数学建模社区-数学中国

标题: [请教]一道数学分析习题 [打印本页]

---

作者: helloyupp    时间: 2009-11-9 01:21
标题: [请教]一道数学分析习题

, V. ?, u! l0 P$ W  f
设f(x)在R上有定义，且
% K7 }' z( Q9 g3 v
9 y2 A5 @1 `7 {# g
% p0 |5 M# e' J% N( T（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
9 R$ @0 \; ~5 b( B+ |* U
2 l4 E6 s8 a: g, p8 M; F- Kps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

---

作者: 87lv    时间: 2009-11-9 12:05
第一题无穷多个，第二题只有一个

解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2

( I/ B* ^7 W. l由1，2 两式有

: z+ Q9 O) B; V' ?f（x）=y……..3
, D, L/ H+ T0 m! b5 Y+ E0 if（y）=x………4
2 M9 Y+ k& ]) Y  _
若x=y，则有f（x）=x
+ J1 `: J2 N( F: N
若x不等于y，则
( {( v$ u- O  }& m% R) {( @0 j
由3，4两式得
% s- v% ^/ v0 L8 A* ?5 U  T
【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

0 B# d& u* F) Q( Y2 t/ c斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
, J% T/ B  p# ?8 @
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

---

作者: helloyupp    时间: 2009-11-11 11:09
回复 2# 87lv


# ^& {% V$ F* C2 K    非常感谢！

---

作者: zhoutao15935    时间: 2009-11-11 11:53
严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

---

作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:56
不严谨，下面的函数亦可：
' b& V7 {$ {- X# u# {f(x)=\left\{\begin{matrix}
x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

---

作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:58
不严谨，下面的函数亦可：
- k8 K  E4 F: p: E[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

---

作者: mrx    时间: 2009-11-16 09:15
“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
: L( z! V/ V/ E, B( {也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
; I) U/ _! u" ~. {斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

---

作者: BenCam    时间: 2009-11-18 21:21
87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
# S, {2 _% c' x/ F# d
: q3 Z. v5 M# I3 {' Z9 N" f7 U(1)有可数个.
- I0 q) l: _  I' y& h' v" e
9 L% X, x3 {1 s5 P' r(2)只有一个.因为存在反函数.

---

作者: 87lv    时间: 2009-11-24 14:52
回复 7# mrx
+ D; b( p4 e+ |; q* B2 T. S7 A

    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

---

作者: 彩虹天堂    时间: 2010-1-12 12:58
回复 1# helloyupp


  s1 x6 U) s9 `# G5 g# d( v    先看看

---

作者: Galois.L    时间: 2010-2-6 11:17
(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数

---

作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-11 22:39
回复 1# helloyupp
+ W, C, p, h8 z, W3 y$ y

0 ]/ F1 T7 S( @! M0 b  j4 N    题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。
3 }' A" K8 x# Q! v5 M- [+ s) ]  初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x  和y=-x 。
/ e( ?$ f+ a- ~0 C* ~9 O后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1.   但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
: L: F: h" P  M$ X% P; A已经有例子,反比例函数。

---

作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-12 10:06

0 H+ W7 E( u3 W& X3 }5 ]

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

& r; d' u4 q4 F5 H

* W2 ?  n3 i  J

---

作者: baggio25465    时间: 2010-8-31 19:04
回复 87lv 的帖子

" P8 |8 u" l, I0 D: u
9 K! L2 I& m3 ~% N5 m: Z9 C" s& N    精神可嘉

---

作者: rivuletwj    时间: 2010-12-14 19:28
第一题显然有无穷多个
第二题只有唯一一个f(x)=x
用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x0
/ @( C9 U6 J+ Z' r  O# N0 B, G若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾
1 X. Y% L% c4 `' a" C5 W若f(x0)<x0,同理可得矛盾
! k$ g; q. v4 y4 U' a因此对于任意的x都有f(x)=x
4 W- m0 Q4 j# ?4 P: l# l另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。

---

作者: 梦透明天    时间: 2011-11-14 22:20
先看看再说

---

作者: 梦透明天    时间: 2011-11-15 18:26
敢问可数个的结论怎么证明出来的

---

欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)

Powered by Discuz! X2.5