3 b2 c* ?+ k) K# G9 y" o$ YHow could someone as brilliant as von Neumann think6 W2 Y& C4 `& L4 l8 i9 k' i+ }
hard about a subject as mundane as triangular factoriz - K: v1 ]0 N* u( Q-ation of an invertible matrix and not perceive that, 8 x; O2 s' v/ q! p) R! x; Iwith suitable pivoting, the results are impressively' p2 s, I- N8 Q$ A
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on 1 b- O+ q3 j1 n5 [* k$ i. i2 @experience, concentration on the inverse rather than on+ u2 x# M3 h- y/ O' a9 a
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate. 7 q! }4 R8 x* {9 U* s8 o9 c, MWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a. \+ m! ]% @- v* \9 s" I, h' O% ~
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem # I9 {: q/ H& Afor at least two years after the appearance of QR? Why 3 n( R% Y5 m1 r! kdid more than 20 years pass before the properties of ( f8 [# E3 P( E& m6 tthe Lanczos algorithm were understood? I believe that* {" l" ~3 O; L: A+ t
the explanation must involve the impediments to L# H a6 Q) |+ ]$ x; z& y7 _8 Mcomprehension of the effects of finite-precision! h" c/ D) z0 C U7 u0 s
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)$ y3 D( `$ Y5 K5 {
' ?' G2 d. ^$ z' \ G3 V7 V既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所! U( a5 [0 P0 G* n- \
了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康4 \+ j8 Z4 S: o# I# {, K0 p8 c f
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里- o3 K* ~: m' e2 c. }, D+ ]" L
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当# g+ M4 L3 o' I* Y& z- o
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。( T. V: k5 |: |2 K6 F
% `) U2 K$ U: B( y0 f侯一钊（加州理工） * `; ~- i! Z2 S% p9 C研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流 j0 g v$ Y6 r! S% h. l3 Bhttp://www.acm.caltech.edu/~hou/ 0 q6 a4 y/ s0 g; U6 n$ }$ M( \+ o) d+ F
鄂维南（Princeton大学） + c2 h% _$ s8 L北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟. Z1 B0 Y6 m0 X: ~+ J http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 3 Z0 D5 O1 I% E" H. m
( h- S0 V' C3 Q" y5 d. o
包刚（Michigan州立大学） 5 ?2 c! c( C* [% @吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等 0 J* M+ v: D0 G/ w0 mhttp://www.mth.msu.edu/~bao/ : @2 o8 V- z! Y" k/ L/ g; J
9 n; J$ Q+ n' G
金石(Wisconsin大学) 0 b& a$ p T- e. E清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、" s' X; ^" G D1 {! R
动力学理论等! f( A, R4 ~2 t+ x, r http://www.math.wisc.edu/~jin/ ' l: i5 l+ ~& C7 b# U+ b9 T6 d c, r8 W% o" }# @
汤涛（香港浸会大学）: t* b) J7 P( N& Z* k! c9 u
中科院，研究方向：移动网格法等/ ^8 m% F, B2 ^$ u! \) s' q) } http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ 3 ?+ W1 d4 g4 q: X - Q" q$ m* Q' M3 y舒其望（Brown大学）& R c. p' f! R$ ]1 w8 e# l; {3 E5 n
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法 1 t2 g1 R: ~7 p# O1 M+ Thttp://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html ( q; |$ K# L& `8 ?2 ^
1 F7 o! t; ~, d! k* c陈汉夫（香港中文大学） 3 |/ g, d0 `% ^: {* O! Y2 V5 q研究方向：数值线性代数 6 J; G& j) U, e t" [http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ $ u. [+ L4 A. A8 h $ z3 P- Y+ r- o1 y" S n4 B! F5 E许进超（Pennsylvania州立大学）3 E. g8 a4 {* `( [
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法0 ]. { C- z9 W0 {0 Q) S$ M http://www.math.psu.edu/xu/ , y, k/ W! }% `. ]+ R
6 B( n: v' Q7 ` W% Z袁亚湘 2 y2 O9 b9 i: V4 O( k- l' }: n V( e- K- i中科院，研究方向为非线性最优化 x! T+ H8 ]3 Whttp://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ + W4 M8 O g! h# Q
) b0 a5 s& M% g' C7 \- q, U, e9 O
张平文（北京大学） 7 K4 d) Y6 W4 H+ U) @6 P& f' ]北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 9 I- X ~2 ^9 J: A模拟、移动网格法等 . d2 |2 E* E# j( w' shttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 6 K2 x& b e# B8 Q1 k/ T- _8 u! ?3 b4 |& b2 P
陈志明（中科院） H' ]. O. q( @9 [' ~; J
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法6 u7 }* _* n6 L' V' a8 Y http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html 8 X. D8 C) p% n, \
1 ^2 j% h: C% ?5 P2 x& p$ _其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出# E2 f9 j- G. g9 n1 s* P; S
2 Z) E0 q. t' d6 A. W6 B
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许+ r ^* e2 G4 Y! `3 u5 ^& @
是颇有裨益的。' S# C7 e0 v# o
理论：" z: j7 m H5 E4 G# M, b- B" u* `
最好的基本是 1 p6 P; S6 R; `& C5 T& ~, q l: cMathematics of Computation: w" X( y- s$ f# t6 J2 ^
Numerische Mathematik 2 m' `- o2 Y: Z1 v4 ]0 rSIAM Journal on Numerical Analysis# x$ W* ~+ Z, t
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications 9 i' K" z( Q, {7 L, K' e) aSIAM Journal on Scientific Computing 2 M* C; }! Z9 |- `8 l" T, h较好的有： . E5 D5 Y7 k4 w1 G( p8 E8 W: PBIT7 v4 w# A% G" W* A" E. X0 j' C
IMA Journal of Numerical Analysis " c5 p4 g4 o5 P# b' [* M) z* c9 DAdvances in Computational Mathematics / ], W3 _( N7 M) uInverse Problems 4 K8 [; U" {% Y" i' \* T ( W% v/ i6 @) Q3 u* G还有应用性质的杂志：, J. y- a& R) C# Y- r& Q
Journal of Computational Physics & w& W+ `2 o5 G1 V6 \International Journal for Numerical Methods in Engineering3 |, M3 Q( [4 Z" v8 h1 w) w
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering " n: z0 o, A; qInternational Journal for Numerical Methods in Fluids. [0 H# z, M: _7 h) k& m
Computers and Fluids3 i$ }0 k4 U* N. d
Computational Mechanics" @$ g& M. P5 g6 K: Q1 e9 c) M; x
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of ; V9 i2 ]2 Q3 H; N9 F0 P) cComputational Chemistry，Computational Material Sciences 3 K7 [- [, J0 U" f5 }8 ~也可以浏览。 8 r1 e' K% C; {$ l: m' { 5 d( [/ c5 U! r4 u4 ^" G+ C但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握 m b) q+ w; l2 F
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大 6 W& _- i# R' f' H d* a学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出. e0 p A& Q" t# e" _/ b4 Q. v
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法( }! i& M8 S J7 N# A
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写 e# p, b- v2 N* Z6 W$ ~8 X: J2 g的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy / E" [; w4 _6 a5 I+ L9 Vstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等7 V" A: Z. {. k. z# G; t4 _3 J, j
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我9 U& p' s2 S. Z2 J- _7 ]
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。 6 ?# ?1 w, p- J8 \ 7 B) E. g+ E+ @另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文 ) Z/ [+ ?( e$ ^8 K4 @: M6 v, C章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或 8 l$ _! ~: ~, W# d; B1 E) j者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于! m- H- B/ F G: R# Q
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。) K8 F" J( D/ I- M# w. m- q
: _0 f& l# d8 V) Y) t$ A# ^作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 : D. ?( F; f2 g& q称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。 7 ?% {, k+ u: G1 R 1 X8 b+ R$ I. W+ A# Q微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 $ o) f' ~$ {0 j1 h% ~法、有限元法、边界元法和谱方法。 ! a; A$ D( e+ J9 _" Z( y* A$ f- f- A' B5 A1 F0 L( V
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程 3 s0 J, M0 E1 X/ E G* o数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。1 j# E, F: W7 B, t
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value8 n3 l& k' m9 |, `+ J
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本 & ^. _6 r8 Q2 S8 S& t! ]《Finite Difference Method for Differential Equations》也很 9 S* i$ E; E% B$ E( n有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的0 ~8 k9 j2 \! l( D( Z
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另# v( T- d- J; |7 r& I& q6 H+ H9 P! ^
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律3 q" v+ ~* T$ F0 n# w9 [: {
数值方法方面非常出色的著作。/ v. ^7 b8 l' `9 s9 S+ [, Q8 p2 T
6 @ }5 Z: t K% X% F2 J有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method ' s3 r" c. B9 ?: F7 C0 T" N( Hfor Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner1 P" @6 A! P( M: p% e! G
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element 1 p6 ?, J7 Z' O R5 B: v( WMethod》据说也是不错的。, D0 ^" Y/ u i$ T: U: J, a
3 H2 C: U4 ~% x* d% W/ g% ?0 v
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的 5 o; ~$ i$ Z. M# Y( U2 _郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods 4 Q/ U$ `+ V: L' J4 Jand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有% {. E" Z( t# M9 U/ z+ L6 e
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/ 7 Q/ l" z% N' H4 x$ f5 b） 2 S& v# f2 @0 \ X8 P% q8 a% z上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的5 N# K7 Z3 n! I j
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还' f+ m; |# d+ G- m
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过! ]2 b8 h' F' q8 u
不知道能不能再学校里找到。 ; T0 G2 w2 ^8 U& J ) k" W* S; l0 A* B$ o" l除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可 $ L- f5 k- s# _$ N2 i+ s以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。% J- a2 ]- ^( F7 e
/ `6 b/ o) O; U R' |% M
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional * k2 Y2 c& ~: z$ n8 I; \9 V2 RAnalysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 0 D' `6 E- ~0 s0 c# I: F《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常: Y1 B: R" o7 o( M2 j# { W
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理; P7 K/ M7 p6 f% k
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 * n6 d5 p. f. C西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。3 W% l2 {* i& I' I1 U- J3 I( x# b
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导 * ~; U: V; m( T, z出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛 # G7 |7 {; D( ?3 a8 r3 a, i性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 ( C% g; {" O3 B$ y; j1 n- U% M也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。' E1 j( s S" Z7 F; u
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狗仔卡
发表于 2010-1-23 09:06
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