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标题: 大家帮忙看一下这几个数分题该怎么做？最好给出一点步骤，谢谢！ [打印本页]

作者: madio 时间: 2010-1-4 22:27
标题: 大家帮忙看一下这几个数分题该怎么做？最好给出一点步骤，谢谢！
1、设f(x)在区间[0,1]上连续，证明：[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)}}dx\int_{0}^{1}{e^{-f(y)}}dy\geq 1[/tex]

2、设f(x)在区间[a,b]上有连续的导函数,f(a)=0,证明：[tex] \int_{a}^{b}{\mid f(x)f^{'}(x) \mid }dx\leq \frac{b-a}{2}\int_{a}^{b}{(f^{'}(x))^2}dx[/tex]

3、证明:当正整数n>1时，有不等式[tex] \frac{1}{2ne}<\frac{1}{e}-(1-\frac{1}{n})^n<\frac{1}{ne}[/tex]

4、设f(x)在闭区间[0,1]上具有连续二阶导数,f(0)=f(1)=0，当[tex] x\in (0,1),f(x)\neq 0[/tex]，试证：[tex] \int_{0}^{1}{\mid \frac{f^{''}(x)}{f(x)}\mid }\geq 4[/tex]

作者: 山心豆 时间: 2010-1-4 22:55
额……这个……你后面的公式是用什么工具打出来的？

作者: mnpfc 时间: 2010-1-5 17:43
纯理论的证明是俺的弱项，这个帮不了啊

作者: pigyoung 时间: 2010-1-5 19:18
吉米**奇，应该是第四册或者第五册上边，有这些。

作者: click33 时间: 2010-1-13 01:04
4题我证明大于8，仅供参考！
设函数 $f(x)$ 在[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{0}\in[0,1][/img]上取得极大值，则 $f(0)=f(x_{0})+f^{\\prime}(x_{0})(0-x_{0})+\\frac{1}{2}f^{\'\'}(\\xi)(0-x_{0})^{2}$ ， $f(1)=f(x_0)+f^{\\prime}(x_0)(1-x_0)+\\frac{1}{2}f^{\'\'}(\\eta)(1-x_0)^2$ 。于是 $|f(x_0)|\\leq\\frac{1}{2}x_0^2\\max|f^{\'\'}(x)|$ ，
$|f(x_0)|\\leq\\frac{1}{2}(1-x_0)^2\\max|f^{\'\'}(x)|$ ，从而
$8\\leq\\frac{2}{x_0^2}\\leq|\\frac{f^{\'\'}(x)}{f(x_0)}|\\leq|\\frac{f^{\'\'}(x)}{f(x)}|$ ，[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_0，
对上述两式积分就得8.

作者: liushuike1 时间: 2010-1-15 16:15
第一题用二重积分可做。刘玉琏编写数学分析讲义上有类似例题

作者: liushuike1 时间: 2010-1-16 18:11
第3题好像是用中值定理，右边不等式还可以用（1+1/n）^n性质做

作者: yihua_chen 时间: 2010-2-2 11:08
[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy=\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}}[/tex]

作者: yihua_chen 时间: 2010-2-2 11:11
第一题主要利用这个公式，下面是两等式相加，再利用均值不等式就得出结果了。、

作者: yihua_chen 时间: 2010-2-2 11:15
[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)-f(y)}dxdy+\int_{0}^{1}{e^{f(y)-f(x)}dxdy}}\ge\int_{0}^{1}{2dxdy}[/tex]

作者: zjxzjxzjx 时间: 2010-2-4 00:10
本帖最后由 zjxzjxzjx 于 2010-2-4 00:22 编辑

现在有点晚了。我就帮你做第一题吧。明天有空再帮你做接下来几题好了
[tex] \int_{0}^{1}{e^{f(x)}}dx\int_{0}^{1}{e^{-f(x)}}dx=\int_{0}^{1}{\sqrt{e^{f(x)}}^{2}}dx\int_{0}^{1}{\sqrt{e^{-f(x)}}^{2}}dx\geq \int_{0}^{1}{\sqrt{e^{f(x)-f(x)}}^{2}}dx=\int_{0}^{1}dx=1[/tex]
那个得到不等式那步是用了“柯西-施西茨不等式”
太晚了。。。睡觉了。兄弟告辞

作者: click33 时间: 2010-3-2 18:14
回复 5# click33

第一题的解答参考

作者: 张丽梅 时间: 2010-3-20 14:26
禁用词语，这都非常的简单，你们怎么还问这些？？？

作者: jws123 时间: 2010-3-27 13:57
第3题右边直接用对数函数,左边在结合泰勒展开,或者求导

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