| 1851 年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。 + J1 a% P; h2 G& D0 f2 I2 w, ] 1858 年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。 从解方程到群论5 L7 m7 z# X( L; N% X0 J 求根问题是方程理论的一个中心课题。 16 世纪，数学家们解决了三、四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。这个问题花费了不少数学家们大量的时间和精力。经历了屡次失败，但总是摆脱不了困境。 ) w$ R: U5 s9 c4 z8 Z 9 ~, b/ ^& M) F' I+ S; c. c8 c1 ~ 到了 18 世纪下半叶，拉格朗日认真总结分析了前人失败的经验，深入研究了高次方程的根与置换之间的关系，提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。拉格朗日的弟子鲁菲尼 (Ruffini,1765-1862) 也做了许多努力，但都以失败告终。高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。阿贝尔 (N.K.Abel,1802-1829) 只活了 27 岁，他一生贫病交加，但却留下了许多创造性工作。 1824 年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。 5 \) q. v- _8 `& c4 I2 U4 t7 L9 w 伽罗瓦 (E.Galois,1811-1832) 仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的“容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解。从这种意义上，我们说伽罗瓦是群论的创立者。伽罗瓦出身于巴黎附近一个富裕的家庭，幼时受到良好的家庭教育，只可惜，这位天才的数学家英年早逝， 1832 年 5 月，由于政治和爱情的纠葛，在一次决斗中被打死，年仅 21 岁。 7 b! |6 d* E$ E( ], e. m 置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金(R.Dedekind,1831-1916) 和克罗内克 (L.Kronecker,1823-1891) 的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱 (A.Kayley,1821-1895) 关于有限抽象群的研究工作。另外，克莱因 (F.Clein,1849-1925) 和庞加莱 (J-H.Poincare,1854-1912) 给出了无限变换群和其他类型的无限群， 19 世纪 70 年代，李 (M.S.Lie,1842-1899) 开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。 1882-1883 年，迪克 (W.vondyck,1856-1934) 的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到 19 世纪 80 年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。 20 世纪 80 年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要作用 |
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