标题: 谈谈计算数学（转自校内） [打印本页] 作者: mzszrj 时间: 2010-1-23 09:06 标题: 谈谈计算数学（转自校内） 虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：# ^( Y# ?$ w+ v c( {$ g
- U/ K8 S. d) f! p0 {
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调 ; b4 J, c5 H3 e8 q了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能 1 U( h7 D5 `* h6 m最好地说明这个问题： 2 }8 u, O9 Q* k6 u9 b" H0 { 1 Q3 ~7 m, f6 V/ g* O9 ZHow could someone as brilliant as von Neumann think5 Y$ M. y" n9 O4 e8 `8 Y& m/ I
hard about a subject as mundane as triangular factoriz , E @3 E, Y! m9 T9 M9 ^1 A0 |! O-ation of an invertible matrix and not perceive that, % U' `. M! [) T, ~with suitable pivoting, the results are impressively 7 b4 J* g$ Z* {3 p4 z. A agood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on * ^' u, N0 q0 z0 dexperience, concentration on the inverse rather than on 4 u) f& D1 s( W& M3 {0 wthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate.% C" Q' R0 o8 X% @/ S
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a / c' [- R( U2 j# vLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem: l9 n4 f( b+ q% V, h) s
for at least two years after the appearance of QR? Why + \; M0 }; U5 |- G5 ]; w" {% J2 ydid more than 20 years pass before the properties of/ q Z! _! ]5 j! h: k
the Lanczos algorithm were understood? I believe that) {% R3 C5 O0 E! R, a0 Y
the explanation must involve the impediments to ) ~1 S7 H$ r8 `0 Xcomprehension of the effects of finite-precision , U' f; C4 D. Y& I7 U uarithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)+ t5 X; ~4 h' t/ j/ p
! R9 Y# Y* s+ m5 O/ m( E$ X' M5 v
既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所' y; e2 F7 T2 w) K' X
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康5 f6 Y( b/ V) F: H
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 0 w' g' n, j# h4 q) x9 m3 k只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当+ i$ ]! h( Y% _: b3 g9 P4 [
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。9 w! i% v! x# J* m6 d4 B- g: }/ P
6 ?. I4 D* v# Z; J1 T7 T b1 u ?鄂维南（Princeton大学）; v I+ a! v2 E3 T; G
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟 4 B6 m6 }5 y( x, ^. y- e- Xhttp://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 7 a9 ]* P! X1 Y& y+ H
3 C& P& J/ t- U# T) E; f包刚（Michigan州立大学） & D! g- a! x5 y# [) r, e8 q吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等+ E+ X) [- l( x http://www.mth.msu.edu/~bao/ - ?; J1 Z, X( ], d5 w
2 }5 o% p% k0 D7 z: A7 F
金石(Wisconsin大学) ; H* [5 H6 q$ _2 I5 G清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、 ; j' R* k. b1 d" Q* U动力学理论等( y! K5 |0 a4 e* N6 U% ^6 n http://www.math.wisc.edu/~jin/ # {# q/ I& C3 n9 G/ c0 H3 x* Y9 ?! N6 c
汤涛（香港浸会大学）8 v1 @ z* [; p, T) E: U
中科院，研究方向：移动网格法等5 I/ h/ B. Q* p: C0 S http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ # u$ ~' x9 e, p; a# y8 E 2 Z6 p- f5 X, r9 O8 J7 N* m1 z舒其望（Brown大学）! z0 L7 J7 f' T% D3 C v
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法 9 {- S9 b7 r0 ehttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html 6 {$ @5 z) v! Y: @' v: p! G/ J 7 V. |) I( S% F4 C陈汉夫（香港中文大学）: t8 E1 {* E- E9 U+ D) `
研究方向：数值线性代数 , `* q( C% Q+ | J: fhttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ & k8 d }8 ?' ]9 d. q0 A. w# v. ]' O! |5 M
许进超（Pennsylvania州立大学）3 H5 f5 [3 ]" V$ O7 [% q+ N
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法4 w' M6 ~7 F" s) u c1 o# E http://www.math.psu.edu/xu/ - m8 U$ {! x& I; f; R+ M. b% [5 @9 n9 I6 l6 r
袁亚湘 2 W5 H: a- ` e5 ]0 V/ R中科院，研究方向为非线性最优化 & a& e f* ]: h5 whttp://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ % J- x( n; b, w: B6 a* S6 { 5 |, I# P9 K$ L; L1 a: f张平文（北京大学）; p4 y S9 L5 y$ l; Y
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 . ]$ X) \6 b- z0 ]7 b v) D; l模拟、移动网格法等 $ S( v+ b4 Z+ |) Fhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html ) [& I+ ?6 d! O ' ~/ a& i( H. R6 P+ p陈志明（中科院） 1 p& Z- g# |. K研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法1 u) _! k. W7 K% B# U7 z$ t http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html $ v4 z+ v7 S6 N6 a+ E1 T2 L ; ^0 Z- Z/ Y, a# f8 D z W其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出: F+ Y" \7 N9 m. T
+ l5 @* X5 _* h o- F
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 ; Z0 m3 g. V* M- v是颇有裨益的。$ O$ Q3 q4 u) u Y g* `+ i1 i
理论：4 u! F: K7 d9 P9 D8 V- j
最好的基本是 `4 l; y7 _( N6 r. z/ s9 H! _
Mathematics of Computation: L4 L9 v( U# S' D" d
Numerische Mathematik' z* _ N& K" P1 S. j
SIAM Journal on Numerical Analysis 7 @# p! s3 Q& S4 E/ |SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications " h3 j1 _6 B! h1 z& D$ h4 O- wSIAM Journal on Scientific Computing ! U. x5 b# k* o4 M1 `# m5 [较好的有： * G+ _3 r( B7 iBIT 5 P9 b0 h0 w: t7 dIMA Journal of Numerical Analysis' c1 W* x7 K% c# S6 L9 b
Advances in Computational Mathematics . B3 O! r3 R: k! A! ^4 k; |* oInverse Problems, ~ L) m7 S ]6 g
# p( T# J+ @2 h. w6 G& Q+ c还有应用性质的杂志： 5 \# i# v3 k0 K( l# N3 ?" K/ T; @& RJournal of Computational Physics0 U2 l* ~2 u1 A$ S- f$ ?8 o+ n
International Journal for Numerical Methods in Engineering- o5 ?6 ?5 ^* D$ Z0 N8 ^
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering3 i9 @ x, w, P& t0 n. _
International Journal for Numerical Methods in Fluids & F2 j4 a# e' J' D0 \Computers and Fluids( c# F- A$ c {* l
Computational Mechanics 2 k' Q/ l. }( E& T( n& n$ i. T4 K还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of, q! x$ D7 l8 s3 j" z3 j$ D9 Z6 Y
Computational Chemistry，Computational Material Sciences6 W1 l* m# S; m
也可以浏览。" h; }' s, q8 o- j. Q9 h+ s$ {1 X
) l6 t1 t9 d1 h' o t5 \1 P0 T
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握 % H& F) d3 u5 O; t" b) m. p# n了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大 2 P8 z5 U# A9 k0 h/ r学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出 8 g/ d* w. e6 y4 M% E+ V版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法: T! @3 j5 h3 C4 \4 `+ n0 _( s; D
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写/ a* ~- Q3 M4 M7 a% [( t
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy6 j" S7 |) t8 G6 i
stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等 8 K, I) f+ @+ b# N$ ~' U0 A等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我 4 \& e7 z3 V/ z这里大概也有二三十篇，可以提供上载。% O; s% {( u# `! K- \/ `
$ x; f: z& Z2 [ S另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文2 R6 d# n7 F3 {- L
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或9 W, A8 p( `8 \) f
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于0 ^7 p% B0 d- j7 v! F
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。% J I* R. {* [' T7 e$ q! `
. b. K$ `* ?% m. q/ T$ N
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以6 A5 C9 X* E9 o6 ~1 f
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。 ; c6 e, K( g) f) Z" x5 L$ i9 v6 K" N0 e& r" N5 P, C
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 1 z$ h# M( r ^+ |, y4 X, T法、有限元法、边界元法和谱方法。8 i V+ V3 a* E' h1 i
" z6 q! ]8 j/ W; ?有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程! I7 x4 q+ s, I8 x2 X
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。! n; N- G0 L# g) C% g5 p$ ~* K
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value 8 b! T# s& c/ d7 u3 MProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本6 t3 s B: q2 X" k7 U' D) f: M
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很 ; J. d/ P0 n0 [$ @8 x4 a有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的2 g, C" Y) J5 P* l/ J+ `, o E
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 : T, j% e2 X- ^ m8 ]外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律 0 ^6 i2 y3 B+ \% V8 [5 Y' @数值方法方面非常出色的著作。 3 r! P- K- _' U0 b" ~# f6 }* u# c" B n
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method' l( N7 Y9 I' F& y3 B/ e# l
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner- f5 G- @; W6 `( K8 T
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element) R, K8 M; G; Z" ]7 k
Method》据说也是不错的。+ V/ n2 f; ?0 T" ~2 Y" m7 B0 q8 T
; G9 G; E1 W, ^ R% X6 {谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的& e8 c: j6 j* T; O& w
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods4 ]$ ?* X; v) b! ~5 k' P" i
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有 ; n4 q k! {" W: E R4 x很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/; y- k! _: b$ X. F: w- J, l' N* ?
）8 |' m6 N6 _" G a6 @, q/ K3 a
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的4 R+ N: R5 A2 Z$ E
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还. G$ e$ A' B8 \4 ]- \2 h+ v
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过, w8 \+ l, I" Z3 s5 ^
不知道能不能再学校里找到。 A9 H1 e7 @* T1 f. G0 w/ \0 V& ~
/ w' Y0 y! d7 }! Y2 C9 i N除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可 9 m4 j& }9 E D2 s' U+ U' v以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。" g3 [# `6 `( m- r$ S% w; c7 e
; Z4 P/ `1 G# ^& z: j% g
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional # M* \4 T5 U- A$ f" Y: KAnalysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 5 i- x# z6 O- k4 {8 U# w《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常 ) `/ \( E L- n9 e经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理7 T$ F! h" K5 Q; P: I
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 % p$ ]8 U2 t* }: ]7 P西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。 ' u9 v: d) V; A, C这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导2 p) z/ B; x9 q# E
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛( }' h# ~4 x+ ]6 I1 j
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 8 N" I& X# H; \也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。* T+ z! N( x) d2 o# q
: F* w- o% X* ~/ x5 U* |
计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 2 v- o6 t% y4 }, R体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没9 I7 J1 @( E. P9 i
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。7 @; e' B! i9 P: q, M
8 R+ i( h& |7 E7 u3 Q$ b
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于5 U/ a) D4 `" y5 |( |% r
计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下, m, g( R0 q: j2 p/ v: X$ x, `
面的网址注册& u/ q* r& h& t) T http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 9 |5 J; Y; v/ }' W" ?英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册& u2 z; {' c) J! V" v http://www.netlib.org/na-net ' O" _$ }( b- e- |- w; v
- f0 L: z% `: \0 S) L4 }
B: J1 M& V1 R4 O# \# s- s 5 M% t: }0 ?$ W. T先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我" e) t* w' h6 K2 l8 e% f6 G, e& |) s6 v
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆 8 ]& v% T" N9 c( J% |4 O x8 T都有中译本的。9 \" s( I( c& r k5 m! w
0 C$ w- D8 Y* Z" t接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师 8 t- O) z+ b( i& k7 |! [在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐 ! n8 e4 p0 A i) a% j% T$ h树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方 - X# e0 Q, ~% h5 H2 o3 A' T向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面9 C7 O" g. O' E3 U+ u8 k) D
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列* p& i- r$ F/ L I* ^' U
出来。% {: }1 O/ f1 v
( z1 r: b% a% |2 L' g国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。 I0 S5 ?+ ]8 e2 a- m7 b: w E
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, 6 ?: r7 m, {; o: P* ^9 jHigham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面( q1 _" m* |' Y! r W
的大家。6 S. c+ O; c* T2 `1 Y+ _
5 }7 `$ X% v6 t' D- S$ H, l矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The ' h5 d k! C8 b! D( w6 D! qAlgebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等" O4 ?- D: A" g# \/ ?
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，; g# a0 c- l& h) C8 h' k$ C: W
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是8 t& S+ _, q# l7 r g' P
很有启发的。现在的经典是Golub和3 C$ x: ?/ }5 L2 o
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，" Z; K0 W7 H5 A3 B- \- W0 z
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上& W( \. j n7 r$ q* w* p0 X2 k
找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear% \0 @# ^; x: @5 K9 S7 ]9 x
Algebra》，Trefethen & Bau 的 x6 l2 K& n1 o4 U. U' F
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef X t, G% F8 v6 }' u$ S) w
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》! @. {2 i! B( q* r4 [0 q' N
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， 7 a8 e: ~/ n5 Y2 m4 I5 ]" I写的挺有意思的，在他的主页3 u6 x2 g' {4 D+ M6 e; z6 X
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）4 U; |* k1 m5 f e/ p9 B6 w5 X5 h
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 ! ~! S$ G+ q m/ }8 j# X9 v书，《The theory of matrices in numerical analysis》7 |( h. G+ V6 ~2 J# ], H: G
(有中译本，系里中英文版的都有)。- _3 F5 j5 H V; `% _
2 A8 V( E& T8 K5 T5 M" V3 ]3 _LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，% ^9 M" [; T# y/ w+ o
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，! |' K7 Y4 u: n6 l
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference) N7 Y! a( \+ {: _! U1 o$ i
and Spectral methods》（在他的主页上可以 $ M+ \0 C- ]5 ^2 P" N* @ Y6 Wdown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/） . X. x& ?1 {: s9 U" M6 B。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。% m# |6 L, Y' F9 G2 k( Q
5 G |- [& e% j. \$ H$ O
他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 ) S: }3 |* ]$ c( z) I7 Y/ _, }& ]典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文% P S5 ~* p% i6 o# M
献，也许对大家有点启发。& D- [* X8 O0 }: b% e
2 U6 u; ^; ?3 h0 {' X1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform9 L. k8 O2 W. ]1 o, i3 q+ w
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE 9 T. H, }5 s1 E, _5 A2 W3. Householder (1958) QR factorization of matrices3 y+ ]& a6 H4 _2 @1 B( _% x! D
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas " A' D! U: i- Q5. de Boor (1972) calculations with B-splines + |9 M" V; f+ ?2 \; L/ Q6. Courant (1943) finite element methods for PDE 9 d6 E" x7 E) \# J% K$ K( F( A7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition6 g. D" r$ \5 y, p/ V6 J- d
8. Brandt (1977) multigrid algorithms 6 { w6 X9 A# l' p9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration ; t( {( h) Q+ ?( g" U7 L10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates % T& p* `+ p0 X- p! h5 r+ w11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE , n; g( ]) p- q7 \3 R# C12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.) o8 X/ s5 s7 t, f8 Y9 e i) C
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles 1 Y9 d% V3 e) ~% ?0 z( I+ _- O3 u8 Z1 ?( Y! C+ x
他的remark也很有意思，We were struck by how young many ! r2 q9 @- \- b# V1 Nof the authors were when they wrote these **s (average : T% p* A$ I5 B2 o o/ ]4 Hage: 34), and by how short an influential ** can be $ E E4 z. o0 V) G0 E' l/ H T(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家* |; N6 z/ B, V- f. t$ s
都还是很有希望的，呵呵。 % Z( }6 E( l; b ' P: f# q4 @& ?" u% ~- [8 E& D 3 K" } l0 p- j9 w$ b2 [反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下6 D- E; v- {/ {8 S+ W; _ l
% M. I' R6 {) g0 X, v* X几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed7 A& M, W* s& v( E( |; \
. I+ z0 r; h& w- {- `- ?# ~$ J
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前& ?+ x, u6 y0 K+ I! Z8 o* r) s) n
5 |. b5 a5 X6 q( v. N% Y
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂 3 r( u" m3 T' M $ A4 d' Q8 ^* H9 p$ F4 {- u志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的) r; E/ N# ~! ~8 v; P; p
" O. P/ u* v: V% A) H& U" P! G/ C, W; T杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical Q* e* _5 R* n* z4 X( v% G5 ]8 f$ K9 T5 `' G* M7 X+ N: J. r" w2 h
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM & I8 w( K1 h+ \, r+ c1 q. Y ) P5 T" I# b/ |( P& V; h& o( {Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on 8 H" i" K# G) V( H7 L0 P9 M) k o O
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。 7 [" j6 _7 l1 C5 F" G {& ]" ^ A; i2 T1 k
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问- J' t2 s3 ~2 u( X
! T! Y0 v) j% k; H0 r题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好 7 m8 G% V1 h! }4 A1 S0 N4 A ( b4 R) }1 L4 h, A0 k6 }的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他4 }- M( R5 ^4 E2 w
2 i" A9 O9 B B# j
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW / k, v. W" A' G; U 0 } C3 w% ]' _% o$ ~Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin - E6 L2 p, S* M 1 D: ? ^9 [+ `8 q' C: KHanke（德国）， Isakov（美国）等。 7 d# M2 ~8 J. i% m9 w& X9 \; s) N4 n! w0 O
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根 : ~3 p- \# [- t 4 |- n+ G5 [0 T2 _据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应 4 Y7 a; m( M$ m5 i 7 I9 K8 s! N) D [3 X6 {用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。 ! K# M3 o" X9 ^4 @% f, g5 l ; B+ }. ^. g6 l$ O5 ^4 C% v水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学 X+ T S: V# V F- g$ w! e的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问. a5 r0 m. b$ D/ u5 J
+ [5 ~9 z- G) x
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水: N( j. z* o! _7 ?/ R! r7 G
) [* o0 p0 u" P" u3 I6 t平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上" n O% y5 D4 m1 q9 y+ y
7 H7 e/ v* X1 A* J( c
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher 7 }. ]* A8 o9 A) c: t+ { 1 ~! [/ G! o, w% i2 H; C8 W. f的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一% I# r" |( `( V7 E; x
不懂~~~~~~~