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标题: 谈谈计算数学（转自校内） [打印本页]
作者: mzszrj    时间: 2010-1-23 09:06
标题: 谈谈计算数学（转自校内）
虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：* i* |6 `+ z  d3 k8 _* X4 D
, {+ e$ R" p$ \1 T
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
7 U% ~6 h# B- k8 X( i了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能6 ~% Q' T5 Z- B0 u/ @: _$ z0 k
最好地说明这个问题：
6 @, u. N) A" v0 V1 Z3 {
$ F1 @# Y5 m/ j9 qHow could someone as brilliant as von Neumann think3 E0 X( B, Z: u, @+ g& u; I
hard about a subject as mundane as triangular factoriz
" H1 r% d* c% ?" [' l) `% K-ation of an invertible matrix and not perceive that,6 z# A! Q( q& Q. H1 g; o
with suitable pivoting, the results are impressively
5 A5 s# `6 A5 [5 Q3 `8 ]. g: Vgood? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
, `4 ^3 Z1 o' a: s, G; m. g8 o, I" _experience, concentration on the inverse rather than on
5 ~' S5 |( D+ V! f2 t: h8 x8 Vthe solution of Ax = b -but I do not find them adequate.7 a* A0 F/ g. _0 M9 A
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a/ H( D. W0 p% d0 A. H
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem. d$ `7 k$ q1 g* P% Z
for at least two years after the appearance of QR? Why! A! i; G' f( j
did more than 20 years pass before the properties of
/ [. I3 m5 f" l& q# k" B2 g7 kthe Lanczos algorithm were understood? I believe that
, k2 H7 {! w/ @* A: z/ l, G& |the explanation must involve the impediments to
/ ^" x6 z6 O+ B  U# Lcomprehension of the effects of finite-precision
6 t0 j" s1 z# e5 Warithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)2 K7 u8 ]4 I/ a1 g- a

3 l9 c- P8 `0 ~- t' z) R9 E既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
) o7 H9 l# a+ {, J' I' J. [2 v8 u4 B4 q了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康1 H1 b0 n+ x8 b5 {
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里1 d7 c7 [! }' h1 |* Y  d
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
. }& l, T) l  O9 }" ~3 f0 [+ i前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。4 [/ q5 l" o' g
8 o7 N$ g( L% E& u9 D
侯一钊（加州理工）
/ a2 `; n+ Q* n3 u# [2 Z: Y+ K! N研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
# j1 r, W- g, f8 bhttp://www.acm.caltech.edu/~hou/ 2 u4 c/ [$ n: Z. q; V9 R! d2 {% C8 N
* ]' a- }: m8 X0 r; }& f
鄂维南（Princeton大学）/ U4 U3 e( }# d/ r  V9 k/ A* |
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟7 c* x9 e5 y# A. k
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 3 L# z) I" K" s- w+ o9 o; [  d+ i2 W
  A7 G# L* |6 W4 {9 `. B, B
包刚（Michigan州立大学）
; i$ N$ j" s. m0 |1 n吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等5 }2 W# m2 |1 `
http://www.mth.msu.edu/~bao/ , E/ P6 r1 r3 y8 s9 _

! E0 `2 g9 d! I+ w, m# _1 F$ t+ `金石(Wisconsin大学)0 F" g( X/ R+ I3 r1 i- }
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、$ N) g: m9 N3 O4 v2 r% U  M  E
动力学理论等
4 q/ k5 Z; N# n$ \! uhttp://www.math.wisc.edu/~jin/
$ m, U6 m5 k0 O2 \
5 @$ e2 v  H5 ]" x- Z汤涛（香港浸会大学）5 Y/ j$ D2 F1 a7 V
中科院，研究方向：移动网格法等
0 E8 f% X2 d) E8 x( Rhttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
& b. Y% A, E+ M- b' v. ~$ C& i0 z6 x
舒其望（Brown大学）! k" n6 J+ a( G% q
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法+ ^* N$ Y$ }) p
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
( J+ |0 B: X" U
& Y3 j0 W7 C% L- k2 c8 a" B4 {陈汉夫（香港中文大学）
7 Q! V& B) F3 A+ S% y研究方向：数值线性代数+ P9 K8 R) h4 \
http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ ( b! a8 L2 q$ r3 R3 r+ e  g

& c0 M% D; R7 h. u# I许进超（Pennsylvania州立大学）
$ o: }4 p1 ^9 T" ?8 E北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法, f4 s+ _, e/ @/ O' |5 U# p
http://www.math.psu.edu/xu/
6 Q: _/ G( h, g: o+ Q" x2 t) D+ @* j' _0 n( a/ @- a" V) m
袁亚湘
( D+ O  ?- u1 y0 v+ s中科院，研究方向为非线性最优化" u8 p* \9 v* r  a4 e
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ , c& q; o6 y0 K* I# l. A# j/ P6 z
, p8 }+ }+ u( j$ {- T5 \( l+ K
张平文（北京大学）  h6 @( M- ^4 [9 C
北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与+ M" h( u. R2 x$ t  N2 y7 J3 E
模拟、移动网格法等
# ^5 _2 _1 [8 A% |: Jhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
, J% \5 G" ^2 t6 S6 @+ I) x0 ?4 t( B, \5 f
陈志明（中科院）- V5 y! Y3 g6 ~
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
1 q" @2 t' G$ {! x& {- w9 Rhttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
  B" B  l1 q% J# I& m! D
! ?) O. d  L7 T. U  T, ~( @2 Y$ A其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出
# k4 \1 u0 Y- B7 O( t; Z& u  ^/ ^" z, r  G2 Y8 a
作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
4 n: k  k4 m9 V6 h# v是颇有裨益的。$ F) _% f2 i0 R3 @: B5 i2 Y
理论：
8 O' `8 a& n9 F$ Z  H最好的基本是
1 o2 ]2 I3 ^8 W2 ~. d4 w4 pMathematics of Computation* A. D& o. [% z: n7 o
Numerische Mathematik
. o' ~6 y4 i/ v; {2 ESIAM Journal on Numerical Analysis, V% r' F' G! n; @. c' k$ S# R
SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications) v4 k: J- A0 b: i- e
SIAM Journal on Scientific Computing6 K( b" M0 F! T4 y# |  \
较好的有：
* D* G* o  z. s6 S3 jBIT
" f) }9 k4 U1 x/ Z8 BIMA Journal of Numerical Analysis+ q% L% S: |5 p3 F& T
Advances in Computational Mathematics
! _$ }( a# X3 V+ }' s" }; x& z, yInverse Problems
$ _, B' s6 U' x1 o+ K' d0 o8 O! _; X+ E
还有应用性质的杂志：7 E: s3 O/ q' \+ n. F& r5 W+ V- ?' G
Journal of Computational Physics
+ }+ k# U" r5 |/ Z. n3 l: KInternational Journal for Numerical Methods in Engineering
8 j$ P  o/ e! ?, BComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering% }% R  m: I# L7 B( A, v
International Journal for Numerical Methods in Fluids% R* ?0 C8 S+ P. N
Computers and Fluids
+ L3 k8 X8 V1 J; V0 fComputational Mechanics
! i2 `4 t! y' f" K7 ]6 R! Z0 r! g还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of2 A0 ^# j" h$ j
Computational Chemistry，Computational Material Sciences, Z/ P' j3 R# q" r
也可以浏览。% |; W1 _' e: o
- d! C9 }; q8 A; C0 B& w9 A. S
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
( c0 p4 `7 z# M了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大9 m* t: t+ [. j+ P# U* B/ k$ @
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
* e9 Y0 i/ C8 w3 h, B" Y' F版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法- X* _& _5 \2 k# T9 V: T8 S
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写, x: M  ^8 c% a9 @
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
* N9 o. U/ A$ H) X) cstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
5 H) ?" `+ Y5 k, R等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我# O, ~0 i0 Z$ F; d
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。" Z1 X- e( [4 c& Z3 \! `/ ?; c

* L' x. v7 F8 v+ c另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文) K+ E- ]) L0 }& _/ s8 t3 x
章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或  X2 F8 a9 y! P" U0 D
者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于# C  \- e% R+ ?9 W2 @' f
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。
; Q3 Q1 t; a" b, }' g
, l) f* ?5 `6 k' M作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
- B, H. G0 f% S# [% C称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
0 I+ _0 t& b& N2 u1 q* i% @! _8 q
" p9 b6 H% B. ?" K; r微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
) K/ }- r0 Y9 g$ q" P法、有限元法、边界元法和谱方法。
4 o! ~: N" z" e0 L0 F2 A( }7 [: M. W+ D# M6 @# z* \
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
( ?. L9 f( A+ i  [" a- }+ W( l数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
1 G0 m6 v: j: e! l3 w8 B1 [Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
, a9 z( m3 z+ t) OProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本4 J* {) {+ z" O6 N' G
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
+ r: \0 t; Q% e" \$ }有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的6 u! Z$ x3 n: ^& J& z
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
7 s6 B6 R' K: S7 {& l+ k外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律; |# d: `& B* o  k5 a
数值方法方面非常出色的著作。
. T2 G' R# w0 E0 I  [4 T. i5 H9 m8 D; t& |+ M
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method' P3 q# q  z) T$ b3 B
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
. a9 I# R9 o! I0 e& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
1 J) L# J+ w0 V- T! YMethod》据说也是不错的。" `4 F, Q2 ^% O+ s- ~
+ _% @6 @# N5 K. ]
谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的3 o! n5 ]$ p+ b6 f
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods: P: I, w: k& u" x6 @( ^! @( a
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
+ q. V$ f# N8 V2 U很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/, N9 d( ]+ Y* i# [5 k1 N2 R% }
）
) L& h1 p0 G7 u8 ?  j上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的( f# s/ I& ^0 s! q
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还( z; ^3 u- E; u
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
6 B9 n9 u+ F% w2 B+ V. @不知道能不能再学校里找到。: c! m- V$ O0 c8 K5 G( f% x+ v1 n
3 H& `  O9 ~7 B' `6 _2 w
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可7 G- @5 ?# _6 \, e
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
6 M8 \  i0 |2 U9 b. S
3 e* A7 z8 c  \, @% w. K& {  \' |计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
& n4 {& o  U5 B; x6 C- }( U# }Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
1 n& {) A/ v* _: k《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
- F5 S3 y8 c3 V& R# c. Y经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理! @4 d! G' g. B' X
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
) M. m, s+ I+ `% S/ A+ V西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。* t' t! J' b; l; g' m
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
8 T" g3 ?1 M* D& u0 Y1 J, B出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
6 r, w, Q; p7 T: t' o7 g性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面, ?, {/ U0 ~5 [8 Z# u
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。
7 X# V: V0 Y& j" G
& x1 @  S) l, i) R: m% m+ b1 d计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
. g6 t' L1 I# b" |$ k7 F体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没0 w/ |8 j, H4 K/ w* R, ^% \
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。
- G7 j# f: g) _5 O( M! Q3 |3 j# K0 \8 N2 K. Z7 O
最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
; y! T- n! C+ M) [计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
- M$ T- V, U& m; I7 x0 N% k* L5 Q; v面的网址注册8 C4 N: ^1 |, }6 c% E
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
) ?& v; W$ S) ]) b英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
( b7 T% Z3 ~9 e; c& X# W7 shttp://www.netlib.org/na-net
: S; m. ]0 `# P' e1 u  L5 W* w% k/ l2 Y

. V% R. q4 W  ^% M8 f" n8 Q' {, R: k' i' X# T( ~$ v7 I/ F
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我+ O$ _% f* z4 M7 [3 e
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
. W. c2 S7 T% C1 Y7 n都有中译本的。4 I, V6 {3 k1 }1 _8 i/ e2 k' K

+ e# i: U# r6 ?2 v接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
! S% L$ g" B1 y4 S6 |) e在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐3 }, Z8 v1 I7 R6 H. I
树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
3 _2 d; H0 L- B向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面0 G1 A6 Z+ O4 r& p
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列) [. e0 m$ @8 J- w; t6 g1 M
出来。
3 `% B5 G, j- x& `$ H% z3 e/ |+ ~
6 K4 n& ?* F0 k国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。1 j3 s+ r. S. ?* Y! t% }2 e
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
2 [* F1 t6 k9 ~Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
+ ^1 E7 z9 L7 Q. P" a0 G的大家。
6 E- d3 O& Z( z+ Q1 p
0 g; j( [! [; W, V: d; v. m矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The9 @. b  o0 I) {7 [5 Y
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
( c0 x, w" r4 @人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
! V' @0 a$ _( s, a* R# R8 L) i系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是& R3 y2 \! _. x0 _0 _* v
很有启发的。现在的经典是Golub和
( @2 e8 k( W# {  Svan Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，. D: Z( H: \& U, K  y: H0 [. E: \
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
3 L1 _3 ?$ O+ ^( x; X找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear' Y, o1 ]1 }* p* M5 I- J5 y/ c
Algebra》，Trefethen & Bau 的
: f$ I9 z4 S5 g" `  E《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
+ r& {( S+ N( W/ C; h# |Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》8 K$ M. d2 i) Q* I  R7 D
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
& Y7 h% l. c& w7 O+ c7 ^& L0 d写的挺有意思的，在他的主页5 A" l  F  x' [7 A% `9 V
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）- j7 U% f+ a6 ]: A
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
7 b4 J2 k: C& I书，《The theory of matrices in numerical analysis》
& N- k$ P, `5 w8 p! ^(有中译本，系里中英文版的都有)。
% [; U' t) m9 K/ b& U8 {
( ~9 U( P7 F( r! p- ?( mLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，- @8 j* E" j, F7 a& c; [. r/ P' P
前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
8 c" X: f$ J- N; \: q9 e$ b% j: A% ~《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
5 o$ `! X, w) q) A  c2 aand Spectral methods》（在他的主页上可以) V9 ^8 t6 N1 M4 i  f0 ^
down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）3 {* F" B7 u; F" n1 j& i! p
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。3 w' Y) A/ h# \

/ g8 ~* B2 N4 V- ^8 p' |+ o他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经  W& e6 }  P# Z* d' X4 }' B2 u6 `
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
9 u( J& O7 s- H6 I' S献，也许对大家有点启发。
6 j( x7 S) \8 K! k6 l
: y# D* Z& H5 z2 |& k/ y1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform% d$ O) v! V" ?- j9 A7 E: n; Q
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
9 U/ ~* s2 F& @& i5 ?2 |" s1 |3. Householder (1958) QR factorization of matrices
  r* h, b  x8 z: H4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
! A: `4 C% t5 l5. de Boor (1972) calculations with B-splines. p; |  a- K# C. t
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
1 B6 z1 `0 Y$ M: F7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition( E" x& Q# a% f1 ]* A* @2 V
8. Brandt (1977) multigrid algorithms) ~: b6 [7 Z/ @
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
: }; I' z7 b! S) ^! G3 ^# A10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
) x: {# P0 I" S; D$ s1 q7 S11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
' f! y" }" t- z12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
6 l5 ?$ W  S/ P" k7 n' Y6 o13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
$ ^% P; O3 H; S8 W: n4 \- y' r& s: H' X) B# K8 D/ d9 K
他的remark也很有意思，We were struck by how young many' O, D$ w# J& X$ v# u+ `; R( ?7 Y
of the authors were when they wrote these **s (average# A" L; y4 i; @, l) N2 j
age: 34), and by how short an influential ** can be
" f/ `) o, B2 ^: @9 K(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
; D7 f- K- ^, U* u* D都还是很有希望的，呵呵。
! k0 Z8 K3 }) F0 D( L! o5 s- P' l# C' |* q

" F: ~7 w. V5 l0 a反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
8 u! Q$ N- |: @# @6 D  m& Y$ M0 z4 K  _! s: v
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed) z2 ]0 t& Z* @7 J4 Y: s

6 J, [2 E3 G' t- ]. eProblems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
) ?9 V# Z  _- ]& g) I. a0 }- c- K% j
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂! s: o" K( f8 Y, u/ e
, e2 s3 j% v" ]; N# v3 ]8 ]0 x/ R+ P& G
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的5 ~" |, v. K  r5 C, g8 S7 w
6 Y9 |# n  h# ~+ M
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical
9 I( @- s( ]' I1 G. G3 @+ `3 g3 F$ D  {1 S8 w
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM
3 j2 K6 V* _1 H7 K# }, T& S: o
' w8 Q/ m3 ^$ p: C  `; R! FJournal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on; o- y" c  a# O+ _- E
' i" J; F' e& g' h  s6 ~
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。* B% J; w/ h6 R* Z! q( Q7 `) E6 ^
' F  T" [- P! [6 B5 @" T
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问0 x9 [1 V; V9 E. {8 n1 A9 }& ~! y
; e) u" i( M* k( H, s3 [9 s& m3 A% d
题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好
: G% H) v0 Z3 ?' ?* U" K* r: [  V  s) A& y& X/ ~% u0 V  k
的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他8 v( ~. j* z& l6 D, c
5 ]3 j5 G% Z( Y: j
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
9 J% R8 x6 D2 x2 a' \7 Y6 J" j
$ M* ^" B" E) l# X4 K/ l/ FEngl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin) A  T2 Q' \8 I- ~7 H
! [( R+ A& C3 ~- R( C; I/ a& D5 ^
Hanke（德国）， Isakov（美国）等。
8 Z, }5 g; h9 g. A+ J" _# V8 s" ?* \8 g: K& A4 A
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根
/ Z4 z! q5 J/ `" `" k) Z5 j
# }5 v6 ~, ]  ~7 Z* H- t据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应
1 j5 [# P8 t# w8 U& N: C0 Q# u. C: d  Z% G
用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。
& {) i2 ]; c& j7 @. z( [( n
. w) r0 V( u5 c$ U水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学( h# q1 N6 T9 A: _) _6 M6 T$ E5 b
的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问
7 @) P$ @6 {( Z9 u" f0 _. D) S4 A  f* S8 A% Z9 k7 L
题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水( J5 W( {1 k% G2 z+ M" l* \) {! o
. t- J- l, |* C/ F$ S0 K
平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上: }. _3 E6 j( Y. d* C7 b- ^
6 V; q' K4 v* `
有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher
4 e2 ]( n' C% |2 ]" W' k6 h
8 Y8 I" g% f1 ^! o& H& S的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一0 Y; w. _4 l: J9 i
, n, I: I- K: R- k8 B. f
个综述和展望，值得参考。
+ O6 J$ _- F* v: ?0 \2 ]2 a# O& z7 b/ Q4 J( ^
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of; J. O% A7 M& h" h, B
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学. e! [. H0 a$ q/ b+ g2 U
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基) `3 H  `; a* P: t  H
本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但; p3 u- j7 j  n2 H. y4 J9 E
是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问. F. b1 f1 \+ O
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
* j$ q. G7 S7 G& N. X3 a7 S记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
/ [# U5 @6 a$ K# `regularization for Fredholm equation of the first kind》" |# d3 n7 U7 V, z3 |9 N0 O
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本: j: h4 M% w4 j
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
$ n7 \- c. Q) K1 B《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
/ j# f% m0 P0 z8 \5 b$ `$ K, i* ]to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错2 n& ~8 f* o9 Y  h& B* p4 h
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的9 d  t( T5 L1 e" e) N
《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
$ _% F$ i' m+ q作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
( J6 m5 P7 E! Z& t: s《Inverse problems for partial differential equations》，
2 z  \: k" w- I$ DMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for1 s' z' c- |% a5 c( Y7 C6 n0 I3 O
Ill-posed Problems》应该也是不错的。
! W- m& l, }* Y3 z4 k" y( M& i1 s$ G. t, _- ~" b' m1 H
在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
1 P- O2 y1 q( c; }* r: l2 Edeficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
* Y, A& O1 Z$ [* U- h0 H  f《Computational Methods for Inverse Problems》。两本, Z: H4 J: v% z6 K$ X- k
书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
+ N# L# z3 G2 k) X本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
1 K( x0 K8 G$ {1 j' I, {读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
/ n7 g; d6 @% {% ], F化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total& y6 k; ^" s; M
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
8 Q; _) s& F; e; z0 r% B; sVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该+ P9 ^# ]# Y) a; `5 G/ C+ k
也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
! j1 p* G( ?0 i, t1 H3 Y+ {: ]了。' |4 p6 Z3 U! c7 Y- J" r* Q" g& n
$ _% H) a; B3 C! b
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：4 |* s6 B& Z3 v" s; N+ P( k
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html / l4 `6 Q6 ?* q1 J

& v# n/ ~- ~! k( r1 f计算的热点似乎有两个特点：
3 l, O8 I; `$ F# k一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、0 n  D4 U( a& i6 P. Y
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
6 o1 y* b2 z; q; |% \- F科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三! k: x& t! a$ M5 y9 b+ E8 h
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
0 Y7 K* S9 W4 N6 G- H中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。
% t! q( m7 N) J% Q
& ~; M, H# S# L4 n: L6 p0 R6 x一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微$ G! a$ F6 \  Q7 k
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
2 F/ ^" i6 c3 }# u, a) q8 g( S是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。; H+ s6 |/ r' x2 _0 ]7 I& N
这也应该是一个值得注意的地方。
作者: bingcheers    时间: 2010-2-9 23:33
内容特别好" s7 g( p; p6 B9 i, E" e
你看了吗
7 e- O2 U7 {& w/ H/ o( }9 h
7 s9 M% u' Z0 @9 X* x+ A" C* \0 I" d+ D3 F, k
回复 1# mzszrj
作者: celestshakey    时间: 2010-5-23 19:26
好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。
作者: 文素    时间: 2011-1-3 01:29
不懂~~~~~~~
作者: randy2009    时间: 2011-1-3 18:58
好文章啊，顶了
作者: 0.9清1.8清2.7清    时间: 2012-8-31 15:59
顶级高手!!!!!!
作者: hualian110    时间: 2012-10-9 21:43
看着很复杂啊。
作者: 此生不悔    时间: 2012-11-23 21:33
这样的文章才能值得叫好文章
作者: 汲荷    时间: 2013-10-10 21:56
好好好好好，计算数学啊



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