0 M0 z' E6 I' ]8 v5 u$ B 作为模拟退火算法应用,讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem,简记为TSP):设有n个城市,用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i,j) i, j=1,…,n.TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路,且其路径总长度为最短.。 3 h, s/ c }6 P) v8 F# ]$ f& J
& {9 E S3 |4 @7 ]$ P 求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下: 4 ]+ v, D" K% |
$ @/ t6 p2 x2 @, p8 b) S 解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n) 5 b5 Y" D# L s/ r
, B: K2 z7 Z3 @ 目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: 8 p0 P; B. |) l, w/ z7 F. \/ K* J3 i
5 [! ~) ]2 \4 v9 [% Z
% o# O) Q$ T6 z0 y& p, D( \- `8 k
( K, a/ E7 c5 s" t8 ^8 N
我们要求此代价函数的最小值。 8 r: e/ L5 \. F& ]5 F3 q& d 6 |0 D9 A4 y( M. R8 v/ ] 新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将 , ~# T' ` _# t, a+ h+ R+ z2 j $ L5 [5 h: H/ @( C( A, R (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn) 4 d6 X @/ ]# a , H; |+ Y. A7 L3 K6 W4 p; V( L, p% g1 j 变为: 6 `/ @6 I) q# x
2 p' C% Z& ?) c! S2 z
(w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn). ) M9 n" z9 `( E+ C) @
; q! r3 C# B& [# F$ C. M
如果是k>m,则将 ' s* ?8 n1 |! A% Y! S- g& j6 U! v: L8 J1 [
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn) + a$ g: R/ p# r# v
& i/ ?' n1 x9 o3 s) x 变为: : q7 r% h8 g# N2 c- J3 h) L x8 `' ]7 C2 K8 ^4 `0 K4 E
(wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk). : s- H8 ]( k" V2 p/ H2 j
9 p# d2 Z. S; S) \* O" {3 S
上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 9 E5 r1 W6 B- f' G: U
& I: e1 x9 x+ _- a* ]3 t8 Z6 y7 W; B$ }
也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 4 Q; x: i" ]! `& `' o/ h # a* ]0 Q" b# e5 W" q 代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: * l6 W! w! g3 D. w$ X# M9 g) {. w. Q& _8 W/ b
( {. B' Q6 C, N
5 z- `/ s) v. z$ n1 R' O
根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序: " Y# c. d g; _! T# M8 v9 R: W* I5 |" R- U* y3 ^
Procedure TSPSA: 0 G. ^$ `* Z- w" ^- J3 U
3 h5 P& f: k$ K8 ~& `; j5 @ begin 6 s5 @% K- j+ N/ g" |& C! L: n, z4 }* w6 ^" t1 c- U
init-of-T; { T为初始温度} , V, M8 o* m3 L1 X7 H2 N g6 {* c1 w8 P! p; B
S={1,……,n}; {S为初始值} 3 U$ G! d+ a, R7 L # g7 E, ]# t# V+ W termination=false; ) x T. ]$ l! G4 t1 b
/ w2 x) H1 Z7 B1 g( o7 t; ?
while termination=false & }' c' Q# H% y. J G G+ \
g* C2 k& s$ G0 ^
begin * J! u2 u4 Y3 m) t
8 S, ]& |9 z7 f1 H8 ~( E for i=1 to L do , `, C8 A x; Z9 J% W0 }4 ~& r8 r& I# e3 M1 h( \" v
begin & [% c$ H( ?3 R/ n* h6 r. y! D: c3 [) F2 o# I6 M
generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} . }" C3 z& [3 P/ M R2 |7 Y; D
" ]- [ s) Q& `$ R Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长} . k% Y, [8 @8 l, H3 W0 V5 `- Y
% H3 I+ J) A6 n- K, k
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1]) 0 b) ?& L2 T% X5 _7 Y: t
, z5 K' ^; I7 v4 ~2 p* y S=S′; : M/ d$ F- Z9 A$ P; g 5 d! S9 w3 f/ q3 E IF the-halt-condition-is-TRUE THEN 9 C+ z- q3 ?* Q0 k % q( ?* ]+ @: |/ A9 {8 G+ ^ k) K) U termination=true; , r7 ]. y* } v, V- r' P: y0 K4 D4 U& T3 D7 z5 T8 K, T x) n0 c
End; - K4 v p& ~$ \ * {- X2 C0 Z9 c6 D2 M3 Y) E( U6 T% V T_lower; # o. \2 X% o7 P+ m5 V' x# f
N! t% X+ h0 Q4 p& p5 A4 T7 U0 ]' {; s
End; # v2 P( D9 [6 [- C D' \" a
/ x: S& \$ L3 g! A/ M- n End ' d2 z4 b2 n g2 N5 e1 j$ a3 B
2 J: w; ~1 |+ }; l 模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。 * e7 }' I: r' T" e, J* a8 T3 U* Z 8 ?. f+ t9 K+ j1 `4 `8 ?4 f L; W# u3 U5 y) f% D. N
+ l4 O+ _+ v5 h, V& t# D/ c Y
3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题 , Y2 h3 Q3 r% G0 k + {, n! _ i- m- z* s- ? b+ l! ^ 模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点: - y* \ t r9 G9 O8 E' O% j5 O) N1 X$ f9 M
(1) 温度T的初始值设置问题。 4 @9 w1 l( W1 m' \
5 P% m7 X( U. T; o& L& o. n2 Z 温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。 6 s& G$ E. M$ z1 {) y. S! O6 n9 ~. j# w
(2) 退火速度问题。 , E+ m, w* m/ a. R
Y* x: n* n" l+ z
模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 9 h/ Z% s. k: ^7 B+ H1 ?" B