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标题: 比较1跟0.999999...之间的大小关系 [打印本页]

作者: 数学者 时间: 2009-12-4 22:53
标题: 比较1跟0.999999...之间的大小关系
本帖最后由数学者于 2010-4-25 16:20 编辑

求助：如何用数学方法证明1跟0.9999...（无穷个9）之间的关系呢？
若只比较最高位数字的大小，显然1>0.9999...
然而，若将两个数都除于3，即有1/3=0.3333...（无穷个3）= 0.999.../3=0.3333...
以上两种方法得到的结果显然不同，是上述某种方法不够恰当，还是两个数字之间另有其他什么关系呢？
恳望各位高手帮忙用数学方法解决一下，不胜感激！

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作者: zhaoqy 时间: 2009-12-4 23:01
核心问题就是0.999...是什么东西. 我们不知道它是不是有理数, 因此只能用有理数的极限来表示它:
0.999... = lim 0.99..99(n个9)
注意右边的极限就是1.

更好的理解请看看实数系的构造, Dedekind分割和有理数的Cauchy列两种定义都可以说明相等.

作者: buct 时间: 2009-12-4 23:06
0.9999999_____n个=1-1/10000000000000000（n个0）不知对不对

作者: 厚积薄发 时间: 2009-12-4 23:49
进行大小比较，先将两个数都变成无穷小数，利用无穷小数的n位不足近似或者n位过剩近似去比较，即可得到。具体可以参考《数学分析》华东师范大学数学系编的有高教出版，第三版的第一章内容即可

作者: 数学者 时间: 2009-12-4 23:56
我将版主的方法改写成下面的形式：
lim(1*10^n-0.999...*10^n)=1 (n趋向无穷)
则1*10^n > 0.999...*10^n
两边再同除于10^n将不改变它们之间的大小关系，即1 > 0.999...
这样是否又是跟2楼的结论相矛盾了？

作者: 08dlut 时间: 2009-12-5 09:19
楼上的极限算错了，应是lim(1*10^n-0.999...*10^n)=0
另外二楼的做法是对的

作者: wanghuizan2004 时间: 2009-12-5 10:55
两者是相等的。0.9999999...是无限循环小数，这里用等比数列和极限理论证明即可。严格证明如下：
证明：
0.99999....=9*（1/10+(1/10)^2+(1/10)^3+(1/10)^4+(1/10)^5+...）  等比数列求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)并求极限
         =9*(1/9)
            =1
证毕！
申请加精！

作者: 山心豆 时间: 2009-12-5 11:37
2楼和9楼正解，我就不重复了。
有些问题就是让人觉得感觉很简单，却琢磨不透。

这让我想到一个以前在贴吧看到的问题，1/3=0.33333333…，0.333333…*3=0.999999……不等于1！
两个题目有点类似哈！看来很多人在学习过程中都会遇到这样的困惑。

作者: 数学者 时间: 2009-12-5 12:26
嗯，明白了，多谢各位的指点~

作者: funintears 时间: 2009-12-6 14:53
本帖最后由 funintears 于 2009-12-6 14:55 编辑

这涉及到p进制无限小数的问题。我们将大于0小于等于1的数用p进制无限小数表示是指an/p^n对n求和，这里an可以等于0，1，2……p-1，并且有无限多个an不等于0.可以证明任意大于0小于等于1的实数都可以唯一用p进制表示法表示。在这样定义下。1不表示为1.0000……，而表示为0.9999……。这是合理的。可以由级数收敛说明9/(10^n)对n从1到无穷求和是收敛的且等于1。7楼已经给出具体方法了。

作者: mrx 时间: 2009-12-7 00:14
很简单的问题反而被一班人搞复杂了。
1=0.999.......
证明：
令0.9999......=x （1）
则 9.9999.....=10x （2）
（2）-（1），得：9=9x
于是x=1，即
0.9999.....=1
同理，可得：1/3=0.33333....
这实际上就是有理数无理数的定义问题。不过从微积分的角度看应该是有限与无限的问题，这方面就要问牛顿、莱布尼兹啦。

作者: mrx 时间: 2009-12-7 00:21
2楼的说法有误，0.999999......【无限循环小数】本身就是有理数。这方面就不说了，初中的知识

作者: 数学者 时间: 2009-12-17 21:02
回复 10# funintears

嗯，好方法！谢谢~

作者: pigyoung 时间: 2009-12-25 17:13
相等，数学分析，随便找一本应该就有证明的。
或者是复分析里边也行。

作者: clanswer 时间: 2010-1-10 16:27
这个涉及到极限的问题，0.9999……的极限是1呗，呵呵

作者: zgh058 时间: 2010-1-19 12:20
原来这个问题还有这么多证法。。。。。。。。。

作者: 平靖 时间: 2010-1-24 23:38
了解~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

作者: yihua_chen 时间: 2010-2-2 10:17
同意七楼的看法。二楼说:"核心问题就是0.999...是什么东西. 我们不知道它是不是有理数,
"。这不是无限循环小数吗？！当然是有理数。

作者: clanswer 时间: 2010-3-22 19:37
1=0.99999……，呵呵

作者: liwenhui 时间: 2010-4-1 12:14
呵呵呵，这个问题好哦，精华确实是精华

作者: suxiangshiwoha 时间: 2010-4-8 22:53
好深奥~
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作者: 浪漫蜗牛 时间: 2010-5-26 22:31

可以由级数收敛说明9/(10^n)对n从1到无穷求和是收敛的且等于1。7楼已经给出具体方法了。

复制代码

作者: 杨yyh 时间: 2010-9-2 15:43
学习了，数学奥秘真无穷。

作者: wlrenzhe 时间: 2011-4-3 22:25
0.999999.......=0.9+0.09+0.009+0.0009+......+0.000.....00009;应该是个无穷等比数列，用公式是0.9（1-0.1^n）/(1-0.1)=1-0.1^n,当n趋近无穷得1

作者: 考子兔拉娘 时间: 2011-4-26 23:44
很是纠结的一个问题。。看似简单

作者: xiayuhong 时间: 2011-5-15 22:28
设x=0.999999999···，那么10x=9.999999···，10x—x=9x=9.999999···—0.999999999···=9（尾数正好减掉），即9x=9，x=1，所以0.999999999···=1。感觉这样蛮简单的~

作者: zspengyou 时间: 2011-7-11 20:27
好贵。。。。@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

作者: ゐㄋ↘↘茈刻 时间: 2011-7-15 09:56
极限的问题！求极限总有想不到的结果

作者: じ☆ve~~姝 时间: 2011-7-22 23:17
七楼是正确的

作者: 2009gxs 时间: 2011-8-13 00:54
相等的~~~呵呵看看数学分析吧

作者: 轻舞飞扬0375 时间: 2011-8-15 17:30
我来告诉你我们老师讲的方法我觉得好像比以上**更好设a=0.9999..........，则10*a=9.99999.......，则10*a-a=9，即9*a=9，则a=1。即0.99999......=1 证明完毕，怎么样？觉得好的话，奖励我意下下噢

作者: 葉_浅浅 时间: 2011-9-6 14:52
这个有意思~~~~~~~~~~~~~~~~

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