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标题: 任意角三等分 [打印本页]

作者: 徐成龙    时间: 2009-5-13 11:42
标题: 任意角三等分
9 R) B6 \' I* o( o9 h- g- T
任意角三等分法(1)
如果某一任意角是由原来的三个等角合成的,那么这一任意角便能分成原来的三个等角,即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。
. Z, {% Y5 T% }2 N; ]0 Q6 J" y
(一)三等分直角的启示
如图1所示:∠A=90°,以A点为圆心,任意长为半径画弧与角两边分别相交于BC两点,连接BC;过A点作APBC,并与BC相交于G;过G点作GH//AB,并与弧BC相交于M。连接AM,并与弦BC相交于N,连接BM
5 k, V& n3 Y% a& a# q- E则∠BAM=MBN= A5 P$ X; P  ]3 }  z8 n

# A$ d- |, j: b( ?2 r1 s7 Z& C(图1)

' t- D2 D" i# k
证明:(1)延长MGAC相交于K,则AK=KC= AC( o. l! o5 A8 e  `' i
AC=AM
* \: J2 A) H. O" F$ f- YAK= AM
* S- C/ s- x1 F) w∵∠AKM=90°! W# S4 |8 O4 J
∴∠AMK=30°= A8 r0 q! M& U5 I% T5 V. z8 y' \
KM//AB4 V( h' d/ L6 {; }! b1 y
∴∠BAM=AMK=30°= A
3 t7 U  U! D8 H5 R' _2)在△BAM2 f6 l  M/ Y4 n3 X% ?; t
ABM=AMB= =75°
. u4 @+ }8 P$ }0 C, S, m* e在△MBN
4 m  p% U, l1 i8 J( SNMB=AMB=75°
) g. l3 z, x5 n4 XABN= =45°
- h4 p" `' N' j/ E; _ANB=180°—30°—45°=105°
+ w8 K2 E! h3 V- aMNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
0 c( G' b6 t9 ]+ s4 ~3 l∵∠NMB=MNB=75°4 v% U7 T0 f# ?% Z: I& k/ w
ABM=AMB=75°
! t8 Z! |$ M& a: r' R7 R& E( Y∴△MBN是等腰△) Z! ?1 X. D+ G' D# v# _
∵∠MBN=180°—75°×2=30°= A
4 v3 L7 `" c7 x8 m9 V( Y# E# T4 S! O: X∴∠BAM=MBN= A
& J2 J5 t1 W: l4 S+ l3 D通过对直角的分析证明,我们发现这样一种关系,即,如果以直角的顶点为圆心,任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦;那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边,以弧(或弦)与角同一边交点为顶点,构成的三角形,是一等腰三角形,这一等腰三角形的顶角,是直角的三分之一。
: t* D3 ?# W' m" ]' k8 u. e; P直角存在着这种关系,任意角是否也存在这种关系呢3 b2 I$ q- `4 s9 R! L
! I% |* d/ Q! {  f7 v+ A
9 ^& j) o& g  S/ A% t  r$ i3 `) S
7 [9 {% p$ U% G' }5 l) z
未完待续......5 a7 o. h3 }  e' A0 }

) I: s" d: v! W# m

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作者: 蓝色忧郁    时间: 2009-5-16 13:36
只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的,只有那些特殊的角可以三等份
作者: RoyalYun    时间: 2009-5-20 01:11
虽然这些图很精致,也花了心血,但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题,其本质在抽象(近世)代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张,后一个问题涉及π(圆周率)的超越性。在抽象代数学中证明了,它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄,大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少,如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式(也是抽象代数学研究清楚的)、初等函数的不定积分(如概率积分)未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程(如Riccati方程)不可积等。其实,认识到了这些不可能的问题,也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费,二来可以另辟蹊径,发展更有效的工具。比如,对5次以上的代数方程,就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程,而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。
作者: 15920368411    时间: 2009-5-20 15:40
强悍,佩服!
作者: bua1s2d3    时间: 2010-8-8 14:56
- }7 _, L3 R3 N3 X. _5 }) Y
一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人
; y& B! t, b1 \; M  
; U6 L0 h5 b  S0 v   在处理尺规作图的内容中有:" ?: p' F. z3 f' q: G
   三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发,经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
& u; \3 B6 y% S+ b! I   二等分角的代数判别准则是————已知数为出发,经有限次加减乘除和开平方所给出的数。; n7 c3 k9 @4 Y% n! n* I* }+ `
  
5 Q0 z$ a$ n+ d+ a# X9 m" S   两个代数准则相差仅“有理”两个字,它们是不可以相互调换和替代的。
  u5 |4 @1 a9 x* n; ]   由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容,它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。1 }2 V4 R9 u/ f3 m* g5 F
& t  y# _4 Z& x, \2 r

作者: haoyongle    时间: 2010-9-22 10:21
先支持一下
作者: haoyongle    时间: 2010-9-22 10:24
看来我懂的还很少,很少……




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