标题: 谈谈计算数学（转自校内） [打印本页] 作者: mzszrj 时间: 2010-1-23 09:06 标题: 谈谈计算数学（转自校内） 虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：/ U3 r5 `) m& [( S4 M: g; Y
$ H6 c) @$ Q3 F4 a
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调+ _9 Y A" b$ v8 E# l
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能* S9 K5 X4 B! {8 m1 Y
最好地说明这个问题：' M4 V( z/ x% B' ?( [; r
B& I# U1 G, oHow could someone as brilliant as von Neumann think# k" d0 s. d" K8 T& F" X; G
hard about a subject as mundane as triangular factoriz 0 u3 l% u2 T9 E8 x: P4 r( d-ation of an invertible matrix and not perceive that, ' e. `/ ^! l* r# G2 fwith suitable pivoting, the results are impressively& k R8 r7 M" a9 d
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on 9 L, e. M* R6 {: b# O' wexperience, concentration on the inverse rather than on . p" C; K7 G8 ~8 k5 P" ]* h wthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate. ; g/ }) S3 r7 W$ UWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a `) H) @2 ]- P3 k# X5 c
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem 7 k# r4 L" `( t# v0 t! b" [ Rfor at least two years after the appearance of QR? Why 8 K( T) { r# V" jdid more than 20 years pass before the properties of" z- v" ^+ |0 }) }
the Lanczos algorithm were understood? I believe that4 R q" D- N2 z
the explanation must involve the impediments to $ y+ x% c! c e+ |# Gcomprehension of the effects of finite-precision& L* t" M3 n& |; L' m: G. _$ h5 V
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf) o8 c, j/ m- P! j: f% S
' \/ \- z. x% x) X7 s' A7 x
既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所( g b( w; ]5 x
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康 " x! h' k3 x; T( A9 W! K院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 " M5 C* v4 W( {1 j" N只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当% u" I; g7 S: [2 U/ ^
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。! i9 a1 j+ \6 I) K
6 f9 n, t, x# \, ^ ^7 [$ `$ ~侯一钊（加州理工）0 t0 e) d& X& V4 y2 p' j, @, v
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流 9 B7 h3 J9 e: m2 bhttp://www.acm.caltech.edu/~hou/ 7 q5 ?4 R' d: T+ F, p + D7 s. Z$ P/ y8 n鄂维南（Princeton大学） * e4 W8 o/ J6 _* |北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟 6 M6 ^! q& |" b/ g3 [0 Nhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 8 ~6 x* u1 w* a3 Y) c6 ? ) r6 p$ i3 D0 e4 p/ O0 H包刚（Michigan州立大学） ' ]) D% ^& ~+ I- ~. G: P$ f吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等0 {3 b( g% u/ t& N. t" Q1 t http://www.mth.msu.edu/~bao/ 3 d. ?4 ?( B, \: M3 p/ s/ i" z6 A, o& e. N1 ~. E! ~% f
金石(Wisconsin大学) + S. o/ `' ~( i8 O3 A% \0 ^清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、 ; V. Z/ r' @, f1 G% P" a0 w动力学理论等 5 s z( r8 ], xhttp://www.math.wisc.edu/~jin/ : Y! g' E" u& f) P$ u# B
/ W- N3 }: V- j
汤涛（香港浸会大学） 5 _( z/ D( M8 r4 F. C3 X# X9 U( Q中科院，研究方向：移动网格法等 ( n! b3 v, g, C* F+ L6 e' ehttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ 5 s, E" g \, n" u2 R9 g% z) F3 t+ G6 M$ q5 S5 x. c# g$ B: T0 g
舒其望（Brown大学）- S, p3 `: z: k6 t$ j1 Z
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法 2 Z# w# { I% E( X. Jhttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html 8 ~5 ?2 g6 n1 k/ T$ O
) b) e1 M+ R& T6 k0 T5 Q6 W陈汉夫（香港中文大学） ' T( u. n: v/ H+ p; M% }8 I, q9 Z研究方向：数值线性代数 ( }* Z$ x1 R8 c, F; shttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ , N: e3 H- m& s 5 i: i: C; f# d许进超（Pennsylvania州立大学）, I, @; w& ~2 c! S+ r
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法. K' ~3 @. C! l7 F# m# {7 J http://www.math.psu.edu/xu/ ! K) l d% t/ n5 p, `" D 6 A$ R7 H, i; {) Y+ ?# i5 o" m5 ~2 j袁亚湘 ( v1 F0 n! k* f* a中科院，研究方向为非线性最优化 I! K3 v: `/ I http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ , V: Z; `: y2 B. K5 P+ J: s; T2 M 0 ^, c* o5 G% f3 V* a张平文（北京大学）+ m% t& l4 U' K8 G
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 : c) v: i0 T' R! F6 s# `6 l模拟、移动网格法等 * D; U4 @8 q' D W( Ihttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 5 Q- w0 S' S# j. r, @- j! u/ @0 l/ X+ \: S8 o" g
陈志明（中科院） 7 Z, |2 G" A2 m/ q+ [研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法4 S3 w2 I. [% {, t( B http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html . s8 L( [! k: y e5 c% P, U9 ~
7 y3 [: j+ B/ [" F7 T! N* J
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出; ~( P+ r y8 |1 q8 n( ~+ w v; m
+ o9 ?3 Y9 j; c2 E, P& g
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 0 a* j, h! {+ C是颇有裨益的。 % j( | I; c, q理论： 6 P* C8 r, H2 G6 m- i6 I最好的基本是 ) ?' L* U& z4 E4 H) Y4 mMathematics of Computation& i7 {, b$ u" X
Numerische Mathematik0 Y+ ]9 [- F! A# W9 ^: j; P1 l
SIAM Journal on Numerical Analysis" h( l4 |; J# C+ y
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications6 V1 A/ U2 P# \6 D3 _
SIAM Journal on Scientific Computing$ e) w* \3 r& o4 o! K# `
较好的有：0 m' [, {' V/ ~% q$ g" V R
BIT: j) I* m W1 A! I
IMA Journal of Numerical Analysis0 M" u$ j" n5 c3 J; _3 o/ e
Advances in Computational Mathematics& C! Q4 e$ Y- A4 r' C7 W
Inverse Problems ; w K0 e+ B/ ?/ S! g5 ~ $ |2 x6 H( u2 o+ C) Q# `1 @% s还有应用性质的杂志： ; V* k# Y7 W* u* BJournal of Computational Physics * z7 Q/ {$ F( [. ]International Journal for Numerical Methods in Engineering- @; O4 u8 Q9 N. t, @2 b
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering * e1 C; p y2 c. K2 vInternational Journal for Numerical Methods in Fluids/ Z7 E4 Y3 q; c5 ^) `
Computers and Fluids : Z# n* |1 n$ B( a' _( l/ {Computational Mechanics0 b8 K9 J+ G5 N4 Y/ c0 k
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of $ o6 U$ H9 X% P. gComputational Chemistry，Computational Material Sciences; D8 W n) u) [( }. n
也可以浏览。! H7 V0 A- j9 _
1 m$ y. f' Z2 \3 ?, x
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握 3 |. i- e7 Z( i了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大: `; L9 V {4 E" Z; I' {; F
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出 : a/ Q. p# B. K版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法 8 k4 l6 p6 T. {0 G9 j非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写8 y/ M4 _* H! [3 u
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy / _' l" z- J+ N, h) L3 ~; ]9 c6 Mstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等; o' W5 u; ]# H& U. v' y5 e4 ~' g
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我; G& z+ [# A I3 q! L2 `
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。' h- ?* \0 q4 H) i
/ c A9 f" H- T. E! g另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文( f) Z/ d9 E8 i3 T( S
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或- x' F5 n8 Z9 W5 y$ Z
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 7 r: u8 L- p! O8 I计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。/ p. ?3 H% v! y* @- m2 \
: }$ M9 @9 E1 d# W. x4 R% @6 D$ P
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以3 V' W' ^/ T5 ^# w4 e1 U
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。 1 B" b# M" T( Y( }! j' ]) d% ` H+ M' }$ Y$ J( Z微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分1 s( }0 h9 s% T
法、有限元法、边界元法和谱方法。 * H& r, H+ M2 {" Z% N" ~1 ?- Y8 M- f! o& d% A$ n+ ^& T
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程6 C) l% N" ~( p3 h7 J+ _
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。- N# j D0 |9 @9 f' O/ S
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value2 B1 Y& x$ X; w$ a$ U
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本 2 I( [. R* e( p% k* M3 S《Finite Difference Method for Differential Equations》也很 3 F1 u' X' N! |有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的* l1 }+ F7 Q# o* J7 _8 z; w
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 * W9 O# b* a. Y9 h4 B, P7 b1 S# ~外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律4 N5 @' P8 e! c5 D
数值方法方面非常出色的著作。& f7 }: @1 ~4 ?. [( z
6 G) D% Z# ]9 I有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method' u; E' a4 n* j! H1 t
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner" ^4 O8 O; T' ]# B# ? G. u, W) C
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element 3 R6 k Q$ c! S" D' o, EMethod》据说也是不错的。 ! z9 R4 H, I0 O% D+ d' C( T8 q p% p% L3 l4 f# Q/ i谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的 , S* f% W) ], ~( u0 [郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods$ M R2 |" z R. s
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有$ }$ r) i% x, X! b' u! s
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/5 ^# \- Y% Z8 q1 h( z/ N
）: F* T6 m6 _* n: K& g: E
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 ( y( `0 g: ~9 Y9 V* X1 K入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还1 e( \/ T' N$ H2 w6 Q/ F
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过/ j- i+ ~/ p {( t
不知道能不能再学校里找到。 " d4 V R6 I) Q D, g2 k; k% O; G6 G$ k* f/ ~+ g
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可& c5 \& Q: ^& m7 Q& w1 ]
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。' E( ^1 `" V+ m0 W/ }8 U5 }/ B
$ `2 o+ l% F' ` c) ^6 w8 r
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional & B% L s4 o( c4 r/ Y5 n4 h& D- {Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 % @ @1 c0 ~. F- P: F7 H0 f) [《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 6 C6 ~. K* V9 n5 g经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理5 r( f1 j' g2 c9 Z8 `: n% A
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东; n8 m9 w M; o) @4 o. X2 l# j
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。 + x+ }6 _4 M' c8 D0 t1 ` X3 s/ b这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 7 v8 B; ?2 q/ ^4 ?$ g出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛& e9 o! p7 J" s6 e( \ n
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面, k6 Y5 K& y, u/ S8 x( V3 ?
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。 8 N$ U* w1 O8 U& K9 j" L' O N3 b5 g3 T+ j9 v! m
计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 * \. ^7 o) B+ h& i. v体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没: A- P! j8 |* S x. [7 r
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。 $ U, [6 k. f0 a) F2 i , o0 _' S# D1 x' ]最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于% l9 f/ b1 u1 } q% _4 Y" R4 m) G
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下 # R: M; }7 y% u, h- V3 p面的网址注册 ; w6 b, Z- a/ l1 b. U" H2 w! c! m9 v6 qhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html M- m8 \4 V9 z# |9 Z4 d0 s F
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册 9 y$ o) |" W6 x+ e0 b- ?/ Bhttp://www.netlib.org/na-net 4 [5 X8 H% f& ^- i$ L7 {; ? ! |" }. v7 Y! J* o% G7 @! x4 I , Y2 b3 }8 I; V6 _3 p: J* U* ]0 b+ o& b8 n4 U8 S# U
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我 2 z6 }2 f) o0 f# \& s/ I# F记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆 " F& L0 D3 h+ M* I0 z5 P5 Q' ]$ G2 C都有中译本的。' P8 o! u" f# w( G3 D* S
- V0 ?. D* W/ Z c: q, ^
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师 ; G+ l# H' y' o在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐: J$ t/ G, a1 j. n+ j
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方 . {; d6 J9 a; L1 l, V: l向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面2 g7 k2 F% ^) p3 c7 E/ o8 R0 ?7 D2 q
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列 8 I: M$ e' d/ k( s4 y出来。 0 e$ B9 D, `# w* c* ?, D# d! c( i8 T9 M5 k1 t2 X9 m, j
国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。1 N$ z5 Z$ ^9 s6 [$ U& `
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, 4 Z) I) ^; z# ^6 w/ U: VHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面1 j% J* g8 D0 k3 O# ?- f# k
的大家。! q- j# g7 {, x+ m* c) }! }! }
5 I. p: f8 ]6 O# V矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The ' z2 o) x5 \5 y5 k5 P( ^. nAlgebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等 , U+ v* w% Y7 q5 l/ y5 A5 N' d人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， ( A+ T8 G1 z" i' ~系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是 & r( A4 z' L6 O. K/ C; k很有启发的。现在的经典是Golub和 4 e. Q+ m1 V; M5 ?1 zvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，+ Z% g& X0 ?+ U8 d B1 ]% t
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上 ; b9 A* g7 x. M找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear3 |$ f. q8 R( [! K4 C
Algebra》，Trefethen & Bau 的! B/ S y1 B% |: G
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef 1 G; o D2 |" w7 C4 SSaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》6 n$ }+ @* v6 V+ l% [3 T
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， & S1 j6 S0 G& u; z) V7 @; k( y写的挺有意思的，在他的主页 1 C) o+ d* v: p% A; h7 f（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/） 5 [, b; y5 I Q* x" i3 F; {5 L上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 ?2 Y3 ^( q' q) c书，《The theory of matrices in numerical analysis》 9 V2 S0 U# z4 {7 x" _+ V$ b7 M(有中译本，系里中英文版的都有)。) U: z, v' z* b
6 k3 Y& |$ |) B/ A8 i! |5 cLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典， 2 I7 _) [6 z' _' N, p* P前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，; n1 E( l4 j8 c! E3 v# u! k/ I9 v; ?
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference+ o, K7 E; `( h- ]( o
and Spectral methods》（在他的主页上可以 ' ?' X; `- K! O4 n% D+ z9 hdown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）1 _9 I; U/ X: ?( \$ u
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。- d6 d! Q, p8 j9 P- C& `5 O! g9 O: Y
$ s: V; Q; J0 C: I5 B他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经/ O/ h: H, ^6 c
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文 6 n- u1 ^4 i* C) b5 Q4 `献，也许对大家有点启发。' G# e( L& a; u; q* R
5 [2 m q" x) Q" D
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform - P6 O- R @" s7 Y1 G8 H8 z2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE u5 S T: l3 E' c$ K; a& A3. Householder (1958) QR factorization of matrices2 b2 D& H+ l2 p+ p
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas, T6 H: P3 b( J4 R* s
5. de Boor (1972) calculations with B-splines . m0 G! w2 B# z% K5 J5 D2 X6. Courant (1943) finite element methods for PDE T7 G" @2 m% V/ w% Q
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition 0 Y0 x) B$ d5 h- ?8 ?* \6 f9 i8. Brandt (1977) multigrid algorithms , U; l$ @! ], _! T# I) e8 l/ Z8 \9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration 9 Q( r3 `% u# m# j, n' e. l10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates# S. X" F4 f+ Z# d6 K) E, }
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE 8 H5 Y8 x" C7 M; J$ T6 `& Y12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.) `, ?% m+ h7 S. N
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles4 s3 U3 ]% {' {! w
0 G8 E, f5 L& P# P! @, Q- \& j8 f
他的remark也很有意思，We were struck by how young many# v% n& }4 x3 U7 p! l
of the authors were when they wrote these **s (average7 @5 l; E: R5 e: L1 W) N
age: 34), and by how short an influential ** can be $ k5 Y+ g1 O! ^+ S3 [(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家1 `4 K V2 w& u7 O6 h
都还是很有希望的，呵呵。" W: v0 J7 q: p w* W4 n
; ?: s* m3 B o0 V/ U2 C7 d2 L
不懂~~~~~~~