1、标准四色图案内部存在着一个通道网络
2 p. Q$ m/ Q2 y2 J/ ~) n! \- Y- m此刻，我看着脚下的地板。地板是瓷砖铺成的，每一块都方方正正，铺的整齐划一。具体地说，是铺成如下模样：
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图——1
我忽然若有所思，一个解决四色问题的奇妙想法油然升上心头。那地上的瓷砖块忽然活动起来，有的变大，有的变小；有的变长，有的变短。他们排成整齐的队列，横看横成行，竖看竖成行；但是变来变去，还是横竖成行，绝不紊乱。对了，这就是解决四色问题的奇妙法门。我赶忙整理出思路，为了让读者诸君看着方便，请允许我先把上面的图形略微变化如下：
图——2
% r. N- {1 `* K我认为这样变化一下也没有什么不可，反正，你也不是没有见过这个样子的地板。
读者诸君，看出什么门路没有？——没有。那么，请不要着急。在理解我的思路之前，请读者诸君先把四色问题放在一边。请允许我从头开始整理自己的思路。好了，四色问题，就是先有四种颜色，而且限定这四种颜色。我们姑且假设这四种颜色就是红黄蓝绿，那么，这四种颜色，每两种颜色搭配在一起，可以组成六种色带。具体地说，就是如下这六种色带：
图——3
这六种色带，在限定了不允许出现颜色重复的前提下，可以搭配出三种四色图案，具体搭配方式如下：
1，红黄丝带 + 蓝绿色带
2，红蓝丝带 + 黄绿色带
3，红绿色带 + 黄蓝色带
至此，我们就已经做好了全部的准备工作。现在，让我们用红黄 色带 + 蓝绿色带，搭配出一个标准的四色图案。其实也不用去搭配，只要把这四种颜色按照相应的顺序代入上面的第二个图形就行了。代入的结果就是这样：
# \5 I( m9 p4 U# t7 V F
图——4
1 D: ?$ ^! @7 }- I我相信，有些人已经看出问题的所在了。我们是用红**带和蓝绿色带互相叠加组成了一幅四色图案（因为图案中每一个色块都大小相等，我把这样的四色图案称之为标准四色图案）。但是，让我们没有想到的是：其他几种色带也全部出现在图案之中。
图——5
+ C2 {2 B; h. O6 o B. W; d/ n这意味着什么？这意味着：同样一幅四色图案，我们既可以把它看成红黄 色带和绿蓝色带的叠加，也可以看成红蓝色带和黄绿色带的叠加，还可以看成是黄绿色带和黄蓝色带的叠加。在这种情况下，任意一个色块，都同时是三条色带的一个组成部分。
让我们扩展一下自己的思路，试着把色带看成是一条通道。我认为这没有什么不可。一条色带沿着另一条色带来回滑动，不会违背四色禁忌（在任意四色图案之中，同种颜色的色块不允许接触到一起，我把这种情况称之为：四色禁忌）。当然，这样做没有什么意义。让我们再次扩展一下自己的思路：一个色块沿着它所在的通道扩展自己的边界，同时把其它的色块沿着同一条通道向前挤压，也不会违背四色禁忌；可是，在这个过程中，这个色块成功地与另外一个本来不相连接的色块连接在一起。这就多少有一点意义了。
每一个色块都同时处在三条色带之中，也就是同时处在三条通道之中。那么，它可以沿着三条通道向着六个不同的方向扩展自己的边界（在不出现通道交叉的情况下）。这种情况如下图所示：
* g+ p, U0 a8 d. u/ b
图——6
图——6展示了红色色块A所拥有的通道。但是，只要我们稍作分析，就会发现，红色色块A所拥有的通道远不是只有有限的三条。当红色色块A沿着通道扩展延伸，挤占了其它色块所在的位置，它还能取得其它色块所拥有的通道。这样，在标准四色图案里，任意一个色块所拥有的通道实际上是不受限 制的；或者换句话说：它所拥有的通道把它和整个图案联系在一起；沿着这些通道，它可以很方便地来到任意一个跟它不同颜色的色块身边，同时不违背四色禁忌。
图
——7图——7展示了红色色块A沿着通道扩展延伸，并同时挤压别的色块的情形。你可以看到，红色色块A所拥有的通道绝不是只有有限的三条，而是整个的通道网络。这里出现了两个问题：一，红色色块A沿着通道扩展延伸，是否能够同时与所有跟自己不同颜色的色块建立起边界连接？二，当红色色块A沿着通道扩展延伸，它是否因此而阻断了其它色块所拥有的通道？
这两个问题非常重要。要是一个色块沿着通道扩展延伸，同时就阻断了其它色块所拥有的通道，那么，这篇文章就不必再写下去了。这毫无意义。通道的存在毫无意义。通道是一条四通八达的道路，而且是一个无所不至的道路网络，可是，这个通道网络只允许一个或少数几个色块在上面通行，那么，通道的存在不足以充分调整图案中色块与色块之间的相对关系。然而，通道网络是否允许所有的色块同时在上面动起来，我们还须经过验证才能知道。
( C& x$ R, A1 F I. `2、通道会被阻断吗？
先看下面的图形：
图——8
图——8可以看成是图——4的进一步变化。我们让图——4中的所有色块沿着纵向的通道互相挤压，就得到了图——8。在图——8中，纵向的通道应该没有任何变化。问题是：横向上的通道如今还剩下多少。先找找红绿通道和黄蓝通道。
9 f* }; Z! o+ J/ O% X
图——8--1
再找找红蓝通道和黄绿通道。
图——8--2
我们发现：尽管经过了纵向通道上的反复冲断，每一个色块，至少还保留一条以上横向上的通道。一条通道就足够了，因为我们已经知道，一条通道就能够把一个色块和整个通道网络连接起来。
但是，问题显然没有那么简单。我们发现通道的情况如今变得复杂起来。具体地说，是通道出现了分叉。一个色块能够沿着一条出现分叉的通道扩展自己的边界，并从而和一个新的色块建立起边界连接吗？还是先来看一下图形。
图——8--3
图——8--3中，蓝色色块B被左右被两个巨大的红色色块所包夹着。红蓝通道在经过这两个巨大的红色色块时，出现了分叉。按照我们先前对通道的理解，在这里，与其说还存在着红蓝通道，不如说红蓝通道已经被两个巨大的红色色块所阻断。
让我们再次解放一下自己的思路。我们原来对通道的理解是：一条两色色带被另外两条（不同颜色的）两色色带所包夹着，则这条色带相对于另外两条色带所占有的图案空间，就构成一条通道。这种理解并不错误，但是必须进行某些补充。通道就像是一条道路，色块在通道上通行，不一定要走整个的道路；它可以选择靠右行走，也可以选择靠左行走。这种情形可以用下面的图形来表示：
( u! K9 a7 e" d) Q
图——8--4
8 o9 P) v4 J* [3 A. U
图——8--5
图——8—5中，蓝色色块B沿着绿蓝通道的左侧挤压它前面的色块，它一下子就给自己重建了两条黄蓝通道。
如果我们的推理是成立的，那么，一条完整的通道显然是同时拥有三种通过模式，分别是：全通模式、左侧模式、右侧模式。全通模式是用来跟其它的色块争夺图案空间的，这种模式过于霸道，我们也可以把它称之为通道的美国模式。左侧模式与英国人靠左行驶的习惯相一致，我们也可以把它称之为通道的英国模式。右侧模式跟中国人靠右行驶的规则相一致，我们也可以把它称之为通道的中国模式。很明显，当通道出现分叉的时候，全通模式是行不通的。这时候你要么选择靠左行驶，要么选择靠右行驶。
同样的道理，蓝色色块B向右的通道出现了分叉，这时候，蓝色色块B可以选择沿着红蓝通道的右侧（或左侧）通行。这种情况如下图所示：
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图——8—6
蓝色色块B沿着红蓝通道的右侧延伸自己的边界，同时挤压它前面的色块，成功地和一个绿色色块建立起边界连接。如下图。
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图——8—7
让我们不要被图案中参差不齐的色块关系所迷惑。色块关系任凭怎么参差不齐，通道则永远是简单的。通道就是任意两种颜色的色块可以沿着另外两种颜色的色块所提供的边界，互相挤压、伸缩、变形，这种行为不会违背四色禁忌，却能够借以调整色块与色块之间的边界关系。
一条有效的通道显然需要四种颜色至少四个色块的共同参与。如果只有三个色块，或者是一个色块沿着另外两个色块滑行，或者是两个色块沿着另外一个色块滑行，在这种情况下，你仍然可以把它看成是一条通道，但它如果不足以调整色块与色块之间的边界关系，它就是一条无效的通道。当然，这种情况如果出现在图案的边缘上，则另当别论。
通道不会被阻断。这是我们在分析了图——8的变化之后得出的一个结论。这可能不是最终结论。如果这是一个最终结论，那么，我们此刻就可以做这样的判断：标准四色图案里所有相邻的色块互为通道；标准四色图案里所有的色块按照各自的通道互相挤压变形，并重新缔结其各自的边界关系，在这个过程中，所有相邻的色块仍然是互为通道。可是，让我们不要匆忙地下这样的结论。还是先看看如果图——8中的所有色块按照纵向和横向的所有可能的通道进一步互相挤压变形，会出现什么情形。
3、# d! h' h3 o7 D- Y5 N' [# u
任意四色图案中的三色色块组合
图——8中的所有的色块沿着纵向和横向所有可能的通道互相挤压变形，就得到下面一幅图形：
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图——9
图——9还是过于简单。可是，绘制一张足够复杂的四色图案，太耗费人的精力。我们姑且满足于这样一幅图案，只要它能够帮助我们说明我们想要说明的道理就行了。
显然，图——9中，所有的色块仍然处在通道之中，对此我就不一一标示出来了。问题的关键不是一个色块拥有多少外连的通道，是任意一个色块在任何情况下至少保留一条以上有效的通道。图——9中，一个色块的最少外接色块数是两个。我们先来分析一下，这种情况下，一个色块是否至少还保留着一条以上有效的通道。我们试以图——9中的绿色色块C为例来进行分析。
图——9—1
图——9--1中，绿色色块C只有一红和一蓝这两个外接色块，这是标准四色图案里所有的色块按照各自的通道互相挤压变形，所能达到的最少外接色块数（限于图案内部）。显然，绿色色块C拥有两条外连通道，四种外连的模式，而且全部是有效的。
但是，如果围绕着绿色色块C的色块组合进一步发生变化，比如，出现如下图所示的情形，会出现什么情况？
图——9—2
图——9—2中，绿色色块D沿绿红通道向左扩展自己的边界，同时沿绿蓝通道向右下扩展自己的边界，再沿绿黄通道向右下扩展自己的边界，就形成如下的图形。
图——9—3
在这种情形下，我们发现，当中的那个绿色色块C仍然拥有两条连接整个图案的通道，如下图所示：
图——9—4
绿色色块C可以走绿蓝通道，绕着红**带，向左或是向右，一直来到下边的**色块身边，这样他就一举突破了红蓝色块对它的包夹。
下一步，我们让绿色色块D沿着绿黄通道进一步向左绕行，看看会出现什么情形。
图——9—5
图——9—6
从图——09—5到图——09—6，我们看到：绿色色块C终于被围困在一个简单的局部色块组合里。为了方便读者看得更清晰一些，我把这个局部色块组合简化如下：
图——10
通过这一简化，我们就看的更清楚了。绿色色块C之所以被围困在这个局部的色块组合里，是因为绿色色块C外围两圈的色块中，没有出现第四种颜色的色块。我们在前面分析过了：一条有效地通道需要四种颜色色块的参与，只有这样才能够借以调整色块与色块之间的边界关系。通常情况下，一个色块周围两圈色块的范围之内不出现第四种颜色色块的可能性极低。但是在这里，这种情况出现了。这种情况足够严重。
自从开始我们的分析以来，我们最担心的情况就是某个色块在某种情况下，它所拥有的通道完全被阻断。我们进行分析和做出判断的基本前提就是任意一个色块在任何情况下，其连接于整个图案的通道不会被阻断。如果被阻断了，那就表明标准四色图案未必能够演变成任意四色图案。换句话说：试图通过这条途径来证明四色猜想，不能成功。
可是，我们还是不能匆忙地就做出结论。我们进行分析和做出判断的最基本的前提其实并不是无处不在的通道，而是四色禁忌。只要四色禁忌没有被违背，我们的推论就仍然可能是有效的。
在图——10的局部色块组合中，绿色色块C首先被一红一蓝两个色块所包夹住。当然，真正阻断绿色色块C的有效通道的，是更外围的绿蓝色块。在这种情况下，绿色色块C可以选择改变自己的颜色，也就是变成**。一旦它变成一个**色块，它就可以顺利地突破红蓝色块对它的包夹。
图——10--1
改变自己的颜色，我认为是完全允许的。一个色块只要是在不影响其它色块的颜色选择的前提下，就可以改变自己的颜色。这种情况并没有违背我们进行推论的最基本的前提。这不过是向我们证明了这样一个事实：在任意一幅四色图案里，不但可以实现同色回避，而且，四种颜色色块的数目不一定相等。在给定了总体色块数目的前提下，每种颜色色块的数目也不一定恒定。
但是，假如在图——10这种局部的色块组合的基础上，再围绕上两圈给定颜色的色块组合呢？如下图：
图——10—2
在这种情况下，绿色色块C仍然不会被围困住。首先，它已经变成了**色块，所以第一步，它可以突破红蓝色块的包夹。如下图：
图——10—3
第二部，它可以选择跟左侧的红色色块交换颜色。一旦它把自己的颜色交换成红色，它就可以顺利突破这个局部组合的围困。
图——10—4
交换颜色，我认为也是可以的。只要这种交换不会影响到第三个色块的颜色选择。有人或许会问：如果允许颜色交换，更多的色块任意地进行颜色交换是不是也是允许的呢？——对此，我的回答是：显然可以。如果你能证明在任意一幅四色图案里进行任意的颜色互换都不会违背四色禁忌，你就证明了四色猜想。但是可惜，这种情况太过复杂，复杂到远远超出了人的智力所能方便地加以演示的范围。但无疑，两个色块在不影响第三个色块的条件下进行颜色交换，在人能够方便地进行掌握并且能够方便地予以演示的范围之内。
包围圈还可以被组织地更复杂。我们的证明必须能够适应于任何意想不到的情况。假如在图——10—5的色块组合之外再包围上数圈两色色块组合，原来的那个绿色色块C，是不是仍然有办法突出这重重的包围？
必须承认，这种情况人力演示不了。不过我想，已经没有加以演示的必要。包围圈不论被组织地怎样复杂，其基本原理是完全一样的，即：一个色块被一个三色色块组合所包围住，而这个色块与三色色块组合中的一种色块同色。我们要证明的是四色猜想，给我们带来困难的竟然是一种三色色块组合，这种情形意味着什么？——意味着通道有可能被阻断，还是意味着某种我们暂时还没有发现的图案秘密？
我想，首先，这种情况意味着在某种局部的色块组合中，出现了一种颜色冗余。你在一个三色色块组合里随便地增加一个色块，让这个色块选择为第四种颜色，四色禁忌不会被违背，原来被阻断的通道则立即得以恢复。或者，你不必增加色块，你让三色色块组合中的一个色块改变为第四种颜色，原来被阻断的通道也立即得以恢复。三色色块组合相对于四色色块组合冗余出一种颜色来，从证明四色猜想的角度上说，不管这种冗余出现在什么地方，我们都可以以任何可能的理由把它重新添加进去。
恢复绿色色块C被阻断的通道，就是一个合理的理由。我们在前边论证了绿色色块C改变颜色、与其它色块交换颜色，理由其实是一样的。只不过，改变自己的颜色、与其它色块交换颜色，只适应于某些较为简单的三色色块组合。对于更为复杂的三色色块组合，在需要的位置上选择任意一个色块让它改变颜色，是一个更为方便的选择。
假如我们的论证是成立的，则我们可以说，在任意一幅四色图案的任意局部的范围内，通道都没有被阻断。被冗余出来的色块，就是潜在的通道。
- X# a2 Z, P/ [: r% D4、通道的潜力
让一个色块改变颜色，其意义远不止是恢复被阻断的通道那么简单。我们的全部论证都指向着这样一个方向：标准四色图案因为其内部存在着一个通道网络，可以演变成任意四色图案。在标准四色图案里，四种颜色色块的构成比例是相对固定的，但是在任意四色图案里，四种颜色色块的构成比例是任意的。通道的存在如果仅仅是给原有的色块与色块之间调整其边界关系提供了方便，那么，标准四色图案就不足以演变成任意四色图案。要演变成任意四色图案，它必须不但能够重新组合原有色块与色块之间的边界联系，而且能够改变不同颜色色块的构成比例。三色色块组合的出现，恰好给标准四色图案进一步调整其内部的不同颜色色块构成比例，提供了机会。问题是：这个机会的潜力究竟有多大？
我们在前边总共提出了两个问题，一个是：通道会不会被阻断；另一个是：一个色块与其它色块实现边界连接的潜力究竟有多大。对于第一个问题，我们已有的分析已经给出了证明：通道不会被阻断。对于第二个问题，解决的途径恰恰与三色色块组合的出现有关。
我们似乎忽略了一个问题。要是一个色块被三个色块、四个色块、或是更多的色块所包围着，会出现什么情形？是不是在这些情况下它所拥有的通道也有可能被阻断？——对于这个问题，我想，已经没有进行分析的必要。一个色块的外接色块越多，它所拥有的外连通道也就越多。这当然并不意味着这些通道在任何情况下都是有效的，但是显然，唯一能让一个色块失去通道的，只有那种局部的三色色块组合。三色色块组合就意味着一种颜色的冗余。颜色的冗余就意味着潜在的通道。潜在的通道也是通道，除非我们有意为难自己，让自己在某种允许通行的情况下自动止步。要是我们如此愚蠢，我们为什么要来关注四色猜想呢？——四色猜想不是什么了不起的数学难题，但是，要是我们有意地自己为难自己，我们还是别碰这个问题为好。
好了，即使通道的问题仍没有被解决妥当，也让我们暂且把它放到一边。我们来分析一下：通道网络的存在允许一个色块在最大限度上与多少色块同时连接起来。请看下面的图形：
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图——11
其实这还是上面那个图——4，还是那个红色色块A。读者诸君可能会注意到，我们自从开始本文的分析以来，就没有更换过图案；我们所使用的是同一幅图案的种种变形，或者是它的一个部分。现在，我们让图——11中的红色色块A沿着红黄通道把本通道中所有其它的色块全部推挤出图案，并且让这些色块沿着图案最外侧的绿蓝色带的外侧排列起来，如下图。
图——11—1
注意，当中那个盘绕着的红色长条如今同属于一个红色色块A。
第二步，处在红色色块A半包围中的绿蓝色带，沿着绿蓝通道向外滑行，覆盖在红色色块A的上下两端。如下面两图所示。
图——11—2
图——11-3
第三步，绿蓝色带沿着红色色块的外侧尽量均匀地展开，在这个过程中注意防止同种颜色的色块互相碰头，这很容易做到。
然后红**带沿着绿蓝色带尽量均匀地展开，覆盖在绿蓝色带上。
图——11—4
图——11—5
第四步，让最外侧的红**带中的**色块，通过黄蓝通道，或是黄绿通道，重新与最内侧的那个巨大的红色色块连接起来。当然，当中的红色色块穿越红绿通道、或是红绿通道，去主动地连接最外侧的**色块，效果也是一样。
图——11—6
最后我们就得到了这样一幅四色图案：
图——11—7
一个红色色块就这样成功地与图案中所有不同颜色的色块连接起来。所有跟它相同颜色的色块，被排挤在图案的最外围。
我这这里对图案进行了某种修饰，应该不会妨碍正常的理解。
- e E/ T) A1 i& u; Y6 V; Z% d
所谓的任意四色图案，不但任意色块的外接色块数目可以是任意的，而且连接的方式也应该是任意的。图——11中红色色块A与其它色块的连接方式显然并不任意，但是，既然通道并没有被阻断，连接方式允许做任意的调整。
图——11—8
绿色色块B如果沿着上图所示的通道延展自己的边界，我们就得到了如下一幅图案：
图——11—9
其它的色块也可以做类似的连接方式的调整。通道不会**任何一个色块做这样的调整，但是显然，色块与色块之间互相构成**。毕竟图案的空间是有限的。可用来增加一个色块的外接色块数目的机会，也是有限的。
这里有必要解释一下所谓“连接方式是任意的”是什么含义。其实，它的含义非常简单，它只意味着这样一种情况：一个色块和另一个色块拥有几条共享边界。既然通道在任何情况下都不会被阻断，那么当然，一个色块要取得更多的外接色块的机会始终是开放的，一个色块与另一个色块之间可以建立多少条共享边界的机会，也是开放的。
图——11—9还可以做进一步的演变，演变的结果出人意料之外：
图——11—10
如上图，绿色色块B沿着红**带的最外侧延展滑行，把整条红**带包绕起来。但这只是第一步。下一步，绿色色块B可以通过绿红通道、或是绿黄通道，去跟所有的蓝色色块实现连接。当然，由蓝色色块通过蓝红通道，或是蓝黄通道，去连接外面的绿色色块，效果也是一样。这种情况如下图所标示：
图——11—11
图——11—11向我们展示：不但一个红色色块与图案中所有不同颜色的色块连接起来了，一个绿色色块也同时与图案中所有不同颜色的色块连接起来了。
第三个色块如果试图同时与图案中所有不同颜色的色块实现连接，应该没有任何可能。不过我想，我们已经找到了标准四色图案按照通道所提供的可能性任意组合变化所能实现的某种较为极端的情况。这并非最极端的情况。最极端的情况应该是：一个色块与图案中所有的色块同时连接起来。
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先回到前面的图——11—5。假如我们让最外侧的**色块一律沿着黄蓝通道与最中心的红色色块连接起来，在这个过程中，有意识地让最外侧的红色色块处在一种三色色块组合之中。我们就得到一幅这样的图案：
图——11—12
第二步，处在三色色块组合中的红色色块可以改变自己的颜色。在这里，我们限定它只能改变为绿色，或是改变为蓝色。如下图：
图——11—13
第三步，让最外圈的绿色色块和蓝色色块通过绿黄通道、或是蓝黄通道，与中心的红色色块连接起来，我们就得到如下的图案：
图——11—14
至此，一个色块成功地与图案中所有的色块连接起来。需要注意的是，我们这样做并不受图案中色块数目的**。
连接的方式仍然可以是任意的。红色色块外边的绿蓝**块可以沿着红色色块收缩，变成如下的图形：
图——11—15
现在红色色块A外围的色块互不连接，仅仅与当中的红色色块连接。下一步，这些色块在不影响其它色块的颜色选择的前提下，可以一律变成**。如下图：
图! r$ L! n2 A8 |# n) Z8 `" r
——11—16
至此，图案中只剩下两种颜色。假设原来那幅标准四色图案里总共有N个色块的话，现在，四种颜色色块的构成比例变成: 1:N-1:0:0。
这个图案可以沿着允许的通道再变回去。当然，第一步，外围的色块先是沿着红色色块伸展自己的边界，互相靠近，一边改变自己的颜色。然后，它们继续改变自己的颜色，以重建各自的通道。只要有了通道，沿着通道，它们可以任意地重新组合相互之间的边界关系。
一个色块可以与图案中所有的色块连接起来，同时不违背四色禁忌，而且连接的方式是任意的。这应该就是标准四色图案里所有的色块沿着通道网络重新组合其相互之间的边界关系，所能组合出来的最极端的情况。
6 p) ]% ~% v- t7 ~5、总结说明
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总结一下上面的分析，我们得出如下的结论：
一，标准四色图案里所有相邻的色块互为通道。
二，标准四色图案里所有的色块沿着各自的通道互相挤压变形，可以重新组合色块与色块之间的边界关系。
三，在这个过程中，通道不会被阻断，四色禁忌也不会被违背。换句话说：这种组合变化可以无休无止地进行下去。
四，在某些局部的三色色块组合之中，个别色块所拥有的通道有可能被阻断；但是，三色色块组合由于冗余出一种颜色来，在这种情况下，可以把冗余的颜色看成是潜在的通道。更重要的是：三色色块组合的出现给标准四色图案借以调整其内部四种颜色色块的构成比例，提供了机会。
五，这个机会的潜力是无限大。在限定只允许改变色块颜色而不许增加色块数目的前提下，这个机会的潜力是把两种颜色色块的数目改变为零。在允许增加色块的前提下，这个机会的潜力是让一幅本来相对简单的四色图案变得无限复杂：图案里色块数目无限增多，结构无限复杂，但是，无论色块数目增加到多少，结构怎样复杂，四色禁忌不会被违背；或者换句话说：可以不被违背，因为我们是按照允许的通道来做到这一点的。
六，通道允许一个色块同时与图案中所有其它颜色的色块连接起来，而且连接的方式是任意的。通道允许两个不同颜色的色块同时与图案中所有跟自己不同颜色的色块连接起来，在这种情况下，连接方式不能是任意的。
七，标准四色图案里，任意一个色块循着通道所指引的路线与其它的色块任意组合变化，所能实现的最少色块连接，是只有一个；所能实现的最多色块连接，是图案中所有的色块。
八，在这两个极端的范围之内，一个色块能够实现与多少色块连接起来，以怎样的方式连接起来，取决于这个色块与其它色块争夺图案空间的能力。通道本身，并不构成**。色块与色块之间争夺图案空间的过程，是一个动态的过程，这种情况就好比说：一个色块暂时赢得了机会，就意味着另一个色块暂时失去了机会。但是，不管是赢得机会，还是失去机会，只要这个动态的过程没有在某种情况下停止下来，机会向所有的色块公平地开放着。
九，可以无休无止地组合变化下去。允许组合出任何最极端的色块组合模式。这就意味着：标准四色图案可以演变成任意一种四色图案。
十，最后的结论就是：四色猜想能够成立。
6、似乎并不多余的补充
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还有一种情况，似乎应该在这里予以某种说明：标准四色图案如果能够演变成任意一种色块组合模式，是否能够组合出这样一种模式：一个色块把另外一个或是数个色块完全包围起来？
对于这种情况，我们本来可以不予理睬。一个色块把其它的色块完全包围起来，它就把这些色块与其身外的色块完全隔离开来。在这种情况下，我们可以说：包围圈内和圈外是两个互不相干的色块组合体系。但是，这不等于说标准四色图案没有演变出这种特殊的色块组合模式的潜力。
循着通道，显然是无法做到这一点。通道是用来让不同颜色的色块实现连接的，也是让相同颜色的色块实现完全回避的。但是同理，一个色块如果有意地突破通道的**，而且是回到它自身，它恰好能够成功地把一个或数个色块包围在自己的腹中。
图——12--1
上图中，红色色块A1先是沿红绿通道来到 2，然后沿红黄通道来到 3，然后沿红绿通道来到4，然后沿红黄通道来到5。在5的位置上，红色色块可以突破通道的**，穿越黄蓝绿这三个色块之间的边界，即通过a或b这两条线路，回到它自身。这样，红色色块A1就一举把数个色块包围在自己的腹中。如下图。
图——12--2
二维图形可以在一个曲面上自我闭合。平面图形不过是二维图形的一种特别形式。地球的球面就是二维的，同时又是自我闭合的。那么，标准四色图案的可以在一个球面上自我闭合，并且按照通道所提供的可能性任意组合变化吗？让我们看一下下面的图：
图——13
其实这还是上面那张图——4，不过是涂色的顺序发生了一点变化：红**带和绿蓝色带从一个端点开始，互相缠绕着，呈螺旋状向外展开。这个图案有一个神奇的功能：它从一个端点开始，可以在另一个端点上实现整个图案的自我闭合。假如这个图案是在一个球面上展开的话，不论是从球面的哪一点开始，在球的另一面，两条互相盘绕的色带一定会实现自我闭合。但是，正如在图——4中所见的那样，这图案中不只有红**带和绿蓝色带，其它四条色带也同时出现在图案之中。换句话说：二维的球面图案的四色变化情况跟二维的平面图案完全一样。
证明、或者说说明就到这里。据说，美国数学家阿佩尔先生为了证明四色原理，曾经设计了一千多种色块组合模式；他把这些模式输入电脑，让电脑帮他计算，结果显示：四色猜想能够成立。我不知道阿佩尔先生究竟设计了那些模式，但我敢肯定：标准四色图案能够方便地变化出任何模式。
这个证明基本思路是：标准四色图案里存在着一个通道网络，沿着这个通道网络，标准四色图案里所有的色块可以任意地重新组合其相对的边界关系，直到组合出任意一幅四色图案。如果这个证明是成立的，那么，在任意一幅四色图案里，固有的通道不会被完全打破。换句话说：给定任意一幅四色图案，我们一定能够从中寻找出、或者说复原出原有的通道来。而且，复原的途径还不止一种。沿着这一条条通道，我们还能够把所有的色块贯穿起来。试复原一个任意四色图案里的通道如下：
图——14
全部的证明就到这里。有兴趣的朋友的可以自己画几幅四色图案，试着给它复原出原有的通道。坦率地说，谁如果这样做了，就会觉得这是一个非常无趣的游戏。不过，这对你能够充分理解本文的论证思路，不无裨益。
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烽火戏诸侯，为看美人笑。
剖心验比干，只缘妲己闹。
吴王欲争霸，西施自越来。
楚人方休兵，夏姬不肯老。
若得美人伴，家国皆可弃。
范蠡舟载去，巫臣车飞跑。
两个相邻区域相邻公共边确定，就不可能存在第三个区域以这些公共边（或其部分）为界与这两个区域相邻)。得：C⌒B。B⌒E，E⌒C，C⌒B构成的区域4与其它区域不相邻。其内包含于区域1，2，3之间，与任何第五个区域不相邻。排除这种相邻结构。同理可证相邻边交于二点。亦有内含区域存在，不再赘述。那么只剩下一种情况: （2）三相邻区域中每两个区域的公共边只有一条，且交于一点。如图6，这实际上就是判断三个互相邻区域中有无内含区域的一个特征（公共边多于一条，无公共交点必有内包含区域）。用前文思路可证之。
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