7 S3 ?! y) f' X" m! H 问题的意思是:存在两个等高等底的四面体,它们不可能分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等德思(M.Dehn)1900年已解决。 1 `/ E' R# Q' N ; s5 _$ I/ a2 ^1 [% p! n (4)两点间以直线为距离最短线问题。 6 o3 a2 ~6 b* F
2 b- k7 }# z. D. \
此问题提的一般。满足此性质的几何很多,因而需要加以某些**条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布,在对称距离情况下,问题获解决。 # j7 ]/ ~. J. O
# D, c. T3 F2 Q2 Y y0 g1 } (7)某些数的超越性的证明。 ; A! ?# O0 T+ @% K2 r4 q0 C
2 X) U. R. C) n4 y& A* h/ |
需证:如果α是代数数,β是无理数的代数数,那么αβ一定是超越数或至少是无理数(例如,2√2和eπ)。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider)及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前,确定所给的数是否超越数,尚无统一的方法。 7 i6 \4 I1 G& _
4 \4 W' G0 p$ w7 f; i0 W (8)素数分布问题,尤其对黎曼猜想、哥德**猜想和孪生素共问题。 4 |6 M- O" o1 L* h& a1 p# ~* K# _) F4 ?
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德**(Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德**猜想和孪生素数问题目前也未最终解决,其最佳结果均属中国数学家陈景润。 ^" j& y% E! \- c" \8 S : b* D* g6 d9 V" ]' E2 c1 x" z (9)一般互反律在任意数域中的证明。 9 H; S% |; m7 g6 t& o: H
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1921年由日本的高木贞治,1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。 ( Z1 @" T1 B, R 1 y W" } g9 U; \ (10)能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解? 7 H4 J. v% }# y0 M* c$ e i. j3 x- u& | d! u
求出一个整数系数方程的整数根,称为丢番图(约210-290,古希腊数学家)方程可解。1950年前后,美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取得关键性突破。1970年,巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明:在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果,却产生了一系列很有价值的副产品,其中不少和计算机科学有密切联系。 . i3 F% _7 c' S2 V* `, n
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(11)一般代数数域内的二次型论。 * \8 u! e/ F# `! }
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德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代,法国数学家魏依(A.Weil)取得了新进展。 $ ^& g7 x$ o+ _# D. b& F, G 8 B6 M/ @$ m# X& w# O$ v# m! o. } (12)类域的构成问题。 3 ?: A; V5 z8 S1 O7 r * k3 z. K) _+ y- O7 t& \" w0 ` 即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果,离彻底解决还很远。 ! |# R- m6 [5 m; x, M
% W& Q# ~5 n8 ?9 \2 W0 W. m. b (13)一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 7 M5 c+ m( n! B9 l
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七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c;x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来?此问题已接近解决。1957年,苏联数学家阿诺尔德(Arnold)证明了任一在〔0,1〕上连续的实函数f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9),这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数,ξij的选取可与f完全无关。1964年,维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形,对解析函数情形则未解决。 ( q$ P, s. O4 h. O- z
9 P1 t: L( c) d (14)某些完备函数系的有限的证明。 1 A+ z- E4 l4 \6 |) G+ R9 g% W$ s4 q6 z
即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…,m),R为K〔X1,…,Xm]上的有理函数F(X1,…,Xm)构成的环,并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]试问R是否可由有限个元素F1,…,FN的多项式生成?这个与代数不变量问题有关的问题,日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。 # g6 [! S D: Q1 h/ N- |* P. t$ g2 ?# {0 H6 h. {
(15)建立代数几何学的基础。 5 Y% X t4 H2 @" I8 y. e8 c/ m9 o# `" H" j1 s
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年,魏依1950年已解决。 1 ~) Q0 _9 u( z+ }3 C1 ]& `% g2 l# [( \1 Q
注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。 . T- R- r5 d/ g- E1 z0 @
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一个典型的问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。 / K$ ^. f& D; d# @2 @) @0 T+ A & q7 t' X/ K- S3 Y7 C4 M (16)代数曲线和曲面的拓扑研究。 & t3 W% W/ V0 k( t+ y: w# Y2 C" {& ~. m+ u6 h6 a |% F. w
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2(即二次系统)的情况,1934年福罗献尔得到N(2)≥1;1952年鲍廷得到N(2)≥3;1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3,这个曾震动一时的结果,由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置,中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了(E2)不超过两串。1957年,中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n=2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年,中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下,与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年,秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环,并且是(1,3)结构,从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题,并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。 / ]8 [- ~+ R& Q/ D0 j' ]
4 \& g0 U/ u$ Q7 u( O9 i, I* [ (17)半正定形式的平方和表示。 4 i0 r0 g3 T0 Y0 X" X( g8 A 5 m2 i/ y! W/ N4 t! C 实系数有理函数f(x1,…,xn)对任意数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0,确定f是否都能写成有理函数的平方和?1927年阿廷已肯定地解决。 % R8 R$ {9 z* V; l, X* A! V& ^. _7 v% o4 {* X- v# ^7 c8 X
(18)用全等多面体构造空间。 6 e3 R1 m3 N: y' s8 o% P0 O/ K # d5 V- l$ S" p) d" h 德国数学家比贝尔**(Bieberbach)1910年,莱因哈特(Reinhart)1928年作出部分解决。 [5 h# J. e9 d) w# X8 q L2 ~ N; o1 _5 M. o" Y, Q (19)正则变分问题的解是否总是解析函数? - Q5 L0 ]" {' w
- z1 F/ G4 m* z. x4 e 德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein,1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。 9 p7 ^0 X- n+ \6 _, A
# _' C( p. @3 G& l& M; o! K (20)研究一般边值问题。 - G, ?) j4 x& G& K$ {" [