# y3 o9 b/ R* D# P) z, c( r 解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路,是{1,……,n}的所有循环排列的集合,S中的成员记为(w1,w2 ,……,wn),并记wn+1= w1。初始解可选为(1,……,n) ) w4 m4 O, z9 T# V2 o+ G+ m2 Q
9 @5 `& l4 |; f+ t: ]6 u+ C
目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: 4 o+ P3 j$ K/ D. a% m, ^7 T 1 J/ }" z& f: [7 j! y 8 r7 x$ N* @5 `. }' z1 C, N6 Z) o, `# c3 U* W% {
我们要求此代价函数的最小值。 0 O/ I6 n) d# D6 [0 d# {3 P. s: s" U! P5 y/ |4 r8 i3 U
新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m,若k<m,则将 ' @# c& A0 x2 Z8 K7 h5 v S3 T3 i; ~+ ?
(w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn) # n$ s! X' ~) C& ]* J0 g4 d a( g
" z x9 \1 R9 s8 h3 d# K. O8 W
变为: ! n6 u4 _4 n) l# i, J3 E
, c$ [" {; p5 l O6 c/ E6 f (w1, w2 ,…,wm , wm-1 ,…,wk+1 , wk ,…,wn). " O* v5 _2 A0 }3 K3 ~" W
6 c! Y0 b2 o' @2 C9 d/ ? B 如果是k>m,则将 % u9 H3 @. }# y4 j+ P$ U. Y, [ 8 R8 \) G; N% T: h3 v (w1, w2 ,…,wk , wk+1 ,…,wm ,…,wn) 0 @8 \8 c2 D) I. [% c
5 l. \- t. f, j# {5 X
变为: ' G: J) a! `0 ?3 s9 K3 g : M) @" G6 [: x' s# o' h (wm, wm-1 ,…,w1 , wm+1 ,…,wk-1 ,wn , wn-1 ,…,wk). Q: J( g; E; G- r0 k0 ~) a
' ]6 k' _0 U$ ] 上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。 + Y6 T% Y0 t. s1 J( [8 l5 b, T
+ F5 S) c5 K" O7 G8 U6 L3 P
也可以采用其他的变换方法,有些变换有独特的优越性,有时也将它们交替使用,得到一种更好方法。 , t" j3 r/ m% a
$ e, O8 s! `. q
代价函数差 设将(w1, w2 ,……,wn)变换为(u1, u2 ,……,un), 则代价函数差为: 7 O( _' J* q# T! k
; v$ ]# ~! H( U' D0 }4 o. T
# `" ^; E: d$ S. C& ]$ f3 U c( R' a* ^7 p- ~
根据上述分析,可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序: 0 ]# h7 ]5 J0 U' n4 G s; B; w 3 `, u4 |8 x8 A+ h6 F6 v/ W. ]Procedure TSPSA: # {2 s+ ^0 S, D/ n- O; _9 S4 g4 U4 D4 o2 c
begin 5 P9 ]0 Y( I5 Y, k u; e1 ` + i9 T( c* V# u) ^8 b$ ^ init-of-T; { T为初始温度} 5 x. q" d0 G8 z6 `: C 4 W/ \2 c; {% q- |9 M S={1,……,n}; {S为初始值} 4 h' f% p6 m/ e. [; v. Q 8 t" ~" }! v( V$ f1 r% u6 S termination=false; K! O7 p4 {+ k. f6 p( c
! z, _( U' [7 T: L+ B" @$ F) i
while termination=false 0 k C2 s9 D1 ]' g# n- T, T# D& t: a5 B- T2 V8 o/ j# x
begin 6 l) U5 {$ T n( j, F6 H! h
& F Q1 g$ q+ k for i=1 to L do + R! n) Q$ F1 J4 ~* j0 [+ y5 i9 {! C4 O4 r5 M
begin - _: }9 o+ b/ `4 M6 g0 \6 N; ]! z+ {4 Q: Y
generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′} + j# r: }; l [# ]1 | x: F( i0 H ~
4 t' E/ e$ x3 f2 Z" ~ Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长} , q/ G; R W4 U- |1 x9 _' |; N. }
IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1]) * U3 ^; m7 U, M. ^( v / C! t9 V( v6 `5 h S=S′; # K* f9 Q: {. ~9 v/ O: o5 Z: w; t- k+ |, A+ _# x8 Y8 E0 o, c; {
IF the-halt-condition-is-TRUE THEN / Z2 O U5 U7 R& ]5 f5 O# {+ [1 O! e% V* i' t
termination=true; . M* {3 a7 y! {3 a! M9 [) O
0 ]6 @& G4 A6 b- D
End; & D: p D4 K _! k ' K" n! a) \) _% R' |+ D T_lower; - ^$ ~* i$ R/ k1 |* R, }/ Z ) D( j+ W4 M' [/ n! b; ^6 B End; - E2 |1 P' I) C& q3 k8 B ( c. j1 I3 s9 y8 D: x3 }% k End ' W8 ~" G$ ?$ B, ^9 H% q$ h; s) @6 g' Z6 m- k+ }" K
模拟退火算法的应用很广泛,可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。 ) X) K- u( R9 G% Q
/ K7 j! ?5 {* y* ?5 E8 m+ ^
* W/ B! f0 j h4 o9 w4 s0 M) W i( n$ ^9 s; v$ \
3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题 . l+ T# ]* o0 k' b0 o2 O " v2 S. _2 n( j- I3 Q 模拟退火算法的应用很广泛,可以求解NP完全问题,但其参数难以控制,其主要问题有以下三点: / H# I& h: h) A( e7 x9 j, o& `! j4 R6 j+ g* l& T
(1) 温度T的初始值设置问题。 ) A( l: ]" A6 M2 c # O8 L9 I$ M" {$ R: {5 _0 [ 温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高,则搜索到全局最优解的可能性大,但因此要花费大量的计算时间;反之,则可节约计算时间,但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中,初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。 ) ~; F+ y( r3 J- |% |. O. M
7 R# L/ ]% x$ L8 i& g0 S
(2) 退火速度问题。 8 C* p& j' x) k) b% i4 B2 x ' d2 R2 |, w, O& F$ L: Z, X/ o0 X 模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说,同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的,但这需要计算时间。实际应用中,要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。 - P- Z( ~2 O# i: D+ ?( w
! A2 D: ]2 B C6 L
(3) 温度管理问题。 5 G$ ?7 O3 G& M2 U4 } k3 ^( V; ] ; X# ~, n* e# p 温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中,由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题,常采用如下所示的降温方式: : R& \- |' }0 C, h$ n& v' H