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标题: math challenge problem [打印本页]

作者: antilysin 时间: 2006-11-11 14:57
标题: math challenge problem

a mother of four bakes a flat cake for her children. she tries to divide the cake into four equal pieces with 2 cuts(along the straight lines). prove that she can always do that( we do not assume anything about the shape of the cake. the pieces may be of different shapes, the children only worry about the size of their share)
hint: use the intermediate value theorem

谁知道怎么证明，请指教

作者: madio 时间: 2006-11-12 00:26

我给个思路，不一定对。

假设已经切了一刀，我们用这一刀所在的直线作为x轴，取直线的中点作为原点，第二刀可以用一个与坐标轴的夹角来表示，问题可以变为是否存在一个角度使得四块面积相等，令f(x)，g(x)是以交角x为自变量的连续函数,它们分别表示相对的两块面积之和(一般相对的两块的面积差不多)。考虑连续函数：

h(x)=f(x)-g(x),当x=0时，f(x)<g(x),即h(x)<0,当x=Pi时，f(x)>g(x),即h(x)>0,根据介值定理，必然存在一个x使得h(x)=0,这是可以认为分得的四块面积相等！

作者: antilysin 时间: 2006-11-12 09:39
第一刀不能任意吧，否则有可能出现一块小于1/4个蛋糕，接下来不管你怎么切都不能4等分了。
把原点设在长方形对角线的焦点，第一刀过原点必定平分蛋糕
接下来照你的思路写就对了，你看看是不

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