& E3 i. Q- X. L V& w. f有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程2 ]2 j3 D3 s: P5 e' F0 ~$ v( Z
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。; {4 `/ s% {$ ^4 X
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value 0 M5 }- U5 }. U% B6 A/ b) T. ]Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本+ o3 k; A4 I5 j
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很5 u& \, ^; Q& j! ^7 z
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的 % [& {# E1 o! I) L' R- V主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 : l3 b; B: \2 x$ O* j# O外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律; |/ Q6 N$ l3 ]4 `9 n4 _/ j S
数值方法方面非常出色的著作。% q& {" F# v3 C$ [
# |7 O! M0 C$ }有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method & t( D% P2 J! J% g" w- L: N3 Ifor Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner* O* b& u: |% H) W8 ~+ Q
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element) J- Y& j4 ^5 ?
Method》据说也是不错的。 * d" c" O% S* n9 C2 q4 E( ~ ! X& V- a, Y; b" O谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的, }# \$ K. d) R; I. O5 M9 y
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods 6 {) s4 t: I2 x: q0 Wand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有' o: E+ E9 F5 y! g4 y: Q
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/ 0 O- J0 }# i7 ]* A8 T5 B） X; \6 K) l& N, J# e, n& L4 k上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 ' w" U" R3 ?! c: M6 B" [8 u* Y, f入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还 ! K+ r# ?; ?7 \ t9 q6 Z有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过 2 g5 V9 H9 o `6 c' `/ m不知道能不能再学校里找到。 ; q; c# q+ ^! L; U7 Y% @! H4 u' V# t- C" `
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可 , ?$ |& t4 b `- K6 H3 y. j! m& s% O以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。 7 U/ R y3 j" n3 V0 h+ l4 t0 X% p# ?
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional; L4 x, O5 w' A9 H! t
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的7 g6 a2 X* c) |/ E
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 % G3 O5 Z( K; |5 F% l经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理 $ s7 `4 |. J8 g/ U: k在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 ) G9 ?4 a; w7 m% r( H& ^西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。/ A* B7 f1 ]' |& c- z; X
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 3 p6 U. G) x$ B* q4 g出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛, @; ^+ q: r p2 K7 L1 r' k
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 * i' @) M4 `) t8 Z/ z3 Y也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。7 ?% K% C" {, Y, P; R5 f
% Y2 B& |+ f' z& i8 N
计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 % V9 ]* @7 U0 ~5 u3 V体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没: N# n' h( r1 @' t2 S
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。7 u4 S8 X. A, ]
! N) J: a9 q) _5 H4 r" X
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 9 b7 O: E& A2 V3 D$ F计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下 ; u: o/ x0 r5 ^9 G" j面的网址注册 9 C# ]9 r) |# A' b1 q+ K9 Mhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 2 @2 l7 z6 M' c! d英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册/ [; B: `3 M) \1 `% s http://www.netlib.org/na-net 0 i ]( G# d( \' E) c: i( U- x- I
) U7 l4 U$ M# S) P3 T! ?
5 ]9 z0 X3 Z. }: J9 E+ i7 o 0 K3 J( E0 }- ^& Q% I6 ]( V先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我# I5 b R1 f& o" S3 a( Q: ^
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆9 L4 C! d2 Z( i4 ? F' a& s' A+ J
都有中译本的。, a) ^# @- x+ E) K6 D6 S& b
% }/ h. ^ l6 H2 K/ C
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师2 F2 T, \) Y s" I
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐( }6 ]/ a, v6 y O7 K; E- D
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方" N: R3 m6 u P) z G" ~
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面6 ]) }: }1 T* y! w. d
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列5 _4 O0 t# d& F7 q( B
出来。 3 r% m: A0 V- \ 9 l1 Y7 _1 B/ f. ?3 v( J2 P; \国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。 % k+ q& N; y; p `/ HKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, 3 z7 Z# I; s: hHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面$ g: P0 {1 l/ c& x- n" P
的大家。 # J+ R1 @* W# Q. H . I" x9 _$ Y$ W( {3 g$ i5 t% p矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The U( A$ e% \- [& t5 XAlgebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等5 X5 W! D' X: Z$ O; F1 H
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，# ^6 ]. u9 |+ ~, n3 V6 K
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是 1 |$ A/ i3 N: U9 Z" B很有启发的。现在的经典是Golub和 $ v7 T0 q9 f/ ~# D qvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译， : k8 B. G0 f6 f% c8 f) ?. f9 c1 W8 B《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上, w* p7 ^3 _2 ^5 |% y4 R% u+ f$ `
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear& }8 J! ^" A, x
Algebra》，Trefethen & Bau 的4 d, p8 M) M+ r' Z3 J
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef5 ^8 |! D! [* }9 z: Y4 I0 ~
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》 - B! Z/ O$ \) W; z2 T1 z和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，$ S2 f$ R% J n
写的挺有意思的，在他的主页& D$ g1 P4 J+ _) b; @+ w
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/） 6 m3 V$ }+ O' J; w* A$ Q上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老6 v$ n% T5 y1 M/ R9 c' V% j& ]
书，《The theory of matrices in numerical analysis》# v8 i1 Q0 l/ Z+ s( T2 ?4 h
(有中译本，系里中英文版的都有)。 6 w1 e/ }, g- [( O" N: ^: `2 u 4 \% g5 E; {2 I7 i0 X/ NLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典， 0 x3 y4 B/ N; P- i& L前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，0 v$ `3 q* C' f L+ B% t: Z
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference$ D/ M& r7 v* k. g
and Spectral methods》（在他的主页上可以 * _; j+ F- Z" G+ P* Fdown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）2 K) {8 X* v+ e n4 x/ _& `/ q' Z
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。8 \9 _; l# Q/ g) c% k4 l
' m7 ~/ ?) l$ Q$ Y他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 ' Q# R6 }* b3 z* l* Y% O: i J6 S典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文1 P7 p* s$ Q5 r/ ?! o8 h
献，也许对大家有点启发。 0 n" e/ ^, E. _! G, i " S, f r6 o3 k& t1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform/ M5 l- }9 X& [2 Z
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE3 l) L! G- G& m* @4 n9 R* i4 o
3. Householder (1958) QR factorization of matrices( g) l/ [- b/ e- i. d+ e
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas 1 \# ~" x* S1 ^1 u c% n% x4 O5. de Boor (1972) calculations with B-splines 4 A$ k+ a0 w, ~( D2 S+ u6. Courant (1943) finite element methods for PDE - g' j1 s; ?% P; J7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition 3 x e4 N/ O- p) P) f# S8. Brandt (1977) multigrid algorithms6 k+ o* n& h& D& n" v. |3 k+ s* u
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration7 x: B- q0 {* f* v8 W; Y. d* P0 {
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates 1 B0 H* c: V% Z7 K4 b" X11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE0 w5 c5 p$ F) c& E1 o, S3 b( H
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog. i; q" F. C% d: Y P, A. R- `13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles 9 T8 i! E+ u! m0 _0 X( Z8 X$ j% k: N; c; f9 w
他的remark也很有意思，We were struck by how young many0 H l6 N. J# q/ M
of the authors were when they wrote these **s (average0 `' r7 y; c: [
age: 34), and by how short an influential ** can be/ W" E B- k% v1 w6 I: x
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家 3 q: i9 }8 V9 d+ ], z都还是很有希望的，呵呵。 % ]9 v8 d( u. y+ U- g- ]3 D/ g8 r$ z
: O: _/ _: ^( x% i& M: u
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 ; a' |' n( j& G1 S / ~: B& X% N9 D2 T) F4 m9 F2 x几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed 2 j" o/ Q! X/ t% p0 v3 y; Z' |" P/ L* ^+ a+ M i3 c) A
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前 % X# T7 }" M2 p4 I: @ t0 H; H; X5 k) ~* q
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂- b4 ]+ J( A8 }- A8 u$ W
5 j# ^2 `0 G6 u& m, s& D志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的4 X4 X" d# v8 P' \- J+ l0 R
: k' G) o' O+ \, R! P( x) H
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical; H g. K. s9 A3 K7 t+ V" Q l+ f
m6 Y2 e8 \/ A$ |+ V% K
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM " ]9 O# \1 F9 R) X 9 o/ e+ ?2 C' Y# hJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on7 N$ ]; `/ ~& i% z* b. a- x# P
不懂~~~~~~~