0 f) ^, j# P" a 后来维纳逐渐离开了这个领域，但他对泛函分析这一20世纪产生和蓬勃发展的新兴数学分支所作出开拓性工作己载入数学史册。 " [% x# b7 w% k+ b" E) J/ H/ `4 @ + K2 p0 Q, V+ D. | a/ M( i5 _' ^: d■阐述位势理论" B4 R# G' ]/ V8 o) S1 m N" C
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$ m+ ^. Q$ M+ C 1923～1925年，维纳对位势理论作出基本的贡献。对于给定连续边值函数的狄利克雷问题，得出了确切的广义群。对于一般的紧集定义容度概念，并给出著名的正则性判据。早先关于一个区域内部的电磁势的概念认为，它应当同边界上给出的那些值完全一致。 . b8 ]- _! ]% s. w8 K$ o . l7 T& o O- [, d5 C% U- H 5 w! v2 U3 _# b' g! [1 C' U9 [ 维纳遵照他业已研究过的类似于广义积分的概念，注意到一个区域内部的势可以被看作是由边界周围的势的线性组合决定，即使按照这个定义在接近边界点时不能给出一个连续函数边界。这是一个崭新的概念，维纳由此大大地扩展了位势理论的许多概念，包括电荷和电容的概念。 0 X, L+ P- @/ {+ T( ]9 G$ Q6 v9 i
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这一成果的意义在于，新理论认为，一个内点的势与边界值的关系是一种广义积分，而不是由一种将这些内部势与边界上的势结合起来的极限过程。这就把原有关于边界问题的观点颠倒了过来。就象数学上曾经有过的多次观点颠倒一样，重新阐述位势理论给多年来被一种过于因循守旧的论点弄得死气沉沉的局面吹进了一股清新的空气。$ a4 d. d; S0 i. g
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+ f' p u6 P9 j; p! v■发展调和分析: r: I6 o! ~- ^ t
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为了给亥维赛计算法建立一个扎实的逻辑基础，维纳走上了调和分析的新道路。1926年初他发表了这方面的第一篇论文，此后五年的工作以一篇广义调和分析的长文而达到顶峰。维纳从物理学借来函数作为调和分析的钥匙，而后又把它同通讯理论联系起来，把写成傅立叶变换。他获得了现在所说的光谱分布状态。为了证明其中一个关键性的公式，维纳在哈代和李特尔伍德的陶伯定理中提出了一种强有力的高度独创的方法，即非零绝对收敛傅立叶级数的著名的反转定理。这是一个具有统一数学抽象意义的惊人例子。维纳在这方面的成果后来成为巴拿赫代数理论的基础，并由此导出诸如素数定理等结果。 ) ]6 @6 o3 X+ z' E$ Q, N* M7 c" n! s' E- K2 i6 p3 u' f
" m! `2 }5 |8 G% P# h ■发现维纳—霍普夫方法 & h8 u, e0 h! [$ A- h8 Y& L0 e + U$ C/ S9 f. O: _6 e& s9 m, G Q, O) Y% H6 S 1930年前后。维纳与天文学家霍普夫合作，共同研究一类给定在半无穷区间上的带差核的奇异积分方程。此类方程现在被称为维纳—维普夫方程。维纳推广了霍普夫关于辐射平衡态的研究，于1931年得出其求解方法。其基本思想是通过积分变换，将原方程化为一个泛函方程，然后再用函数因子分解的方法来求解，因此维纳—霍普夫方法又称因子分解法。它已成为研究各种数学物理问题的一种常用方法。- V+ |5 J% R; o) B
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" L: b2 ]: ~, E) R. o5 i! i3 y 维纳创造性地说明，维纳—霍普夫方程最引人注目的应用表现在两种进程间的分界是时间上的而非空间的，这正是在预测理论的某些方面可应用的非常适当的工具。他进一步指出，还有许多关于仪器研究的更一般的问题可以用这种作用于时间的技术来解决。40年代以后，这一方程的理论在解析函数边值问题、调和分析和算子理论的基础上得到了系统的发展，其应用也从辐射问题扩展到许多其他领域，如中子迁移、电磁波衍射、控制论、多体问题及入口理论等。+ [; D& B% l B1 ^! R+ B3 C* f" M, R
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; k% K% Y0 y M2 }* C6 y■提出维纳滤波理论 5 {* d2 r+ C' v9 W( _1 R/ Q/ q6 n) X
( P& e. }, T' h- e+ A$ n 在第二次世界大战期间，为了解决防空火力控制和雷达噪声滤波问题，维纳综合运用了他以前几方面的工作，于1942年2月首先给出了从时间序列的过去数据推知未来的维纳滤波公式，建立了在最少均方误差准则下将时间序列外推进预测的维纳滤波理论。! ~, B& u2 I, n
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维纳的这项工作为设计自动防空控制炮火等方面的预测问题提供了理论依据，并为评价一个通讯和控制系统加工信息的效率和质量从理论上开辟了一条途径。它对自动化技术科学有重要的影响。维纳在问题中引进统计因素并使用了自相关和互相关函数，事实证明这是极其重要的。维纳滤波模型在50年代被推广到仅在有限时间区间内进行观测的平稳过程以及某些特殊的外平稳过程，其应用范围也扩充到更多的领域，至今它仍是处理各种动态数据(如气象、水文、地震勘探等)及预测未来的有力工具之一。 ; I+ Q1 X( f$ a1 g& ]% W v2 a+ w- E' {$ l* R
1 D K p& @* a3 z' n, R. \ ■开创维纳信息论 / q1 F! N/ u. I/ G" r$ [; Z4 _ s5 c; L: x6 l- ]& F1 R
' o; ]9 ^1 q0 n 维纳是信息论的创始人之一。他从带直流电流或者至少可看作直流电流的电路出发来研究信息论，独立于申农，将统计方法引入通讯工程，奠定了信息论的理论基础。维纳把消息看作可测事件的时间序列，把通信看作统计问题，在数学上作为平稳随机过程及其变换来研究。他阐明了信息定量化的原则和方法，类似地用“熵”定义了连续信号的信息量，提出了度量信息量的申农—维纳公式：单位信息量就是对具有相等概念的二中择一的事物作单一选择时所传递出去的信息。 & B# Y7 o E! f8 g) k5 b3 S$ S' L0 a% }7 B: Z5 r; I9 a: r$ X4 g S
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维纳从控制论的角度出发，认为"信息是人们在适应外部世界，并且这种适应反作用于外部世界的过程中，同外部世界进行互相交换的内容的名称"。及著名的：信息就是信息，既不是物质，也不是能量，......。维纳关于信息的定义包含了信息的内容与价值，从动态的角度揭示了信息的功能与范围，但也有局限性。由于人们在与外部世界的相互作用过程中，同时也存在着物质与能量的交换，维纳关于信息的定义没有将信息与物质、能量区别开来。维纳的信息定义逆却能分开三元素，“信息就是信息，信息是物质、能量、信息及其属性的标示（2006年）”。 . H; ]6 c6 }% x* n4 @7 A4 k/ G % [& V, o7 f9 n; ` h : |: y$ j D, D F+ E! ]' r0 C 维纳的这些开创性工作有力地推动了信息论的创立，并为信息论的应用开辟了广阔的前景。信息论创立者申农说：“光荣应归于维纳教授”。 + [% j7 _3 v E# u; A* r1 w0 X9 t/ {) U2 X7 h
9 [* E7 Y. b) v" S1 Z3 |* x7 D! w■创立控制论1 O9 b/ J8 g( b4 W# g- R; P& B+ z
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4 H& k; C& {/ }! E+ P# X& G 维纳对科学发展所作出的最大贡献，是创立控制论。这是一门以数学为纽带，把研究自动调节、通信工程、计算机和计算技术以及生物科学中的神经生理学和病理学等学科共同关心的共性问题联系起来而形成的边缘学科。, O- d2 o- Y1 j$ {" A
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" X" J4 U9 D! W: T 1947年10月，维纳写出划时代的著作《控制论》，1948年出版后，立即风行世界。维纳的深刻思想引起了人们的极大重视。它揭示了机器中的通信和控制机能与人的神经、感觉机能的共同规律；为现代科学技术研究提供了崭新的科学方法；它从多方面突破了传统思想的束缚，有力地促进了现代科学思维方式和当代哲学观念的一系列变革。2 Q4 D. S# ^( P, f: r0 ~
