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标题: [请教]一道数学分析习题 [打印本页]
作者: helloyupp    时间: 2009-11-9 01:21
标题: [请教]一道数学分析习题
本帖最后由 helloyupp 于 2009-11-9 01:24 编辑 . P, Y. o' O  W; O

3 l. o  N8 `" _# h& R. v设f(x)在R上有定义，且& R5 D  J8 z7 i3 R
无标题.bmp * C. C6 K6 }& d, D+ z
! ]: R6 ^' X/ V* r: R' w
（1）这种函数有几个？! \9 V* `; f% B( a* z: S4 z6 R
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？& z" ~# O& y; n# r7 }
; a  I: s" q- D; Q
ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！
作者: 87lv    时间: 2009-11-9 12:05
第一题无穷多个，第二题只有一个
8 y+ R, B. o& Z3 d' M2 x5 w5 n5 s" w9 m* N9 _
解：记y=f（x） .. ………………1
  P0 o" q* g+ {$ U4 R则有f（f（x））=f（y）=x ………2
' V% i2 Y2 }9 D/ J6 O
9 m" e: n$ G1 P3 z# z由1，2 两式有- o2 r4 s6 L: a% }

* \3 L/ a8 |2 b  E, u, g5 f, Hf（x）=y……..3
2 A9 R% M  G" x2 P/ [4 R0 Tf（y）=x………4
) J) x8 b, q% G% j% Q+ p% y; r+ c$ Z
若x=y，则有f（x）=x
& c: O3 ?5 L. Q
2 m# o9 D' f# W7 X% W) U若x不等于y，则
8 I% y$ ^$ X# T( Z' G0 I) J8 [) ?8 ~1 q( a, j( N
由3，4两式得% t# z7 m3 _6 ~1 c6 L* G. v

+ B+ d! L' {: g6 W& E: O【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1( e% L& I( F5 `8 M. E' Q# J7 X
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数( ^) R9 d0 U" d( O
8 I7 P* q. J& \! \5 z+ I
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
8 G6 c+ x; {, H+ g. z( T- |0 {6 L# f
% u+ {2 B( K* h8 p/ S; O6 v所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个
作者: helloyupp    时间: 2009-11-11 11:09
回复 2# 87lv
/ y( W7 C6 \8 D' E
+ k1 k  X) o$ i- w" c+ t$ h1 C
& V1 }% c# x( O6 K! x    非常感谢！
作者: zhoutao15935    时间: 2009-11-11 11:53
严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。
作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:56
不严谨，下面的函数亦可：
5 M  g# G6 ^2 k+ g0 l# \9 u1 rf(x)=\left\{\begin{matrix}
: v! y) d  K; {1 H" nx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
" |4 M. x: L) o# s! I/ U\end{matrix}\right.
作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:58
不严谨，下面的函数亦可：
2 {/ k/ u: q. c) }[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]
作者: mrx    时间: 2009-11-16 09:15
“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-16 @- X- S4 _! ^( h
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数! e. V4 [2 R6 B; c; w; d% E
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
% L9 Z1 B: d# c3 e9 e) q由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。
作者: BenCam    时间: 2009-11-18 21:21
87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
) {" Q1 ]" X! |" D9 p
& n5 G! t  M; B+ `( o( z(1)有可数个.
' V9 Q8 P% K  M, h/ `' y9 v7 y  |  T3 ~1 C, f; r4 d
(2)只有一个.因为存在反函数.
作者: 87lv    时间: 2009-11-24 14:52
回复 7# mrx - i' w9 g! e8 B" o; O' l$ s

" f0 E6 F) K) @% X$ w+ q! z
3 A! M' [3 p) b    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！
作者: 彩虹天堂    时间: 2010-1-12 12:58
回复 1# helloyupp , @% d" F/ b2 d9 e) L$ n- [

' C* k/ j0 f5 o: e+ T' L4 m# _: k+ E4 @3 S0 X
    先看看
作者: Galois.L    时间: 2010-2-6 11:17
(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数
作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-11 22:39
回复 1# helloyupp
4 ?! B8 l; m) X- v- V, O! S$ `" h! F5 f
& n6 S* j" F6 s+ B% ]3 }8 G6 Y. R5 s
    题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。7 q" Y+ g  k2 K$ V$ V2 l- P3 J' Y0 c
  初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x  和y=-x 。/ D: ]$ P& _* X" ~
后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1.   但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
3 {4 A6 R- p" t) |# I" ?于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？5 Q5 I, ]5 R) @0 [3 s$ f
已经有例子,反比例函数。
作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-12 10:06
9 X* O8 s, q' p9 ?$ ^

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

$ `- O4 G& j  r* n' _5 v' g


$ Q$ R' V( h" l' {; W4 I) p


0 w) E2 v9 l! l, B

作者: baggio25465    时间: 2010-8-31 19:04
回复 87lv 的帖子9 F6 q' b/ q/ ~" C2 V9 e) a

7 I7 H( L& ?* l5 }, T3 a# ?
7 @8 {2 o* I% [- @    精神可嘉
作者: rivuletwj    时间: 2010-12-14 19:28
第一题显然有无穷多个
; @4 U+ G% k% V0 ~" q- w第二题只有唯一一个f(x)=x7 @2 P# R9 a" A6 A- Q+ H' z
用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x02 N' |% P9 r$ t
若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾* Z& S5 G! z4 k
若f(x0)<x0,同理可得矛盾
* T( Z, e( y2 [8 p  t- v因此对于任意的x都有f(x)=x. g: @7 X0 B! F
另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。
- ^7 U: j2 K  ^: m2 j) I
作者: 梦透明天    时间: 2011-11-14 22:20
先看看再说
作者: 梦透明天    时间: 2011-11-15 18:26
敢问可数个的结论怎么证明出来的



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