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标题: [请教]一道数学分析习题 [打印本页]
作者: helloyupp    时间: 2009-11-9 01:21
标题: [请教]一道数学分析习题
本帖最后由 helloyupp 于 2009-11-9 01:24 编辑
/ E$ w7 E) {- k4 r- Q2 w
8 @" Q2 n$ ?3 f2 ]" ^: e5 ^设f(x)在R上有定义，且
1 a  U1 b: m, r" P 无标题.bmp 0 G4 V5 h6 M" g

* b4 O/ s# W8 Q, a) g( Z; T（1）这种函数有几个？& Y, N- n. Z4 S, M3 \
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？( ]1 }( k  a5 l+ ]! x* O

% Z! x& w. R) Z( u. @* z. T' Eps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！
作者: 87lv    时间: 2009-11-9 12:05
第一题无穷多个，第二题只有一个
1 F, @9 ?" I* K& z  ~5 C1 R
9 p* {/ V9 s% h3 R+ w解：记y=f（x） .. ………………1
( |! I3 P; |9 k- z则有f（f（x））=f（y）=x ………2
6 {. U8 \, ^9 l& E* D; ?: n& e6 C7 T# i8 A
由1，2 两式有
% W0 f# S9 m" C9 k- @% I
( C  J5 D# M* U) {( g% sf（x）=y……..3
2 ^8 T& M8 l' jf（y）=x………4
5 N0 r) z% F! C. V; O* ^% A5 c
* G4 ^1 P: T# F/ U9 Y若x=y，则有f（x）=x! O# B$ i* i6 U/ y+ j

6 N( {  _5 |" g, b3 H5 W1 s7 F若x不等于y，则
: A% G3 N$ M6 M7 i/ n( W  i' @2 O- x; s0 C
由3，4两式得* ]/ ~& U2 b' }/ K  f) a4 U* {

* v" ^3 X9 e# d* q/ ?6 {【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1# V% n7 R; `& ^3 P$ p. G
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数8 Z) b, F* I2 p& b: o' s( S1 H
- L, A& ]/ l( w- J  q6 k) @6 {. M. p2 h" F
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
- h+ v' N+ v0 `3 J
. f% [2 p1 ~8 l# [) z5 h- M" x所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个
作者: helloyupp    时间: 2009-11-11 11:09
回复 2# 87lv
) [: |5 m% \3 s4 T: {$ ^" s6 @( I/ x$ J+ O: l; r  W# _
8 o8 C3 t2 z6 R! y
    非常感谢！
作者: zhoutao15935    时间: 2009-11-11 11:53
严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。
作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:56
不严谨，下面的函数亦可：
5 e$ {0 e, b, \* l& hf(x)=\left\{\begin{matrix}6 h+ r& h9 j" o2 D. F) B
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0, y5 w' q, V/ i# F: o/ W
\end{matrix}\right.
作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:58
不严谨，下面的函数亦可：
8 j' A; o/ Y. e3 ~& v[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]
作者: mrx    时间: 2009-11-16 09:15
“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
% |3 G, u0 D1 j2 f% ^4 o也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数; B1 i% n3 L9 y3 ]$ w$ _) d5 S8 r
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"$ L- f! E4 b; Q/ o' K2 Z
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。
作者: BenCam    时间: 2009-11-18 21:21
87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
% [6 @+ m; o/ @% Y, P$ {: h: [2 s4 g7 o  W& ^8 M) F
(1)有可数个.
8 C3 O- d7 J. P" Z
+ Y0 X# j9 L: D: H9 i/ t(2)只有一个.因为存在反函数.
作者: 87lv    时间: 2009-11-24 14:52
回复 7# mrx 3 `6 ]) b" R( J( ?8 {% z# H
# _- }3 W, z/ z$ B

8 p' C- _; P# k    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！
作者: 彩虹天堂    时间: 2010-1-12 12:58
回复 1# helloyupp
3 R: i; z, \) i3 S# X8 {- N1 A
0 p% f. E! S8 [' u4 A# [
+ s' c$ f" w3 Y7 M    先看看
作者: Galois.L    时间: 2010-2-6 11:17
(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数
作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-11 22:39
回复 1# helloyupp
! f( b. l. _( |' L& B) w0 e3 {4 D7 O+ F8 t5 o2 q

7 s! N% ~" S% N7 d    题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。# B3 X9 P  @2 H, U5 @- t7 b$ r
  初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x  和y=-x 。6 j& L; U' c, V  X7 i! U. _( K
后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1.   但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
' Z: |8 Z( t; `' X+ `: V$ R于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
" r! C' O( N! w$ I  o8 A+ y已经有例子,反比例函数。
作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-12 10:06

/ _& u1 x& p5 D$ v. O4 i- @

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

! o0 W: X. d0 u, x8 M


* X$ a$ e& d; n6 h. \

" C+ T# |: C/ K" P0 K8 y7 S

作者: baggio25465    时间: 2010-8-31 19:04
回复 87lv 的帖子4 o" b5 F2 O1 z7 s% x( a" p0 u

& Q: F7 \# z& f/ f1 X1 v9 I2 C! q6 o' C3 u
    精神可嘉
作者: rivuletwj    时间: 2010-12-14 19:28
第一题显然有无穷多个
5 Z- g2 M+ V6 O- X; ?3 f第二题只有唯一一个f(x)=x  j3 J( d, a* E. t* ^7 O
用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x09 p( y1 d4 R3 A, u2 j% ^7 I3 f0 n
若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾2 ~* k& N5 r2 R1 _* E
若f(x0)<x0,同理可得矛盾4 r1 \, v) @, \+ E7 S2 o* [5 u
因此对于任意的x都有f(x)=x4 Z" J2 x* b+ ]4 l& y1 T
另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。8 w7 z) N! a; V  Z
作者: 梦透明天    时间: 2011-11-14 22:20
先看看再说
作者: 梦透明天    时间: 2011-11-15 18:26
敢问可数个的结论怎么证明出来的



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