数学建模社区-数学中国

标题: [请教]一道数学分析习题 [打印本页]

---

作者: helloyupp    时间: 2009-11-9 01:21
标题: [请教]一道数学分析习题

0 V8 E! a5 q& e7 ^/ J2 b
& o. o6 n( v+ u1 r9 `. e% X/ o设f(x)在R上有定义，且

6 ^3 T* u1 d3 K
* v2 C+ K% @+ Q- Y: E5 F（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
6 R4 L* R' {, [% v' T, A/ H; `
7 w. x3 J; V2 L& j7 l; Ips:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

---

作者: 87lv    时间: 2009-11-9 12:05
第一题无穷多个，第二题只有一个
& t$ n# ^9 m  t5 X+ ]
解：记y=f（x） .. ………………1
4 h4 h$ ?$ k% Q: m; V2 g" y则有f（f（x））=f（y）=x ………2
* a5 J! J1 i5 h' d$ C! C
由1，2 两式有

' l3 Z5 {/ ^: y- z6 V" d! D( H6 |f（x）=y……..3
f（y）=x………4

若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则

由3，4两式得

; e& u: _' v3 @5 @【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
7 y/ X) H' g% H# L' K; n也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

+ D( o1 ^! L  A斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
7 s  n/ z2 v( M6 w. u+ j
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

---

作者: helloyupp    时间: 2009-11-11 11:09
回复 2# 87lv

% A: U3 M1 T5 l) N; J; @; a
7 L% g5 @" s% g& {4 p* T    非常感谢！

---

作者: zhoutao15935    时间: 2009-11-11 11:53
严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

---

作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:56
不严谨，下面的函数亦可：
2 V$ h$ I% v) @; g$ wf(x)=\left\{\begin{matrix}
. I( t! v5 {# h8 [% e7 \, Z+ ~& Cx,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

---

作者: mrx    时间: 2009-11-16 08:58
不严谨，下面的函数亦可：
0 r( _6 E8 K7 u% I$ I1 i& h[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

---

作者: mrx    时间: 2009-11-16 09:15
“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

---

作者: BenCam    时间: 2009-11-18 21:21
87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
# W4 E: ]5 x: P$ m
8 }* `. w" B% j7 m) |6 i% Z6 E(1)有可数个.
* j: R: u( r' J
(2)只有一个.因为存在反函数.

---

作者: 87lv    时间: 2009-11-24 14:52
回复 7# mrx
' P2 N/ m( @8 f8 L

$ b  h6 h1 ]8 C% M" l/ V, e    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

---

作者: 彩虹天堂    时间: 2010-1-12 12:58
回复 1# helloyupp

. z2 k, w$ {, T: |3 q$ Q. V
    先看看

---

作者: Galois.L    时间: 2010-2-6 11:17
(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数

---

作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-11 22:39
回复 1# helloyupp

; q, i# B7 h- ]# R) l" i% H
! {7 F; `% D; p4 m0 b2 B% a4 I    题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。
  初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x  和y=-x 。
) }5 s  e% E( Z% G1 v4 Q# Y' j后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1.   但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
已经有例子,反比例函数。

---

作者: sxhqjfl    时间: 2010-2-12 10:06

# @3 ^& r) A1 O' k

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

/ e0 p9 ^  C! z9 w: g

: V* l) K1 ~1 M+ o. R

---

作者: baggio25465    时间: 2010-8-31 19:04
回复 87lv 的帖子
3 Z7 A8 K# M' w

# J0 @' y* f, M1 q) L/ @4 B7 w    精神可嘉

---

作者: rivuletwj    时间: 2010-12-14 19:28
第一题显然有无穷多个
+ P7 E( Y+ t- _6 _/ ~2 f第二题只有唯一一个f(x)=x
用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x0
( M" D1 X& F7 k% N9 v0 V若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾
若f(x0)<x0,同理可得矛盾
因此对于任意的x都有f(x)=x
+ r( ^2 ]6 P4 t4 \  B& X. b* K另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。

---

作者: 梦透明天    时间: 2011-11-14 22:20
先看看再说

---

作者: 梦透明天    时间: 2011-11-15 18:26
敢问可数个的结论怎么证明出来的

---

欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/)

Powered by Discuz! X2.5