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标题: 希尔伯特的23个世纪问题 [打印本页]
作者: clanswer    时间: 2010-1-10 13:34
标题: 希尔伯特的23个世纪问题
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到**解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。 - ?( v) e  G3 \* ~/ Y! R6 S/ q

' L3 i6 ?. S# U　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。
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　　（1）康托的连续统基数问题。 , p* f1 f" ?! R$ E
" P- o" s$ W! L9 T: ^: W+ @; G3 g' d
　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合**理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此独立。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 . c& d. ]: E  U. ]. J4 o8 R

; a. G  ]/ H; }0 |5 h9 ^3 t6 H6 J+ q　　孙嘉林是一位数学家，一直致力于基础数学的研究。孙嘉林首创了世界全新命题逻辑零分析数学体系，1992年《零分析》的中、英文版由青岛出版社出版。“零分析”数学体系一举攻克了举世公认的希尔伯特第一、第二问题，即连续统假设问题和算术公理的相容性问题。) J3 l9 m2 a8 |5 Q  b4 ?
* K* X, V' o' j- b! T; m+ [
　　（2）算术公理系统的无矛盾性。
  `+ \( Q/ I$ P7 d1 F4 Z4 ~
/ s" a& k4 V) e# Y. O7 A9 j　　欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。 ! k" f6 Q% i5 j. h/ c; j
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　　（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。 # M; j' C# ~2 p9 l4 E7 Q7 V" T
  y3 s- f1 l+ ?1 ^: Z* ~  f
　　问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。
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　　（4）两点间以直线为距离最短线问题。 - X- |) ]4 U/ j& u! G( A( s5 ?

/ P) q0 ~$ \6 ]% d' B+ Z' }4 K8 y6 O　　此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些**条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。 # b6 S" q' Y6 K% T7 `
- d) C; e% T( P+ {2 d0 S
　　（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
4 w! |7 r/ w# K- p
8 L8 h' h( T1 Y( I; A! M　　这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。
' N0 W, u+ r2 V: d+ c9 k& Z6 i% i+ a2 M& x+ \
　　（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。 . M7 E! z4 ^( W. J/ e
) ~! }( ]" x2 a* `# W/ a$ h
　　1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率**理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。 0 t1 M$ o) A! G9 W3 J, X/ m

7 h0 Q. q9 G" ?  K3 t- ?　　（7）某些数的超越性的证明。 " E. V1 L/ O5 Z+ z

0 Y) h/ O$ f* O5 c　　需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。
, t; q5 C3 n0 K0 G& x3 N5 v% X+ o; q% U
　　（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德**猜想和孪生素共问题。
2 u  d6 v7 Y. ~5 O5 p2 M' ^$ K" U" e: Z; U+ S6 M8 ^0 R. M
　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德**（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德**猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。 3 _& z, N& L( U) M( q8 M
6 j/ j( ]8 v; V7 I& r( M2 Y) w
　　（9）一般互反律在任意数域中的证明。
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　　1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。 1 u2 b4 L6 K8 W0 J2 S9 p# s. T
% V! t* z: @7 L4 K# R( H
　　（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
6 @! r' o2 ]/ x: [
$ v. e- \0 P' e9 s　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。 & I! E0 o3 L/ r# Y& Z2 M

& D7 |2 A7 y6 f+ |$ ~　　（11）一般代数数域内的二次型论。
8 V6 D& L' N* p
* ]# q- g0 r) E5 ~　　德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。 & a$ ?, }# P9 T* G

- H  p. e' B. F, S7 ?! j+ g　　（12）类域的构成问题。 2 E& B- l" K  @# j4 P4 f) s- u
# X+ [( u. y8 G1 R: R
　　即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。
/ I5 L7 U' h- g
' ]5 R" U0 p; \; m　　（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
4 V& ?9 z; t; A
+ l6 k+ k: _9 \: ?1 M+ T% i; F　　七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。 ! R1 \7 A( b6 M5 P# H9 b& b

2 e! g+ y6 T1 R$ u/ q, }; a　　（14）某些完备函数系的有限的证明。
" `/ |: o$ p5 R  w: J
7 {) j. @0 v8 u" j/ Q' S4 }　　即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。
# O9 e/ X/ R$ w6 Z6 J7 K% K$ @" |" t1 Q/ e; F" z( E, |- M
　　（15）建立代数几何学的基础。
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% R3 b, F& w5 Z. K- k& T　　荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。 , O9 P! s& h; f5 p2 f

6 ]) u6 }7 l1 s' f7 a　　注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。 & `1 |* A2 c- s: _' x

: f; X4 F2 t4 o' @" g1 J# ?+ u/ G1 \　　一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。
# v5 _# g, n; d- j$ I" r" |# k5 @% ^. p% u5 F( y% M0 f, u6 S
　　（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。 % ?" Q, [0 O: k( c$ L

* X+ m( W- e9 _' l　　此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。 1 F3 {" ^& `# z8 y* n
/ t: n+ ^4 c: x! W2 \
　　（17）半正定形式的平方和表示。 1 ^' ~5 B9 H8 D9 M: M0 \: h

- l% y! W: K- g9 j　　实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。
+ q' _% Q6 B( E& [$ X5 D# y% [2 j0 W& `2 |& S' G+ v1 k( X" E6 `9 c
　　（18）用全等多面体构造空间。 + r. c6 Z0 v, x. E

, Z" }0 f& C+ l; d( I5 j　　德国数学家比贝尔**（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。 : H# X/ j4 j1 q% ~2 o& r7 y  e) u
' U* B& s, G% @
　　（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
* {% d: m2 M8 \: Z  d3 |
* [7 [6 [8 p9 u% C2 R　　德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。 2 ?% s2 l5 U7 G. X

8 w, v% d: Q% X; E8 L　　（20）研究一般边值问题。
& l, U% C3 \: X" e+ ~% g5 u7 x6 w8 X( d5 w3 _* v  U+ Q
　　此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。
: ?* W  s2 Q  x2 g8 F) Y8 z5 C- G) \4 V% U; P
　　（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
0 Z% h1 H+ ]5 w5 @& S0 T4 K/ u3 G' W$ b
　　此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。
* _0 g& Y/ d9 m  d: ?
* F2 A  Q: _  G7 m6 ~　　（22）用自守函数将解析函数单值化。 9 p# h' o9 G1 E! j

1 U9 j7 J9 }  j' |( I/ Z　　此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。
  _3 [% O- i1 `8 }9 `$ O
8 d# W, N. N( f% S6 ~　　（23）发展变分学方法的研究。 + ^6 {+ D% f4 ?
  T) ?* K# n; @9 ]! d5 O7 k
　　这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。
作者: clanswer    时间: 2010-1-14 13:38
自己顶一个，这都是很经典的问题，呵呵
作者: ly195348    时间: 2010-1-19 17:30
严格意义上说第一问题未解决.因为未解决问题本身
作者: Tingmei    时间: 2010-1-19 23:23
学习了！！！！！！！！！！！！！！！！
作者: clanswer    时间: 2010-1-20 19:29
回复 3# ly195348 1 o$ {1 h. p5 }# }5 Z- |: e, |$ ?
# n1 E, W1 g+ ~3 L& A
6 w" ~% w. m" e& \* T2 Q
    呵呵，值得好好研究
作者: clanswer    时间: 2010-1-20 19:29
回复 4# Tingmei , g6 E6 f: B' w

0 {/ {" a4 P2 [1 P7 N* H" \" x4 f9 v* y0 C
    呵呵，欢迎回帖
作者: 蓝以父之名    时间: 2010-4-15 23:56
好贴。。。。。。。。。。。。。。。顶一个。。。
作者: clanswer    时间: 2010-4-16 00:01
回复 7# 蓝以父之名
( k7 D1 z9 L# i. ^7 m, v: Y# }: b  S2 l: Y4 }3 O. Q
- @9 N: \! b1 r
    呵呵，谢谢支持哦
作者: renxiaoguang09    时间: 2010-4-26 13:34
学习学习~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·
作者: clanswer    时间: 2010-4-26 14:12
回复 9# renxiaoguang09
$ r. P, ]& P' ]: b9 C' p' X
6 P1 h" ^  p/ t. C. {2 l# z& l& L( j7 F1 \: T2 ^( e, Z7 G
    呵呵，有兴趣可以多多研究呢，嘿嘿
作者: 数学者    时间: 2010-4-26 14:48
好贴，支持！要好好学习，呵呵·
作者: clanswer    时间: 2010-4-26 14:55
回复 11# 数学者 - S! M( q/ L6 K, O/ p' ~
, w0 k6 p( q; f+ I! W

; N( P) g' g: i) X' U, S    呵呵，欢迎支持，嘿嘿
作者: mathjiang    时间: 2010-5-2 20:22
数学为什么如此惹人着迷？又为什么如此惹人讨厌？
作者: clanswer    时间: 2010-5-2 20:46
回复 13# mathjiang
) b1 T9 x* t6 d' }4 j- L
+ O. P' u" q, K' v+ m3 m! w
5 _& F, Y, E& K- D, Y    哦？怎么讲？呵呵
作者: springhe    时间: 2010-5-9 00:37
见识了！伟大的希尔伯特！+ [- B6 a3 T. g8 A: \+ p( f6 n
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
作者: clanswer    时间: 2010-5-9 00:51
回复 15# springhe
( \( }" g3 O+ |1 T3 d9 h$ V3 R8 f, D6 ]3 D! t& t1 [/ {$ b
9 @! W* U7 _1 Y/ S" l/ f- V
    恩，很厉害的人，呵呵
作者: mightyrock    时间: 2010-5-11 00:44
顶一个，虽然对这些问题不是很懂，但是还是很佩服像希尔伯特那样的牛人的。。。
作者: yihao    时间: 2010-5-11 07:04
呵呵呵。有待研究。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
作者: clanswer    时间: 2010-5-11 10:16
回复 18# yihao 7 ]4 Y& e+ k! z. o9 w

/ g# m: w2 V5 @: p% o' f9 \* L9 c, b. _
    恩，很值得研究，呵呵
作者: clanswer    时间: 2010-5-11 10:16
回复 17# mightyrock
3 \- C+ ~/ [& ]* S4 x8 z/ \2 W  G& {2 T: h/ V0 r
' N, e5 z! B2 x+ H' n, u
    恩那，很牛的人，呵呵
作者: 东方明珠-WDZYQ    时间: 2010-5-11 11:48
挺有意思的，扩展了哈知识面了哈！！
作者: clanswer    时间: 2010-5-11 12:04
回复 21# 东方明珠-WDZYQ
2 X7 B' J5 a% A9 @2 [& `) y/ i) u! J% ~" g( c

7 o2 S: @7 b( y; ?: N$ w3 e7 n    恩，呵呵
作者: 李杰静    时间: 2010-5-12 13:14
进步。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
作者: 风痕    时间: 2010-5-20 13:23
顶一下……………………………………………………………
作者: clanswer    时间: 2010-5-20 13:41
回复 24# 风痕 $ g" {& E9 R' D3 Y- n

: H* \; ^* S6 a) {! e: Y9 {2 o1 Q% a! N" O
    多谢帮顶，呵呵
作者: zjqylcy    时间: 2010-6-1 20:34
为什么有的字被和谐掉了。。。
作者: 君华轩    时间: 2010-6-15 18:09
嗯嗯，数学真是奇妙与美妙啊
作者: gaoxian    时间: 2010-6-15 21:28
刚刚看到！真是不服不行！厉害！
作者: ylw346799252    时间: 2010-6-22 23:36
好深奥 看不懂啊 好像从来没见过这些问题哦
) r" U( E& h! j' K0 \  z
作者: 赤子心    时间: 2010-7-13 14:15
…………………………………………………………………………
作者: randy2009    时间: 2010-7-13 22:52
呵呵。以前学过第13个，，。。
作者: clanswer    时间: 2010-7-27 00:52
回复 randy2009 的帖子
$ l+ x( U( P8 U/ f3 J/ E( I
; [: ~) w/ d; T- Z, ?8 c7 p! @! P% o7 Y8 ?1 w
    哦？学过哦，不知道研究的怎么样？呵呵
作者: randy2009    时间: 2010-7-30 22:06
回复 clanswer 的帖子4 N! D# I9 w1 I

. G  U+ W* B* e& p3 D  V5 a8 k8 w3 L' {9 c$ j
    呵呵，没有，就是装在脑子里整天在想
作者: clanswer    时间: 2010-7-30 23:38
回复 randy2009 的帖子
/ [* w  b& ]' O! S! `" ?8 R9 i; V3 E0 _
' _  u  p3 Y) [  l* b7 x% w0 Y! k; f  f6 g0 n2 Z7 U
    那也不错的嘛，呵呵
作者: randy2009    时间: 2010-7-31 12:11
回复 clanswer 的帖子
6 c) w, `+ i/ n0 R3 V6 S
; t! Y# b5 A6 }" P. X' s
& u, _4 ?3 X: x3 j1 E$ u    哎，还是比较菜，慢慢学吧
作者: clanswer    时间: 2010-7-31 13:06
回复 randy2009 的帖子
! {: y+ t7 _+ x9 @/ ^, E. u7 K0 u# V" H5 c
+ c5 v( d1 z! x$ s6 A
    大家都差不多，呵呵
作者: 54321x    时间: 2010-7-31 18:28
签到………祝大家健康快乐到永远！
作者: sunyongfirst    时间: 2010-8-1 11:06
学习，顶，
作者: wajm_011    时间: 2010-8-4 14:42
有待成长
作者: wydssh    时间: 2010-8-17 00:22
犀利.....................
作者: dugumen    时间: 2011-1-29 20:55
作者: cauerin    时间: 2011-2-5 00:06
数学问题复杂多变，堪为我师
作者: 巧云225    时间: 2011-6-14 09:36
呵呵呵，谢谢。。。。。。。
作者: weixinmaths    时间: 2011-6-15 11:54
作者: 冬明    时间: 2011-7-28 16:21
学习了、、、、、  m" p( n/ k0 L: ]3 P
作者: 师长    时间: 2011-7-29 09:30
研究。。。。。。。。。
作者: okdjl    时间: 2011-12-17 10:39
好贴就是好贴
作者: 切尔西    时间: 2013-1-27 18:18
老师曾讲过希尔伯特是一个集大成的数学家，在数学中很多方面都有很深的研究和成果，很好奇数学家的思维和思考问题的方式
作者: 月乐跃    时间: 2013-8-17 20:43
作者: sleepstealer    时间: 2013-11-20 16:13
长见识中  谢谢楼主
( Q* _+ m: \5 o4 j
作者: XIAOFENG2013    时间: 2014-3-27 20:17
看不懂啊，呵呵。没事慢慢来
作者: 【徒步登月】    时间: 2015-10-1 10:16
科学求是，真心英雄！！: x  d* b$ _  V# v7 v8 E; _
作者: 韩康健    时间: 2015-10-4 21:30
棒棒的数学家& @8 p6 A) y$ a$ S( f




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