7 S3 ?! y) f' X" m! H 问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。 1 `/ E' R# Q' N ; s5 _$ I/ a2 ^1 [% p! n （4）两点间以直线为距离最短线问题。 6 o3 a2 ~6 b* F
2 b- k7 }# z. D. \
此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些**条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。 # j7 ]/ ~. J. O
# D, c. T3 F2 Q2 Y y0 g1 } （7）某些数的超越性的证明。 ; A! ?# O0 T+ @% K2 r4 q0 C
2 X) U. R. C) n4 y& A* h/ |
需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。 7 i6 \4 I1 G& _
4 \4 W' G0 p$ w7 f; i0 W （8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德**猜想和孪生素共问题。 4 |6 M- O" o1 L* h& a1 p# ~* K# _) F4 ?
素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德**（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德**猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。 ^" j& y% E! \- c" \8 S : b* D* g6 d9 V" ]' E2 c1 x" z （9）一般互反律在任意数域中的证明。 9 H; S% |; m7 g6 t& o: H
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1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。 ( Z1 @" T1 B, R 1 y W" } g9 U; \ （10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？ 7 H4 J. v% }# y0 M* c$ e i. j3 x- u& | d! u
求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。 . i3 F% _7 c' S2 V* `, n
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（11）一般代数数域内的二次型论。 * \8 u! e/ F# `! }
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德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。 $ ^& g7 x$ o+ _# D. b& F, G 8 B6 M/ @$ m# X& w# O$ v# m! o. } （12）类域的构成问题。 3 ?: A; V5 z8 S1 O7 r * k3 z. K) _+ y- O7 t& \" w0 ` 即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。 ! |# R- m6 [5 m; x, M
% W& Q# ~5 n8 ?9 \2 W0 W. m. b （13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。 7 M5 c+ m( n! B9 l
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七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在〔0，1〕上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。1964年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。 ( q$ P, s. O4 h. O- z
9 P1 t: L( c) d （14）某些完备函数系的有限的证明。 1 A+ z- E4 l4 \6 |) G+ R9 g% W$ s4 q6 z
即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi（i=1,…，m），R为K〔X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。 # g6 [! S D: Q1 h/ N- |* P. t$ g2 ?# {0 H6 h. {
（15）建立代数几何学的基础。 5 Y% X t4 H2 @" I8 y. e8 c/ m9 o# `" H" j1 s
荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。 1 ~) Q0 _9 u( z+ }3 C1 ]& `% g2 l# [( \1 Q
注一舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。 . T- R- r5 d/ g- E1 z0 @
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一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。 / K$ ^. f& D; d# @2 @) @0 T+ A & q7 t' X/ K- S3 Y7 C4 M （16）代数曲线和曲面的拓扑研究。 & t3 W% W/ V0 k( t+ y: w# Y2 C" {& ~. m+ u6 h6 a |% F. w
此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。 / ]8 [- ~+ R& Q/ D0 j' ]
4 \& g0 U/ u$ Q7 u( O9 i, I* [ （17）半正定形式的平方和表示。 4 i0 r0 g3 T0 Y0 X" X( g8 A 5 m2 i/ y! W/ N4 t! C 实系数有理函数f(x1,…，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。 % R8 R$ {9 z* V; l, X* A! V& ^. _7 v% o4 {* X- v# ^7 c8 X
（18）用全等多面体构造空间。 6 e3 R1 m3 N: y' s8 o% P0 O/ K # d5 V- l$ S" p) d" h 德国数学家比贝尔**（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。 [5 h# J. e9 d) w# X8 q L2 ~ N; o1 _5 M. o" Y, Q （19）正则变分问题的解是否总是解析函数？ - Q5 L0 ]" {' w
- z1 F/ G4 m* z. x4 e 德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。 9 p7 ^0 X- n+ \6 _, A
# _' C( p. @3 G& l& M; o! K （20）研究一般边值问题。 - G, ?) j4 x& G& K$ {" [
