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维纳认为他父亲是天生的学者，集德国人的思想、犹太人的智慧和美国人的精神于一身。从童年到青年，维纳一直在他的熏陶下生活，并逐步成长为一个学者。 & s0 L8 h; ]2 T; u 3 L' L a: w" I' u维纳在其50年的科学生涯中，先后涉足哲学、数学、物理学和工程学，最后转向生物学，在各个领域中都取得了丰硕成果，称得上是恩格斯颂扬过的、本世纪多才多艺和学识渊博的科学巨人。他一生发表论文240多篇，著作14本。他的主要著作有《控制论》(1948)、《维纳选集》(1964)和《维纳数学论文集》(1980)。维纳还有两本自传《昔日神童》和《我是一个数学家》。他的主要成果有如下八个方面： / V2 x6 F% i* t3 c8 V% ~' A8 C & Z2 g: m/ |# I( I( z7 k0 }! `# n+ j8 u/ ] Y! u" Z% C( z ■建立维纳测度 [% y& b' v" \6 t% V* |4 g( ?9 e% z$ q7 g4 G
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维纳是第一个从数学上深刻地研究布朗运动的数学家。1921年，他用函数空间的点来表示作布朗运动的粒子的路径，并证明，所有这些路径除了概率为O的集合外，都是连续但又不光滑即几乎处处不可微的。他运用勒贝格积分计算了这些路径上函数的平均值。1923年，维纳第一次给出随机函数的严格定义，证明可以是布朗运动的理论模型。维纳从样本路程的观念出发，研究“路径”的集合，引进维纳测度，揭示了连续而不可微函数的物理特征，故布朗运动又称维纳过程。 " e- S" T9 c. K- ^$ X A+ f: @/ I% M2 p2 a+ k
' r0 A7 Z2 c8 B; l6 W4 T 维纳的工作对于概率是极富成效的。它不仅给老问题注入了新生命，更重要的是开辟了崭新的研究领域，揭示了概率论和其他数学分支之间引人注目的联系。维纳的这项研究可以说是现代概率论的开创性工作。现在把定义在连续函数空间的一种描述布朗运动的测度称为维纳测度，关于这个测度的积分称为维纳积分。后来，日本数学家伊藤清在此基础上发展了随机积分论。; j3 }: v2 g0 O! [5 J
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4 c, n! j! I% {5 r+ P0 b* D ■引进巴拿赫—维纳空间; m( @* N- l m! Z
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* U7 U9 f4 ~& y Y& u7 q$ B( I 1920年，维纳将法国数学家弗雷歇关于极限和微分的广义理论推广到矢量空间，并给出了一个完整的公理集合。维纳的结果与几个星期以后发表在波兰数学期刊上的巴拿赫的论文不谋而合，广义的程度也分毫不差。巴拿赫构想和发表他的理论比维纳早几个月，但两者的独立程度是一样的。故这两项工作一度被称为巴拿赫一维纳空间理论。维纳在短时间里继续发表了有关这方面的成果，为冯诺依曼1927年提出希尔伯特空间以及希尔伯特空间中的算子的公理方法提供了基础。5 I0 O A% A1 L8 i! o0 r3 C) l
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% W+ w0 c& |: I) i 后来维纳逐渐离开了这个领域，但他对泛函分析这一20世纪产生和蓬勃发展的新兴数学分支所作出开拓性工作己载入数学史册。 / L4 L0 R2 H% k4 \ # \4 M a) o; s9 X ~: z7 y: R( X# C4 i+ Q■阐述位势理论 ) @/ q6 i$ b' p- P 1 ?; r% P( o) g " C4 C! n4 g) o6 I# n! v+ w; l 1923～1925年，维纳对位势理论作出基本的贡献。对于给定连续边值函数的狄利克雷问题，得出了确切的广义群。对于一般的紧集定义容度概念，并给出著名的正则性判据。早先关于一个区域内部的电磁势的概念认为，它应当同边界上给出的那些值完全一致。 ; N( m& g) B: A6 E$ i- a/ g- Y0 }9 _. k- q8 Z7 o2 E+ }
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维纳遵照他业已研究过的类似于广义积分的概念，注意到一个区域内部的势可以被看作是由边界周围的势的线性组合决定，即使按照这个定义在接近边界点时不能给出一个连续函数边界。这是一个崭新的概念，维纳由此大大地扩展了位势理论的许多概念，包括电荷和电容的概念。 5 I; k% g) l: V/ L' u5 Y/ M7 K' H% {3 u; a1 O7 F/ H8 V$ v3 l+ k
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这一成果的意义在于，新理论认为，一个内点的势与边界值的关系是一种广义积分，而不是由一种将这些内部势与边界上的势结合起来的极限过程。这就把原有关于边界问题的观点颠倒了过来。就象数学上曾经有过的多次观点颠倒一样，重新阐述位势理论给多年来被一种过于因循守旧的论点弄得死气沉沉的局面吹进了一股清新的空气。- e: @/ N! o. l8 e) |# [! t. {
3 m8 u7 f7 C, W2 a % d4 S. [' G5 y$ _+ u■发展调和分析 6 j: h: @9 D# P" w1 ~* h+ K: Q# z I4 ]6 V3 n
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为了给亥维赛计算法建立一个扎实的逻辑基础，维纳走上了调和分析的新道路。1926年初他发表了这方面的第一篇论文，此后五年的工作以一篇广义调和分析的长文而达到顶峰。维纳从物理学借来函数作为调和分析的钥匙，而后又把它同通讯理论联系起来，把写成傅立叶变换。他获得了现在所说的光谱分布状态。为了证明其中一个关键性的公式，维纳在哈代和李特尔伍德的陶伯定理中提出了一种强有力的高度独创的方法，即非零绝对收敛傅立叶级数的著名的反转定理。这是一个具有统一数学抽象意义的惊人例子。维纳在这方面的成果后来成为巴拿赫代数理论的基础，并由此导出诸如素数定理等结果。5 G2 @2 R T- c* C5 y s, @
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