标题: 谈谈计算数学（转自校内） [打印本页] 作者: mzszrj 时间: 2010-1-23 09:06 标题: 谈谈计算数学（转自校内） 虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内： ) B& D& V9 a5 Y8 b ' P. o/ O. N) u! m4 S从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调 o8 T. O0 Z+ `( B' ?8 Q了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能 % n+ `1 k; F" H* b最好地说明这个问题：. v7 h( y- F) q @& x5 |2 A
/ ~6 R- Q/ T- a" ^$ v* C
How could someone as brilliant as von Neumann think - J5 @7 U! ~; v9 Y# \" |- ahard about a subject as mundane as triangular factoriz 2 c0 |: z( i5 l6 H-ation of an invertible matrix and not perceive that, 5 W3 O' s& c3 t+ R7 ?/ zwith suitable pivoting, the results are impressively + u# d$ J+ h7 A5 ggood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on + T, Q' Q0 {$ E- J$ |experience, concentration on the inverse rather than on / W, {" m0 E; m- W0 Othe solution of Ax = b -but I do not find them adequate./ t/ [) \: ?6 G9 ^6 o2 R$ q4 n
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a 8 W% F4 A4 X& B* N G% k9 D6 zLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem ; V; ^# |* N$ y, b. d6 wfor at least two years after the appearance of QR? Why. [2 a) [) c( m! o# m1 C
did more than 20 years pass before the properties of * j) { g' A# F3 gthe Lanczos algorithm were understood? I believe that * J% Y6 q3 j' C7 O: M+ xthe explanation must involve the impediments to 9 T$ X$ Z9 A3 b8 m; E3 Z/ Vcomprehension of the effects of finite-precision2 R8 E: j$ c" w* ]& B' K0 }( A
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)4 u$ H- |3 Y: _ _7 F/ ?" G
" [2 s* _7 F6 n* C6 X既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所 ) r$ Y q1 _2 S了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康 0 U6 `5 d& K( N) B7 _院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里& w$ u7 Y8 T4 a3 r; c1 F) S L+ e0 T
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当 0 V& U1 Z+ z, R5 ~前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。 : Y: g5 k. u2 `4 Y) v! Y6 e/ u5 g) Y t$ d9 i- l
侯一钊（加州理工）% l, U6 ?. e6 Z
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流 1 h) p& C" |4 @1 V3 [5 Vhttp://www.acm.caltech.edu/~hou/ 7 Q1 _1 b1 z/ t" S& J7 j 3 \& d: W+ N' F+ P! B鄂维南（Princeton大学） - o) u7 O3 V7 m4 F北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟4 g1 i6 }- h' z% B1 x" Z http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm ' n, w/ `& n+ r" Y0 g0 L: e % a8 C ^. o% o/ R T' i% R% H包刚（Michigan州立大学） ; d) y4 c* F% I2 O/ x吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等' O5 b. {$ V& M: g http://www.mth.msu.edu/~bao/ ( o' k# x: O: }0 @ `; s6 C; K/ o6 G z# B" E" M
金石(Wisconsin大学) + T9 s! d0 p) }7 ^清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、, O- s7 F2 H3 L3 f
动力学理论等 $ F9 R5 x' u1 L s5 O, S% nhttp://www.math.wisc.edu/~jin/ / P8 d9 z* v" e4 I G 4 C9 ]/ Y6 h+ j8 D6 L. m1 q汤涛（香港浸会大学） 8 f2 z. {, j7 I% A4 m \中科院，研究方向：移动网格法等9 z, Y. y6 ~, G$ C) N$ e http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ 4 O. L1 I4 V, T* l
3 d6 _3 I. s5 U1 e- N; e陈汉夫（香港中文大学） ( u g0 K: s4 W# X7 f) _4 e研究方向：数值线性代数 . L# I7 P- Z, h4 N# khttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ 9 [) F! X0 D) e) G9 [
" Q+ _7 _( c; r8 _8 ?3 L
许进超（Pennsylvania州立大学）: n, J' X4 F ~
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法9 a3 U" V {5 V7 |$ M/ V http://www.math.psu.edu/xu/ " k# v. R5 f( q
3 ?7 D, L+ `0 J6 g5 D袁亚湘 g, |% g& Y5 G. o/ j中科院，研究方向为非线性最优化0 T* D# D @5 j- A$ X2 t: B2 v http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ ! ^. L# Z+ m% E* C9 u% h+ ^9 I8 I. y
张平文（北京大学） + ]' {/ H0 z' m! k" c" }( k北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 V% l- q8 ]# l6 Q# }$ a% K9 E x
模拟、移动网格法等0 _$ R" t/ C& K8 P http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html ! N1 ^; q$ O3 V2 {$ Z E) M" m
1 M* n! @% N) j6 J$ m( E
陈志明（中科院）) C \3 V& r( c* {
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法1 D+ D' o3 K& p* s0 o5 `4 F" n http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html 0 D; w p* _% e1 {1 Q
( t; F% f; }$ @其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出 ) G1 }* G% X" F$ z( e8 b" |( h) z, e" t9 ^
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 ; E* I6 Q6 \: L是颇有裨益的。 3 X7 C( t6 `- U% M- \/ V理论：. b8 O& R: w/ T9 B4 p0 A/ M$ H
最好的基本是 y' o# s6 d& N
Mathematics of Computation . f5 M% @2 e" V+ M& lNumerische Mathematik 3 h+ G$ Z8 L% j( f/ ]SIAM Journal on Numerical Analysis9 y: ~4 R3 f1 L' Q4 ~5 c
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications! @- X1 h3 @+ q1 {
SIAM Journal on Scientific Computing 9 L3 e7 W h* {5 Q( r0 Q: w/ V较好的有：" Z1 ?8 O8 |4 G1 X0 K* K
BIT $ O1 j( i3 R$ tIMA Journal of Numerical Analysis2 e6 u; S V& g" L; ]
Advances in Computational Mathematics $ W& c; D/ Q1 i! PInverse Problems ! ]2 Z6 o' N! ~- Z; t; f " ~) H! k; B, S- l还有应用性质的杂志：# R1 }6 ]" k# M. P' i5 @
Journal of Computational Physics7 z6 N/ i! a! k- o3 U0 x5 X- x
International Journal for Numerical Methods in Engineering / h( @+ j; C7 p' |' @Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering ( X$ k+ ^ A4 w: R( |9 u+ p6 ]International Journal for Numerical Methods in Fluids 5 b5 ?1 ?$ d& Q0 PComputers and Fluids ( }4 ~5 {% `5 d$ u6 `Computational Mechanics6 e ^: |2 X E% g$ {; n! \
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of& ?: O& `- U7 h+ K; u L' O! N
Computational Chemistry，Computational Material Sciences v+ U# s- U5 g
也可以浏览。 $ G7 O% s; W' D$ g" K! C8 g; O3 |4 n; C2 X, @
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握 3 Z5 A; {4 H. o' x% b了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大8 v6 m" ?. k6 g- f/ c9 Q+ o3 b! U
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出 0 s9 h2 Y, f9 j& r6 {' h版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法* |$ k* F9 J, V% u: m
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写 , G- Y5 ^8 z B的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy 9 x! ?6 Z; D6 Ustability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等3 P7 C* N5 Y% [8 A$ v& c. D
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我 2 F3 o& R; M% j/ ^$ n$ c" ~2 d这里大概也有二三十篇，可以提供上载。6 e) N) L+ x0 `6 g1 ] H
) D) y/ E& j' k6 ?& ]
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文6 M1 N( `9 S( i/ O
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或8 r2 K/ _% a# a6 f
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 * V, B/ @) d7 _. i0 T' m计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。, n, d* e4 c- m1 a" _) M2 ]' Q
6 K" s T- {* a& |作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 6 G8 x; t/ W+ e* N" s/ d+ J) B$ y9 [称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。9 ?" E& X ?8 [7 a
& T3 r9 e" w4 h) h& o" h/ z" X( ?+ u微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分! y! K# {( f" I) ?3 n
法、有限元法、边界元法和谱方法。 4 m3 J* j" O5 P& x1 U 5 T* g _, J' R1 e: J4 ?6 Y有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程 0 H; B5 F7 [" C" m; h) O0 F$ Y/ u数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。* U$ g, K+ P4 Z2 E/ w" W
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value- ?5 o: r/ Z# z& `7 b
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本 / j9 M+ h/ n, I《Finite Difference Method for Differential Equations》也很- S) M5 {0 ?" D! \3 R- U/ {
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的 & m3 \. g4 v4 c主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 ( G6 v% i! E: D/ J. t( E3 H6 E外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律! M3 E% [. h1 ?) o$ E
数值方法方面非常出色的著作。 " J' Z& s) P# \# R4 c3 u/ A* }& _/ a9 b
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method/ N- ]3 V; O& v+ h, A1 v
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner3 C( R" X% |1 `9 `. f. q
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element7 x$ o: s; S6 E0 F p
Method》据说也是不错的。# n* \: I9 F( o' t6 ]2 h( o
1 x7 o- s: a* r( M C/ M9 ^谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的; x7 R8 w( ]( L/ d# ~# L# @. x2 z
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods% U, J, [" W! m1 q* v' x0 H
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有 , {- a+ ~/ S) J! D很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/9 I8 i+ a$ ` T
） ) @6 J' J9 N$ u) L0 s上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 9 y+ ^! S6 Q& F& ~+ z c0 u+ |入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还 / o4 N7 X! C# I3 j: C" h# {有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过& W$ Q5 b* u. `) E0 w. N; e
不知道能不能再学校里找到。 3 E7 b9 p) C7 X% A: S. G2 O. R7 {0 g. v8 f
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可 ' E3 N- u7 l) z: D3 c9 Q; X8 z以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。 Y# p ]. _$ \& v d2 C. N7 ?: I * U ]2 ?! E& W" C3 T6 h计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional( g1 f4 p, X& A! R
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 % d- K0 b( c( J6 A. S《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 8 @ b! i- x% G: l1 X. r& ]经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理. Y8 d6 d4 e$ _: {) L0 \! z% u
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 ' d% b/ |& Z5 x) v7 p西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。 ' N" }" a" H0 m: @9 q8 I这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 4 z' L, [# R. a5 C) Y7 z: t出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛5 F% |; x# Y. }
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 ) P) A& e4 ^8 ^ F1 f也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。3 W0 ^2 o. C/ [, ^; V7 q: ~
( V% ^- P8 v" I. H! d ]3 A5 w计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流5 B7 [) q; g* {. U" }/ e @
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没/ h$ C- n7 V* ?) r0 O7 A: c- ]
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。& O0 f' X. Q& A8 V5 k8 z
7 o& h) \- ?6 t1 ?% n. u5 W2 c
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 ( g7 M0 Q# |+ ]3 F* j计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下! f! r# U% m2 _1 ~; P
面的网址注册 - Z" Q% U. ~% Q4 w8 \1 i5 n- Ohttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html / ?7 b: ]3 n2 {# \5 z t4 `" |
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册4 h% P# O3 t7 { http://www.netlib.org/na-net 4 B' e: F* F" T" P7 @; }, J2 ^* v. a6 B7 [" O6 ~& V. j
- W5 A$ W1 t; ?! J: U% q+ T+ `8 K( H3 n- v3 l. G0 [+ U' [4 A
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我 u- o3 f) M+ {+ D$ ~0 }% `记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆0 Y( X1 p' e" f7 u4 P2 p
都有中译本的。 4 ?# g, |' C# S- C, p. d4 a 3 S- ]: X2 e4 t/ n( A4 N; C. r8 W接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师& {0 Q" L2 R! E% L' G
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐 5 ]( B0 ?9 S7 j* v2 j树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方3 I# c- c2 N" {* o
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面 4 H. V4 T$ f- }* C+ s6 \$ \ r有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列 * X# d3 Q% s% Y t8 J出来。! j1 p3 h+ A. D7 f6 b" U/ j
) k7 x$ J2 u3 o. H国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。 5 H- j3 I. Q: r; GKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, & q* ~/ H- A1 D. I7 t! r4 HHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面0 F2 q5 A3 B' T: {
的大家。 - Y. T) p/ V3 k6 o" ^: ]' [% ?# s- l
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The, B [' d0 {8 W) n3 \) I$ |0 p
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等 * f( J. c6 v& ?1 p8 ~( Y( ~; l) H人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， i4 x! p: Q" n系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是 . T' @" j% `+ k# t# D/ Q q- N很有启发的。现在的经典是Golub和 , A# s" v4 u7 a" D& H% gvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译， , i8 v! l" T {1 n7 D2 v% J( f( r+ X《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上* _- F" B0 k9 O' Z* M0 d
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear& D Y6 U2 e6 T h4 N& Q6 }' {
Algebra》，Trefethen & Bau 的 : a" f, e3 R @《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef * m0 L0 I# G& F1 e8 O$ HSaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》* }1 S! i3 H# N& M e) R' l
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， 4 n+ U u9 P+ w' C+ v2 b写的挺有意思的，在他的主页 2 ~1 Q5 M' n4 y（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）9 l8 r8 g" z+ E: r7 S* O
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 ! L. m; y( {# @ }# ] |% ^书，《The theory of matrices in numerical analysis》 8 L6 d6 G" ^5 p; T: U& ](有中译本，系里中英文版的都有)。 ' ^5 v R2 o6 }7 T 3 D. u* j4 R% A( J2 M) Q) kLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，7 x' K. j3 c: ~7 ?
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》， . V( U% f2 b. c2 N# j& _《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference ! s1 \1 a% N" M6 hand Spectral methods》（在他的主页上可以 % j% o0 e+ M" H7 R, edown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/） 9 _9 c- l l: m。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。 ; {0 X) d5 M/ O9 _. l K ; V0 k+ O7 F ^ o他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经( V" f f* k* m0 a7 v+ @
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文) O0 H( [% ~) L! u" x7 t
献，也许对大家有点启发。 ' a" f0 v3 b! u8 Q$ y 6 B. ~. d* X4 [' \. A: f1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform& l O, k# ?8 D! }" f
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE * N9 K8 G! w j3. Householder (1958) QR factorization of matrices 4 L) _4 A! s- ~5 R8 ^* d6 k' ^+ o+ \4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas , c1 R& B3 F8 y7 Y# F5. de Boor (1972) calculations with B-splines - `4 a2 e7 r0 W/ M$ l6. Courant (1943) finite element methods for PDE 8 c" C- W' g6 c# a( t/ c+ |! p! ~7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition . f4 L `1 Z' p; @7 J; Y! S {: z8. Brandt (1977) multigrid algorithms7 R6 k/ k0 J, x/ y! q
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration, X! T- V) |8 C5 T! T
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates 3 w( b' g5 h% c! e: {& G( x11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE) X' V- b8 V f2 i) {' P5 e
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.+ g- T5 x* ~; l4 m* ^. K
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles. ?- O3 S4 x* g. h# A6 L
- y7 {- K3 l+ {* X/ r+ \2 V& B他的remark也很有意思，We were struck by how young many' P' t/ {9 e% n# s9 p/ R" F: I
of the authors were when they wrote these **s (average 1 W- `" @% H" K; ^& lage: 34), and by how short an influential ** can be$ w# h! I* p- ]* e4 `1 s0 @ X9 O
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家 6 y, O% H2 h# m+ m都还是很有希望的，呵呵。/ \0 L: T- v9 s" k! [+ t
, i+ {7 H0 O8 Q+ }4 u) I, y: ?2 |
: a. Z, b" v- W! }1 h反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 & v, W% `0 g' T% }9 v$ |# M( u9 D- S+ _; i8 a }' z
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed $ P( \* E. v! T ) I* u6 u- w% S( o) u+ ~6 yProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前 * e5 H) Y$ E; l, ]0 S3 x, j6 l ! C- ]/ ]% ]1 R叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂 % E" |( f+ n% |% Q$ J# E$ H: f" @2 Z; |* O; V
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的 4 Z1 e: `9 ]1 L$ }! ]6 } ]5 u8 a2 m9 h6 H
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical 2 ?( s; t+ Z; { ~ 4 r2 s, \" R% B/ V0 h4 D. j, ]Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM4 s, V! [% d8 f$ {. ~: l; z
0 d& {) c D( ~' a) @6 O
Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on . Q% u2 ]9 O r8 o' ?- e$ U6 _, c' F8 _; l* d' M8 z. F- I) e% Z
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。( r. h4 Z* h7 x- k7 H1 A
' d$ y. c* D) |$ H2 D ?在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问 : c/ N/ x8 F/ Q' D! U/ H: u 9 ^$ M/ u( ~8 F) P1 z! ^. I# a题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好 % L7 F6 o: J+ I& Z4 Q6 I( H5 x+ _
的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他# `' K8 `+ z& k
) E0 ?6 d) T' L7 D8 u2 ?+ A
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW" A" ^% L, H$ }1 I7 U2 w8 u: s
8 W7 |9 h; `8 T7 c, Y, XEngl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin% l1 }' Q5 B6 h0 c, O
不懂~~~~~~~