数学建模社区-数学中国

标题: 谈谈计算数学（转自校内） [打印本页]
作者: mzszrj    时间: 2010-1-23 09:06
标题: 谈谈计算数学（转自校内）
虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：/ Z' `& H5 j* A# |6 x" Q1 z: x6 l
5 X9 {5 Y: ]' Y4 ?
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
; p" `  M1 H4 `0 K3 C: w了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
+ \. Q; O, w$ x- n最好地说明这个问题：
: `/ Z+ V2 M; ~8 B% G) o( Z' z. e% ^, z$ h5 s$ _
How could someone as brilliant as von Neumann think
/ D( ?- [( v  O' dhard about a subject as mundane as triangular factoriz
- O  U7 {) D" Y) C) @( X# I-ation of an invertible matrix and not perceive that,+ a4 ~# W5 D3 i6 }* e
with suitable pivoting, the results are impressively
1 v* }& r7 i) l; t+ g" S/ ?1 mgood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on) Y/ _5 V( f8 Q2 K, @. V) {
experience, concentration on the inverse rather than on; ~7 ^4 \, @4 ^
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
# j- ^% x$ l0 Q! Q0 {Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
( [# r5 T* C# Z. Y' J: Y' NLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem3 n/ o, `; l) F& d2 U& \3 F! H
for at least two years after the appearance of QR? Why
1 w! S3 H9 ^- I( U+ E0 X2 E. n- S$ jdid more than 20 years pass before the properties of1 I; r0 i% b5 T# B- ^; l3 T
the Lanczos algorithm were understood? I believe that0 y, j* |( [# R
the explanation must involve the impediments to
; d4 g8 w9 F$ @3 Gcomprehension of the effects of finite-precision
& Y) d5 N. C5 Y4 B* t  [arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)0 p( l# s- ~& o, \  d

, `; T6 k# T8 q$ N  F6 Z5 f既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
8 W! @- z5 o5 H, a4 I2 {$ {( ]了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康) e& ]8 \5 L0 o" n/ O# ^6 s# J# g5 ~
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
3 W2 b1 Y' o3 c/ Z6 w* M# k" b只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当/ p' P/ T6 n5 e0 Z
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。1 k7 K7 b0 e0 X! N1 `
$ j4 Y) |8 o  a3 \8 h" G4 j
侯一钊（加州理工）
4 a0 w, \0 E# ^# F! a3 }- O* Y) F) ]研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
. z8 e4 f3 m" G5 ghttp://www.acm.caltech.edu/~hou/
5 M8 E* `, {" j( c; C6 h1 X9 h9 s) P) Y3 s3 Y" U4 W. |
鄂维南（Princeton大学）
! I; `, d1 P0 q6 C6 ?' U7 o北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟0 H4 V% n; W- g% e. `+ E6 z7 u/ Q
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm
0 ?& p% B  N2 H$ F" I
  [3 |. r* l) l9 F: d( U* m包刚（Michigan州立大学）6 H0 |  Y4 L! t8 @. A
吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等8 S4 Y5 p8 ~! Q5 y( [& n
http://www.mth.msu.edu/~bao/
% {# g! C2 t$ O8 Y  M* x& l  x  B$ O) z
金石(Wisconsin大学)
; C0 m5 r" {* ~+ P2 C清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
- [6 X+ r9 ^  f动力学理论等
/ {# _+ U) \0 q# O( t- Ohttp://www.math.wisc.edu/~jin/
' f+ z' |& i& n, @1 {
' m* m; h0 y: _. n& ^& K1 r汤涛（香港浸会大学）
& N2 G: q! A' v0 B1 b, r7 M中科院，研究方向：移动网格法等. H& v+ k2 g* ]- ~% G4 D% \! ~( M
http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
0 a" E" L2 v8 y. k! P: I8 O: j: m5 v8 w" v) X
舒其望（Brown大学）3 P+ b5 S2 j  [0 f
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法5 ^( A0 T6 I* ^: Z
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html % F% D4 }6 e7 K. i

0 @' i6 ?$ h: W$ v. v陈汉夫（香港中文大学）
! Z) W+ Z7 a8 O: Q( P1 @7 c7 c研究方向：数值线性代数" l" X6 ^" ~9 o$ N! p2 z: |; d
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
) C- f: J, O' ~6 ~+ L3 @& d
5 D& a- v; Q1 t  e8 k9 e+ M* n许进超（Pennsylvania州立大学）
. Z% O  |8 ^: R) j% z0 n北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
4 F  R  }: B; j# D; n& f! Whttp://www.math.psu.edu/xu/
0 c, M8 H  O4 n0 E# t6 j5 c1 h+ ]% u0 O- a) \( H# T, W. v
袁亚湘
' s! D% l& m% x中科院，研究方向为非线性最优化7 ^  T; r2 A" C+ j% ^5 K
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/
: B, W. f" I: i! G) U
/ r- z9 q6 u  S2 q( q4 N( [张平文（北京大学）3 i/ {/ d7 ?1 U0 o9 o) Q% h
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与. w* l2 c  ~$ `4 C3 p
模拟、移动网格法等
& @. y& u4 G/ |( \http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html ( q7 ~0 N* c; `' J
+ _% P: ]0 ]% m
陈志明（中科院）
, G! r: s/ e% o研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
3 \/ Q! k& N' r" ~+ Thttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
* T2 W0 x' v& ^1 }- {7 j! O3 f4 h) \5 b& I$ K
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
- Y4 M' f5 W  w. U! q6 Y
2 O* X9 B& {3 H1 L; b& M作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许9 m* R  L+ I, K# X2 f9 m
是颇有裨益的。
3 S! m+ X! b# ], O9 e) Y* Y5 X理论：1 t( G0 ^2 ]3 P3 e( g/ L6 P2 ^
最好的基本是
' q1 l+ d1 Y* D# XMathematics of Computation8 ?. F& _$ k; ~# F* V& j
Numerische Mathematik3 |- f( H& |: b
SIAM Journal on Numerical Analysis
3 B* `! O1 S% R0 L0 r# H8 rSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications# U& i. Q( E$ f+ |' \4 L
SIAM Journal on Scientific Computing! p+ [$ M; v. I" N7 e; n& ~
较好的有：
( ?; @2 y0 I. YBIT8 c' S/ Z: v: E; }' k$ ^6 ]4 J
IMA Journal of Numerical Analysis
5 n1 M* q$ i( |! r4 kAdvances in Computational Mathematics
9 }; X; _. |3 wInverse Problems4 p" G. H* i6 ?0 x4 A1 V. j* N

, o8 w3 U! T& {% w9 ~5 L还有应用性质的杂志：- f9 n- v: H9 G! G" C1 N9 [3 u
Journal of Computational Physics
6 H3 r1 t3 e9 N2 i, B, T1 s& `International Journal for Numerical Methods in Engineering
( R! _% }0 U, s5 i3 F" A; e* HComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering
0 p: M# q6 D" Z4 l0 o; GInternational Journal for Numerical Methods in Fluids
; [% g1 A5 @9 X! [8 b% SComputers and Fluids. F0 A% ?: L% s3 a+ }: s4 r
Computational Mechanics
( N" r2 e9 e5 C+ p% t还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of7 T( m, V, h, I) o; K
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
: |- f9 t1 i$ E  A也可以浏览。4 N/ U. y7 f% [1 K5 Q! O6 O

8 [3 V# |9 S: j: Z  N! W但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
; @  W- {- U: T1 F# i了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
8 c' Z% c3 M5 x学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出* X! e. e9 O- [; [. E; U
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法1 r4 }! F# m* _* h' b; j$ z8 S
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写- j8 e# @5 v. m
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy% H9 u# W5 Q) r" O! Y5 b! T7 E; d; D0 B
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
9 W0 ?/ z8 g( v等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
3 Q' r8 A  J/ a* w5 B; F- }这里大概也有二三十篇，可以提供上载。: }) X/ g2 Q* P- \4 ]( |

" e+ S& y# x" z9 a' p/ E另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文% g  q0 c) K. U4 D  o: W  `
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
+ J7 y% n1 _# F8 `" q8 a( k者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
# B% Z1 z  D. Z计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
' t4 q8 `/ h5 w8 ]7 J* S: F) a, U3 ^. E8 M4 u
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
( r- X3 F. d  ~* k* p称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
' o1 [. P, P1 |  g" v9 E7 F! L* W, E7 a: Y8 s7 X. _: M
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
' z5 e; N( C2 b, o4 k! h# c法、有限元法、边界元法和谱方法。5 h( T2 a- ]( w- R  N

7 `1 _1 K# ~# ^% `有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
, T; M+ s2 r8 d( d6 R数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
9 k8 j$ s6 b, d, k# k) x* o. sRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
! k- |$ K/ |) }( J  O- YProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
, b. r* k8 |& ~0 N; r  p3 ?《Finite Difference Method for Differential Equations》也很. H* g, s, \) |! a! ?+ C
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的% O5 V" c7 s- N
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
4 B, d) J- N- \, ?: j% W- t% h外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
; n9 B& d: N* n: d数值方法方面非常出色的著作。
* Y7 F" K5 Z( O" l% i: v
1 _# M: l- Y' p! n( s2 R' b8 O有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method; `8 q" f; n/ {* b( }5 `6 U, {
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner' C0 U& m# i# a( |+ i
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
0 S$ `) ^. K  z3 S* _Method》据说也是不错的。6 `# x3 y6 c( |
) d% r3 M" T9 ^
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
$ t) w2 O4 o6 F. H: O郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods) j. l7 ^# X6 C: P# ]; v: K
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
$ U7 }0 b7 p' g: K' s很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/, [: |8 t: [  ]& B
）
( @3 C& D, r! z+ v* J上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
* _9 r# i+ R4 {* T; s  }入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还" @6 A3 ?$ r/ g2 n. T/ `
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过, y3 m, X# |  _9 y
不知道能不能再学校里找到。
2 H- E' R& A" V! g( [7 Q
# r0 d- o2 G2 z2 z) `. r; m除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可+ P' x5 u7 O2 p3 |' D9 j' r
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。/ g1 W% l% q2 g4 @4 p
5 z: o5 X* h+ k2 k
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
8 P' U, h, t9 z/ F1 `+ @Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
3 ]8 w5 R7 F3 [2 m8 j3 P# V: H2 j《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
! I, R9 O+ V- s" M* x2 ~! ]) D; ]+ C经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
: [6 |, H1 u. R2 g3 F; m在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
, g2 F! u9 y5 g2 F西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。  }8 \$ G# ?4 r8 d7 }" j
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导. n4 A2 \4 a# @3 e( `
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
/ v" A8 E( P3 i4 ~性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
( x; C. m. d9 q2 b4 D也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。0 `, |$ w: u6 m0 `' ^0 e; N* |* R

; `0 u0 H9 q! B6 a! {* g( s计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
  ~# B  z) w+ I9 ?体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
/ u% p# J4 Y) a  S有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。. n/ Y3 d+ W/ _2 c4 t* d
+ P2 N( c( e: B/ d0 ]$ a8 R' K
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
6 x+ E* K$ _# l8 y1 F9 f& D计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
4 O6 U4 [$ n% }/ n( S# V面的网址注册
7 r1 J4 p2 y% X6 ]) P' S+ Nhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html ! g& E5 @' _% E8 k
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册  r  ]- i- e# b0 `% N& R% e
http://www.netlib.org/na-net
- J! R, @$ U, A. F
6 ~$ O5 ?' t% {1 U( x: S6 @" L- f& c" s; i! y; u1 W) g9 w
' [7 d/ m! V8 u0 h3 ]
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我% r  |1 L, i( W5 N5 o4 Q
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆7 O+ U7 V0 s) `$ U4 k9 W
都有中译本的。
6 g( v& V8 {6 E% u, q4 Y- r/ m2 w2 [0 |6 q# z( _$ N
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师0 x$ ~3 Y0 m- e7 H$ n- c
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
/ T4 h, Q1 v, e0 I; i树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方# Z( Q# F" S$ N: P/ c
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面. v; G& Z5 c2 L  i
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列! g) T1 }8 o5 I. m1 k3 L
出来。
# R2 b) h9 F- ~+ l' X- l3 g0 r8 J
: L3 |; _: q0 I- N9 L# A; f4 J, H国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
' T' o- ~! Q6 BKahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,# Q1 [+ E, v) x  H. j! z% @, ^5 X
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
# t" s9 y9 |9 `1 Z' i7 _: c的大家。: U. d# c& T4 ?
5 Y7 z& r' E' s6 U9 K
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The+ w! D( ^- s! y1 W8 P( F
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
. ]' ^% a/ P2 }* L人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，8 y& K% u) E; N7 c9 I6 U: G
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
, ^* D9 p/ N+ |6 Y, t" k7 G很有启发的。现在的经典是Golub和
# i* e4 ~. J9 p! d8 U: B" A+ l* z, Qvan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
6 X' p/ m( b0 g0 [3 u1 ~《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上. r4 p- x1 |5 N' h1 v* U7 K4 S
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear" Z& F0 Q0 n8 U
Algebra》，Trefethen & Bau 的
2 H2 G4 ?; E% X1 T3 U' V# e《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef! o8 n# P9 v1 v. y2 D# x
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》# b$ @# m  O- |7 S6 R% h& B, u
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
9 ~- y; f  [( H, k写的挺有意思的，在他的主页  N+ Q8 t5 s% Q, V+ U% ~- w
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）" z7 @6 v% d. x: g) T" @6 h
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老2 Q# q$ L  W4 |! B( u7 U
书，《The theory of matrices in numerical analysis》9 Z$ V% G) J; \
(有中译本，系里中英文版的都有)。4 }4 P+ l- v3 ]1 H. b0 r7 T0 r
  a. i0 Y; h3 e0 _2 B
LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
2 q0 [  l" m( H; j/ P: f( q; q# {前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
' I* y' C! Z+ t5 i《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
; b, Y) |1 y) q4 Cand Spectral methods》（在他的主页上可以
$ _6 l6 U6 b" V( u8 C% x8 Vdown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）" L1 p  p# _8 U$ X
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。
- T7 z7 l3 s0 h
6 G: {  f7 Y( K他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经& ~) @0 i9 }4 j2 D) o
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文: T. L+ p5 B* {
献，也许对大家有点启发。! C; x3 `$ s4 D( Q+ F: I, x, i
6 m7 c( I  A  H. N4 B2 m" Y
1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
' b; ~; [) S' k! z: i3 v6 f2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE4 B# M4 R6 ~" }# D5 t/ f
3. Householder (1958) QR factorization of matrices
1 n* b! M8 Z5 S% s4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas6 q  T9 b- I7 [+ l$ c' s9 V
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
9 C5 H: ~/ g9 a- {9 b, {$ E6. Courant (1943) finite element methods for PDE! b3 D7 l- W) m7 _+ a! {4 h8 V, m% U/ Y
7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition9 \+ i) X6 [, B8 b+ G. G$ K
8. Brandt (1977) multigrid algorithms( W! `3 p- `$ Z3 P0 L
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
$ y) g4 E2 d' r# I/ ]+ s10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates; }* G7 Z! k/ Y" |, w6 k7 R! Y
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
1 b, Q" f" y. h0 Z) ^$ L3 D# U$ l6 [12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
) y/ I, z# F; \( i4 g  t7 M- {13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
, K) k0 F. s6 S8 a9 H0 N
5 P, ]7 M) @2 _$ f; F9 X3 N他的remark也很有意思，We were struck by how young many7 F( \, R/ d) t2 L4 v# g; j
of the authors were when they wrote these **s (average
: }7 h3 Z1 I! L1 a! T, jage: 34), and by how short an influential ** can be/ Q" S. ~& o" ^% U: b4 C
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
7 M5 Y$ _( Q% j$ t都还是很有希望的，呵呵。+ j. ?% I* ?/ S& p
6 l4 k9 T  W: c. A) l

9 |) e$ A% p- |! S反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
) @4 x- G; r3 j6 v0 X
# M: C- c8 x3 G; x5 o9 C几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed. E$ u: [( ^. v2 W) J

- f# ~- U: x. r7 R% X- `Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
% T7 x+ s. _0 |7 Y: l6 q) G- J2 y
& X& N0 p  Z, a5 W2 q4 u6 f: j叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂' \5 |+ x5 r+ x5 h" L, N* B- c! ~
( X4 S+ \5 e8 F, ?3 n
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的
5 S" U0 S( s% `( ?& e6 f6 L9 ^% T& H6 j* j2 N7 i% }
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical
* m; f  q  I7 ]7 D: F8 F5 d' N2 b/ t- |4 r( e) F
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
* g4 T4 G5 \6 o( X6 }( M, v. W- o' M6 B, S. j( x; X" g
Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on4 P+ d- `2 _' |2 x5 G0 J

- _# l- {; f8 X  \- A4 NScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。/ D' E  m" \. b+ O( R
* l- H0 k; T* a5 _- f* M8 K  F
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问4 ~4 P1 y( H& z

6 o  x4 ?+ n1 M( ]9 N题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好
$ b1 N( z  `, F' a
2 B3 p" p6 E7 e" |$ \( f的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他
( E$ \9 M; p0 B! l- n# U! }+ c8 [
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
5 [& z3 i: O  z  L. ]: S9 [1 \
* [  c7 R( \! b! X/ ~6 p8 d2 j3 Q) {Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin1 @. K. \0 q( ?* N% q6 ?5 E
3 ?. Q' c( p+ `$ F, e
Hanke（德国）， Isakov（美国）等。$ R- Z' g" b; ?' c) t( {' H4 G

7 ^% B$ @; i) h4 S+ b: D反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根/ t0 j5 J: B) E2 B: A, J
. S6 g- c, i! K+ @
据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应( U# o, K+ i/ g% q+ N& L( Y
5 B2 h! u( W2 {
用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。* K  C- y- X5 q+ N* B3 a/ |) i5 i
/ Z( B4 x+ V# y; K9 ]1 p, ~
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学3 P0 N) C# U' o/ {- \& ^
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问6 u6 F+ g# A" r0 Q# ?
' P% |* D6 z! x
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
! j  t! f, O' _8 a' H
$ D6 I: _+ q! k# H2 W, z平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上% M' E3 \1 w: T8 m% T

6 m, [" ~# d+ i! Z% [$ W: I4 D有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher% g2 T2 i5 v( W0 Y7 Q

# }) V% Y! C/ J* k, z6 J3 k; A的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一+ o) ]" h7 A# c3 k- U

& R7 L7 f$ \% l) t% s( m个综述和展望，值得参考。
  B/ |8 ^6 G' F: J$ j2 B. e& G$ }  M3 n
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
, O5 g8 u, R4 Z" @) {* g  h6 b0 F$ M$ PIll-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
0 ]! Q7 _! i, M0 {7 k8 N" L2 K校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
) w# N1 d2 _  J" g0 R本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
) j; p: R: \' `0 z9 j0 {. I是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问; G0 R8 \# z* L- n' O3 `& D. S
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
1 n, ^+ h! X) Q; n* n记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov/ ^* K( I! g1 W1 C$ p
regularization for Fredholm equation of the first kind》3 S/ N4 n/ M: q, v
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本+ {- Q- y5 B, o* k( V  m- A
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
( {( _* E: L% T5 X" V《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
: r* w$ U( b( _, ^to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错. B  q. q  e1 u
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的& w- M( t! o9 V4 d
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以9 Y$ Y7 h5 \! L* B( Y7 O2 s
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
' w) J+ n1 I% e" G9 `$ Q5 H3 Y《Inverse problems for partial differential equations》，0 J( Z1 b: k, A+ C' x, V" @) W
Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for6 z, q; P, K7 g+ Y) {
Ill-posed Problems》应该也是不错的。
4 }$ C7 t- T8 D+ A5 D1 P0 s1 C2 ]9 t6 l+ ?* k* [) w: N
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-) N" D1 n3 r6 Z3 X" V! L. N, }) N0 P
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
1 q' p2 X5 q( k7 q2 t《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
, g6 Z/ f1 i0 K5 ]' l) f1 I书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
0 {! D  P6 B0 u( e4 l本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
5 w* a) ^. m+ l! k读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
: c# {; Q- ^* |  t5 W9 B. t6 b化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
1 r7 |4 ]0 b' S( R8 E% u- a3 d3 d0 h5 OVariation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是3 ^* I; q- @9 [3 P( @
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
1 G- G1 P- Q- @也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
8 z  `, C: v( Q了。
/ B3 w# W5 T7 C& m( O6 Q6 v; e9 P1 h0 Q  s
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
. L2 n9 l1 r) V. _8 O, a2 u2 hhttp://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
( j# T" h' \* Q2 ^3 e! q% X' f8 c- n& X3 V# E6 d+ C
计算的热点似乎有两个特点：& ^9 [" m& {' `0 T9 h7 A0 Q
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
: j5 D/ ^; d' e5 ^( ^6 f3 R计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
  j7 \. \7 j9 s6 ^8 O/ |+ _; V# R2 {! f科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三# E0 m* j4 S3 x# N% |  [
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
, H/ Y. I+ J( [( f2 |  z$ E2 q中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。6 c- f9 I1 ]) a3 B4 q0 e

, ], E3 C/ R2 i; [, m4 u一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
# w: Z( S" b: Y' T2 V  k9 P4 d分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
& N2 y5 M7 w- m% J是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。, Y5 @) u/ r: u
这也应该是一个值得注意的地方。
作者: bingcheers    时间: 2010-2-9 23:33
内容特别好+ O! f- e9 `( ^$ |* I3 Y% B  F, T
你看了吗7 g! U, e! \( O2 ?' Q6 M

7 a3 Z- e! P- w/ K& b& }" ?% d4 u  V, }& r" s; _% E
回复 1# mzszrj
作者: celestshakey    时间: 2010-5-23 19:26
好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。
作者: 文素    时间: 2011-1-3 01:29
不懂~~~~~~~
作者: randy2009    时间: 2011-1-3 18:58
好文章啊，顶了
作者: 0.9清1.8清2.7清    时间: 2012-8-31 15:59
顶级高手!!!!!!
作者: hualian110    时间: 2012-10-9 21:43
看着很复杂啊。
作者: 此生不悔    时间: 2012-11-23 21:33
这样的文章才能值得叫好文章
作者: 汲荷    时间: 2013-10-10 21:56
好好好好好，计算数学啊



欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5