数学建模社区-数学中国

标题: 数学悖论一览表 [打印本页]
作者: clanswer    时间: 2010-4-12 22:20
标题: 数学悖论一览表
1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ ( l3 u6 H  l& ~. S6 Z
　　如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 ( I  W. e6 I- o
2． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” % z* L1 k9 j+ u) f
　　如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 9 e0 }; a; A2 n, s
　　所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
( d  B' q' T; u, `　　公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ & F( y* h* W7 E' I$ G+ p* m! h
　　说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。”
5 O/ ~) @7 M9 V. n) k( Y　　又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。
! G" i* [$ F. g% A& U3． 跟无限相关的悖论： 5 V# }& m7 S- K" k
　　{1，2，3，4，5，…}是自然数集：
$ a9 K: X2 T2 Z+ }　　{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 4 B9 t" P; H. t4 U5 }7 N) O
　　这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？
6 d( C2 [0 T5 f- z" w/ P4． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？
0 i& s# w% B, {2 p; T, I5． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”
3 C8 @# y6 ]/ F3 O2 |* a! E) z　　你能说出为什么这场考试无法进行吗？
% w% ^5 }9 f& ]8 M6． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”
, T/ L4 h0 r* a  i) }: h( W　　这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ ) E2 n# I, I" I" g$ k
7． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？
- t( p. X* \1 O. s9 s/ N8． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆；
/ ^( D; s' _! c- L: _% O　　如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；
. P, v; F0 [- o　　如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； 7 Z# v! ~' ]9 L6 a
　　……
6 ?6 U6 @% q; Q8 g6 e3 L$ h0 w7 j　　如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； " V3 C, C+ T  M# p. F; C- _: y
　　……
" V# w  P% F8 T5 b- ?　　如果1粒谷子落地不能形成谷堆，2粒谷子落地不能形成谷堆，3粒谷子落地也不能形成谷堆，依此类推，无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。 4 o4 |- r  i7 B3 Y& k
　　从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。
0 J: c/ O$ ^, ~& J0 w0 w　　这是连锁（Sorites）悖论中的一个例子，归功于古希腊人Eubulides，后来的怀疑论者不承认它是知识。“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思。最初是一个游戏：你可以把1粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把2粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把3粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一个谷堆的存在，你从哪里区分他们？
" Y' o  e8 J  j' E0 e. E9． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？
  j+ B+ a: a! t* _/ ]# Q10。著名的鸡与蛋问题：世界上是先有鸡还是先有蛋？1 X; ^7 H! _, ?2 I) t$ e
　　▲一些观点：3 Y* q8 j8 O! Z/ [8 U5 h: U0 M1 V- r
　　○老套的问题，当然是先有鸡，只是刚开始它不是鸡，而是别的动物，后来它们的繁衍方式发生了变化，——成为了卵生，所以才有了蛋。# }- {6 v( [! x+ D" F2 H2 I
　　○最早没有卵生动物，很多生物还是无性繁殖**的，后来慢慢进化成卵生和哺乳动物，所以按道理应该先进化成生物本体才可能有蛋的由来。7 e- o2 F. o3 j7 e0 @" f
　　○“蛋”有可能来自外星球，后来环境适应而孵化，之后在地球繁衍.....就形成了鸡生蛋，蛋又孵化成鸡。
作者: zzyydtc    时间: 2010-4-13 11:44
我觉得是先有蛋。
; o5 Y# @3 u# v8 T3 _这里蛋又没说必须是鸡蛋，爬行动物就有蛋了，在进化上应该比鸟类早出现好多年吧。
作者: clanswer    时间: 2010-4-13 11:45
回复 2# zzyydtc
7 l( Z3 }$ K& F* T0 Z& S0 E
# a" M0 M+ w4 z; y( Q. S0 T$ w5 H3 O4 f. B0 W2 R
    呵呵，这个讨论了很久了
作者: 数学者    时间: 2010-4-20 23:17
4． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ : l' ~5 c  T- ^! |# d4 E4 ^4 E
5． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”
. r2 t( d6 ~; y: ?　　你能说出为什么这场考试无法进行吗？ - `% H& ?; ^3 B1 U& ^; U3 V/ Z
7.硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？
$ O: g  S% C+ ~- e% q$ f
1 `: E9 y, p: b7 e, k/ c这几个我还没看懂啥意思，能解释一些吗？
作者: qkhhmtvc    时间: 2010-4-23 15:07
顶顶，赚赚体力。。。。。。。。。。。。。
作者: clanswer    时间: 2010-4-23 16:26
回复 5# qkhhmtvc
& `: n7 U% ?1 a2 x4 o
/ c" B: D; i% O/ l: t- o4 l3 Z& V0 u
    呵呵，好啊
作者: 东方明珠-WDZYQ    时间: 2010-4-23 16:30
这些都是写经典的悖论数学啊，很有意思的哦！！！
作者: clanswer    时间: 2010-4-23 18:07
回复 7# 东方明珠-WDZYQ 4 F: [+ V' T5 m+ l. d

0 @8 u3 \$ j0 p7 C: L) c, a3 N* E1 S! W
    呵呵，谢谢支持，大家可以多多研究
作者: clanswer    时间: 2010-4-23 18:08
回复 4# 数学者
7 L3 t. d5 T+ ^$ ^- D$ O0 p9 P+ Y- c: ^' ^
% e/ |9 j" E2 {4 M( v
    其实有些我也不太懂，可以在网上好好查查，呵呵
作者: risiketu    时间: 2010-4-27 18:43
在第二个例子中，如果把"所有克里特人所说的每一句话都是谎话"当做命题来看待的话，那么对这个命题的否定应该是"并非所有克里特人所说的话都是谎话"或者"有的克里特人所说的话不是谎话"。
6 y/ b' b; K, N* v0 ^! w" `  O/ t4 J
应该是这样吧。
作者: 514114877    时间: 2010-4-27 18:46
悖论是很有意思的！3 |) n. h; U3 w5 K% M: E
顶顶~~$ r, d4 ~# n' [  F- f
呵呵
作者: clanswer    时间: 2010-4-27 19:01
回复 11# 514114877 7 s# _' Q6 X" f% M4 Y- [9 N1 a/ L1 E
& A9 d+ Y, I1 ]9 w

+ E- Z/ G/ X+ {& |; R8 \    多多支持哦，呵呵
作者: tmy    时间: 2010-4-28 12:01
这些悖论，已经被区分，有些是由于语义定义不严格而引起的，不是真正的悖论；像罗素悖论就是真正的悖论
作者: 偶是小白    时间: 2010-4-28 22:04
好像还有很多没有概括进去哦--希望楼主多加努力呵呵
作者: clanswer    时间: 2010-4-28 22:22
回复 14# 偶是小白 / Q& I9 e5 E) Z6 L$ A: h! D+ N

- u; @0 k: }. B, [- P" @( @
% z1 g! r. K2 A' X- j, u6 e4 @    呵呵，大家共同努力哦
作者: 好学者    时间: 2010-5-8 10:35
很有意思的一些问题啊！！！！！！！！闲时看看不错！！！！！！！！！！！
作者: clanswer    时间: 2010-5-8 11:14
回复 16# 好学者
8 n) X8 x" Z0 z2 \; ]6 b5 P- S/ S( @  M" L& N6 ~
6 K( d/ }3 c0 d0 E; |  M
    恩，多看看很好
作者: steve90    时间: 2010-5-8 14:16
回复 4# 数学者 $ B* Z7 S, {! [& H) d, T. @% y

" ?/ \5 t6 G; i+ |% W+ m
3 T, Z1 H: q7 v7 H    意外的考试悖论：如果在周四了老师还没说下午考试，那么我们就可以推断是周五考试，这样就不是意外的考试了，所以排除周五考试的可能；同理排除周五之后，周四就是最后一天有可能考试的，那么我们在周三就可以知道，这样也不意外，所以也可以排除；同理可以排除周三周二周一；所以这场考试考不成。但是如果老师选择某天考试，比如周三，那就是意外了（与你的推理想背），但这样又在自己的预料之中，因此不意外，矛盾
& j' E2 d/ n- q3 ^    硬币问题：应该是上面的硬币实际是围绕下面的硬币选装了一周，而不是半个圆；这也就得出了一个数学悖论，半个圆实际和一个圆周相互对应
9 N6 w$ [) \. o* C) w5 [6 D    长短悖论：实际也是对应问题，基数是相同的
作者: mathcyang    时间: 2010-5-12 20:54
支持 悖论推动数学思想的发展 悖论 啊
作者: clanswer    时间: 2010-5-12 21:51
回复 19# mathcyang
) q) E: U+ B2 U# m; ^: D8 ^
$ X; J* w0 f/ K8 Q
4 ~: L- L  y6 S9 U7 s6 _    呵呵
作者: qj07151001111    时间: 2010-5-13 00:18
顶！！！！！！！！！！！！！！学到不少的东西。。。。。
作者: clanswer    时间: 2010-5-13 15:03
回复 21# qj07151001111 8 T1 Z: W9 B  {* w6 R) n7 {
) g; y( b9 v+ F/ W
6 a0 ~; ?) ]8 F$ N# O! }5 V' \
    呵呵，很好地东西
作者: yugong    时间: 2010-5-16 17:10
真的很厉害，很有趣，很有意思！！！
作者: zfq12    时间: 2010-6-3 16:20
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
作者: zfq12    时间: 2010-6-3 16:20
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
作者: xufang31    时间: 2010-6-5 11:56
相当有意思
作者: IsaacNotNwton    时间: 2010-7-7 10:31
嗯嗯， 顶楼上的。
作者: wajm_011    时间: 2010-8-8 11:50
作者: lltt022    时间: 2010-9-1 12:20
太费脑筋了
作者: 角凳    时间: 2010-9-3 19:55
4的推理有问题吧？为什么“每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交”就可以推出“DE与BC一样长”？
9 v/ f, L  L$ ^) J  y9 T7是能说的通的，那就不能叫悖论了吧？悖论应该是说不清楚很纠结的东西。4 [7 U: {5 p4 u4 f7 Y1 _
9算是数学问题吗？？
作者: e271828    时间: 2010-12-20 14:51
                           集合论悖论的解决V6.0" A7 V/ B# _* p. P. T# W
            李均宇(李林星)   2008.1.19  email:myvbvc@tom.com  QQ:165442523
* L/ l' i4 k/ v8 ?! v    虽然我知道公理集合论是为了解决罗素悖论而产生的,但我认为公理集合论是在走弯路,甚至是误入岐路了.如果不包含下列的理论,我认为<<集合论>>是不完整的.
. n7 L" l+ G2 L1 h    让我们首先讨论无限集合的势开始.
; {! }! w5 h  }9 C    定义1:自然数集,整数集,有理数集的势叫X0.
1 U" ~. C; d$ {  E    定义2:实数集,直线中点集,平面中点集,立体空间中点集的势叫X1.
; `: [1 J2 \0 y    广义连续统假设:无限集合的势必是X0,X1,...Xn...之一.5 G( c1 f' [& u. D& x$ [
    其中的X就是阿列夫,因为我找不到这个字符,所以用英文字母X表示了.
. L6 d5 }- Q1 I1 x( Q: b, d    李均宇定理:如果一个无限集合又包含自身的所有子集或幂集,则这个集合的势是limXn(n→∞),或者说,一个无限集合不可以再包含自身的所有子集或幂集.% p$ A2 e- i& G5 m7 l
    证明:设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的.因为无限集合A又包含自身的所有子集或幂集,而幂集的势是 X(n+1)=2^Xn,所以无限集合A的势变成X(n+1),这与原先假设无限集合A的势是Xn,n是固定不变的相矛盾,所以无限集合A的势是limXn(n→∞).
8 B& J3 |3 X: s5 I    推论一:所有集合的集合的势是limXn(n→∞).' i4 B/ c' b$ A; Q
    证明:假设所有集合的集合为集合A,集合A的所有子集或幂集也是集合,所以也应包含在其中,所以集合A就是包含自身所有子集或幂集的集合,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).
0 C# v; B% z: K) x    定理1:任何序数的非空集合都有最小数,从而任何序数的集合在小于等于关系下都是良序集.
/ Y0 X: N$ ^; |3 j1 M    定理1是<<集合论>>已有的定理,所以这里无须证明.$ o' p3 p  N! ^, z& }  ]- e7 e
    李均宇第二定理:任何序数的集合的幂集也是序数.
+ w6 P7 I' l* o/ \    证明:因为任何序数的集合的子集也是序数的集合,所以由定理1知其子集也是良序数,所以子集也是一个序数,则所有子集组成的幂集也就是序数的集合,由定理1知此幂集也是良序集,所以此幂集也是一个序数.5 l  B% [3 n9 v
    推论二:所有序数的集合的势也是limXn(n→∞).7 F& U! ]# O  A* a: O+ u* l8 t
    证明:设所有序数的集合为集合A,由李均宇第二定理知此集合A的幂集也是序数,所以也应包含在集合A中,则集合A包含自身的幂集,由李均宇定理知此集合的势是limXn(n→∞).
) v; j+ v) a, a    李均宇第三定理:任何一个不包含自身的集合的集合的任一子集或幂集也是不包含自身的集合.. u+ }6 [; a( N* C7 E% a9 R1 D
    证明:用反证法.假设任何一个不包含自身的集合的集合为集合A,假设集合A的任一子集B是包含自身的集合,则子集B中有元素B,元素B是包含自身的集合,而元素B又是集合A的元素,集合A的元素都是不包含自身的集合的,所以元素B是不包含自身的集合,矛盾.所子集素B是不包含自身的集合.幂集一样可用反证法证明.假设集合A的幂集是集合C,假设集合C是包含自身的集合,则集合C有一个元素C,元素C是包含自身的集合,但元素C又是集合A的子集,根据上面已用反证法证明的过程知集合A的子集也是不包含自身的集合,则元素C是不包含自身的集合,矛盾,所以幂集也是不包含自身的集合.
  C2 l7 h: U. R+ b    推论三:所有不包含自身的集合的集合的势也是limXn(n→∞).
% ^& S  x9 \; r    证明:假设所有不包含自身的集合的集合是A,则由李均宇第三定理知集合A的所有子集或幂集也是不包含自身的集合.所以,集合A也应包括自身的所有子集或幂集,根据李均宇定理知其势是limXn(n→∞).- u9 ?1 k4 a2 }* M: k7 M8 [( h& f/ g
    无意义公理:一个无限集的势是limXn(n→∞),则这个集合是没有什么意义的.
" i7 K# i7 p5 K9 P6 r$ q* T    基数悖论的问题在于"所有集合的集合",序数悖论的问题在于"所有序数的集合",罗素悖论的问题在于"所有不包含自身的集合组成的集合".因为根据上面证明的推论一二三,这三个集合的势都是limXn(n→∞).则这三个集合是没有什么意义的,所以集合论悖论没有动摇现有科学的基础.+ T+ y" ]( n4 U3 Y3 w  S1 T
    作者认为公理集合论引进了类的概念,是把简单的问题复杂化,作者把集合论悖论的解决用最简单的语言讲明白出来,抛弃了公理集合论这个科学上的怪胎,意义是十分重大的,所以作者是伟大的.
作者: blongsky    时间: 2010-12-20 21:42
克里特人所说的每一句话都是谎话，很出名呀& @- t4 v* P/ _  W- z
作者: Cassiopeiajoy    时间: 2010-12-21 19:07
jiujie啊~~
作者: 李稚雪    时间: 2011-1-29 20:14
顶~~~~~~~~~~~~~
作者: sxmsxmsxm    时间: 2011-2-1 19:42
真有意思，顶！
作者: 巧云225    时间: 2011-6-7 09:33
这些都是写经典的悖论数学啊
作者: weixinmaths    时间: 2011-6-23 10:13
作者: 晶莹    时间: 2011-8-20 21:27
很有意思啊 但是仿佛对数学建模帮助不是很大
作者: 782915935    时间: 2011-11-26 23:02
看一看啊。。。
作者: 单裑√骇子″    时间: 2011-12-4 00:26
5 6 7条看不懂啊，解释一下吧
作者: searched    时间: 2011-12-12 17:19
恩，很累的问题
作者: a346605438    时间: 2012-1-17 16:55
感谢楼主，长见识了
作者: Mr_Longly    时间: 2012-1-23 16:20
表示亚历山大
作者: 牛勇    时间: 2012-3-14 14:27
本帖最后由 牛勇 于 2012-3-14 14:29 编辑 , x+ m; F! m, y/ l6 @4 M6 B
数学者 发表于 2010-4-20 23:17 7 \$ V& K# g$ [
4． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点 ...

& a( W6 x! ?. c1 K' T: J+ [; }8 U7 R& P. E
第四个  ：BC上的每一个点到顶点A都经过DE，也就是说BC和DE上的点满足一一对应的关系，才有点的个数是相等的，这个说法本人认为是不准确的，因为不同的对应法则得到的结果是不一样的。应该说是对等，不能说相等。比如说在BC上截得和DE长度相等的线段，那么剩下的一部分与DE就没有满足一一对应的点了。（建议去看看康托尔的集合论，与这个是有关的）; _! Y3 K$ c  n. W6 C
第五个和第六个我也没看懂
作者: 牛勇    时间: 2012-3-14 14:32
角凳 发表于 2010-9-3 19:55 ! _: W. q! B5 c1 T5 b
4的推理有问题吧？为什么“每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交”就可以推出“DE与BC一样长”？ ...
/ J) y7 W# D, a2 I( c
4是没有问题的   这是无穷的问题
作者: weakman    时间: 2012-3-14 18:46
由无穷的矛盾可以引出很多矛盾，例如0.999......=1的飞跃点 整体和部分相等，用实无限观可以回避一些矛盾用潜无限观又可以回避令一些矛盾，包含自身的集合也是一个无限进行下去的过程，每当你添加进当前的自身又产生一个新的自身，我觉得可能多多少少都和无穷有关。
作者: WenQH521    时间: 2012-3-16 22:37
经验之谈，谢谢楼主了，请继续努力
作者: huigui    时间: 2012-4-13 15:00
有意思，谢谢分享！
作者: younger0210    时间: 2012-6-14 16:18
硬币悖论中绕圆周转半周其实转了360度而不是180度
作者: 1183516765    时间: 2012-12-3 09:52
呵呵，看过，很不错
作者: allen@    时间: 2013-1-9 17:31
好悖论。。。。
作者: 心在梦在    时间: 2013-7-27 08:09
，非常有意思
作者: Gone_wind    时间: 2013-9-27 17:34
伤脑筋，数学家都是怪才
0 ]' y4 E+ V+ E2 j
7 R2 Y0 }& ?7 r. k' x$ Z
作者: gujian096    时间: 2013-9-28 10:34
有意思！
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-15 19:53
好顶赞！！！
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-15 19:53
楼主辛苦了
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-15 20:03
费脑。。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-16 10:30
不错。。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-16 10:30
赞一个。。
作者: MichaeLonger    时间: 2014-6-16 10:30
楼主的帖子怎么样？赶紧试试这里的快速回复给楼主点评论吧楼主辛苦
作者: gw_0810    时间: 2014-6-28 07:30
收藏了，有空再看
作者: 草偶    时间: 2014-8-11 22:48
谢谢楼主的分享
作者: lshqcable605    时间: 2017-1-29 19:21
好好好好好好好好好4 I/ v0 n2 S- N1 g* M, M6 R7 U
作者: sunrape    时间: 2020-1-29 18:13
发表回复其中一些驳论已经完美解决，发了在那看不到啊& S& S1 d+ W1 _4 f9 J5 d6 A) `6 W




欢迎光临 数学建模社区-数学中国 (http://www.madio.net/) Powered by Discuz! X2.5