表示任务1在任务4开始前完成，同样边（ 4 , 6）表示任务4在任务6开始前完成，边（1 , 4）与（4 , 6）合起来可知任务1在任务6开始前完成，即前后关系是传递的。由此可知，边（1 , 4）是多余的，因为边（1 , 3）和（3 , 4）已暗示了这种关系。

5 N' j1 ]* s3 K. q" t6 ^7 D

在很多条件下，任务的执行是连续进行的，例如汽车装配问题或平时购买的标有“需要装配”的消费品（自行车、小孩的秋千装置，割草机等等）。我们可根据所建议的顺序来装配。在由任务建立的有向图中，边（ i, j）表示在装配序列中任务i 在任务j 的前面，具有这种性质的序列称为拓扑序列（topological orders或topological sequences)。根据任务的有向图建立拓扑序列的过程称为拓扑排序（topological sorting）。图1 - 4的任务有向图有多种拓扑序列，其中的三种为1 2 3 4 5 6，1 3 2 4 5 6和2 1 5 3 4 6，序列1 4 2 3 5 6就不是拓扑序列，因为在这个序列中任务4在3的前面，而任务有向图中的边为（ 3 , 4），这种序列与边（ 3 , 4）及其他边所指示的序列相矛盾。可用贪婪算法来建立拓扑序列。算法按从左到右的步骤构造拓扑序列，每一步在排好的序列中加入一个顶点。利用如下贪婪准则来选择顶点：从剩下的顶点中，选择顶点w，使得w 不存在这样的入边（ v,w），其中顶点v 不在已排好的序列结构中出现。注意到如果加入的顶点w违背了这个准则（即有向图中存在边（ v,w）且v 不在已构造的序列中），则无法完成拓扑排序，因为顶点v 必须跟随在顶点w 之后。贪婪算法的伪代码如图1 3 - 5所示。while 循环的每次迭代代表贪婪算法的一个步骤。

# W7 |3 T: f# q2 C" Y% F

现在用贪婪算法来求解图1 - 4的有向图。首先从一个空序列V开始，第一步选择V的第一个顶点。此时，在有向图中有两个候选顶点1和2，若选择顶点2，则序列V = 2，第一步完成。第二步选择V的第二个顶点，根据贪婪准则可知候选顶点为1和5，若选择5，则V = 2 5。下一步，顶点1是唯一的候选，因此V = 2 5 1。第四步，顶点3是唯一的候选，因此把顶点3加入V

$ e6 p4 F: @: P& i. J

得到V = 2 5 1 3。在最后两步分别加入顶点4和6 ，得V = 2 5 1 3 4 6。

6 {& G, P, w* J% S! L- t* Z, U* j: p% I

1. 贪婪算法的正确性

8 m+ C( i9 g. s6 v2 D

为保证贪婪算法算的正确性，需要证明： 1) 当算法失败时，有向图没有拓扑序列； 2) 若

1 k6 b" u4 H) \. j/ f, r( j& d1 K

算法没有失败，V即是拓扑序列。2) 即是用贪婪准则来选取下一个顶点的直接结果， 1) 的证明见定理1 3 - 2，它证明了若算法失败，则有向图中有环路。若有向图中包含环qj qj + 1.qk qj , 则它没有拓扑序列，因为该序列暗示了qj 一定要在qj 开始前完成。

0 A4 q! J' |1 x9 Z$ E

定理1-2 如果图1 3 - 5算法失败，则有向图含有环路。

; q' Z4 g+ j+ V% U+ j

证明注意到当失败时| V | 6 Q5 X0 z; W, S4 F m+ C9 S# G1 p

2. 数据结构的选择

, ]4 {' k- g3 p/ o0 m

为将图1 - 5用C + +代码来实现，必须考虑序列V的描述方法，以及如何找出可加入V的候选顶点。一种高效的实现方法是将序列V用一维数组v 来描述的，用一个栈来保存可加入V的候选顶点。另有一个一维数组I n D e g r e e，I n D e g r e e[ j ]表示与顶点j相连的节点i 的数目，其中顶点i不是V中的成员，它们之间的有向图的边表示为（ i, j）。当I n D e g r e e[ j ]变为0时表示j 成为一个候选节点。序列V初始时为空。I n D e g r e e[ j ]为顶点j 的入度。每次向V中加入一个顶点时，所有与新加入顶点邻接的顶点j，其I n D e g r e e[ j ]减1。对于有向图1 - 4，开始时I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 3 ]。由于顶点1和2的I n D e g r e e值为0，因此它们是可加入V的候选顶点，由此，顶点1和2首先入栈。每一步，从栈中取出一个顶点将其加入V，同时减去与其邻接的顶点的I n D e g r e e值。若在第一步时从栈中取出顶点2并将其加入V，便得到了v [ 0 ] = 2，和I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 3 ]。由于I n D e g r e e [ 5 ]刚刚变为0，因此将顶点5入栈。

. b H6 [7 j1 C# ?$ X

程序1 3 - 2给出了相应的C + +代码，这个代码被定义为N e t w o r k的一个成员函数。而且，它对于有无加权的有向图均适用。但若用于无向图（不论其有无加权）将会得到错误的结果，因为拓扑排序是针对有向图来定义的。为解决这个问题，利用同样的模板来定义成员函数AdjacencyGraph, AdjacencyWGraph，L i n k e d G r a p h和L i n k e d W G r a p h。这些函数可重载N e t w o r k中的函数并可输出错误信息。如果找到拓扑序列，则Topological 函数返回t r u e；若输入的有向图无拓扑序列则返回f a l s e。当找到拓扑序列时，将其返回到v [ 0 :n- 1 ]中。

6 o. r, B* q+ o3 g! k

3. Network:Topological 的复杂性

1 F0 ?. U% \9 L8 R8 j \

第一和第三个f o r循环的时间开销为(n )。若使用（耗费）邻接矩阵,则第二个for 循环所用的时间为(n2 )；若使用邻接链表,则所用时间为(n+e)。在两个嵌套的while 循环中，外层循环需执行n次，每次将顶点w 加入到v 中，并初始化内层while 循环。使用邻接矩阵时，内层w h i l e循环对于每个顶点w 需花费(n)的时间；若利用邻接链表，则这个循环需花费dwout 的时间，因此，内层while 循环的时间开销为(n2 )或(n+e)。所以，若利用邻接矩阵，程序1 3 - 2的时间复杂性为(n2 )，若利用邻接链表则为(n+e)。

0 @3 |! w# l1 o* F

程序13-2 拓扑排序

9 P9 O# `/ U) W

bool Network::Topological(int v[])

6 |! d4 S0 H" d$ f

{// 计算有向图中顶点的拓扑次序

4 D% N1 x b2 A5 g7 w6 X1 F

// 如果找到了一个拓扑次序，则返回t r u e，此时，在v [ 0 : n - 1 ]中记录拓扑次序

# x# p* t, X2 ]+ {: X( m

// 如果不存在拓扑次序，则返回f a l s e

3 i) x5 k) c* x7 I* Y

int n = Ve r t i c e s ( ) ;

7 i8 s# s0 z: ^5 I7 u- `" \

// 计算入度

4 y; x7 H# |. m) b

int *InDegree = new int [n+1];

( [; p- i& `! [" Y3 L

InitializePos(); // 图遍历器数组

& [8 \$ h1 [5 y% i3 ?9 m

for (int i = 1; i <= n; i++) // 初始化

* l6 R) j" J3 d

InDegree = 0;

S8 T' {" @5 B4 `6 y2 i/ c

for (i = 1; i <= n; i++) {// 从i 出发的边

4 g6 s6 R4 y/ r

int u = Begin(i);

$ r( M) T7 C/ c& G

while (u) {

5 ^: w, \$ D9 ]

I n D e g r e e [ u ] + + ;

$ F& h& j+ F6 z0 \+ `

u = NextVe r t e x ( i ) ; }

( Q0 g& B. C+ }

}

x: Z, u, x8 g! P

// 把入度为０的顶点压入堆栈

N$ t4 P7 A1 Y' m

LinkedStack S;

: Q( z. B. e" D" E, E. Q

for (i = 1; i <= n; i++)

: p4 @; m: T4 f5 i

if (!InDegree) S.Add(i);

# S1 |& d2 u; k) Y& F/ s

// 产生拓扑次序

% h% f; i! e. X) S( q$ f5 }

i = 0; // 数组v 的游标

/ B" e1 T2 Z) b9 u

while (!S.IsEmpty()) {// 从堆栈中选择

! s5 y+ J2 b P! B( u7 `7 j J9 |

int w; // 下一个顶点

0 K8 k) h$ w. D$ q/ Y. T" M2 Y$ @5 r

S . D e l e t e ( w ) ;

9 W, B6 o% d- P2 b

v[i++] = w;

! y8 Z( U. Z! o A: y

int u = Begin(w);

( w" d) P0 m9 S

while (u) {// 修改入度

1 o; p; I6 f A0 Q6 t- `

I n D e g r e e [ u ] - - ;

$ s4 Y7 S2 @2 Y4 d$ }' L) E

if (!InDegree) S.Add(u);

, n" R: D r1 g* }

u = NextVe r t e x ( w ) ; }

, D) q8 n" B W$ [' e* f" _6 y5 k1 w

}

+ U6 k; c6 k) E* A* A

D e a c t i v a t e P o s ( ) ;

. F6 C' i. j6 }0 D, N: }* Q; W) S

delete [] InDegree;

% Y; m8 k; f2 g" Q; g4 ]+ X7 W

return (i == n);

, c) [0 ]7 q2 C8 t- g, b* }

}

作者: xiaomeizi    时间: 2010-1-27 21:59
没太看明白！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
作者: weixinmaths    时间: 2011-6-22 16:16
作者: 乱世惊云    时间: 2011-9-8 13:27
赛前恶补一下！！！！！



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