>sturm定理到底是哪个定理啊，应用还很广 ，很多学校大纲里都标明了，但书里却没有标明 是不是挺基础的问题哦<BR>是高等代数里经常用的，就是不知道具体哪个，</P>>应该是高等代数里经常用的</P>>lengyuyendsk@163.com</P>阅读参考6 多项式根计算的两个定理
实系数多项式根的计算，首先要确定实根的范围，进而将实根分离，使每个小区间只含一个实根．下面，我们就来介绍这两个问题的解法．对于前一个问题，我们可以更一般地讨论复系数多项式的复根的范围，再由此得出实系数多项式实根的界．
定理
1 设
∈C[x]，其次数n³ 1．令
则当
zÎ C且
时，有
．
证
当M=0时，结论显然成立．下设M¹ 0．当zÎ C且
时，有
从而有
由定理
1得到，当
时，有
因此
f(x)的复根全都在以原点为圆心，以
为半径的圆内．把这一结论用到实系数多项式上便得到
推论
1 设
∈R[x], 其中degf≥1，令
则
f(x)的实根全都在区间
，
内．
由定理
1还可以得到推论
2 设
∈R[x]，其中degf≥1，则对一切充分大的正数r，f(r)的符号与
的符号相同．
例如，设
．我们有M=1，
．因此f(x)的实根全都在区间(－2，2)内．
求出实系数多项式
f(x)实根的界只表明：若f(x)有实根，则所有实根都在这个区间内．但是不能肯定f(x)一定有实根．如何知道f(x)有没有实根？若有的话，实根的数目(不计重数)是多少？如何把实根分离开？对这些问题的第一个令人满意的回答是在1829年由Sturm给出的．下面介绍Sturm的方法，为此引入定义
1 设
是一个非零实数的有限序列，如果
，则说，序列在第i+1项有一个变号．这个序列中变号的总数称为它的变号数．一个有限的实数序列的变号数定义为去掉这个序列中的0以后得到的序列的变号数．
例如，序列
–2，0，1，0，0，3，–4，5的变号数是3．定理
2(Sturm定理) 设f(x) ∈R[x]，degf≥1．对f(x)与
做下述略微修改的辗转相除法
… … … … … … … … ，
(1)
得到一个多项式序列
(2)
称序列
(2)是f(x)的标准序列．假设区间[a，b]使得f(a)¹ 0，f(b)¹ 0，则f(x)在区间(a，b)内的不同的实根的数目是
，其中
表示序列
的变号数．
证
略述(参考文[2]阅读材料八)．例
1 设
，则
．对f(x)与
做略微修改的辗转相除法，即把每次得到的余式反号以后去除除式：
因此
从
知道
．因此f(x)没有重根．在前面我们已计算过f(x)的
实根全在区间
(－2，2)内，现在计算f(x)的标准序列在- 2与2处的变号数：
于是
f(x)在(－2，2)内的不同的实根的数目是
．由于f(x)没有重根，所以f(x)的实根的总数是1．为了进一步确定这个实根的位置，可以再计算
：
因为
，所以f(x)的唯一实根在
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