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标题: 谈谈计算数学(转自校内) [打印本页]

作者: mzszrj    时间: 2010-1-23 09:06
标题: 谈谈计算数学(转自校内)
虽然不是我写的,但我觉得很好,希望与大家分享。以下的内容转自校内:
  r; |$ p1 b& Q
& b" ]. k% R# _% @6 Q从计算数学的字面来看,应该与计算机有密切的联系,也强调! D- ^1 ^, K: V- ~
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能3 ^, y' L# y) n! @9 T% l
最好地说明这个问题:7 [, U+ I2 Z- }& x8 h
9 K1 J2 m6 v& N
How could someone as brilliant as von Neumann think# ^) e1 ]4 y5 V0 Q( `8 r8 W# u
hard about a subject as mundane as triangular factoriz; A/ e( j% |, `: C8 U- i; D3 F
-ation of an invertible matrix and not perceive that,) A1 i! x/ z# a4 K; b% ~+ l
with suitable pivoting, the results are impressively7 |* D. c4 C  d
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
3 U/ y% ~6 M* x4 a  Kexperience, concentration on the inverse rather than on6 O. }4 ]7 H- l! C4 g$ I
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate.: q0 O0 G: c# }, Y" K
Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a) N1 l! e, o! d% t6 e! i5 @, c
Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem+ U5 t0 X! X) x0 C5 ~7 ^
for at least two years after the appearance of QR? Why7 t- I3 S$ {. e
did more than 20 years pass before the properties of
+ U. y1 a: t2 {4 xthe Lanczos algorithm were understood? I believe that
) W7 k% a  C) ?# fthe explanation must involve the impediments to
' }  x8 Y4 n3 E' v5 F+ o. J/ ]comprehension of the effects of finite-precision* `! l$ a. A8 N$ P) H( M
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)' M' c, m4 z* M2 d  b& C5 n8 c
7 d* {6 y9 t, u# D- V
既然是计算数学专业的学生,就不能对自己领域内的专家不有所
5 r7 u, l! y" _+ |了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康3 X2 k2 x$ b- j1 J8 i
院士独立于西方,创立了有限元方法,而后又提出辛算法。这里  w! v6 P7 T0 y, C& C, g
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家,因为他们代表了当5 }) m3 ^  C0 b  a
前计算数学的研究热点,也反映华人对计算数学的发展的贡献。- n: G3 b) r6 s- `4 C; D3 T
4 P' `4 n8 M0 U$ h' d# S
侯一钊(加州理工)
  Y3 K; V* q2 n; G! f: B研究方向:计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
. C5 G0 ]+ i0 A6 ^http://www.acm.caltech.edu/~hou/ . T: {9 l' r8 N9 t; H5 O" c' N" ?( Z
' |. I6 M* |" c( u. n9 I! {/ Y
鄂维南(Princeton大学)$ j1 H0 _6 u: h: \# I/ v* Y2 A
北京大学长江学者,研究方向:多尺度计算与模拟
, h" {" m8 d$ H( E/ T# Y% ?http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 6 v& m: M7 \  P7 a" J1 T
& @6 h$ L) B2 b% }# H$ }% E
包刚(Michigan州立大学)
6 n! M1 Z$ A$ q. X! Q9 R$ K6 X吉林大学长江学者,研究方向:光学与电磁场中的计算等4 j4 H9 }6 Q% B& Z! v7 [
http://www.mth.msu.edu/~bao/
/ |) f" V; }* m# s2 U" n% y/ a
3 y; ^5 h3 s, @( D& F9 O1 v金石(Wisconsin大学)
: K; V- L$ o, n4 X清华大学长江学者,研究方向:双曲守恒律、计算流体力学、
+ W$ w3 F+ M- O7 ^, u, C2 u动力学理论等" j4 {4 N- z2 j* w
http://www.math.wisc.edu/~jin/
) g3 V3 [* _5 J" |
: b0 W: p2 z3 h' B. s7 k汤涛(香港浸会大学)
/ z0 |  G1 g: c$ w中科院,研究方向:移动网格法等
. U+ q! b. M4 Nhttp://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ $ T" U( \/ b' A; c6 R

3 }5 C" q# x$ @1 X0 X& d1 u: o舒其望(Brown大学)' n; V  u" L2 ]: K  d) }9 g  w
中科大长江学者,研究方向:计算流体力学、谱方法3 H" s- a* L8 J, v8 w) V
http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html
2 A# s; u- A7 h7 ^  T
% ^& a: M, H1 Q0 x8 r陈汉夫(香港中文大学)
6 o" i1 P* J3 Q7 h% V5 I/ t. s研究方向:数值线性代数
" O, k# U3 q! r$ }7 N! [" whttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
7 E9 _$ H, }. m1 z  ?2 a1 x
' L) ?+ p$ F2 \, h, ~; ^' Z8 v3 f许进超(Pennsylvania州立大学)2 O- D3 Z/ e% }- P$ Z
北京大学长江学者,研究方向:有限元、多重网格法0 G8 r) z$ ~/ ?4 X) x6 z
http://www.math.psu.edu/xu/ ( b6 X4 b3 |, e2 w8 i) n  u
% A: K# c$ }, G# O( K* i. y  V
袁亚湘
$ M# w0 |# M* i6 `1 n9 i5 I9 M中科院,研究方向为非线性最优化/ h* ^6 F8 \+ ?. d% e/ \* O. _: |
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/
) g6 O5 x8 `2 y. @( o; f/ M; L7 _( u' V# f6 U
张平文(北京大学)- S1 y3 q/ E$ @+ B' Y/ L
北京大学长江学者,研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
# B  \3 I+ H% o4 y  t6 F模拟、移动网格法等
" o1 w; ?5 d" yhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html & u- F' ~( v" N  r/ X8 G4 D
  t; _( D5 B& p( X5 L$ b! o2 `
陈志明(中科院)' D- {5 ^8 O+ y7 z2 ~
研究方向:科学计算与数值分析,主要为有限元法
/ ~$ z3 ?' c/ T2 qhttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html
( n2 Q) o4 E3 K1 v- x& h- {
, S( ]! b6 V2 ], j其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出8 P% R: q7 Z" i% ^  D, O

7 w' }% u+ w' f& ]* u作为计算数学专业的学生,经常阅读本专业中的主要杂志也许
1 V5 U3 l2 r/ R$ \4 o2 y是颇有裨益的。
2 ]4 i( B# u% V! X3 @- G理论:
# O( S9 p4 _% J6 w2 a6 S1 c最好的基本是, n9 b1 i4 \, P, Z  M, V' h
Mathematics of Computation1 r4 [5 P# {5 M% U: W$ y* {
Numerische Mathematik
; p( P3 `6 p1 \7 r6 L1 [& u! _SIAM Journal on Numerical Analysis
& P/ l# M0 F6 o  G; KSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications' A( s1 x6 |+ Z, g
SIAM Journal on Scientific Computing0 g+ m" p# Q& x2 A* ?- ~! B
较好的有:
- W$ c9 G, ]  W9 \BIT3 x! P5 W  O. a% O( B
IMA Journal of Numerical Analysis
( \  L( s* y: f2 u; vAdvances in Computational Mathematics- w$ ]! A2 j& g$ ^! L
Inverse Problems0 z1 ?9 n  X0 s# b7 g2 L

6 q( j1 |- h1 O" H1 ~* g% F还有应用性质的杂志:" |4 O& E1 A- N" E6 r3 ~
Journal of Computational Physics
4 O* h2 v+ U7 x8 @& iInternational Journal for Numerical Methods in Engineering
5 o1 {; u) p$ @5 B! n7 aComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering4 W9 i0 o* y: P; ?$ {) u3 i
International Journal for Numerical Methods in Fluids
; `, b4 A1 T3 k5 T: Y: [Computers and Fluids! P2 N1 B1 B6 z1 q+ D- x8 v% [/ L
Computational Mechanics
8 ]  q+ G1 a! |/ i9 R还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊:Journal of, t, U. V; u& V" V% H6 a' `
Computational Chemistry,Computational Material Sciences6 F8 h3 R( Y, {/ q0 q
也可以浏览。& R- ]$ Y% c4 }4 V2 e
# W$ x) {4 U$ b5 y4 c0 V
但是作为入门来说,大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
; c4 R1 F/ P' {, u了解、把握一个领域,因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
5 i: [6 w& p  D5 j) c学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出) I- j, x3 \) S: R/ `. c
版一本,作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法8 k- B. ]8 a  H; O% B
非常热门,05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
4 X) k5 ]1 ^6 L7 h的Level Set Method in Image Science。其他论题有:entropy
* T7 j4 J! A  D+ v. Xstability (Tadmor E),radial basis function (Buhmann MD)等
% ^7 H: Y/ _4 M/ K等。该出版物我们学校没有订,不过可以从网上可以找到不少。我
) J3 {2 K7 i" V/ q# B: ?这里大概也有二三十篇,可以提供上载。
- m( U' F( V' h3 J, @* ^# ]9 T9 g& O  F4 k0 H  [. J8 O& F' u
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
' i: j* z) u8 _- M4 h7 J- z章关于计算数学的内容的,经常从实际问题引伸出计算的问题,或
( D6 ^, s& u& j) \, J5 j者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
& t1 ?2 M! L6 j; d. b1 x计算的有意思的短文,不妨浏览浏览。9 T8 B& G9 g% {$ c
- b1 Q. [% C8 C! W/ G- x
作为数学系的学生,无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
. t8 ]  E7 P4 `' N) U+ F称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。
" J; z! j# @' O; t: h) K7 s( ^% n9 K+ P5 p
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分% m! J( {. @& g- S# Q
法、有限元法、边界元法和谱方法。1 M0 c7 y9 X- n, U4 n

* Q6 j0 V% J% M) [2 A有限差分法想法最为简单,比较容易理解。李荣华的那本《微分方程9 L1 M! F, n/ t0 q
数值解》就介绍了最基本的东西:收敛性、相容性和稳定性。
& r$ h1 K  L- D( [/ G2 QRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value+ d0 Z% L/ I0 z! P0 }, B) w" P) C
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
/ K! a# g5 v, C% e1 J4 L《Finite Difference Method for Differential Equations》也很4 d' C0 m! n) E
有意思,介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的: N1 c; D" F. R; _
主页(http://www.amath.washington.edu/~rjl/)上下载,他的另1 L4 ?/ z0 d2 j3 F; z
外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
  Z5 ~" g6 O% p7 C- O) j数值方法方面非常出色的著作。
& X# h$ g- @+ e7 h- D
! {) v$ [, p+ h, T5 S有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method7 B% G  `8 Q' v
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材,另外Brenner9 n% m: T, f% y: [0 I
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element* N* K/ o. I* o3 t
Method》据说也是不错的。  V0 S* }9 p! ?, E+ f- W9 u

5 D+ Q9 I4 Y" C% u: t谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的! C! p) k4 E2 i# F3 h& Y' B# X5 T
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作,他的《Spectral Methods5 v$ }1 k/ a2 f! C/ [3 n/ T
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
: s4 x" X2 D$ @很出色的工作,他的一个讲义可从他的主页(http://www.math.purdue.edu/~shen/! ~% [9 s2 W0 w/ J& O4 E

( v7 Q( D2 h; X8 X/ s! I) b- D上下载,同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的+ m7 }% s- d1 S, N
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》,其他的还; B% o2 d! l' m# L2 c
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》,不过
: A0 a* p* c& A  |% _不知道能不能再学校里找到。
/ @/ K8 m/ ]; q& ^7 k; Q4 J! |& F8 [, o2 @" a+ |
除了上面这些方法之外,还有近年来比较热门的无网格方法,这些可
5 V  g# l# a! N4 {4 F4 y5 m" N以参考张雄和刘岩的《无网格方法》(清华大学出版社,2003,50¥)。
! E1 D8 V5 I' E' u) j8 w1 M' Y7 A4 D! n$ M% L
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional9 U' |$ l; g, D7 x7 X3 Z% b3 ^
Analysis》(有中译本:吉田耕作,《泛函分析》)或者Rudin的2 F, Q1 q1 `( |. H1 s& f' x
《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的,但是也是非常( W3 p5 Z  g& V6 ]1 e* U6 m; z; f
经典的书,可能当字典比较合适。但是,泛函分析里面重要的定理. e4 e/ b4 k2 [! I5 i5 j' Q  ~
在计算里面并不见得特别有用,所以我们要甄别那些可能有用的东
: a7 g& s- }) |' c6 f西,Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。9 S+ `7 P0 X* S" o1 i
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由,如Holder不等式的导& j+ n6 t6 Y" ]8 e( f7 R! @
出,也有泛函分析在计算数学中的应用,比如Kantorovich迭代收敛7 q0 d, {4 P1 k
性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用,里面
( u$ K8 f" g8 r! B9 t' ]! T+ y' O也有一些应用于数值计算的例子,比如Lax等价定理,值得读一下。
, ], {0 o& ^7 D/ g: j% E
; L3 E  e9 O3 d计算数学还有其他许多重要的分枝,如矩阵计算、反问题、计算流
# Z: o6 C- f3 }体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少,这里也没, p- t3 a  ^$ h% f% e$ V6 i7 Q. o) ^
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。. q# J/ s6 ]  B! m2 F! h9 }
9 a) l2 K6 y  g' N7 P: Z1 O+ Q
最后补充一句,订阅mailing list也是不错的,可以迅速获得关于
, W. _* R' _& Y# a( W! W计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM,可在下. V* G3 C$ P7 g7 G9 N5 y
面的网址注册
4 B7 B4 x8 F* D- ~' M& x: zhttp://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 0 ^# M5 U* H$ ]% `1 L
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, c7 i" A' C% K2 M' Vhttp://www.netlib.org/na-net
! r! d/ f, N. b! c& p$ ]+ c
( d3 P1 E+ {2 Q; B: Z
9 S3 w- N6 X! x" U
) P" r4 I0 y6 t6 P先订正一个错误:Sawyer的那本书的题目我( p$ K) W+ X3 T, A
记错了,应该叫《数值泛函分析初览》,系资料室和图书馆* D5 e% E" k# Q4 n2 V, M+ c
都有中译本的。) M( h  r: _8 h9 ?
. C, W) C2 i6 i9 a3 J; Z
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
* Y7 \5 u+ c$ s2 |- I& Q( ]$ S在这方面有很出色的工作,中科院的白中治,北京大学的徐& j# {8 i  z* a# @2 H7 F8 S) Z
树方,复旦的魏益民和曹志浩,澳门大学的金小庆都是这方1 m5 @4 |2 h/ W9 |8 d6 j9 h
向的,还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面) B8 [7 x0 B2 X+ }
有很突出的工作,可惜我基本上没什么涉略,这里也不能列6 n8 N) t6 K4 @3 ]- G
出来。' i( d; g9 Z9 D, \
! [+ U9 B+ O) s' w# q3 ~. b+ [
国外的大牛有Golub,很多这个方向的大家都是他的学生。/ C9 d9 S9 _' f# y% F+ M, Y* `4 H
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,; c! R  I. e* B- _
Higham,这个名单可以列的很长,这些人是矩阵计算方面
9 U  X! e* S! ?" X3 w" \8 ?的大家。
2 d4 ]1 u$ N; {! h9 T5 Z* N7 Y. a9 j) o
矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
- d) P' }$ t  _3 t6 W1 T$ RAlgebraic Eigenvalue Problem》(有中译本,石钟慈等
' @1 d1 ]$ T5 n0 Q2 h6 b6 U/ `人译,《代数特征值问题》,科学出版社,学校图书馆有,
' K7 E; A0 h+ a& o$ _系里有英文版的)。这本书虽然老,但是据说读一下还是
5 O; v2 M- k) T很有启发的。现在的经典是Golub和+ B# I. [7 p, Z, X! }
van Loan的《Matrix Computation》(有中译本,袁亚湘译,
/ K, G9 K) P* \) w9 `《矩阵计算》,科学出版社),英文版的电子版可以在网上
. I( C7 i, P$ u9 j) Z# V找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear. B$ w, Q/ r9 T4 ^
Algebra》,Trefethen & Bau 的
$ \, s* ?, u7 R* s/ P《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef* S9 e' }! r9 Z, H+ m2 `3 `
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
5 u3 x6 @" f$ Y$ C" v和《Numerical methods for large eigenvalue problems》,
; e3 ^, ~& `  ?( D- L0 i: K: ~写的挺有意思的,在他的主页
7 [' {9 s) g5 |  _5 O& Ahttp://www-users.cs.umn.edu/~saad/
, Q# t3 g) m! y/ s6 V上可以down。说到矩阵计算,还得提到Householder的一本老
4 @$ W  C% l! A书,《The theory of matrices in numerical analysis》
0 Y9 @& v& l* d7 f(有中译本,系里中英文版的都有)。
, U4 w8 q6 _' d* E) O. [  @" F
+ }' B5 `0 ~0 \; H' G) M. L% X8 LLN Trefethen现在是剑桥大学的教授,他写的每一本书都很经典,1 b" S6 H6 n/ y8 K  _; q- }# t
前面已经到过他的几本书了,《Spectral Method in Matlab》,( q# @; r) a# M3 H2 Z* H8 l
《Numerical Linear Algebra》,还有《Finite Difference9 |! r; Y" ^& n2 T9 v8 s0 {
and Spectral methods》(在他的主页上可以! ]0 w; {' g+ j2 c5 u' _
down,http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/
$ H. g4 m5 u! U# @: E4 y。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。( L! y" z6 K+ u3 ~' a9 h9 _$ q6 E
. v9 Y5 H% i9 b1 `
他在Cornell大学任教时,曾上过一门课,就是阅读数值计算的经2 @  R' o  H/ Y8 Q4 ?
典文献。为此他写过一个短文,列举了数值计算中的十三篇经典文
6 H% `  f- N8 X2 g9 K献,也许对大家有点启发。
6 i- t% o* G* X. G5 \0 v9 p
$ ^8 C% E: k# Y1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform# e" m3 L+ d- T7 ^0 U1 h, k
2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
/ F8 T. R+ g: Q4 a* v; j3 O, ^% E& f3. Householder (1958) QR factorization of matrices
$ F7 [% Y) E4 @2 Q% z+ d- F: y. `/ }4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
$ N  Z8 D3 L  e0 {$ I5. de Boor (1972) calculations with B-splines# k7 d3 K- j  I; n5 I7 K
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
) S. M6 a- h+ o5 s$ Q7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
5 h( Q6 p+ @. F; H, X" P8. Brandt (1977) multigrid algorithms
: a1 }* S) X9 i  i) h" P. R6 K9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration1 H1 d. l2 e/ Y# |8 c
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates9 c5 e5 Y0 c( _5 S. Z& e
11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
. e. _9 h( b9 Y+ d* s, V/ g12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.' Q9 l/ n8 @* P1 Y1 c
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles% S2 ?3 \5 J/ y6 e7 [! }. h

, ^# z3 C. F5 l, |2 V; ~6 _他的remark也很有意思,We were struck by how young many" c1 e0 O9 N5 S! S2 n
of the authors were when they wrote these **s (average# `: y. T7 W$ y6 F! x( l5 ~' @. s
age: 34), and by how short an influential ** can be8 I: Z' `1 T) T
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家& ~. g( X3 Q' Q; J) o$ w% S# f  q7 }
都还是很有希望的,呵呵。) b! }$ F# V, T3 K- [4 C
8 q0 H8 `+ d/ ?/ ^9 Q& y) Y4 `" L
) j& D/ b: l) Y. A# I6 M. l$ ~
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
: I- ^& m2 U* x/ r3 X5 Q3 H% s4 B# P; E: @) x
几本杂志:Inverse Problems,Journal of Inverse and Ill-posed
# a8 T$ G% z2 J1 A6 x0 b7 {* s0 A! o. a
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
! Y# G( T7 v' S- j* S3 k+ P
/ b$ m/ ]* b' ?5 f7 V- C叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好,第二本杂
( A) S# ]) M$ P: ?: k  b
3 a( o) t; e0 W; I- e+ R志上面有很多苏联人的工作,第三本偏向于应用。在很多高档次的
7 [) E! H0 t5 d% C4 h0 u% n' M& y8 _# |  a. U& U( M
杂志中都有反问题方面的文章,比如SIAM Journal on Numerical
8 w% {& Z, |) z$ o5 I+ C/ [
  \, x% Z0 U5 E, p0 u) R6 h# U& zAnalysis,SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM9 E! k6 s8 U) t$ }7 |

' V: N) C! {+ @! ^! sJournal on Matrix Analysis and Applications,SIAM Journal on) z, _6 p- D/ r3 {6 Z* Z# F
  U/ ]0 C" v% T2 n9 X% T
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
; v5 i# H7 W+ p# A, p0 l* i8 d6 X0 o  H* p" C* O' N
在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师,他在反问
: E6 I+ P- q4 K& Q& ^* Z- t, @
# v3 p$ T( ~3 J/ \. g. }题的理论估计方面有不少工作,南京大学的金其年老师也有不少好
; m: n$ T( R2 X8 z- M5 B9 ^) H: B9 Q2 n
的结果(很年轻!),哈工大有几个人是做应用方面的工作的(他
3 I  q2 @! ~% [8 z& x" A! e9 D6 {! w/ a- `1 _$ h& T
们的前校长就是做地球物理中的反问题的)。国际上知名的有HW, ]/ f1 L; t3 v
/ `9 J6 V# s7 I  {
Engl(澳大利亚),Yamamoto(日本), Kress(德国), Martin
3 Y. }' Z4 y$ L2 c3 X: c
3 J% @, [* z4 {/ ^/ B; r4 k% PHanke(德国), Isakov(美国)等。
) e' \! P( A1 q' a: _5 N2 }/ g- a) z8 b3 i
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密,往往需要根
, p/ R1 T6 s  y
, j' i& E9 Y- C' I& q! Z9 t& b. K据问题的特点设计专门的算法,这也是反问题的难点所在。很多应
: C! g; A/ q. ]3 Q
- d/ U+ E+ v+ F! Q+ z2 Z3 d用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。
8 a4 e: I$ M* [) E/ `/ U/ ]$ q3 s( T* e+ X0 @
水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
% G; O' l; I5 z. K" E5 F的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问+ v1 K5 r, S, s8 D/ W4 t5 q

% e& K7 ^- P+ C% O) a% ]题,但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
/ k0 D' l6 U! C7 H' v7 g7 d/ S
  O+ f! X1 d2 X平集方法应用于反问题(发表在Inverse Problems上),在国际上  Z! h6 L# Q7 j( i

( l8 @: K3 b& O$ [+ O: T有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher& k# T* _2 A2 Z

2 \7 O+ \- A3 x% }5 @2 S的小组作研究,并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一
' M- X3 ?+ r4 \/ W) F8 y7 m
  H; d; {8 @: d2 g" z" m个综述和展望,值得参考。
# F7 \5 i! Q9 {' M+ t* H# t" P0 k3 u2 ]; D) L" c/ x' E$ C/ b
反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
5 v" ^" r+ g, J# `6 z$ aIll-posed Problems》(有中译本,《不适定问题的解法》,学
: n; w7 A9 g- x校里有,英文版的系里有)。现在反问题反面每篇重要的文章基
8 i5 N& [# [. L; G4 T$ }' H* p本上都要引用这本书。这本书比较抽象,算法方面有所涉及,但
) |$ {% G* \' N是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
+ p% i; O, {. f2 B题理论方面的书,还写过一本算法方面的书,可惜书名我已经忘$ ^& P# ~) T% ~  E5 \5 }
记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
$ x# }2 P4 M- h8 @: r: W2 M, Jregularization for Fredholm equation of the first kind》! k" Z- M1 b; P6 [5 [/ u7 g+ f
是比较好的入门书,这本书比较薄,也比较容易读懂。读了这本
: k. b& G/ @; Z+ v# S1 Y书之后,阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
! a6 V( ?# Z- x6 |0 l2 n; N3 Y; A《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
+ Z. S4 Z7 s6 c( }7 u3 q! nto the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错6 K5 z6 p& S- z, Q* m5 d1 A' Q
的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的" c3 D4 }' y. g9 j6 T. E: a
《Regularization of Inverse Problems》广受好评,应该可以& v+ U1 n5 C0 E: Z1 R. N  G
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多,如Isakov的: ~8 R4 C: H+ m
《Inverse problems for partial differential equations》,
3 L, _/ v( e+ r; z* yMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for; y) I5 f. k* W& a( m
Ill-posed Problems》应该也是不错的。
- Q, E* `- o( N0 R! @5 r  y2 J- ?$ ?/ j3 g3 X, U  v
在反问题的数值算法方面的书籍不多,只有Hansen的《Rank-
# _( g5 x. _( xdeficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的6 B& h( w* b$ j- W
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本% H8 o$ H, j* v
书都是非常棒的,要求的基础基本上类似,对矩阵计算的基. L& @/ S% S/ |( o1 X% @
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同,Hansen的书容易阅* I; Y3 a$ _1 Z% @, R
读,所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学- W; C; p; t) f% Y5 f( k' J
化,涉及的范围也稍微广一点,比如说很重要的Total0 {) g; H# X! K+ z. P. o
Variation regularization在Hansen的书里就不讨论,但是
- U. P8 ~( |# D: m$ Q: K7 E8 yVogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
# Y" v5 E. F% A8 e& G也有很大的参考价值,可惜我没办法搞到,所以也没法评论
' P( \/ a: L5 \& k7 k/ d了。9 D1 A9 m4 [8 L9 J) D
  t8 Y1 j0 B) N6 l9 S+ H
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到:! E6 g3 e% e. T! L- s( i% l
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
; U3 z/ U9 A6 Q" w
7 l& _( E% c: P& d4 \计算的热点似乎有两个特点:
& q$ O( b; J. u  h& w, i一个是与具体的应用结合形成新的学科,比如说计算流体力学、
1 t8 e* q4 o* @/ m计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
- U7 Z* S, X# F科的发展做出贡献,也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三( n' E8 W4 h2 E
种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学8 d" e2 ?" ?/ C* ~4 h; F
中的一个热点,可以参考鄂维南老师的评论文章。  _9 W$ T  p7 _, R% ~; C% |+ ^
8 o  Z0 k9 d( {2 f" c: H
一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微. L- Z! L* `9 l* B# D! [
分方程数值解法,拓扑引出的continuation method。其缘由可能
" Q( E, K9 m3 R" r是基于某种物理上的考虑,但是可以通过引入新的数学工具来解决。
$ d0 \1 u- p/ z9 i% Y* V# [这也应该是一个值得注意的地方。
作者: bingcheers    时间: 2010-2-9 23:33
内容特别好& _; P3 E" R' o$ T; q; P( l+ k
你看了吗
0 c, D! a; |/ m+ F5 Y9 J! c1 k/ `) H8 y7 k; n/ z
1 O! l( Q3 M7 H
回复 1# mzszrj
作者: celestshakey    时间: 2010-5-23 19:26
好复杂的样子,好多没听过的杂志。。。
作者: 文素    时间: 2011-1-3 01:29
不懂~~~~~~~
作者: randy2009    时间: 2011-1-3 18:58
好文章啊,顶了
作者: 0.9清1.8清2.7清    时间: 2012-8-31 15:59
顶级高手!!!!!!
作者: hualian110    时间: 2012-10-9 21:43
看着很复杂啊。
作者: 此生不悔    时间: 2012-11-23 21:33
这样的文章才能值得叫好文章
作者: 汲荷    时间: 2013-10-10 21:56
好好好好好,计算数学啊




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